2023—2024学年人教版数学八年级下册压轴专项十六：平行四边形压轴

2023—2024学年人教版数学八年级下册压轴 专项十六：平行四边形压轴（原卷版） 1、如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G是CD上的一点，连接DF、EG、AG． （1）若CF＝4，AE＝6，求BE的长； （2）若∠CEG＝∠AGE，那么： ①判断线段AG和EG的数量关系，并说明理由； ②求证：∠1＝∠2． 2、如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF． （1）求证：； （2）求证：EF＝CF； （3）若，设△BEC的面积为S1，△EFC的面积为S2，求的值．（用含a的代数式来表示） 3、如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，E是对角线BD上一点． （1）如图1，若E是线段BD的中点，且AB＝6，求AE的长度； （2）如图2，F是线段AB延长线上一点，且DE＝BF，连接AE，EF．求证：AE＝EF． 4、在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，点E的位置随点P位置的变化而变化，连接CE． （1）如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，求证：BD＝CE+PD； （2）如图②、图③，请分别写出线段BD，CE，PD之间的数量关系，不需证明． 5、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M是BD上任意一点，连接AM并延长至点N，使AM＝MN，交BC于H，连接CN、BN． （1）求证：OM∥CN． （2）连接CM，若AD⊥AN，且AC＝AB，求证：四边形BNCM是菱形． 6、已知点E是平行四边形ABCD边CD上的一点（不与点C，D重合）． （1）如图1，当点E运动到CD的中点时，连接AE、BE，若AE平分∠BAD，证明：CE＝CB． （2）如图2，过点E作EF⊥DC交直线CB于点F，连接AF．若∠ABC＝120°，BC＝2．封AB＝4．在线段CF上是否存在一点H．使得四边形AFHD为菱形？若存在，请求出ED，CH的长；若不存在，请简单地说明理由． 7、如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B出发以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O出发以2cm/s的速度向点D运动． （1）若点E，F同时运动，设运动时间为ts，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形？ （2）在（1）的条件下，当AB为何值时，平行四边形AECF是菱形？ 8、已知，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，BP． （1）如图1，当CF＝2BE＝2时，试说明△DEF是直角三角形； （2）如图2，若点E是边AB的中点，DE平分∠ADF，求BF的长． 9、如图①，在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．直线EF分别交BA、DC的延长线于点G、H． （1）求证：四边形BHDG是平行四边形； （2）如图②，若四边形BHDG是菱形，且AB＝4，BC＝8，求CH的长． 10、已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点G、H分别是AD、BC的中点，点E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F． （1）求证：四边形GEHF是平行四边形； （2）当AB与BD满足条件 　时，四边形GEHF是矩形． 11、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1． （1）求BE和EC的长，并判断△BEC的形状； （2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并说明理由． （3）求四边形EFPH的面积． 12、如图，▱ABCD中，AC＝12cm，BD＝16cm，在对角线BD上，E，F两点分别从B，D点往终点D，B运动，它们的速度都是每秒1cm/s，且同时出发，同时停止，若它们运动时间为t． （1）当t≠8时，判断四边形AECF的形状，并说明你的结论． （2）当运动时间t为多少时，四边形AECF为矩形？ 13、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：四边形AEFD为平行四边形； （2）①当t＝　　s时，四边形AEFD为菱形； ②当t＝　　s时，四边形DEBF为矩形； 14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE． （1）求证：CE＝AD； （2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECF是正方形？（不必说明理由） 15、如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F． （1）求证：四边形AEDF是菱形； （2）当△ABC满足条件 　　时，四边形AEDF是正方形． 16、如图，正方形ABCD的边长为8cm，点E在AD边上，AE＝6cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C→D运动，设运动时间为t秒． （1）BE＝　　； （2）当点P在BE的垂直平分线上时，求t的值； （3）当t＝　　，PE平分∠BED，试猜想此时PB是否为∠EBC的角平分线，并说明理由． 17、课本上有一道习题：如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC上，AF与DE相交于点G，AF＝DE，求证：∠DGF＝90°． （1）请完成上题的证明过程； （2）如图2，在菱形ABCD中，点E在AB上，点F在射线BC上，AF与DE相交于点G，AF＝DE，求证：∠DGF＝∠B． 18、如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H．有2个选项：①AF⊥EG②AF＝EG． （1）请从2个选项中选择一个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明．你选择的条件是 　　，结论是 　　（只要填写序号）； （2）若AB＝6，BF＝2． ①若BE＝3，求AG的长； ②连结AG、EF，直接写出AG+EF的最小值． 19、如图，点E，F是▱ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB⊥BF，AB＝4，BF＝3，AC＝8． ①线段EF长为 　　． ②求四边形BEDF的面积． 20、如图，在△ABC的BC边的同侧分别作等边△ABD，等边△BCF和等边△ACE． （1）证明：△ABC≌△DBF； （2）证明：四边形AEFD是平行四边形； （3）若AB＝3，AC＝4，BC＝5，则∠DFE的度数为 　　°．（直接填空） 21、如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，E、A、D、C在同一直线上，AB、EF交于点M，DF、BC交于点N，连接MN，若∠B＝∠FMN，且EF⊥BC． （1）求证：AM＝DN； （2）在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出与∠F所有相等的角． 22、如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC的中点，连接DF，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD． （1）求证：四边形ADCE是平行四边形； （2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝，求AB的长． 23、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝10cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以lcm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）AP＝　　，CQ＝　　，（分别用含有t的式子表示）； （2）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t的值； （3）当四边形PQCD的面积为四边形ABCD面积的一半时，直接写出t的值． 24、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F． （1）求证：BF＝CD； （2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA＝60°，BE＝4，求平行四边形ABCD的周长． 25、如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，AB∥CD． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若BE平分∠ABC，交AD于E，BC﹣AB＝2，求DE长． （3）若∠AOB＝2∠ADB时，则平行四边形ABCD为　　形． 26、在▱ABCD中，点E在BA的延长线上，点F在DC的延长线上，连接BF、DE、EF，EF交AD于点G，交BC于点H，EG＝FH． （1）如图1，求证：四边形EBFD是平行四边形； （2）如图2，点A是BE的中点，请写出面积等于▱ABCD面积的一半的两个三角形和两个四边形． 27、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形． （2）当AD＝5，DC＝2时，求FG的长． 28、如图，在等边△ABC中，D、E两点分别在边BC、AC上，BD＝CE，以AD为边作等边△ADF，连接EF，CF． （1）求证：△CEF为等边三角形； （2）求证：四边形BDFE为平行四边形； （3）若AE＝2，EF＝4，求四边形BDFE的面积． 29、在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC的中点，E是AB的中点，作EF⊥BC于F，延长BC至G，使CG＝BF，连接CE、DE、DG． （1）如图1，求证：四边形CEDG是平行四边形； （2）如图2，连接EG交AC于点H，若EG⊥AB，请直接写出图2中所有长度等于CG的线段． 30、如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝8，AB＝CD，BD＝12，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C做匀速移动，两个点同时出发，当有一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．点G为BD上的一点，假设移动时间为t秒，BG的长度为y． （1）证明：AD∥BC； （2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和BG的长度y． 31、在等边△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，满足DE＝EF，且∠DEF＝60°．作点E关于AC的对称点G，连接CG，DG． （1）当点D，E，F在如图1所示的位置时，请在图1中补全图形，并证明四边形DBCG是平行四边形； （2）当AD＜BD，AB＝DE时，求∠BDE的度数． 32、如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF． （1）求证：四边形BFDE是平行四边形． （2）如果把条件AE＝CF改为BE⊥AC，DF⊥AC，试问四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？ （3）如果把条件AE＝CF改为BE＝DF，试问四边形BFDE还是平行四边形吗？为什么？ 33、已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AE并延长至点G，使EG＝AE，连接CF、CG． （1）如图1，求证：EG＝FC； （2）如图2，连接BG、OG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半． 34、如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE交BC于点F，连接AC、BE． （1）如图1，求证：AF＝EF； （2）连接BD交AC于点O，连接OF并延长交BE于点G，直接写出图中所有长度是OF二倍的线段． 35、如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，点E在CD的延长线上，连接BE交AD于点F，BE平分∠ABC，BC＝EC，作FG⊥BA延长线于点G． （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）若F为AD中点，EF＝6，BC＝2，求GF的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年人教版数学八年级下册压轴 专项十六：平行四边形压轴（解析版） 1、如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G是CD上的一点，连接DF、EG、AG． （1）若CF＝4，AE＝6，求BE的长； （2）若∠CEG＝∠AGE，那么： ①判断线段AG和EG的数量关系，并说明理由； ②求证：∠1＝∠2． 【分析】（1）先求出CD＝CE＝2CF＝8，再由平行四边形的性质得出AB＝CD＝8，然后由勾股定理即可得出答案； （2）①延长BC交AG的延长线于H，易证∠CEG＝∠CHG，再证∠AEG＝∠EAG，即可得出答案； ②由①得AG＝EG＝HG，再由AAS证得△ADG≌△HCG，得DG＝CG，则CF＝CG，然后由SAS证△CDF≌△CGE，即可得出结论． 【解答】（1）解：∵CE＝CD，点F为CE的中点，CF＝2， ∴CD＝CE＝2CF＝8， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝8， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝＝2； （2）①解：AG＝EG，理由如下： 延长BC交AG的延长线于H，如图所示： ∵∠CEG＝∠AGE，∠AGE＝∠CEG+∠CHG， ∴∠CEG＝∠CHG， ∵∠AEG+∠CEG＝90°，∠EAG+∠CHG＝90°， ∴∠AEG＝∠EAG， ∴AG＝EG； ②证明：由①得：∠CEG＝∠CHG，AG＝EG， ∴AG＝EG＝HG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BH， ∴∠DAG＝∠CHG，∠ADG＝∠HCG， 在△ADG和△HCG中， ， ∴△ADG≌△HCG（AAS）， ∴DG＝CG， ∴CG＝CD＝CE， ∵点F为CE的中点， ∴CF＝CE， ∴CF＝CG， 在△CDF和△CGE中， ， ∴△CDF≌△CGE（SAS）， ∴∠1＝∠2． 2、如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF． （1）求证：； （2）求证：EF＝CF； （3）若，设△BEC的面积为S1，△EFC的面积为S2，求的值．（用含a的代数式来表示） 【分析】（1）平行四边形的性质得AB＝CD，AD∥BC，由AD＝2AB，F是AD的中点得AD＝2CD＝2FD，所以CD＝FD，则∠DCF＝∠DFC＝∠BCF＝∠BCD； （2）延长CD、EF交于点G，由AB∥CD得∠A＝∠FDG，即可证明△AEF≌△DGF，得EF＝GF，而∠ECG＝∠BEC＝90°，则EF＝CF＝EG； （3）设AE＝m，则BE＝am，CD＝AB＝m+am，CG＝2m+am，所以S1＝am•CE，S2＝S△EGC＝（2m+am）CE，即可求得＝． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BC， ∵AD＝2AB，F是AD的中点， ∴AD＝2CD＝2FD， ∴CD＝FD， ∴∠DCF＝∠DFC， ∵∠DFC＝∠BCF， ∴∠DCF＝∠BCF＝∠BCD． （2）证明：如图，延长CD、EF交于点G， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠FDG， 在△AEF和△DGF中， ， ∴△AEF≌△DGF（ASA）， ∴EF＝GF， ∴CE⊥AB， ∴∠ECG＝∠BEC＝90°， ∴EF＝CF＝EG． （3）解：如图，设AE＝m， ∵， ∴BE＝am， ∴CD＝AB＝m+am， ∵△AEF≌△DGF， ∴DG＝AE＝m， ∴CG＝m+am+m＝2m+am， ∵S1＝S△BEC＝am•CE，S2＝S△EFC＝S△EGC＝×（2m+am）CE＝（2m+am）CE， ∴＝＝， ∴的值为． 3、如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，E是对角线BD上一点． （1）如图1，若E是线段BD的中点，且AB＝6，求AE的长度； （2）如图2，F是线段AB延长线上一点，且DE＝BF，连接AE，EF．求证：AE＝EF． 【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，证明△ABD是等边三角形，根据E是线段BD的中点，进而可以解决问题； （2）作EG∥AB交AD于点G，先证明△DGE是等边三角形，得DG＝DE＝GE，再证明△AGE≌△EBF，得AE＝EF． 【解答】（1）解：如图1，∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DAB＝∠C＝60°，AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD＝AB＝6， ∵E是线段BD的中点， ∴BE＝DE＝3， ∴AE＝BE＝3； （2）证明：如图2，作EG∥AB交AD于点G， ∵△DAB是等边三角形， ∴∠GDE＝60°，∠DGE＝∠DAB＝60°，∠DEG＝∠DBA＝60°， ∴△DGE是等边三角形， ∴DG＝DE＝GE， ∵BF＝DE， ∴GE＝BF， ∵AD＝BD， ∴AD﹣DG＝BD﹣DE， ∴AG＝EB， ∵∠AGE＝180°﹣∠DGE＝120°，∠EBF＝180°﹣∠DBA＝120°， ∴∠AGE＝∠EBF， 在△AGE和△EBF中， ， ∴△AGE≌△EBF（SAS）， ∴AE＝EF． 4、在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，点E的位置随点P位置的变化而变化，连接CE． （1）如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，求证：BD＝CE+PD； （2）如图②、图③，请分别写出线段BD，CE，PD之间的数量关系，不需证明． 【分析】（1）先判断出∠BAP＝∠CAE，进而判断出△BAP≌△CAE，得出BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，再判断出∠CAH+∠ACH＝90°，即可得出结论； （2）同（1）的方法即得出结论； 【解答】（1）证明：如图1，连接AC，延长CE交AD于H， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∠CAH＝60°， ∵△APE是等边三角形， ∴AP＝AE，∠PAE＝60°， ∵∠BAC＝∠PAE， ∴∠BAP＝∠CAE， ∴△BAP≌△CAE（SAS）， ∴BP＝CE， ∵BD＝BP+PD， ∴BD＝CE+PD； （2）解：如图2，BD＝CE+PD， 连接AC，AC与BD交于点O， ∴△ABC，△ACD为等边三角形， 在△ABP和△ACE中，AB＝AC，AP＝AE， 又∵∠BAP＝∠BAC+∠CAP＝60°+∠CAP， ∠CAE＝∠EAP+∠CAP＝60°+∠CAP， ∴∠BAP＝∠CAE， ∴△ABP≌△ACE（SAS）， ∴BP＝CE， ∵BD＝BP+PD， ∴BD＝CE+PD； 如图3，BD＝CE﹣PD， 连接AC，AC与BD交于点O， ∴△ABC，△ACD为等边三角形， 在△ABP和△ACE中，AB＝AC，AP＝AE， 又∵∠BAP＝∠BAD+∠DAP＝120°+∠DAP， ∠CAE＝∠CAD+∠DAP+∠PAE＝120°+∠DAP， ∴∠BAP＝∠CAE， ∴△ABP≌△ACE（SAS）， ∴BP＝CE， ∵BD＝BP﹣PD， ∴BD＝CE﹣PD． 5、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M是BD上任意一点，连接AM并延长至点N，使AM＝MN，交BC于H，连接CN、BN． （1）求证：OM∥CN． （2）连接CM，若AD⊥AN，且AC＝AB，求证：四边形BNCM是菱形． 【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，再证OM是△ACN的中位线，即可得出结论； （2）证△MBH≌△NCH（ASA），得MH＝NH，再证四边形BNCM是平行四边形，然后由菱形的判定定理即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵AM＝MN， ∴OM是△ACN的中位线， ∴OM∥CN； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵AD⊥AN， ∴BC⊥AN， ∵AB＝AC， ∴BH＝CH， 由（1）可知，OM∥CN， ∴∠MBH＝∠NCH， 在△MBH和△NCH中， ， ∴△MBH≌△NCH（ASA）， ∴MH＝NH， ∴四边形BNCM是平行四边形， 又∵BC⊥MN， ∴平行四边形BNCM是菱形． 6、已知点E是平行四边形ABCD边CD上的一点（不与点C，D重合）． （1）如图1，当点E运动到CD的中点时，连接AE、BE，若AE平分∠BAD，证明：CE＝CB． （2）如图2，过点E作EF⊥DC交直线CB于点F，连接AF．若∠ABC＝120°，BC＝2．封AB＝4．在线段CF上是否存在一点H．使得四边形AFHD为菱形？若存在，请求出ED，CH的长；若不存在，请简单地说明理由． 【分析】（1）先根据平行四边形的性质证得∠DEA＝∠BAE，再根据角平分线的性质证得∠DAE＝∠DEA，得出AD＝DE，根据E是CD的中点得出AE＝CE，进而得出CE＝CB，结论得证． （2）当DH⊥CF且CE＝1+时，四边形AFHD为菱形，先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFHD是平行四边形，再证明AD＝DH证得平行四边形AFHD是菱形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD＝BC， ∴∠DEA＝∠BAE， 又∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴AD＝DE， 又∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， ∴CE＝CB； （2）解：存在，当DH⊥CF且CE＝1+时，四边形AFHD为菱形， 理由如下：过点D作DH⊥CF于H，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝2，∠ABC＝∠ADC＝120°， ∴∠BAD＝∠BCD＝60°， ∵CE＝1+， ∴DE＝CD﹣CE＝4﹣（1﹣）＝3﹣， 在Rt△CHD中，∠CHD＝90°，∠DCH＝60°， ∴∠CDH＝30°， ∴CH＝CD＝2， ∴DH＝， ∴AD＝DH， 在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，∠ECF＝60°， ∴∠CFE＝30°， ∴CF＝2CE＝2（1+）＝2+2， ∴FH＝CF﹣CH＝2+2﹣2＝2 ∴AD＝FH， 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，点F在CB的延长线上， ∴AD∥FH， ∴四边形AFHD是平行四边形， 又∵AD＝DH， ∴平行四边形AFHD是菱形． 7、如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B出发以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O出发以2cm/s的速度向点D运动． （1）若点E，F同时运动，设运动时间为ts，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形？ （2）在（1）的条件下，当AB为何值时，平行四边形AECF是菱形？ 【分析】（1）若是平行四边形，所以BD＝12cm，则B0＝DO＝6cm，故有6﹣1t＝2t，即可求得t值； （2）由菱形的性质得AC⊥EF，再由勾股定理求出AB的长即可． 【解答】解：（1）若四边形AECF为平行四边形， 则OA＝OC，OE＝OF， ∵四边形ABCD为平行四边形，BD＝12cm，AC＝6cm， ∴BO＝OD＝6cm，OA＝OC＝3cm， ∴OE＝（6﹣t）cm，OF＝2tcm， ∴6﹣t＝2t， ∴t＝2， ∴当t为2时，四边形AECF是平行四边形； （2）若四边形AECF是菱形， 则AC⊥EF， ∴AO2+BO2＝AB2， ∴AB＝＝3（cm）， ∴当AB为3cm时，▱AECF是菱形． 8、已知，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，BP． （1）如图1，当CF＝2BE＝2时，试说明△DEF是直角三角形； （2）如图2，若点E是边AB的中点，DE平分∠ADF，求BF的长． 【分析】（1）在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝62+72＝85，在Rt△DCF中，DF2＝DC2+CF2＝82+22＝68，在Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2＝12+42＝17，得出DF2+EF2＝DE2，即可得出结论； （2）作EH⊥DF于H，则∠A＝∠DHE＝90°，证明△AED≌△HED（AAS），得出DA＝DH＝6，EA＝EH＝4，得出EH＝EB＝4，证明Rt△EHF≌Rt△EBF（HL），得出BF＝HF．设BF＝x，则HF＝x，CF＝6﹣x，得出DF＝DH+HF＝6+x，在Rt△CDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】（1）证明；∵CF＝2BE＝2， ∴BE＝1， ∴AE＝AB﹣BE＝7． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝6， 在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝62+72＝85， 在Rt△DCF中，DF2＝DC2+CF2＝82+22＝68， 在Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2＝12+42＝17， ∴DF2+EF2＝DE2， ∴△DEF是直角三角形，且∠DFE＝90°； （2）解：作EH⊥DF于H， 则∠A＝∠DHE＝90°． ∵DE平分∠ADF， ∴∠ADE＝∠HDE， 在△AED和△HED中， ， ∴△AED≌△HED（AAS）， ∴DA＝DH＝6，EA＝EH＝4， ∴EH＝EB＝4， 在Rt△EHF和Rt△EBF中， ， ∴Rt△EHF≌Rt△EBF（HL）， ∴BF＝HF． 设BF＝x，则HF＝x，CF＝6﹣x， ∴DF＝DH+HF＝6+x， 在Rt△CDF中，DC2+CF2＝DF2， ∴82+（6﹣x）2＝（6+x）2， ∴x＝， 即BF＝． 9、如图①，在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．直线EF分别交BA、DC的延长线于点G、H． （1）求证：四边形BHDG是平行四边形； （2）如图②，若四边形BHDG是菱形，且AB＝4，BC＝8，求CH的长． 【分析】（1）由“AAS”证△AGE≌△CHF，得AG＝CH，即可解决问题； （2）由菱形的性质得BH＝DH＝4+CH，再由勾股定理得BH2＝BC2+CH2，即（4+CH）2＝82+CH2，求解即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠AGE＝∠CHF，∠GAE＝∠HCF＝90°， 在△AGE和△CHF中， ， ∴△AGE≌△CHF（AAS）， ∴AG＝CH， ∴AB+AG＝CD+CH， 即BG＝DH， ∵AB∥CD ∴四边形BHDG是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝4， ∵四边形BHDG是菱形， ∴BH＝DH＝4+CH， 在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH2＝BC2+CH2， 即（4+CH）2＝82+CH2， 解得：CH＝6， 即CH的长为6． 10、已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点G、H分别是AD、BC的中点，点E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F． （1）求证：四边形GEHF是平行四边形； （2）当AB与BD满足条件 　时，四边形GEHF是矩形． 【分析】（1）由三角形中位线定理得GF∥OA，GF＝OA，同理EH∥OC，EH＝OC，再由平行四边形的性质得OA＝OC，则EH∥GF，EH＝GF，即可得出结论； （2）连接GH，由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，再证四边形ABHG是平行四边形，得AB＝GH，然后证GH＝EF，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵G，F分别为AD，DO的中点， ∴GF为△AOD的中位线， ∴GF∥OA，GF＝OA， 同理可得：EH∥OC，EH＝OC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∴EH∥GF，EH＝GF， ∴四边形GEHF是平行四边形； （2）解：当BD＝2AB时，四边形GEHF是矩形． 理由：如图，连接GH， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD， ∵G，H分别是AD，BC的中点， ∴AG＝BH，AG∥BH， ∴四边形ABHG是平行四边形， ∴AB＝GH， ∵E，F分别是BO，DO的中点， ∴BE＝OE＝OF＝DF， ∴BD＝2EF， ∵BD＝2AB， ∴EF＝AB， ∴GH＝EF， ∴平行四边形GEHF是矩形． 11、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1． （1）求BE和EC的长，并判断△BEC的形状； （2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并说明理由． （3）求四边形EFPH的面积． 【分析】（1）由勾股定理求出BE和EC的长，再由勾股定理的逆定理可得∠BEC＝90°，即可得出结论； （2）证四边形APCE、四边形DEBP均为平行四边形，得AP∥CE，BE∥PD，再证四边形EFPH为平行四边形，即可得出结论； （3）利用勾股定理分别求解EP，PH的长，即可求出矩形EFPH的面积． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝5，CD＝AB＝2，∠BAD＝∠ADC＝90°， ∵DE＝BP＝1， ∴AE＝5﹣1＝4， 在Rt△ABE和Rt△DEC中，由勾股定理得：BE＝＝＝2，EC＝＝＝， △BEC为直角三角形，理由如下： ∵BE2＝AB2+AE2＝22+42＝20，CE2＝CD2+DE2＝22+12＝5，BC＝5， ∴BE2+CE2＝25＝BC2， ∴∠BEC＝90°， ∴△BEC为直角三角形； （2）四边形EFPH为矩形，理由如下： ∵AD∥BC，AD＝BC，ED＝BP＝1， ∴AE＝PC， ∴四边形APCE、四边形DEBP均为平行四边形， ∴AP∥CE，BE∥PD， ∴四边形EFPH为平行四边形， 由（1）可知，∠BEC＝90°， ∴平行四边形EFPH为矩形； （3）由（2）可知，四边形EFPH为矩形， ∴∠EHP＝∠EFP＝90°， ∴BE⊥AP，DP⊥EC， 在Rt△ABP中，AB＝2，BP＝1， ∴AP＝＝＝， ∴BH＝＝＝， ∴EH＝BE﹣BH＝2﹣＝， 在Rt△HBP中，由勾股定理得：PH＝＝＝， ∴S矩形EFPH＝EH•PH＝×＝． 12、如图，▱ABCD中，AC＝12cm，BD＝16cm，在对角线BD上，E，F两点分别从B，D点往终点D，B运动，它们的速度都是每秒1cm/s，且同时出发，同时停止，若它们运动时间为t． （1）当t≠8时，判断四边形AECF的形状，并说明你的结论． （2）当运动时间t为多少时，四边形AECF为矩形？ 【分析】（1）根据题意可得AO＝CO，EO＝FO，即可证四边形AECF是平行四边形； （2）由四边形AECF是矩形可得AC＝EF，可列方程可解t的值． 【解答】解：（1）四边形AECF是平行四边形 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO＝CO，BO＝EO ∵BE＝DF＝t ∴EO＝FO，AO＝CO ∴四边形AECF是平行四边形 （2）若四边形AECF是矩形 ∴AC＝EF ∴12＝16﹣2t或12＝2t﹣16 解得：t＝2或14 当t＝2或14时，四边形AECF为矩形． 13、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：四边形AEFD为平行四边形； （2）①当t＝　　s时，四边形AEFD为菱形； ②当t＝　　s时，四边形DEBF为矩形； 【分析】（1）由题意得∠BCA＝30°，CD＝4tcm，AE＝2tcm，再由含30°角的直角三角形的性质得DF＝DC＝2tcm，得到AE＝DF，然后证AE∥DF，即可得出结论； （2）①由AE＝AD，得四边形AEFD为菱形，得2t＝60﹣4t，进而求得t的值； ②∠EDF＝∠B＝∠DFB＝90°时，四边形DEBF为矩形，得到∠AED＝90°，再证AD＝2AE，得60﹣4t＝4t，即可得出结论． 【解答】（1）证明：由题意可知CD＝4tcm，AE＝2tcm， ∵∠B＝90°，∠A＝60°， ∴∠C＝30°， ∴DF＝DC＝2tcm． ∵AE＝2tcm，DF＝2tcm， ∴AE＝DF． 又∵DF⊥BC，AB⊥BC， ∴AE∥DF， ∴四边形AEFD为平行四边形． （2）解：①∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF． ∵AE＝DF，AE∥DF， ∴四边形AEFD为平行四边形， ∴要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE＝AD， 即2t＝60﹣4t， 解得t＝10， ∴当t＝10时，四边形AEFD为菱形， 故答案为：10． ②要使四边形DEBF为矩形，则∠EDF＝∠B＝∠DFB＝90°， ∴∠DEB＝90°， ∴∠AED＝90°． ∵∠AED＝90°，∠A＝60°， ∴∠ADE＝30°， ∴AD＝2AE， 即60﹣4t＝4t， 解得t＝． 即当t＝时，四边形DEBF为矩形， 故答案为：． 14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE． （1）求证：CE＝AD； （2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECF是正方形？（不必说明理由） 【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可； （2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可； （3）当∠A＝45°，四边形BECD是正方形． 【解答】（1）证明：∵DE⊥BC， ∴∠DFB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠DFB， ∴AC∥DE， ∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴CE＝AD； （2）解：四边形BECD是菱形， 理由是：∵D为AB中点， ∴AD＝BD， ∵CE＝AD， ∴BD＝CE， ∵BD∥CE， ∴四边形BECD是平行四边形， ∵∠ACB＝90°，D为AB中点， ∴CD＝BD， ∴四边形BECD是菱形； （3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形， 理由：∵∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝45°， 由（2）可知，四边形BECD是菱形， ∴∠ABC＝∠CBE＝45°， ∴∠DBE＝90°， ∴四边形BECD是正方形． 15、如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F． （1）求证：四边形AEDF是菱形； （2）当△ABC满足条件 　　时，四边形AEDF是正方形． 【分析】（1）先证四边形AEDF是平行四边形，再证EA＝ED，即可得出结论； （2）根据有一个角是直角的菱形是正方形可得∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠FAD， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴EA＝ED， ∴平行四边形AEDF为菱形； （2）在△ABC中，当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形， ∵∠BAC＝90°， ∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． 故答案为：∠BAC＝90°． 16、如图，正方形ABCD的边长为8cm，点E在AD边上，AE＝6cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C→D运动，设运动时间为t秒． （1）BE＝　　； （2）当点P在BE的垂直平分线上时，求t的值； （3）当t＝　　，PE平分∠BED，试猜想此时PB是否为∠EBC的角平分线，并说明理由． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）如图1中，设BE的垂直平分线交AB于点P，交CD于点P′，连接PE．过点P′作P′T⊥AB于点T．由题意PB＝PE＝8﹣t，利用勾股定理求出t，再证明PT＝AE＝6cm，求出BT，可得结论； （3）结论：PB是∠EBC的角平分线．如图2中，连接PB，过点P作PK⊥BE于点K．利用全等三角形的性质证明PD＝PK＝PC，可得结论． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝90°， ∴BE＝＝＝10（cm）， 故答案为：10cm； （2）如图1中，设BE的垂直平分线交AB于点P，交CD于点P′，连接PE．过点P′作P′T⊥AB于点T． 由题意PB＝PE＝8﹣t， 在Rt△APE中，则有t2+62＝（8﹣t）2， ∴t＝． ∵∠C＝∠CBT＝∠BTP′＝90°， ∴四边形CBTP′是矩形， ∴CP′＝BT，P′T＝BC＝AB， ∵∠A＝∠P′TB＝90°，∠ABE+∠TPP′＝90°，∠P′PT+∠PP′T＝90°， ∴∠ABE＝∠PP′T， ∴△P′TP≌△BAE（AAS）， ∴PT＝AE＝6cm， ∴BT＝AB﹣AP﹣PT＝8﹣﹣6＝， ∴运动到P′时，t＝8+8+＝， 综上所述，满足条件的t的值为或． （3）结论：PB是∠EBC的角平分线． 理由：如图2中，连接PB，过点P作PK⊥BE于点K． ∵PE平分∠BED，PK⊥BE．PD⊥ED， ∴∠PED＝∠PEK，∠D＝∠PKE＝90°， ∵PE＝PE， ∴△PED≌△PEK（AAS）， ∴PD＝PK，ED＝EK＝2cm， ∵BE＝10cm， ∴BK＝8cm＝BC， ∵PB＝PB，∠C＝∠PKB＝90°， ∴△BPK≌△BPC（AAS）， ∴PK＝PC， ∴PD＝PC， ∵PK⊥BE，PC⊥BC， ∴∠PBK＝∠PBC， ∴PB平分∠EBC， ∵PD＝PC， ∴t＝8+8+4＝20． 故答案为：20． 17、课本上有一道习题：如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC上，AF与DE相交于点G，AF＝DE，求证：∠DGF＝90°． （1）请完成上题的证明过程； （2）如图2，在菱形ABCD中，点E在AB上，点F在射线BC上，AF与DE相交于点G，AF＝DE，求证：∠DGF＝∠B． 【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件证明Rt△DAE≌Rt△ABF，再通过证明∠ADE+∠DAF＝90°证明∠DGF＝90°； （2）作AH⊥BC于点H，EK⊥CD于点K，根据同一个菱形的高相等证明EK＝AH，再由AF＝DE证明Rt△EKD≌Rt△AHF得到∠EDC＝∠F，再推出∠DGF＝∠B． 【解答】（1）证明：如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝AB，∠DAE＝∠B＝90°， ∵AF＝DE， ∴Rt△DAE≌Rt△ABF（HL）， ∴∠ADE＝∠BAF， ∴∠ADE+∠DAF＝∠BAF+∠DAF＝∠DAB＝90°， ∴∠DGF＝∠ADE+∠DAF＝90°． （2）证明：如图2，作AH⊥BC于点H，EK⊥CD于点K，则∠EKD＝∠AHF＝90°， 设AF交CD于点R， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝DC， ∴S菱形ABCD＝EK•DC＝AH•BC， ∴EK＝AH， ∵AF＝DE， ∴Rt△EKD≌Rt△AHF（HL）， ∴∠EDC＝∠F， ∴∠DRF﹣∠EDC＝∠DRF﹣∠F， ∵∠DGF＝∠DRF﹣∠EDC，∠DCF＝∠DRF﹣∠F， ∴∠DGF＝∠DCF， ∵CD∥AB， ∴∠DCF＝∠B， ∴∠DGF＝∠B． 18、如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H．有2个选项：①AF⊥EG②AF＝EG． （1）请从2个选项中选择一个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明．你选择的条件是 　　，结论是 　　（只要填写序号）； （2）若AB＝6，BF＝2． ①若BE＝3，求AG的长； ②连结AG、EF，直接写出AG+EF的最小值． 【分析】（1）条件是①，结论是②．过点G作GP⊥AB交于P，证明△ABF≌△GPE（ASA）即可； （2）①在Rt△APG中，求出AP＝1，PG＝6，利用勾股定理得出AG＝； ②过点F作FQ∥EG，过点G作GQ∥EF，当A、G、Q三点共线时，AG+EF的值最小，证明△AFQ是等腰直角三角形，由勾股定理即可求AQ的值即为所求． 【解答】解：（1）（答案不唯一）选择的条件是①，结论是②．理由如下： 如图1，过点G作GP⊥AB交于P， ∵AH⊥EG， ∴∠AEH+∠DAH＝90°， ∵∠PEG+∠PGC＝90°， ∴∠EAH＝∠PGE． 在△ABF与△GPE中， ， ∴△ABF≌△GPE（ASA）， ∴AF＝EG． 故答案为：①，②（答案不唯一）； （2）①∵BF＝2， ∴PE＝2， ∵AB＝6，BE＝3， ∴AE＝3， ∴AP＝1， 在Rt△APG中，AP＝1，PG＝6， ∴AG＝＝； ②过点F作FQ∥EG，过点G作GQ∥EF， ∴四边形EFQG为平行四边形， ∴GQ＝EF， ∴AG+EF＝AG+GQ≥AQ， ∴当A、G、Q三点共线时，AG+EF的值最小， ∵EG＝AF，EG＝FQ， ∴AF＝FQ， ∵AF⊥EG， ∴AF⊥FQ， ∴△AFQ是等腰直角三角形， ∵AF＝＝2， ∴AQ＝4， ∴AG+EF的最小值为4． 19、如图，点E，F是▱ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB⊥BF，AB＝4，BF＝3，AC＝8． ①线段EF长为 　　． ②求四边形BEDF的面积． 【分析】（1）连接BD交AC于O．只要证明OE＝OF，OB＝OD即可； （2）①由勾股定理可求AF的长，即可求CF＝AE＝3，即可求解； ②由“SSS”可证△BEF≌△DFE，可得S△BEF＝S△DFE，即可求解． 【解答】（1）证明：连接BD交AC于O． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OE＝OF， ∵OB＝OD， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：①在Rt△ABF中，AF＝＝＝5， ∵AC＝8， ∴CF＝AC﹣AF＝8﹣5＝3， ∵AE＝CF， ∴EF＝AF﹣AE＝2， 故答案为：2； ②过点B作BH⊥AF于H， ∵AB⊥BF，AB＝4，BF＝3，AF＝5， ∴S△ABF＝AB•BF＝AF•BH， ∴3×4＝5BH，解得BH＝， ∵四边形BEDF是平行四边形， ∴BE＝DF，BF＝DE， 在△BEF和△DFE中， ， ∴△BEF≌△DFE（SSS）， ∴S△BEF＝S△DFE， ∴S四边形BEDF＝2S△BEF＝2××2×＝． 20、如图，在△ABC的BC边的同侧分别作等边△ABD，等边△BCF和等边△ACE． （1）证明：△ABC≌△DBF； （2）证明：四边形AEFD是平行四边形； （3）若AB＝3，AC＝4，BC＝5，则∠DFE的度数为 　　°．（直接填空） 【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB＝BD＝AD，CB＝CF＝FB，AC＝CE＝AE，∠CBF＝∠ABD＝60°，求出∠CBA＝∠FBD，即可证△ABC≌△DBF； （2）根据全等三角形的性质得DF＝AC＝AE，同理得出EF＝BA＝AD，即可得出结论； （3）根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，根据周角的定义得∠DAE＝360°﹣∠BAC﹣∠BAD﹣∠CAE＝150°，根据平行四边形的对角相等即可求解． 【解答】（1）证明：∵△ABD、△BCF是等边三角形， ∴AB＝AD＝BD，BC＝CF＝BF，∠CBF＝∠ABD＝60°， ∴∠CBA＝∠FBD＝60°﹣∠ABF， 在△ABC和△DBF中， ， ∴△ABC≌△DBF（SAS）； （2）解：∵△ABC≌△DBF（SAS）， ∴DF＝AC， ∵△ACE是等边三角形， ∴AC＝AE， ∴DF＝AC＝AE， 同理：EF＝BA＝AD， ∴四边形AEFD是平行四边形； （3）∵AB＝3，AC＝4，BC＝5， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°， ∵△ABD、△ACE是等边三角形， ∴∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠DAE＝360°﹣∠BAC﹣∠BAD﹣∠CAE＝150°， ∵四边形AEFD是平行四边形， ∴∠DFE＝∠DAE＝150°． 故答案为：150． 21、如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，E、A、D、C在同一直线上，AB、EF交于点M，DF、BC交于点N，连接MN，若∠B＝∠FMN，且EF⊥BC． （1）求证：AM＝DN； （2）在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出与∠F所有相等的角． 【分析】（1）设MF交BC于点G，根据三角形的内角和得出∠C＝∠MNB，则MN∥AD，根据垂直的定义得到∠BAC+∠EDF＝180°，则AM∥DN，即可判定四边形AMND是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得解； （2）结合（1）推出四边形AMND是矩形，根据矩形的性质、三角形内角和定理求解即可． 【解答】（1）证明：设MF交BC于点G， ∵EF⊥BC，∠BAC＝90°， ∴∠MGN＝90°＝∠BAC， ∵∠B＝∠FMN，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B，∠MNB＝180°﹣∠MGN﹣∠FMN， ∴∠C＝∠MNB， ∴MN∥AD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BAC＝∠EDF＝90°， ∴∠BAC+∠EDF＝180°， ∴AM∥DN （同旁内角互补，两直线平行）， ∴四边形AMND是平行四边形， ∴AM＝DN； （2）解：由（1）可得四边形AMND是平行四边形，AM∥DN，AD∥MN， ∵∠BAC＝90°， ∴四边形AMND是矩形， ∴∠BAC＝∠EDF＝∠NDC＝∠EAM＝∠MNF＝∠MGN＝∠NGF＝90°， ∵AM∥DN， ∴∠BMF＝∠F， ∵∠BMF＝∠EMA， ∴∠EMA＝∠F， ∵∠NGF＝∠NDC＝90°，∠DNC＝∠GNF， ∴∠C＝∠F， ∵AD∥MN， ∴∠C＝∠MNB， ∴∠MNB＝∠F． ∴∠BMF＝∠EMA＝∠C＝∠MNB＝∠F． 22、如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC的中点，连接DF，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD． （1）求证：四边形ADCE是平行四边形； （2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝，求AB的长． 【分析】（1）根据平行线的性质得∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED，由中点定义得AF＝CF，然后由全等三角形的判定与性质可得DF＝EF，最后根据平行四边形的判定可得结论； （2）过点C作CG⊥AB于点G，则∠AGC＝∠BGC＝90°，由勾股定理可得CG＝AG＝1，BG＝，再由线段的和关差关系可得答案． 【解答】（1）证明：∵CE∥AB， ∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED， ∵F是AC的中点， ∴AF＝CF， 在△AFD和△CEF中，∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠ACE，AF＝CF， ∴△AFD≌△CFE（AAS）， ∴DF＝EF， ∴四边形ADCE是平行四边形； （2）解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，则∠AGC＝∠BGC＝90°， 在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∠CAG＝45°，AC＝． ∴由勾股定理得CG＝AG＝1， 在Rt△BCG中，∠BGC＝90°，∠B＝30°，CG＝1， ∴BC＝2， ∴BG＝＝， ∴AB＝AG+BG＝+1． 23、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝10cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以lcm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）AP＝　　，CQ＝　　，（分别用含有t的式子表示）； （2）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t的值； （3）当四边形PQCD的面积为四边形ABCD面积的一半时，直接写出t的值． 【分析】（1）设运动时间为t秒，则AP＝tcm，CQ＝2tcm， （2）设t秒后四边形ABQP是平行四边形；根据题意得：AP＝tcm，CQ＝2tcm，由AP＝BQ得出方程，解方程即可；第二种情况：四边形DCQP是平行四边形，根据题意得：AP＝xcm，CQ＝2xcm，则PD＝（6﹣x）cm进而可得方程2x＝6﹣x，再解即可，再利用PD＝DQ得出答案． （3）AP＝tcm，CQ＝2tcm，则PD＝（6﹣t）cm，QB＝（10﹣2t）cm，四边形ABQP和PDCQ是同高，因此根据梯形面积公式可得6﹣t+2t＝t+10﹣2t，再解即可； 【解答】解：（1）∵点P以lcm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动， ∴设运动时间为t秒，则AP＝tcm，CQ＝2tcm， 故答案为：tcm；2tcm； （2）设t秒后四边形ABQP是平行四边形； 根据题意得：AP＝tcm，CQ＝2tcm， 则BQ＝（6﹣2t）cm； ∵AD∥BC， ∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形， ∴t＝10﹣2t， 解得：t＝， 即秒时四边形ABQP是构成平行四边形； 当四边形DCQP是平行四边形， 根据题意得：AP＝xcm，CQ＝2xcm， 则PD＝（6﹣x）cm； ∵AD∥BC， ∴当AP＝BQ时，四边形DCQP是平行四边形， ∴2x＝6﹣x， 解得：x＝2， 当PD＝BQ时， 10﹣2x＝6﹣x， 解得：x＝4， 因此2或或4秒时直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形； （3）设运动时间为t秒，则AP＝tcm，CQ＝2t， ∵AD＝6cm，BC＝10cm， ∴PD＝（6﹣t）cm，QB＝（10﹣2t）cm， 当四边形PDCQ的面积为四边形ABCD面积的一半时， 四边形ABQP和PDCQ的面积相等， 则6﹣t+2t＝t+10﹣2t， 解得：t＝2， 答：当四边形PDCQ的面积为四边形ABCD面积的一半时，则运动时间为2秒． 24、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F． （1）求证：BF＝CD； （2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA＝60°，BE＝4，求平行四边形ABCD的周长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AD∥BC，求出∠FAD＝∠AFB，根据角平分线定义得出∠FAD＝∠FAB，求出∠AFB＝∠FAB，即可得出答案； （2）求出△ABF为等边三角形，根据等边三角形的性质得出AF＝BF＝AB，∠ABF＝60°，在Rt△BEF中，∠BFA＝60°，BE＝4，解直角三角形求出EF＝4，BF＝8，AB＝BF＝8，BC＝AD＝4，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BC， ∴∠FAD＝∠AFB， 又∵AF平分∠BAD， ∴∠FAD＝∠FAB． ∴∠AFB＝∠FAB． ∴AB＝BF， ∴BF＝CD； （2）解：由（1）知：AB＝BF， 又∵∠BFA＝60°， ∴△ABF为等边三角形， ∴AF＝BF＝AB，∠ABF＝60°， ∵BE⊥AF， ∴点E是AF的中点． 在Rt△BEF中，∠BFA＝60°，BE＝4， ∴EF＝4，BF＝8， ∴AB＝BF＝8， ∵四边形BACD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD， ∴∠DCF＝∠ABC＝60°＝∠F， ∴CE＝EF， ∴△ECF是等边三角形， ∴CE＝EF＝CF＝4， ∴BC＝8﹣4＝4， ∴平行四边形ABCD的周长为8+8+4+4＝24． 25、如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，AB∥CD． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若BE平分∠ABC，交AD于E，BC﹣AB＝2，求DE长． （3）若∠AOB＝2∠ADB时，则平行四边形ABCD为　　形． 【分析】（1）运用ASA证明△ABO≌△CDO得AB＝CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证得结论； （2）根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE＝∠AEB，继而可得AB＝AE，然后根据已知可求得DE的长度； （3）由∠AOB＝2∠ADB可得∠OAD＝∠ADO，由平行四边形的性质可得AC＝BD，从而可得结论． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠BAO＝∠DCO， 在△ABO和△DCO中， ， ∴△ABO≌△DCO（ASA）， ∴AB＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AE∥BC，AD＝BC， ∴∠AEB＝∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∴DE＝AD﹣AE＝BC﹣AB， ∵BC﹣AB＝2， ∴DE＝2； （3）∵∠AOB是△ADO的外角， ∴∠AOB＝∠OAD+∠ODA， ∵∠AOB＝2∠ADB， ∠OAD＝∠ODA， ∴AO＝DO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，DO＝BO， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． 故答案为：矩． 26、在▱ABCD中，点E在BA的延长线上，点F在DC的延长线上，连接BF、DE、EF，EF交AD于点G，交BC于点H，EG＝FH． （1）如图1，求证：四边形EBFD是平行四边形； （2）如图2，点A是BE的中点，请写出面积等于▱ABCD面积的一半的两个三角形和两个四边形． 【分析】（1）证△BEH≌△DFG（AAS），得BE＝DF，即可得出结论； （2）连接BD，交EF于点O，由平行四边形的性质得S△ABD＝S△CBD＝S平行四边形ABCD，S△BCF＝S△CBD＝S平行四边形ABCD，再证△ODG≌△OBH（SAS），得S△ODG＝S△OBH，则S四边形ABHG＝S四边形CDGH＝S平行四边形ABCD． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠CDA，AB∥CD， ∴∠BEH＝∠DFG， ∵EG＝FH， ∴EG+GH＝FH+GH， 即EH＝FG， 在△BEH和△DFG中， ， ∴△BEH≌△DFG（AAS）， ∴BE＝DF， 又∵BE∥DF， ∴四边形EBFD是平行四边形； （2）解：如图，连接BD，交EF于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴S△ABD＝S△CBD＝S平行四边形ABCD， 由（1）可知，四边形EBFD是平行四边形， ∴BE＝DF，OB＝OD，OE＝OF， ∵点A是BE的中点， ∴AB＝AE，S△ADE＝S△ABD＝S平行四边形ABCD， ∵AB＝CD， ∴AE＝CF， ∴CD＝CF， ∴S△BCF＝S△CBD＝S平行四边形ABCD， ∵EG＝FH， ∴OG＝OH， 在△ODG和△OBH中， ， ∴△ODG≌△OBH（SAS）， ∴S△ODG＝S△OBH， ∴S四边形ABHG＝S四边形CDGH＝S平行四边形ABCD， 综上所述，面积等于▱ABCD面积的一半的两个三角形为△ADE和△BCF，两个四边形为四边形ABHG和四边形CDGH． 27、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形． （2）当AD＝5，DC＝2时，求FG的长． 【分析】（1）由三角形中位线定理得EF∥BC，则∠EFO＝∠GDO，再证△OEF≌△OGD（ASA），得EF＝GD，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理得AC＝，然后由直角三角形斜边上的中线性质得DE＝AC＝，进而由平行四边形的性质即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵E，F分别是AC，AB的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC， ∴∠EFO＝∠GDO， ∵O是DF的中点， ∴OF＝OD， 在△OEF和△OGD中， ， ∴△OEF≌△OGD（ASA）， ∴EF＝GD， ∴四边形DEFG是平行四边形； （2）解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵E是AC的中点， ∴DE＝AC， 在Rt△ACD中，AD＝5，DC＝2， ∴AC＝＝＝， ∴DE＝AC＝， 由（1）可知，四边形DEFG是平行四边形， ∴FG＝DE＝． 28、如图，在等边△ABC中，D、E两点分别在边BC、AC上，BD＝CE，以AD为边作等边△ADF，连接EF，CF． （1）求证：△CEF为等边三角形； （2）求证：四边形BDFE为平行四边形； （3）若AE＝2，EF＝4，求四边形BDFE的面积． 【分析】（1）证△BAD≌△CAF（SAS），得∠ACF＝∠ABD＝60°，BD＝CF，再证CF＝CE，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质得∠CEF＝60°，EF＝CE，再证EF∥BD，然后证EF＝BD，即可得出结论； （3）过E作EG⊥BC于G，由（2）可知，CE＝EF＝4，则AC＝6，再由等边三角形的性质得BC＝AC＝6，∠ACB＝60°，然后证CG＝CE＝2，则EG＝2，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°， ∵△ADF是等边三角形， ∴AD＝AF，∠DAF＝60°， ∴∠BAC＝∠DAF＝∠ACB＝60°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAF﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAF， 在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴∠ACF＝∠ABD＝60°，BD＝CF， ∵BD＝CE， ∴CF＝CE， ∴△CEF是等边三角形； （2）证明：由（1）可知，△CEF是等边三角形， ∴∠CEF＝60°，EF＝CE， ∴∠CEF＝∠ACB＝60°， ∴EF∥BD， ∵BD＝CE， ∴EF＝BD， ∴四边形BDFE是平行四边形； （3）解：如图，过E作EG⊥BC于G，则∠EGC＝90°， 由（2）可知，CE＝EF＝4， ∴AC＝AE+CE＝2+4＝6， ∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC＝6，∠ACB＝60°， ∴∠CEG＝90°﹣∠ACB＝30°， ∴CG＝CE＝2， ∴EG＝＝＝2， ∵四边形BDFE为平行四边形， ∴BD＝EF＝4， ∴S平行四边形BDFE＝BD•EG＝4×2＝8． 29、在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC的中点，E是AB的中点，作EF⊥BC于F，延长BC至G，使CG＝BF，连接CE、DE、DG． （1）如图1，求证：四边形CEDG是平行四边形； （2）如图2，连接EG交AC于点H，若EG⊥AB，请直接写出图2中所有长度等于CG的线段． 【分析】（1）欲证明四边形CEDG是平行四边形，只要证明DE∥CG，DE＝CG即可． （2）由四边形四边形CEDG是平行四边形，推出DH＝CH，GH＝HE，设DH＝CH＝a，则AD＝CD＝2a，由∠A＝∠A，∠AEH＝∠ADE＝90°，推出△ADE∽△AEH，推出AE2＝AD•AH＝2a•3a＝6a2，推出AE＝a，根据勾股定理推出HE＝a，CG＝a，推出AE＝CG，因为AE＝EB＝CE＝GD，即可得解． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AE＝EB， ∴EC＝EA＝EB， ∵EF⊥BC， ∴CF＝FB， ∵AD＝DC，AE＝EB， ∴DE∥BC，DE＝BC＝BF， ∵CG＝BF， ∴DE＝CG，DE∥CG， ∴四边形四边形CEDG是平行四边形； （2）解：如图2中， ∵四边形四边形CEDG是平行四边形， ∴DH＝CH，GH＝HE，设DH＝CH＝a，则AD＝CD＝2a， ∵∠A＝∠A，∠AEH＝∠ADE＝90°， ∴△ADE∽△AEH， ∴＝， ∴AE2＝AD•AH＝2a•3a＝6a2， ∴AE＝a， 在Rt△AEH中，HE＝＝＝a， ∴GH＝HE＝a， ∴CG＝＝＝a， ∴AE＝CG， ∵AE＝EB＝CE＝GD， ∴所有长度等于CG的线段是AE、EB、EC、GD． 30、如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝8，AB＝CD，BD＝12，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C做匀速移动，两个点同时出发，当有一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．点G为BD上的一点，假设移动时间为t秒，BG的长度为y． （1）证明：AD∥BC； （2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和BG的长度y． 【分析】（1）利用平行四边形得判定和性质证明； （2）利用全等三角形的判定求解． 【解答】解：（1）∵AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC； （2）BG＝y，DE＝t， 当0≤t≤时，CF＝3t，则BF＝8﹣3t， ∵AD∥BC， ∴∠DBC＝∠ADB， 若△DEG与△BFG全等， 则BF＝DE且BG＝DG，或者BF＝DG且BG＝DE， 即：或， 解得：或（不合题意，舍去）， 当＜t≤时，则BF＝3t﹣8， 若△DEG与△BFG全等， 则BF＝DE且BG＝DG，或者BF＝DG且BG＝DE， 即：或， 解得：或， 所以△DEG与△BFG全等的情况出现了三次， 第一次是2秒时，y＝6， 第二次是4秒时，y＝6， 第三次是5秒时，y＝5． 31、在等边△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，满足DE＝EF，且∠DEF＝60°．作点E关于AC的对称点G，连接CG，DG． （1）当点D，E，F在如图1所示的位置时，请在图1中补全图形，并证明四边形DBCG是平行四边形； （2）当AD＜BD，AB＝DE时，求∠BDE的度数． 【分析】（1）根据题意即可补全图形；然后证明△BDE≌△CEF可得CE＝BD，进而可以解决问题； （2）根据题意证明△DEF是等边三角形，可得DE＝DF，由点E，点G关于AC对称，可得EF＝GF，∠FEC＝∠FGC，所以DF＝GF，进而可以解决问题． 【解答】解：（1）如图1，即为补全的图形， 证明：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°， ∵点E，点G关于AC对称， ∴∠ACG＝∠ACB＝60°，CE＝CG， ∴∠A＝∠ACG， ∴AB∥CG， 即BD∥CG， ∵∠DEF＝60°，∠BED+∠CEF+∠DEF＝180°， ∴∠BED+∠CEF＝120°， 在△BDE中， ∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝120°， ∴∠BDE＝∠CEF， 在△BDE与△CEF中， ， ∴△BDE≌△CEF（AAS）， ∴CE＝BD， ∴CG＝CE＝BD， ∵BD∥CG， ∴四边形DBCG是平行四边形； （2）∵四边形DBCG是平行四边形， ∴BC＝DG，∠DGC＝∠B＝60°， ∵BC＝AB，AB＝DE， ∴DG＝DE， ∵DE＝EF，∠DEF＝60°， ∴△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF， ∵点E，点G关于AC对称， ∴EF＝GF，∠FEC＝∠FGC， ∴DF＝GF， ∴DG＝DF＝GF， 在△DFG中，DG2＝DF2+GF2， ∴∠DFG＝90°， ∵DF＝GF， ∴∠FDG＝∠FGD＝45°， ∴∠CGF＝∠CGD﹣∠FGD＝15°， ∴∠BDE＝∠CEF＝∠CGF＝15°． 32、如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF． （1）求证：四边形BFDE是平行四边形． （2）如果把条件AE＝CF改为BE⊥AC，DF⊥AC，试问四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？ （3）如果把条件AE＝CF改为BE＝DF，试问四边形BFDE还是平行四边形吗？为什么？ 【分析】（1）方法一：证明△BAE≌△DCF，推出BE＝DF，BE∥DF即可．方法二：连接BD，交AC于点O．只要证明OE＝OF，OB＝OD即可； （2）是平行四边形．只要证明△BAE≌△DCF即可解决问题； （3）四边形BFDE不是平行四边形．因为把条件AE＝CF改为BE＝DF后，不能证明△BAE与△DCF全等； 【解答】（1）证法一：∵ABCD是平行四边形 ∴AB＝CD 且AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等） ∴∠BAE＝∠DCF 又∵AE＝CF ∴△BAE≌△DCF（SAS） ∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD ∴∠BEF＝180°﹣∠AEB∠DFE＝180°﹣∠CFD 即：∠BEF＝∠DFE ∴BE∥DF，而BE＝DF ∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 证法二：连接BD，交AC于点O． ∵ABCD是平行四边形 ∴OA＝OC OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分） 又∵AE＝CF ∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF ∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） （2）四边形BFDE是平行四边形 ∵ABCD是平行四边形 ∴AB＝CD 且AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等） ∴∠BAE＝∠DCF ∵BE⊥AC，DF⊥AC ∴∠BEA＝∠DFC＝90°，BE∥DF ∴△BAE≌△DCF（AAS） ∴BE＝DF ∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） （3）四边形BFDE不是平行四边形 因为把条件AE＝CF改为BE＝DF后，不能证明△BAE与△DCF全等． 33、已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AE并延长至点G，使EG＝AE，连接CF、CG． （1）如图1，求证：EG＝FC； （2）如图2，连接BG、OG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，由平行线的性质得∠ABE＝∠CDF，易证BE＝DF，由SAS证得△ABE≌△CDF（SAS），得出AE＝FC，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得OA＝OC，AB∥CD，AB＝CD，S四边形ABCD＝4S△ABO，易证AG、OB互相平分，则四边形ABGO是平行四边形，S四边形ABGO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，易证OE是△ACG的中位线，则OE∥CG，易证四边形BOCG是平行四边形，S四边形BGCO＝2S△BGO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，证GO∥CD，GO＝CD，则四边形CDOG是平行四边形，S四边形CDOG＝2S△CDO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，证CG∥EF，EF＝CG，则四边形EFCG是平行四边形，S四边形EFCG＝S四边形CDOG＝S四边形ABCD． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴BE＝OB，DF＝OD， ∴BE＝DF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝FC， ∵EG＝AE， ∴EG＝FC； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AB∥CD，AB＝CD，S四边形ABCD＝4S△ABO， ∵EG＝AE，点E为OB的中点， ∴AG、OB互相平分， ∴四边形ABGO是平行四边形， ∴S△ABO＝S△BGO， ∴S四边形ABGO＝2S△ABO＝S四边形ABCD， ∵OA＝OC，EG＝AE， ∴OE是△ACG的中位线， ∴OE∥CG， ∵四边形ABGO是平行四边形， ∴BG∥AC， ∴四边形BOCG是平行四边形， ∴S四边形BGCO＝2S△BGO＝2S△ABO＝S四边形ABCD， ∵四边形ABGO是平行四边形， ∴GO∥AB，GO＝AB， ∵AB∥CD， ∴GO∥CD，GO＝CD， ∴四边形CDOG是平行四边形， ∴S四边形CDOG＝2S△CDO＝2S△ABO＝S四边形ABCD， ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴EF＝BD＝OD， ∵四边形CDOG是平行四边形， ∴CG∥EF，CG＝OD， ∴EF＝CG， ∴四边形EFCG是平行四边形， ∴S四边形EFCG＝S四边形CDOG＝S四边形ABCD， ∴图中的平行四边形ABGO、平行四边形BOCG、平行四边形CDOG、平行四边形EFCG四个平行四边形，每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半． 34、如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE交BC于点F，连接AC、BE． （1）如图1，求证：AF＝EF； （2）连接BD交AC于点O，连接OF并延长交BE于点G，直接写出图中所有长度是OF二倍的线段． 【分析】（1）由AB∥CD可以得到∠BAF＝∠E，∠ABF＝∠ECF，再利用DC＝CE即可证明△ABF≌△ECF，便可得结论； （2）证明OF是△ACE的中位线，得CE＝2OF，进而得AB＝CD＝CE＝2OF，再证明四边形OGEC为平行四边形得OG＝2OF． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD． 又∵DC＝CE， ∴AB＝CE． ∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠E，∠ABF＝∠ECF． ∴△ABF≌△ECF（ASA）， ∴AF＝EF； （2）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OB＝OD， ∵AF＝CF， ∴OF是△ACE的中位线， ∴OF∥CE，CE＝2OF， ∵AB＝CD＝CE， ∴AB＝CD＝CE＝2OF， ∵AB∥CE，AB＝CE， ∴四边形ABEC为平行四边形， ∴AC∥BE， ∵OF∥CE， ∴四边形OGEC为平行四边形， ∴OG＝CE＝2OF， 故图中长度是OF二倍的线段有AB，CD，CE，OG． 35、如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，点E在CD的延长线上，连接BE交AD于点F，BE平分∠ABC，BC＝EC，作FG⊥BA延长线于点G． （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）若F为AD中点，EF＝6，BC＝2，求GF的长． 【分析】（1）证∠ABF＝∠E，得AB∥CD，由AB＝CD，即可得出四边形ABCD为平行四边形； （2）由平行四边形的性质得AD＝BC＝2，证△ABF≌△DEF（AAS），得BF＝EF＝6，AB＝DE，则AB＝CD＝DE＝CE＝BC＝，由勾股定理得GF2＝AF2﹣AG2＝BF2﹣BG2，得AG＝，由勾股定理即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，BC＝EC， ∴∠ABF＝∠CBE，∠CBE＝∠E， ∴∠ABF＝∠E， ∴AB∥CD， 又∵AB＝CD， ∴四边形ABCD为平行四边形； （2）解：由（1）得：四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC＝2， ∵F为AD中点， ∴AF＝DF＝， 在△ABF和△DEF中，， ∴△ABF≌△DEF（AAS）， ∴BF＝EF＝6，AB＝DE， ∵AB＝CD， ∴AB＝CD＝DE＝CE＝BC＝， ∵FG⊥AB， ∴∠G＝90°， ∴GF2＝AF2﹣AG2＝BF2﹣BG2， 即（）2﹣AG2＝62﹣（+AG）2， 解得：AG＝， ∴GF＝＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$