第2章 等式与不等式（数学思想方法+高考真题精讲+过关检测）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第一册）

第2章等式与不等式（数学思想方法+高考真题精讲+过关检测） 知识点01.等式的性质与方程的解 1.等式的性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，，那么；、 （2）加法性质 设、、均为实数，如果，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数，如果，那么； 还可以“验证”与“推广”得性质与推论： （4）如果，那么； （5）如果，那么； （6）如果，，那么； 【注意】等式性质成立的条件，特别是性质（6）中的“”； 2.恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等； 【注意】在解方程与解不等式时，如何保证“恒等变形”； 3.方程的解集 （1）含有未知数的等式称为方程； （2）使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根； （3）以方程的所有解为元素组成的集合，称为方程的解集； 【注意】一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集；方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值；一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集；利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集。 知识点02 一元二次方程的解集及根与系数的关系 1.通过判别式∆判定一元二次方程）解的情况； 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当Δ>0时，方程的解集为； （2）当Δ＝0时，方程的解集为； （3）当Δ<0时，方程的解集为； 2.一元二次方程根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根， 则原方程可改写为，展开得：， 与原方程比较可知对应系数应该相等，即，所以； 【注意】应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形： ①；②； ③； 知识点03 不等式的性质 1.作差比较法 不等式：用不等号将两个表达式连接起来 （1）文字叙述：如果是正数，那么；如果等于零，那么； 如果是负数，那么，反过来也对； （2）符号表示：；；； 【注意】符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推； 2.不等式性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，那么； （2）加法性质 设、、均为实数，如果a>b，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数， 如果，那么；如果，那么； （4）性质 设、均为实数，如果那么a； （5）性质 设、、均为实数，如果，则a>c－b； (不等式的移项法则) （6）性质 设、、、均为实数，如果，，那么； (同向可加性) （7）性质 设均为实数，如果，，那么； （8）性质 设、均为实数，如果，那么； （9）性质 设、均为实数，如果，那么 【注意】（1）性质（5）表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边； （2）性质（6）表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向； （3）性质（8）表明， n个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向； 3.不等式性质（定理） 1、有关不等式的“定理” 对任意的实数a和b，总有a2＋b2≥2ab，且等号当且仅当a＝b时成立； 2、有关不等式的“定理”的拓展 （1）算术平均值与几何平均值：给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值； （2）均值不等式：如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立； 【注意】1、两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的；前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)；2、两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”。 知识点04. 不等式的解集与不等式组的解集 1、在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解. 2、一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集； 3、一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集； 4、求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式； 5、将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组. 6、对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集； 【注意】若不等式中所含不等式解集的交集为时，则不等式组的解集为； 知识点05.一元二次不等式 1、一元二次不等式的概念 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； 【注意】一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等，即：一元二次不等式的一般形式 （1）ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；（2）ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；（3）ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；（4）ax2＋bx＋c≤0(a≠0)； 都是一元二次不等式； 2、用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2， 则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)； 3、用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 4.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系。 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(不妨设x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像 5.一元二次不等式在求解时应当注意事项 （1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正； （2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； （3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； （4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； （5）写解集：根据图象写出不等式的解集。 知识点06分式不等式的解法 1、分式不等式的定义： 分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。 只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。 即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式。 分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的。 2、分式不等式的解法： 基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。 基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：；； ；； 知识点07.简单绝对值不等式的解法 1、绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式； （2）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为|AB|＝|a－b|，线段AB的中点M对应的数x＝． 【注意】（1）求线段AB的长|AB|时，不要忽视绝对值；（2）线段AB的中点坐标与A、B两点的顺序无关。 2、含绝对值不等式的解法 （1）通法：根据绝对值的代数意义，对绝对值内的数（式）的符号分类讨论去绝对值； 关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何含义；②两边平方；③分段讨论。 （2）根据绝对值的几何意义，将绝对值转化为数轴上的距离，进而去绝对值或求最值； （3）不等式两边均恒为非负数时，可以通过平方法去绝对值. 【注意】去绝对值符号，化绝对值不等式为整式不等式时要保持同解性。 3、常见绝对值不等式的解法与结论： ①几个基本不等式的解集 （1）|x|<a(a>0)⇔x2<a2⇔-a<x<a；（2）|x|>a(a>0)⇔x2>a2⇔x>a,或x<-a; （3）|x-m|<a(a>0)⇔-a<x-m<a⇔m-a<x<a+m；（4）|x-m|>a(a>0)⇔x-m>a,或x-m<-a⇔x>m+a,或x<m-a. ②几种主要的基本类型 （1）|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x)(平方法)；（2）|f(x)|>g(x)(g(x)>0)⇔f(x)>g(x),或f(x)<-g(x); （3）|f(x)|<g(x)(g(x)>0)⇔-g(x)<f(x)<g(x);　 （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解. 知识点08.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 知识点09平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 【注意】（1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a≥0，b≥0即可）； （2） 两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； （3）几个重要的不等式的变形 ①(a、b∈R)．；②(a、b同号)；③(a、b∈R)． 知识点10.平均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值； （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2； 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 知识点11.三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 证明：定理 对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 【证明】（方法1：分析法）为证明，只需证明， 即，也就是，所以，等号当且仅当时成立； （方法2） 由①与②两式相加就有③， 将（）看作一个整体时，上面的③式逆用，即可证明； 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即，等号成立的条件； 方法2：将取成代入定理。 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即； 方法2：将取成代入定理。 题型一：函数与方程思想 1．（2021秋•大东区校级月考）已知关于的不等式的解集为或． （1）求，的值； （2）当，，且满足时，不等式有解，求的取值范围． 2．（2023秋•普陀区校级期中）已知关于的不等式的解集为或． （1）求，的值； （2）当，且满足时，有恒成立，求实数的取值范围． 3．（2023秋•长沙月考）已知关于的不等式的解集为或． （1）求，的值； （2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围． 题型二：分类讨论思想 一．填空题（共1小题） 1．（2022秋•安徽期末）已知函数，若不等式的解集非空，则的取值范围是 　 　． 二．解答题（共7小题） 2．（2020秋•任城区期中）解关于的不等式，． 3．（2021秋•秀屿区校级期末）（1）设函数．若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式，． 4．（2023秋•红桥区校级期中）已知关于的不等式的解集为或． （1）求，的值． （2）当时，解关于的不等式． 5．（2022秋•日照期中）已知不等式的解集为或． （1）求，的值； （2）解关于的不等式． 6．（2023秋•香坊区校级月考）已知关于的不等式的解集为或． （1）求，的值； （2）已知，解关于的不等式． 7．（2023秋•顺庆区校级期中）已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，解不等式． 8．（2022秋•靖江市校级期中）已知函数． （1）若在上恒成立，求实数的值； （2）若不等式组的解集中的整数解只有1，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得的解集为，？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由， 题型三：划归与转化思想 1．（2022秋•宁都县校级期末）已知关于的不等式的解集为，或． （1）求，的值； （2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围． 2．（2023秋•郫都区校级月考）已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）若不等式的解集为，且，求的取值范围． 3．（2023秋•荷塘区校级月考）已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 考点一：不等式的性质 1．（2022•上海）若，则下列不等式恒成立的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•上海），，，，下列不等式恒成立的是　　 A． B． C． D． 3．（2021•上海）已知两两不相等的，，，，，，同时满足①，，；②；③，以下哪个选项恒成立　　 A． B． C． D． 考点二：基本不等式的应用 一．选择题（共1小题） 1．（2022•上海）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共2小题） 2．（2024•上海）已知，的最小值为 　　． 3．（2023•上海）已知正实数、满足，则的最大值为 　　． 考点三：分式不等式 1．（2022•上海）不等式的解集为 　 　． 2．（2021•上海）不等式的解集为 　 　． 3．（2020•上海）不等式的解集为　 　． 考点四：一元二次不等式 1．（2024•上海）已知，则不等式的解集为 　 　． 一．填空题（共12小题） 1．（2023秋•青浦区期末）不等式的解集为　 　． 2．（2023秋•嘉定区期末）若，则的最小值为 　　． 3．（2023秋•长宁区期末）不等式的解集为　　． 4．（2023秋•奉贤区期末）设、为正数，且与的算术平均值为1，则与的几何平均值最大值为 　　． 5．（2023秋•浦东新区校级期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 　　． 6．（2023秋•浦东新区校级期末）已知关于的方程解集为，则“关于的不等式的解集是”是 　　命题（填“真”或“假” ． 7．（2023秋•浦东新区校级期末）设、为正数，且，则 　　（填“，，，” ． 8．（2023秋•浦东新区校级期末）若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是　 　． 9．（2023秋•普陀区校级期末）已知一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则实数的值为 　　． 10．（2023秋•宝山区校级期末）设，则方程的解集为 　　． 11．（2023秋•浦东新区校级期末）已知，关于的不等式的解集为，设，当变化时，集合中的元素个数最少时的集合为 　　． 12．（2023秋•奉贤区期末）如图，在直角三角形中，，垂直于斜边，且垂足为，设及的长度分别为和，是的中点，点绕点顺时针旋转后得到点，过点作垂直于，且垂足为．有以下三个命题： ①由图知，即可以得到不等式； ②由图知，即可以得到不等式； ③由图知，即可以得到不等式； 以上三个命题中真命题的是 　　．（写出所有正确命题的序号） 二．选择题（共4小题） 13．（2023秋•普陀区校级期末）若，则下列不等式中不成立的是　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•普陀区校级期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是　　 A． B． C． D． 15．（2023秋•嘉定区校级期中）对任意给定的实数，，有，且等号当且仅当　　成立． A． B． C． D． 16．（2023秋•杨浦区校级期中）若关于的方程的两个实数根，，集合，，，，则关于的不等式的解集为　　 A． B． C． D． 三．解答题（共5小题） 17．（2023秋•松江区期末）解下列不等式： （1）； （2）． 18．（2023秋•浦东新区期末）已知一元二次方程的两个实根为，． （1）求，； （2）求证：． 19．（2023秋•宝山区校级期末）已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为． （1）若，求集合； （2）若，求正数的取值范围． 20．（2023秋•浦东新区校级期末）若不等式的解集是． （1）求实数的值； （2）当的解集为时，求的取值范围． 21．（2023秋•普陀区校级期末）（1）解不等式； （2）证明：对所有实数恒成立，并指出等号成立时的取值范围． 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设、均为实数，如果那么a； （5）性质 设、、均为实数，如果，则a>c－b； (不等式的移项法则) （6）性质 设、、、均为实数，如果，，那么； (同向可加性) （7）性质 设均为实数，如果，，那么； （8）性质 设、均为实数，如果，那么； （9）性质 设、均为实数，如果，那么 【注意】（1）性质（5）表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边； （2）性质（6）表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向； （3）性质（8）表明， n个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向； 3.不等式性质（定理） 1、有关不等式的“定理” 对任意的实数a和b，总有a2＋b2≥2ab，且等号当且仅当a＝b时成立； 2、有关不等式的“定理”的拓展 （1）算术平均值与几何平均值：给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值； （2）均值不等式：如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立； 【注意】1、两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的；前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)；2、两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”。 知识点04. 不等式的解集与不等式组的解集 1、在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解. 2、一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集； 3、一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集； 4、求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式； 5、将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组. 6、对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集； 【注意】若不等式中所含不等式解集的交集为时，则不等式组的解集为； 知识点05.一元二次不等式 1、一元二次不等式的概念 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； 【注意】一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等，即：一元二次不等式的一般形式 （1）ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；（2）ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；（3）ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；（4）ax2＋bx＋c≤0(a≠0)； 都是一元二次不等式； 2、用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2， 则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)； 3、用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 4.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系。 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(不妨设x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像 5.一元二次不等式在求解时应当注意事项 （1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正； （2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； （3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； （4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； （5）写解集：根据图象写出不等式的解集。 知识点06分式不等式的解法 1、分式不等式的定义： 分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。 只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。 即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式。 分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的。 2、分式不等式的解法： 基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。 基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：；； ；； 知识点07.简单绝对值不等式的解法 1、绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式； （2）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为|AB|＝|a－b|，线段AB的中点M对应的数x＝． 【注意】（1）求线段AB的长|AB|时，不要忽视绝对值；（2）线段AB的中点坐标与A、B两点的顺序无关。 2、含绝对值不等式的解法 （1）通法：根据绝对值的代数意义，对绝对值内的数（式）的符号分类讨论去绝对值； 关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何含义；②两边平方；③分段讨论。 （2）根据绝对值的几何意义，将绝对值转化为数轴上的距离，进而去绝对值或求最值； （3）不等式两边均恒为非负数时，可以通过平方法去绝对值. 【注意】去绝对值符号，化绝对值不等式为整式不等式时要保持同解性。 3、常见绝对值不等式的解法与结论： ①几个基本不等式的解集 （1）|x|<a(a>0)⇔x2<a2⇔-a<x<a；（2）|x|>a(a>0)⇔x2>a2⇔x>a,或x<-a; （3）|x-m|<a(a>0)⇔-a<x-m<a⇔m-a<x<a+m；（4）|x-m|>a(a>0)⇔x-m>a,或x-m<-a⇔x>m+a,或x<m-a. ②几种主要的基本类型 （1）|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x)(平方法)；（2）|f(x)|>g(x)(g(x)>0)⇔f(x)>g(x),或f(x)<-g(x); （3）|f(x)|<g(x)(g(x)>0)⇔-g(x)<f(x)<g(x);　 （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解. 知识点08.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 知识点09平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 【注意】（1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a≥0，b≥0即可）； （2） 两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； （3）几个重要的不等式的变形 ①(a、b∈R)．；②(a、b同号)；③(a、b∈R)． 知识点10.平均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值； （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2； 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 知识点11.三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 证明：定理 对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 【证明】（方法1：分析法）为证明，只需证明， 即，也就是，所以，等号当且仅当时成立； （方法2） 由①与②两式相加就有③， 将（）看作一个整体时，上面的③式逆用，即可证明； 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即，等号成立的条件； 方法2：将取成代入定理。 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即； 方法2：将取成代入定理。 题型一：函数与方程思想 1．（2021秋•大东区校级月考）已知关于的不等式的解集为或． （1）求，的值； （2）当，，且满足时，不等式有解，求的取值范围． 【分析】（1）根据题意可得，从而求出与的值即可； （2）由（1）可知，，则，从而，所以根据不等式有解等价于进行求解即可． 【解答】解：（1）关于的不等式的解集为或， ，2是方程的两个实数根，且， ，解得，故，的值分别为1，2； （2）由（1）可知，，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 由不等式有解，得，即，解得或， 所以实数的取值范围是，，． 【点评】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，双变量恒成立问题，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题． 2．（2023秋•普陀区校级期中）已知关于的不等式的解集为或． （1）求，的值； （2）当，且满足时，有恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）得到1，为方程的两个根，由韦达定理求出答案； （2）在（1）的基础上，利用基本不等式“1”的妙用得到，只需，求出答案． 【解答】解：（1）由题意得1，为方程的两个根，， 则，解得，； （2）由（1）得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 要想恒成立，只需，解得， 故实数的取值范围是，． 【点评】本题主要考查函数恒成立问题，基本不等式的应用，考查运算能力，属于中档题． 3．（2023秋•长沙月考）已知关于的不等式的解集为或． （1）求，的值； （2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围． 【分析】（1）根据不等式的解集确定对应方程的根，由根与系数关系求解； （2）利用均值不等式求出，解关于的一元二次不等式得解． 【解答】解：（1）因为不等式的解集为或， 所以1和是方程的两个实数根且， 所以，解得； （2）由（1）知，于是有， 故， 当且仅当，时，等号成立， 依题意有，即， 整理得，解得， 所以的取值范围为，． 【点评】本题考查一元二次不等式与二次方程根的关系，考查不等式恒成立问题的求解，属中档题． 题型二：分类讨论思想 一．填空题（共1小题） 1．（2022秋•安徽期末）已知函数，若不等式的解集非空，则的取值范围是 　　． 【分析】分别讨论，，三种情况，然后根据二次函数的性质分别求解即可． 【解答】解：当，即时，不等式化为：，解得满足题意， 当，即时，不等式的解集非空， 只需△，解得， 当，即时，不等式解集非空一定成立， 综上，实数的范围为， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，涉及到二次函数的性质以及分类讨论思想的应用，属于基础题． 二．解答题（共7小题） 2．（2020秋•任城区期中）解关于的不等式，． 【分析】原不等式可化为，然后分或，，和四类进行讨论即可． 【解答】解：原不等式可化为，， 当或时，有，或； 当时，有，或； 当时，有，； 当时，有，． 综上所述，当或时，原不等式的解集为，或； 当时，原不等式的解集为，或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【点评】本题考查含参一元二次不等式的解法，考查学生的分类讨论思想和运算求解能力，属于基础题． 3．（2021秋•秀屿区校级期末）（1）设函数．若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式，． 【分析】（1）由题设知对一切实数恒成立，根据二次函数的性质列不等式组求参数范围； （2）分类讨论法求一元二次不等式的解集． 【解答】解：（1）函数，若不等式对一切实数恒成立， 则对一切实数恒成立， 当时，在上不能恒成立； ，解得， 则实数的取值范围为，； （2）由， 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为． 【点评】本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题． 4．（2023秋•红桥区校级期中）已知关于的不等式的解集为或． （1）求，的值． （2）当时，解关于的不等式． 【分析】（1）要明确一元二次不等式的解集的端点值就是对应二次方程的两个根，利用根与系数的关系求得，；（2）由于，需比较对应一元二次方程两个根的大小确定解集． 【解答】解：（1）由于不等式的解集为或， 则的两个根为1和，则有，． （2）将，代入原不等式有：， 即，由于， 则当时，不等式化为，，解集为； 当时，，不等式解集为：，，；； 当时，不等式化为，不等式解集为：，，； 当时，，不等式解集为：，，； 当时，，不等式解集为：，． 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．要注意当时，不等式二次项系数为负，解集形式不同了． 5．（2022秋•日照期中）已知不等式的解集为或． （1）求，的值； （2）解关于的不等式． 【分析】（1）题意转化为，为方程是方程的两个实数根，由韦达定理列出关于，的方程组，即可得出答案； （2）由（1）得不等式为，分类讨论，，即可得出答案． 【解答】解：（1）不等式的解集为或，即，为方程是方程的两个实数根，且， ，，即，解得，； （2）由（1）得，则不等式为，令，即， 当时，不等式为，解得； 当时，方程，解得，， 当，即时，不等式为，解集为； 当，即时，不等式解集为或； 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 综上所述，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 【点评】本题考查一元二次方程与一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，考查运算能力，属于基础题． 6．（2023秋•香坊区校级月考）已知关于的不等式的解集为或． （1）求，的值； （2）已知，解关于的不等式． 【分析】（1）根据不等式的解集，利用不等式与对应方程的关系，即可求得、的值； （2）不等式化为，讨论和，时，利用判别式，即可求出不等式的解集． 【解答】解：（1）因为不等式的解集为或，所以1和是方程的两根， 由根与系数的关系知，， 解得，； （2）不等式，即为， 当时，不等式为，解得； 当时，判别式△，不等式对应的二次函数图象开口朝上，解不等式，得； 当时，判别式△，不等式对应的二次函数图象开口朝上，解不等式，得； 当△时，方程有两不等实根，解方程得，， 当时，△，不等式对应的二次函数图象开口朝下，且，解得； 当时，△，不等式对应的函数图象开口朝上，且，解得或； 当时，△，不等式对应的二次函数图象开口朝上，不等式的解集为； 当时，△，不等式对应的函数图象开口朝上，且，解得或； 综上，时，解集为； 时，解集为； 或时，解集为或； 时，解集为； 时，解集为；时，解集为． 【点评】本题考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是难题． 7．（2023秋•顺庆区校级期中）已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，解不等式． 【分析】（1）讨论和时，分别求出不等式的解集为时的取值范围． （2）不等式化为，讨论、和时，分别求出对应不等式的解集即可． 【解答】解：（1）函数， 当，即时，不等式可化为，它的解集不是，不满足题意； 当，即时，应满足， 即， 解得； 即； 综上知，的取值范围是，． （2）当时，不等式化为； 当时，即时，不等式为，解得； 当时，即时，不等式化为，且，解不等式得或； 当时，即时，不等式化为， 因为，所以，所以，解不等式得； 综上知，时，不等式的解集为，； 时，不等式的解集为，，； 时，不等式的解集为，． 【点评】本题考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题． 8．（2022秋•靖江市校级期中）已知函数． （1）若在上恒成立，求实数的值； （2）若不等式组的解集中的整数解只有1，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得的解集为，？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由， 【分析】（1）利用△即可求出的值； （2）分类讨论即可得到的范围； （3）假设存在利用韦达定理即可求得的值． 【解答】解：（1）在上恒成立， △， ， ，； （2），，， 又解集中的整数解只有1， ， 的取值范围为； （3）假设存在实数，使得的解集为，成立， 即的解集为，， 的解集为，， ，将代入整理得： ， 或，或 存在或，符合题意． 【点评】本题考查恒成立问题，集合的交集运算，一元二次不等式的解集问题，根与系数的关系应用，属中档题． 题型三：划归与转化思想 1．（2022秋•宁都县校级期末）已知关于的不等式的解集为，或． （1）求，的值； （2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围． 【分析】（1）法一：由1和是方程的两个实数根，利用韦达定理列式计算即可； 法二：由1和是方程的两个实数根，分别将1和代入方程可得答案； （2）由（1）知，分离参数，利用基本不等式中的“乘1法”可求得的取值范围． 【解答】解：（1）方法一：因为不等式的解集为或， 所以1和是方程的两个实数根，且， 所以，解得； 方法二：因为不等式的解集为或， 所以1和是方程的两个实数根，且， 由1是的根，有， 将代入， 得或， 所以． （2）由（1）知，于是有， 又，， 故， 当且仅当时，等号成立， 依题意必有，即，得， 所以的取值范围为． 【点评】本题考查函数恒成立问题，考查一元二次不等式及基本不等式的应用，考查函数与方程思想与转化化归思想，属于中档题． 2．（2023秋•郫都区校级月考）已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）若不等式的解集为，且，求的取值范围． 【分析】（1）通过讨论的范围，结合不等式的解集为，得到关于的不等式组，解出即可； （2）问题转化为，通过讨论的范围，求出不等式的解集即可； （3）问题转化为恒成立，令，则，，结合基本不等式的性质求出的取值范围即可． 【解答】解：（1）当，即时，， 则由，得，不合题意， 当，即时，由不等式的解集为得： ，解得：， 所以的取值范围是，． （2）因为，所以，即， 当，即时，解得，所以不等式的解集为， 当，即时，， 因为，所以不等式的解集为或， 当，即时，， 因为，所以，所以， 所以不等式的解集为， 综上：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为． （3）因为不等式的解集为，且， 故对任意的，，不等式恒成立， 所以恒成立， 令，则，，， 所以， 令，因为函数， 由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号， 因为在上递减，在上递增，而当时，，当时，， 所以的最大值为4， 所以的最小值为1， 所以， 故的取值范围为，． 【点评】本题考查了不等式的解法，考查基本不等式的性质以及转化思想，分类讨论思想，是中档题． 3．（2023秋•荷塘区校级月考）已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 【分析】（1）通过分类讨论的值即可解出不等式； （2）通过分类讨论的范围即可解出不等式； （3）利用分参法，设，即可求出的取值范围． 【解答】解：（1）当，即时，，解集不为，不合题意； 当，即时，的解集为， ，即， 故时，． 综上，的取值范围为； （2）由，得， 当，即时，解集为； 当，即时，， 即的解集为； 当，即时，， ，解集为． 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． （3），即， 恒成立，， 设，则， ， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 当时，，， 的取值范围为，． 【点评】本题考查二次函数的解法，基本不等式，二次函数判别式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题． 考点一：不等式的性质 1．（2022•上海）若，则下列不等式恒成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【解答】解：对于，令，，，，满足，但，故错误， 对于，，即，， 由不等式的可加性可得，，故正确， 对于，令，，，，满足，但，故错误， 对于，令，，，，满足，但，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题． 2．（2024•上海），，，，下列不等式恒成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【解答】解：对于，若，则，选项不成立，故错误； 对于，，， 由不等式的可加性可知，，故正确． 对于、，若，则选项不成立，故、错误． 故选：． 【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题． 3．（2021•上海）已知两两不相等的，，，，，，同时满足①，，；②；③，以下哪个选项恒成立　　 A． B． C． D． 【分析】设，，，根据题意，则有，可得，通过求解，可得，可得正确，错误；利用作差法可得，而上面已证，因无法知道的正负，可得该式子的正负无法恒定，即无法判断，即可得解． 【解答】解：设， ，，， 根据题意，应该有， 且， 则有， 则， 因为， 所以， 所以项正确，错误． ，而上面已证， 因为不知道的正负， 所以该式子的正负无法恒定． 故选：． 【点评】本题主要考查不等关系与不等式的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题． 考点二：基本不等式的应用 一．选择题（共1小题） 1．（2022•上海）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解． 【解答】解：因为，所以，当且仅当时取等号， 又，所以，故正确，错误， ，当且仅当，即时取等号，故错误， 故选：． 【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题． 二．填空题（共2小题） 2．（2024•上海）已知，的最小值为 　12　． 【分析】由已知结合基本不等式即可求解． 【解答】解：由，，当且仅当，即或时取最小值12， 所以的最小值为12． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 3．（2023•上海）已知正实数、满足，则的最大值为 　　． 【分析】直接利用基本不等式求出结果． 【解答】解：正实数、满足，则，当且仅当，时等号成立． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题． 考点三：分式不等式 1．（2022•上海）不等式的解集为 　　． 【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解． 【解答】解：由题意得， 解得， 故不等式的解集． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题． 2．（2021•上海）不等式的解集为 　　． 【分析】由已知进行转化，进行可求． 【解答】解：， 解得，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题． 3．（2020•上海）不等式的解集为　　． 【分析】将不等式化简后转化为一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集． 【解答】解：由得， 则，即，解得， 所以不等式的解集是， 故答案为：． 【点评】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题． 考点四：一元二次不等式 1．（2024•上海）已知，则不等式的解集为 　　． 【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解即可． 【解答】解：可化为， 解得， 故不等式的解集为：． 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，属基础题． 一．填空题（共12小题） 1．（2023秋•青浦区期末）不等式的解集为　　． 【分析】由不等式可得，由此解得不等式的解集． 【解答】解：由不等式可得，解得， 故答案为：． 【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题． 2．（2023秋•嘉定区期末）若，则的最小值为 　7　． 【分析】根据题意，分析可得，由基本不等式的性质求出的最小值，进而分析可得答案． 【解答】解：根据题意，， 又由，则，则有，当且仅当时等号成立， 则有， 则的最小值为7； 故答案为：7． 【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意的变形，属于基础题． 3．（2023秋•长宁区期末）不等式的解集为　　． 【分析】先求对应方程的实数根，再写出不等式的解集 【解答】解：方程的实数根是，； 不等式的解集为， 故答案为：， 【点评】本题考查了求一元二次不等式的解集问题，考查解一元二次不等式的基本步骤等基础知识，是基础题． 4．（2023秋•奉贤区期末）设、为正数，且与的算术平均值为1，则与的几何平均值最大值为 　1　． 【分析】利用基本不等式，结合几何平均值和算术平均值的定义，即可得答案． 【解答】解：是与的算术平均值，则有，即， ， 即，，当且仅当，且，即，时取等号． 故答案为：1． 【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，属于基础题． 5．（2023秋•浦东新区校级期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 　　． 【分析】根据已知条件，结合二次函数的判别式，并分类讨论，即可求解． 【解答】解：设， 当时，，符合题意， 当时，，解得，不符合题意， 当且时， ，解得， 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查一元二次不等式及其应用，属于基础题． 6．（2023秋•浦东新区校级期末）已知关于的方程解集为，则“关于的不等式的解集是”是 　假　命题（填“真”或“假” ． 【分析】由已知条件可得且，分、两种情况解不等式，即可得出结论． 【解答】解：因为关于的方程解集为，则，即，且， 由得， 当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为； 当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为． 故原命题为假命题． 故答案为：假． 【点评】本题主要考查了一次方程与一次不等式转化关系的应用，属于基础题． 7．（2023秋•浦东新区校级期末）设、为正数，且，则 　　（填“，，，” ． 【分析】由已知结合基本不等式即可比较大小． 【解答】解：因为、为正数，且， 所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了利用基本不等式比较大小，属于基础题． 8．（2023秋•浦东新区校级期末）若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是　，　． 【分析】由条件根据绝对值的意义求得的最小值为5，从而得到实数的取值范围． 【解答】解：由于表示数轴上的对应点到、3对应点的距离之和，它的最小值为4， 不等式对任意的实数恒成立，故， 故答案为：，． 【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题． 9．（2023秋•普陀区校级期末）已知一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则实数的值为 　5　． 【分析】由题意，利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得的值． 【解答】解：一元二次方程的两个实根分别为、， ，，△． ，则实数， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题． 10．（2023秋•宝山区校级期末）设，则方程的解集为 　，，　． 【分析】利用绝对值的定义去掉绝对值，分类讨论，分别求解即可． 【解答】解：当时，则方程为，即恒成立，则满足； 当时，则方程为，解得，舍去； 当时，则方程为，解得，； 当时，则方程为，即恒成立，时满足． 综上所述，方程的解集为，，． 【点评】本题考查了含有绝对值方程的求解，解题的关键是利用绝对值的定义去掉绝对值，属于中档题． 11．（2023秋•浦东新区校级期末）已知，关于的不等式的解集为，设，当变化时，集合中的元素个数最少时的集合为 　，　． 【分析】由基本不等式得到得到不等式解集，要想集合中的元素个数最少，则取最小值，得到答案． 【解答】解：，令，得， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 其中， 则 的解集为， 要想集合中的元素个数最少，则取最小值， 此时解集为， 此时，． 故答案为：，． 【点评】本题考查基本不等式的应用，属于中档题． 12．（2023秋•奉贤区期末）如图，在直角三角形中，，垂直于斜边，且垂足为，设及的长度分别为和，是的中点，点绕点顺时针旋转后得到点，过点作垂直于，且垂足为．有以下三个命题： ①由图知，即可以得到不等式； ②由图知，即可以得到不等式； ③由图知，即可以得到不等式； 以上三个命题中真命题的是 　①②③　．（写出所有正确命题的序号） 【分析】根据图形由直角三角形相似可分别计算出各边长，可得，，利用图形中线段长度的大小关系即可得出结论． 【解答】解：由题意，由三角形相似可得，即， 易知，又， 所以由可得，即①正确； 在中，易知， 所以可得， 由三角形相似可得， 所以， 由可得，即②正确； 易知，利用勾股定理可得 ， 所以由，可得，即③正确； 故答案为：①②③． 【点评】本题考查基本不等式及其应用，属中档题． 二．选择题（共4小题） 13．（2023秋•普陀区校级期末）若，则下列不等式中不成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据不等式的性质，分别判断即可求出． 【解答】解：，，，即，，因此，，正确． 对于，，即，因此不正确． 故选：． 【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14．（2023秋•普陀区校级期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】直接由基本不等式验证即可，注意取等条件． 【解答】解：由题意，所以直接由基本不等式可得， 等号成立当且仅当，即，此时满足题意． 故选：． 【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题． 15．（2023秋•嘉定区校级期中）对任意给定的实数，，有，且等号当且仅当　　成立． A． B． C． D． 【分析】由题意得出且，由此判断符合题意的选项即可． 【解答】解：对任意给定的实数，，有，且等号当且仅当且，所以排除选项、； 由，得或，不能得出且，排除选项； 由，得或，所以且，选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了不等式的性质与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题． 16．（2023秋•杨浦区校级期中）若关于的方程的两个实数根，，集合，，，，则关于的不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【分析】根据一元二次不等式的解法，可知的解集在两根之外，规定两根大小，然后根据集合的运算即可求解． 【解答】解：不妨设，则的解集为或， 则，，，， 所以或． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题． 三．解答题（共5小题） 17．（2023秋•松江区期末）解下列不等式： （1）； （2）． 【分析】（1）把分式不等式转化为与之等价的一元二次不等式，从而求出它的解集． （2）把绝对值不等式分类讨论，等价转化为与之等价的2个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，可得原不等式的解集． 【解答】解：（1）不等式，即，即． 求得，或，可得不等式的解集为，，． （2）由，可得①，或②． 解①可得，解②可得． 故原不等式的解集为． 【点评】本题主要考查分式不等式、绝对值不等式的解法，属于中档题． 18．（2023秋•浦东新区期末）已知一元二次方程的两个实根为，． （1）求，； （2）求证：． 【分析】先写出韦达定理，再把韦达定理代入化简即得证 【解答】解：（1）由一元二次方程的两个实根为，， 利用韦达定理得：，． （2）证明：因为由（1）可得，． 所以原题得证． 【点评】本题考查了韦达定理的应用，属于基础题． 19．（2023秋•宝山区校级期末）已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为． （1）若，求集合； （2）若，求正数的取值范围． 【分析】（1）把代入，解二次不等式即可求解； （2）若，则，结合二次不等式的求法对进行分类讨论，即可求解． 【解答】解：（1）时，； （2），， 若，则， 当时，，则， 故的范围为． 【点评】本题主要考查了二次不等式及含有绝对值的不等式的求解，还考查了集合的包含关系的应用，属于基础题． 20．（2023秋•浦东新区校级期末）若不等式的解集是． （1）求实数的值； （2）当的解集为时，求的取值范围． 【分析】（1）由题得出的两个解为，，代入即可； （2）分类讨论是否为0，然后结合二次函数图像判断取值范围． 【解答】解：（1）由题得的两个解为，， 代入得，解得， 所以． （2）由（1）得的解集为， 当时： 当时，原不等式等价为，显然为，合题意； 当，原不等式等价为，显然不为，舍去； 当时，要想的解集为， 需要， 解得， 即， 综上的取值范围为，． 【点评】本题考查二次不等式的应用，属于中档题． 21．（2023秋•普陀区校级期末）（1）解不等式； （2）证明：对所有实数恒成立，并指出等号成立时的取值范围． 【分析】（1）分，，三种情况去绝对值符号，求解即可； （2）利用绝对值三角不等式即可得出结果． 【解答】解：（1）当时，原不等式等价于，解得， 此时； 当时，原不等式等价于，解得， 此时； 当时，原不等式等价于，解得，此时无解． 综上，不等式的解集为，； （2）证明：， 当且仅当，即时等号成立，此时， 对所有实数恒成立，且等号成立时的的取值范围为． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$