第十讲 切线的性质和判定 预习讲义 【暑假衔接】2024-2025学年苏科版数学九年级上册

切线的性质和判定 【同步知识梳理】 画图并思考：经过⊙O的半径OD的外端D，作直线l⊥OD，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？ 因为 到 的距离OD等于⊙O的半径r，所以直线l与⊙O 。 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 切线的判定 切线的三个判定方法： ⑴与圆有惟一 的直线是圆的切线； ⑵与圆心的距离等于 的直线是圆的切线； ⑶经过 并且 的直线是圆的切线. 当直线与圆有明确公共点时，连半径，证垂直； 当直线与圆无明确公共点时，作垂直，证半径. 直线l是⊙O的切线，切点为D.直线l与半径OD有怎样的位置关系？ l 圆的切线垂直于经过切点的半径. 切线的性质定理：切线垂直于过切点的半径 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 辅助线的常见作法！ 遇到圆的切线，连接切点与圆心. 直线与圆相切的性质： ⑴切线与圆有惟一的 ； ⑵圆心到＿＿＿＿＿＿＿＿的距离等于＿＿＿＿＿＿＿；切线的性质 ⑶切线垂直于 的半径. 【精题精练精讲】 题型一：定义辨析 1．下列说法正确的是（     ） A．在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等 【答案】D 【详解】解：A、在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故原说法错误，不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，不符合题意； C、经过切点且垂直于过切点的半径的直线是圆的切线，故原说法错误，不符合题意； D、在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 【答案】D 【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；     B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意； C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；     D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．下列说法中，正确的是（　　） A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等 D．同弧或等弧所对的圆周角相等 【答案】D 【详解】解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故不符合题意； C、在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，故不符合题意； D、同弧或等弧所对的圆周角相等，故符合题意； 故选：D． 4．下列命题中，真命题是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧 C．在同圆中，相等的弦所对的弧也相等 D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【答案】B 【详解】解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原命题是假命题； B、垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧，是真命题； C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，原命题是假命题； D、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，原命题是假命题； 故选：B． 题型二：切线成立的条件 1．在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 2．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线． 【答案】60 【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°， ∴， ∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线， ∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线． 故答案为：60． 3．如图，为的直径，，当 时，直线与相切． 【答案】1 【分析】直线与相切时，，根据勾股定理即可求出． 【详解】解：当时，直线与相切， ∴（cm）， 故答案为：1． 4．如图，是的直径，是上一点，是外一点，过点作，垂足为，连接．若使切于点，添加的下列条件中，不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、， ， 当时，则，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意； B、， ，则， ， ， 当时，则，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ， ， ，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到，则是等腰三角形，无法确定，不能得到切于点，该选项不正确，符合题意； 故选：D． 题型三：切线性质的运用 1．如图，分别切于A，B，，则等于______ 【答案】 【详解】解：解：连接、， ∵、分别切于点、， ∴， ∴， ∵， ， ， 2．已知半径为3，切于B，则 ． 【答案】6 【详解】解：如图，∵切于B， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，与y轴相切于点B，点A在函数的图象上，若的半径为3，，则k的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵与y轴相切于点B， ∴， ∵的半径为3， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， 把代入得到， ，解得， 故答案为： 4．如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，为的切线，切点为A，连接与交于点C，D为上一点，连接，，若，，则的长为_________ 【答案】 【详解】解：连接， ∵为的切线，切点为A， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 题型四：有关切线性质的证明 1．如图，为的切线，A为切点．直线与交于B、C两点，，连接．    (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析(2)1 【详解】（1）证明：为的切线， ． 又， ， ， ， ， ， ， ． 又为直径， ， ． （2）解：∵为的切线，A为切点． ∴在中，，， ∴设， 则 解得 即⊙O的半径为1． 2．如图，为的直径，半径于点O，的弦与相交于点F，的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若的半径为3，且，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：如答图，连接． ∵切于点C， ∴，即． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：设， 则，， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， ∴， ∴在中， ． 3．如图，在中，，点O在上，以长为半径的半圆O交于点D，交于点E，过点D作半圆O的切线，交于点F． (1)求证：； (2)若，求半圆O的半径长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：连接， ∵和半圆相切， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2）解：如答图②，连接． 设半圆O的半径为r，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故半圆O的半径长为． 4．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析(2)的半径为2 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线，为半径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 即的半径为2． 题型五：切线的判定-知半径，证垂直 1．如图所示，在中，经过A、B两点的交于点E，圆心O在上过点交于点D，连接交于点E．若． (1)求证：是的切线． (2)若，．求的长； 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线． （2）解：设， ∵， ∴， 在中，由,可得：，解得：， ∴， ∴， ∴． 2．如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)2 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． （2）解：∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，   ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，四边形是平行四边形，以为直径的经过点D，与交于点E．连接，．作，与的延长线交于点F． (1)求证：是的切线； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， 在平行四边形中 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 4．如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：如答图，连接， ∵为直径， ∴， 即． 又∵，， ∴， ∴， 即． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴． ∵，，， ∴ ∴， ∴． ∵，是的直径， ∴是的切线． ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 解得． 题型六：切线的判定-做垂直，证半径 1．如图，AB＝AC，D为BC的中点，⊙D与AB切于E点．求证：AC与⊙D相切． 【答案】证明：连接DE，作DF⊥AC，垂足为F. ∵AB是⊙D的切线， ∴DE⊥AB. 又∵DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∵BD＝CD， ∴△BDE≌△CDF. ∴DF＝DE. ∴F在⊙D上． ∴AC与⊙D相切． 2．如图，在中，，，点O为边中点，以点O为圆心的圆与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)判断圆心O与点C及两切点为顶点的四边形的形状并证明． 【答案】（1）证明：如图，连接，，过点O作于E． ，，点O为边中点， 平分， 与相切于点D， 为的半径，且， 平分，，， ， 为的半径，点在圆上， 又， 是的切线． （2）四边形的形状是正方形． 证明：，， ， 又， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 3．如图，为正方形对角线上一点，与以为圆心，长为半径的相切于点． (1)求证：与相切； (2)若正方形的边长为1，求的半径． 【答案】(1)见解析(2)的半径为． 【详解】（1）证明：连接，过作于； 与相切， ， 四边形是正方形， 平分， ， 与相切； （2）解：四边形为正方形， ，，， ，， ， ； 又， ， ． 4．如图，，，与交于点O，以O为圆心，长为半径作圆． (1)证明：是的切线； (2)已知 ，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：过O点作，垂足为点E， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为半径， 又∵， ∴是的切线； （2）解：在中，由勾股定理得， ∴， 设的半径为r， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， 在中，由勾股定理得， 即， ∴． 【能力拓展训练】 1．如图，为的直径，切于点于点C，交于点D． (1)连接，则________ (2)求证：平分； (3)若，求的长． 【答案】(1)90(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵是直径， ∴； 故答案为：90 （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴切于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：如图，连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 2．如图，⊙O的直径AB是4，过B点的直线MN是⊙O的切线，D、C是⊙O上的两点，连结AD、BD、CD和BC． （1）求证：∠CBN=∠CDB； （2）若DC是∠ADB的平分线，且∠DAB=15°，求DC的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，则∠ADC+∠CDB=90°， ∵， ∴∠ADC=∠ABC， ∴∠ABC+∠CDB=90°， ∵MN与⊙O相切于点B， ∴∠ABN=90°，则∠ABC+∠CBN=90°， ∴∠ABC+∠CDB=∠ABC+∠CBN； ∴∠CBN=∠CDB； （2）解：如图，连接OD、OC，过点O作OE⊥CD于点E， ∴，则为直角三角形， ∵CD平分∠ADB， ∴∠ADC=∠BDC， ∵， ∴； ∵∠DAB=15°，， ∴， ∴， ∵OD=OC， ∴， ∵AB=4， ∴， ∴在中，， 由勾股定理得：， ∵OE⊥CD， ∴． 3．阅读资料：我们把顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角，如下左图∠ABC所示．   同学们研究发现：P为圆上任意一点，当弦AC经过圆心O时，且AB切⊙O于点A，此时弦切角∠CAB=∠P（图甲） 证明：∵AB切⊙O于点A，  ∴∠CAB=90°， 又∵AC是直径， ∴∠P=90° ∴∠CAB=∠P 问题拓展：若AC不经过圆心O（如图乙），该结论:弦切角∠CAB=∠P还成立吗？ 请说明理由． 知识运用：如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F．  求证：EF∥BC．    【答案】（1）成立；（2）证明见解析. 【详解】试题分析：问题拓展：首先连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，由圆周角定理可得∠D=∠P，又由AD是直径，AB切圆于点A，易证得∠CAB=∠CAD，继而证得结论； 知识运用：连接DF，AD是△ABC中∠BAC的平分线，⊙O与BC切于点D，可得∠FDC=∠EAD，又由圆周角定理可得∠EAD=∠EFD，继而证得结论． 试题解析：问题拓展：成立． 如图3，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD， 则∠D=∠P， ∵AD是直径， ∴∠D+∠CAD=90°， 又∵AB切圆于点A， ∴∠CAB+∠CAD=90°， ∴∠CAB=∠CAD， 而∠CAD=∠P， ∴∠CAB=∠P； 知识运用：如图4，连接DF， ∵AD是△ABC中∠BAC的平分线， ∴∠EAD=∠DAC， ∵⊙O与BC切于点D， ∴∠FDC=∠DAC， ∴∠FDC=∠EAD， ∵在⊙O中∠EAD=∠EFD， ∴∠FDC=∠EFD， ∴EF∥BC． 【课后知识应用】 1．下列命题正确的是（　　） A．经过半径的一端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，所对的弧也相等 D．90°的圆周角所对的弦是这个圆的直径 【答案】D 【详解】解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故不符合题意； C、在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，所对的弧也相等，故不符合题意； D、90°的圆周角所对的弦是这个圆的直径，故符合题意； 故选：D． 2．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【答案】A 【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD∥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 3．如图，以为直径的与相切于点，且、、三点在同一直线上，过点作弦交圆于点，若，，则的长度为________ 【答案】 【详解】解：连接，设与的交点为， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 4．如图，是的直径，点C是延长线上一点，与相切于点D，连接． (1)尺规作图：过点O作直径的垂线，交直径下方半圆于点E； (2)在（1）的条件下，连接，交于点 F，求证： 【答案】（1）解：如图所示； （2）证明：连接． ∵是的切线， ∴． 即． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴， ∴． ∴． 5．如图，为菱形对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与边相切于点．求证：与相切．    【答案】如下图，连接，过点作于点．    与边相切于点， ，是的半径． 是菱形的对角线， 平分． 又，， ， 与相切． 6．如图，在中，，点在边上，且，过点作交的延长线于点，以点为圆心，的长为半径作交于点． (1)求证：是的切线． (2)若的半径为，，求线段的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【详解】（1）证明：过点作，垂足为． ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即为的半径， ∴是的切线． （2）解：的半径为，， ∴，， 在中，由勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在中，，以为直径的交于点，切线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图, 连接， 由（）知，， ∵为的直径，， ∴是的切线，， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ， 设，， 在中，，即， 在中， 即， ∴， 解得：， ∴． 8．如图，是的直径，与相切于点，过作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求及的半径长． 【答案】(1)见解析(2)， 【详解】（1）证明：如图，连接交于点， ∵是的切线，切点为点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设半径为，即，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得． 9．如图，四边形是平行四边形，以点O为圆心，为半径的交于点D，交于点E，延长交☉O于点F，连接． (1)求证：； (2)若是的切线，求证：也是的切线． 【答案】（1）证明：如图，连接，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ； （2）证明：是的切线， ； 由（1）得，即， 在和中， ， ， ， 又点D在上， 是的切线． 10．如图，是的直径，点，在上，，交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若点为的中点，的半径为，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：如图，连接，则，   ， 平分， ， ， ，                ， ，交AE的延长线于点， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接，则，    由（1）知， ， ， 点为的中点， ， ，         是等边三角形， ，，            由（1）知是的切线， ， ，       ， ， ． 11．如图，在中，，以上一点O为圆心，长为半径的圆交于点D，交于点E，交于点F，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 12．如图，已知是等边三角形，以为直径作，交边于点D，交边于点F，作于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的边长为2，求的长度． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）解：证明：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴于点D． ∵点D在上， ∴是的切线； （2）解：如图所示，连接， ∵为直径， ∴． ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴． 13．如图，在中，∠B=90°，的平分线交于点，为上的一点，，以为圆心，长为半径作，，．    (1)求证：是的切线； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析(2)16 【详解】（1）过点作于，如图所示，    ∵∠B=90°， ∴， ∵平分，， ∴， ∴是的切线； （2）在和中， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 14．如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【详解】（1）证明：如图，连接，过点作于， ∵为的切线，点为切点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴与相切； （2）解：连接，并反向延长交于，连接， ∵为的切线，点为切点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设的半径为，则，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 切线的性质和判定 【同步知识梳理】 画图并思考：经过⊙O的半径OD的外端D，作直线l⊥OD，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？ 因为 到 的距离OD等于⊙O的半径r，所以直线l与⊙O 。 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 切线的判定 切线的三个判定方法： ⑴与圆有惟一 的直线是圆的切线； ⑵与圆心的距离等于 的直线是圆的切线； ⑶经过 并且 的直线是圆的切线. 当直线与圆有明确公共点时，连半径，证垂直； 当直线与圆无明确公共点时，作垂直，证半径. 直线l是⊙O的切线，切点为D.直线l与半径OD有怎样的位置关系？ l 圆的切线垂直于经过切点的半径. 切线的性质定理：切线垂直于过切点的半径 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 辅助线的常见作法！ 遇到圆的切线，连接切点与圆心. 直线与圆相切的性质： ⑴切线与圆有惟一的 ； ⑵圆心到＿＿＿＿＿＿＿＿的距离等于＿＿＿＿＿＿＿；切线的性质 ⑶切线垂直于 的半径. 【精题精练精讲】 题型一：定义辨析 1．下列说法正确的是（     ） A．在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等 2．下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 3．下列说法中，正确的是（　　） A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等 D．同弧或等弧所对的圆周角相等 4．下列命题中，真命题是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧 C．在同圆中，相等的弦所对的弧也相等 D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 题型二：切线成立的条件 1．在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 2．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线． 3．如图，为的直径，，当 时，直线与相切． 4．如图，是的直径，是上一点，是外一点，过点作，垂足为，连接．若使切于点，添加的下列条件中，不正确的是（    ）    A． B． C． D． 题型三：切线性质的运用 1．如图，分别切于A，B，，则等于______ 2．已知半径为3，切于B，则 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，与y轴相切于点B，点A在函数的图象上，若的半径为3，，则k的值为 ． 4．如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，，则 ． 5．如图，为的切线，切点为A，连接与交于点C，D为上一点，连接，，若，，则的长为_________ 题型四：有关切线性质的证明 1．如图，为的切线，A为切点．直线与交于B、C两点，，连接．    (1)求证：； (2)若，求的半径． 2．如图，为的直径，半径于点O，的弦与相交于点F，的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若的半径为3，且，求的长． 3．如图，在中，，点O在上，以长为半径的半圆O交于点D，交于点E，过点D作半圆O的切线，交于点F． (1)求证：； (2)若，求半圆O的半径长． 4．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 题型五：切线的判定-知半径，证垂直 1．如图所示，在中，经过A、B两点的交于点E，圆心O在上过点交于点D，连接交于点E．若． (1)求证：是的切线． (2)若，．求的长； 2．如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 3．如图，四边形是平行四边形，以为直径的经过点D，与交于点E．连接，．作，与的延长线交于点F． (1)求证：是的切线； (2)求的度数． 4．如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 题型六：切线的判定-做垂直，证半径 1．如图，AB＝AC，D为BC的中点，⊙D与AB切于E点．求证：AC与⊙D相切． 2．如图，在中，，，点O为边中点，以点O为圆心的圆与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)判断圆心O与点C及两切点为顶点的四边形的形状并证明． 3．如图，为正方形对角线上一点，与以为圆心，长为半径的相切于点． (1)求证：与相切； (2)若正方形的边长为1，求的半径． 4．如图，，，与交于点O，以O为圆心，长为半径作圆． (1)证明：是的切线； (2)已知 ，求的长． 【能力拓展训练】 1．如图，为的直径，切于点于点C，交于点D． (1)连接，则________ (2)求证：平分； (3)若，求的长． 2．如图，⊙O的直径AB是4，过B点的直线MN是⊙O的切线，D、C是⊙O上的两点，连结AD、BD、CD和BC． （1）求证：∠CBN=∠CDB； （2）若DC是∠ADB的平分线，且∠DAB=15°，求DC的长． 3．阅读资料：我们把顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角，如下左图∠ABC所示．   同学们研究发现：P为圆上任意一点，当弦AC经过圆心O时，且AB切⊙O于点A，此时弦切角∠CAB=∠P（图甲） 证明：∵AB切⊙O于点A，  ∴∠CAB=90°， 又∵AC是直径， ∴∠P=90° ∴∠CAB=∠P 问题拓展：若AC不经过圆心O（如图乙），该结论:弦切角∠CAB=∠P还成立吗？ 请说明理由． 知识运用：如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F．  求证：EF∥BC．    【课后知识应用】 1．下列命题正确的是（　　） A．经过半径的一端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，所对的弧也相等 D．90°的圆周角所对的弦是这个圆的直径 2．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 3．如图，以为直径的与相切于点，且、、三点在同一直线上，过点作弦交圆于点，若，，则的长度为________ 4．如图，是的直径，点C是延长线上一点，与相切于点D，连接． (1)尺规作图：过点O作直径的垂线，交直径下方半圆于点E； (2)在（1）的条件下，连接，交于点 F，求证： 5．如图，为菱形对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与边相切于点．求证：与相切．    6．如图，在中，，点在边上，且，过点作交的延长线于点，以点为圆心，的长为半径作交于点． (1)求证：是的切线． (2)若的半径为，，求线段的长． 7．如图，在中，，以为直径的交于点，切线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 8．如图，是的直径，与相切于点，过作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求及的半径长． 9．如图，四边形是平行四边形，以点O为圆心，为半径的交于点D，交于点E，延长交☉O于点F，连接． (1)求证：； (2)若是的切线，求证：也是的切线． 10．如图，是的直径，点，在上，，交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若点为的中点，的半径为，求的长． 11．如图，在中，，以上一点O为圆心，长为半径的圆交于点D，交于点E，交于点F，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的面积． 12．如图，已知是等边三角形，以为直径作，交边于点D，交边于点F，作于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的边长为2，求的长度． 13．如图，在中，∠B=90°，的平分线交于点，为上的一点，，以为圆心，长为半径作，，．    (1)求证：是的切线； (2)求线段的长． 14．如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长 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