2.1.1倾斜角与斜率课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

新授课 2.1.1 倾斜角与斜率 第二章 直线和圆的方程 温故知新 一次函数y=kx + b的图像： (2)k 0，b 0， (1)k 0，b 0， 解析式：y=kx + b 定义域： 值 域： R R 0 0 y y x x 在直角坐标系下，确定一条直线需要什么？ 1、过一点能不能确定一条直线? 2、方向相同能不能确定一条直线? 思考 l x y O A B l1 x y O α1 α2 α3 两点确定一条直线 一个点和一个方向 新知探究 在直角坐标系下，设，为直线上两点，则就是这条直线的方向向量。所以，两点确定一条直线也可以归结为一点和一个方向向量确定一条直线。 x y O l 确定直线位置的要素除了点之外, 还有直线的方向, 也就是直线的倾斜程度. 知识点1、倾斜角 1.倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴_______与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 正向 p o y x y p o x p o y x p o y x 注意：直线倾斜角的范围为： 思考 在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为. 1、已知直线经过，，与，的坐标有什么关系？ 2、类似地，如果直线经过，，与，的坐标又有什么关系？ 3、一般地，如果直线经过两点，，，那么与，的坐标有怎样的关系？ 知识点2、斜率 1.直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的_________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝______________. 2．过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝______. 正切值 tan α 思考 1、所有的直线都有斜率，没有斜率的直线需要满足什么条件？ 注意：所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．当直线的倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，但并不是该直线不存在，此时直线垂直于x轴(或平行于y轴或与y轴重合)． 3、直线的斜率与正切值 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做直线的斜率． k＝ tanα = 注: 直线倾斜角与斜率的关系： 例题讲解 例1. 判断下列命题是否正确，为什么？ （1）任一直线都有倾斜角和斜率; （2）直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； （3）平行于x轴的直线的倾斜角是0或π； （4）直线斜率的取值范围是(-∞, + ∞)； （5）两直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等； （6）两直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等； 例2. 若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于( 　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 例3.直线l过(1,0) ，则其倾斜角60°，则该直线l的函数解析式为 . 知识点3、直线的斜率与方向向量的关系 1、若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量的坐标为_______. 2、若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，则直线l的斜率k＝_______. 例4、若直线l的倾斜角为135°，则直线l的一个方向向量的坐标为_________. (1，k) (1，－1) 归纳总结 图示         倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 斜率与倾斜角对应关系 时,斜率越大,倾斜角越大; 时,斜率越大,倾斜角越大. 斜率范围：（-∞，+∞） 新知探究 1．(多选)下列说法正确的是( 　　) A．直线倾斜角的范围是[0，π)； B．斜率相等的两条直线的倾斜角一定相等； C．任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角； D．任何一条直线都有倾斜角和斜率． A B 2. 设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为(　　)　　 　　A.α+45° 　 B.α－135° C. 135°－α D.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时, 倾斜角为α－135° 3、已知两点，，过点的直线与线段有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 解：如图，由题意可知，， (1)要使与线段有公共点，则或， 即直线的斜率的取值范围是. (2)由题意可知直线的倾斜角介于直线与的倾斜角之间， 又的倾斜角是，的倾斜角是， ∴的取值范围是. 4、若已知点,另有两点,,若过点的直线与线段有交点,则直线的斜率取值范围为________. 5、若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（ ）. . . . . 6、已知A(1,1),B(3,5),C(a,7)，D(－1,b)四点在同一条直线上,求直线的斜率k及a ,b的值. 7、已知实数x,y满足y=－2x ＋8,且2≤x≤3,求 的最大值和最小值. $$