第五章三角函数 章末检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

章末检测（五）　三角函数 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.在0到2π范围内，与角－终边相同的角是（　　） A. B. C. D. 2.sin 600°＋tan 240°＝（　　） A.－ B. C.－＋ D.＋ 3.已知α∈（0，π），且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝（　　） A. B. C. D. 4.实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示，弓臂BAC是圆弧形，A是的中点，D是弦BC的中点，测得AD＝10 cm，BC＝60 cm，设所对的圆心角（正角）为θ（单位：弧度），则的长为（　　） A.30θ B.40θ C.100θ D.120θ 5.函数f（x）＝，x∈（－，）的图象大致是（　　） 6.若α∈，且sin α＝，则sin－cos（π－α）＝（　　） A. B.－ C. D.－ 7.已知f（x）＝sin，ω＞0，｜φ｜＜，f（x）是奇函数，直线y＝1与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（　　） A.f（x）在上单调递减 B.f（x）在上单调递减 C.f（x）在上单调递增 D.f（x）在上单调递增 8.函数f（x）＝3sin cos ＋sin2－＋m，若对于任意的－≤x≤有f（x）≥0恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A.m≥ B.m≥－ C.m≥－ D.m≥ 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.下列结论正确的是（　　） A.－是第三象限角 B.若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 C.若角α的终边上有一点P（－3，4），则cos α＝－ D.若角α为锐角，则角2α为钝角 10.如图是函数y＝Asin（ωx＋φ）（x∈R）在区间［－，］上的图象.为了得到这个函数的图象，只要将y＝sin x（x∈R）的图象上所有的点（　　） A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C.把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 11.已知函数f（x）＝sin（3x＋φ）的图象关于直线x＝对称，则（　　） A.函数f为奇函数 B.函数f（x）在上单调递增 C.若｜f（x1）－f（x2）｜＝2，则｜x1－x2｜的最小值为 D.函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y＝－cos 3x的图象 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为　　　　. 13.设函数f（x）＝2cos2x＋sin 2x＋a（a为实数）在区间上的最小值为－4，那么a＝　　　　. 14.已知f（x）＝2sin（2x＋），若∃x1，x2，x3∈［0，］，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），且x1＋x2＋x3的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝sin2x－cos2x＋2sin x·cos x. （1）求f（x）的最小正周期； （2）若f（α）＝，求cos（4α－）的值. 16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝sin（2x－）. （1）求函数f（x）的最大值和最小值及相应自变量x的集合； （2）画出函数y＝f（x）在区间[0，π]内的图象. 17.（本小题满分15分）在①f（x）的图象关于直线x＝对称；②f（x）的图象关于点对称；③f（x）在上单调递增这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正实数a存在，求出a的值；若a不存在，说明理由. 已知函数f（x）＝4sin＋a（ω∈N*）的最小正周期不小于，且　　　　，是否存在正实数a，使得函数f（x）在上有最大值3？ 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 18.（本小题满分17分）如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m. （1）如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？ （2）沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？ 19.（本小题满分17分）设函数f（x）＝2sin（2ωx－）＋m的图象关于直线x＝π对称，其中0＜ω＜. （1）求f（x）的最小正周期； （2）若函数y＝f（x）的图象过点（π，0），求f（x）在上的值域. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案与详解 章末检测（五）　三角函数 1.C　与角－终边相同的角是2kπ＋，k∈Z，令k＝1，可得与角－终边相同的角是，故选C. 2.B　sin 600°＝sin（360°＋240°）＝sin 240°＝sin（180°＋60°）＝－sin 60°＝－，tan 240°＝tan（180°＋60°）＝tan 60°＝，因此sin 600°＋tan 240°＝. 3.A　由3cos 2α－8cos α＝5，得3（2cos2α－1）－8cos α－5＝0，即3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝2（舍去）或cos α＝－.∵α∈（0，π），∴α∈（，π），则sin α＝＝＝. 4.C　如图，作出弓形所在圆的圆心O，连接DO，BO，设圆O的半径为r，则在Rt△BDO中，302＋（r－10）2＝r2，解得r＝50，故的长为50×2θ＝100θ. 5.A　函数f（－x）＝＝－＝－f（x），则函数f（x）是奇函数，排除D；当0＜x＜时，2cos x－1＞0，则f（x）＞0，排除B、C. 6.B　∵sin α＝，α∈，∴cos α＝－，∴sin－cos（π－α）＝sin α＋cos α＋cos α＝sin α＋cos α＝×－×＝－. 7.A　因为f（x）是奇函数，所以φ＝0，所以f（x）＝sin ωx.又由已知得T＝，所以＝，所以ω＝4，所以f（x）＝sin 4x.由函数的解析式可知f（x）在上单调递减.故选A. 8.D　f（x）＝3sin cos ＋sin2－＋m＝sin ＋－＋m＝sin（－）＋m，因为－≤x≤，所以－≤－≤，所以f（x）的最小值－＋m≥0，所以m≥. 9.BC　选项A中，－＝－2π＋是第二象限角，A错误；选项B中，设半径为r，则·r＝π⇒r＝3⇒S＝××32＝，B正确；选项C中，＝5，∴cos α＝－，C正确；选项D中，α＝30°是锐角，但2α＝60°不是钝角，D错误.故选B、C. 10.AC　由图象知，A＝1，T＝π，所以ω＝2，y＝sin（2x＋φ），将（－，0）代入得sin（φ－）＝0，所以φ－＝kπ，k∈Z，取φ＝，得y＝sin（2x＋），将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin（x＋）的图象，然后各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin（2x＋）的图象，故A正确，B错误，D错误；将y＝sin x各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数y＝sin 2x的图象.然后向左平移个单位长度，得y＝sin 2（x＋）＝sin（2x＋），故C正确. 11.AC　由已知得3×＋φ＝＋kπ（k∈Z），则φ＝－＋kπ（k∈Z），又因为－＜φ＜，所以φ＝－，故f（x）＝sin.对于选项A，f＝sin＝sin 3x，所以f为奇函数，故A正确；对于选项B，令－＋2kπ≤3x－≤＋2kπ（k∈Z），则－＋≤x≤＋（k∈Z），当k＝0时，f（x）在上单调递增，故B错误；对于选项C，由｜f（x1）－f（x2）｜＝2，知f（x1）和f（x2）必有一个最大值一个最小值，从而｜x1－x2｜min＝T＝，故C正确；对于选项D，f＝sin［3（x－）－］＝sin（3x－π）＝－sin 3x，故D错误.故选A、C. 12.［2k－，2k－］，k∈Z　解析：由图象知T＝＝2，∴ω＝π，由五点作图法得＋φ＝π，即φ＝，∴f（x）＝sin（πx＋），令2kπ－≤πx＋≤2kπ＋，k∈Z，解得2k－≤x≤2k－，k∈Z.∴f（x）的单调递增区间为［2k－，2k－］，k∈Z. 13.－4　解析：f（x）＝2cos2x＋sin 2x＋a＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a＝2sin＋a＋1.当x∈时，2x＋∈，∴f（x）min＝2×＋a＋1＝－4.∴a＝－4. 14.　解析：作出f（x）＝2sin（2x＋）在［0，］上的图象（如图所示）. 因为f（0）＝2sin＝，f（）＝2sin（π＋）＝－，所以当f（x）的图象与直线y＝相交时，此时和最小为N，设前三个交点横坐标依次为x1，x2，x3，由2sin（2x＋）＝，得sin（2x＋）＝，则x1＝0，x2＝，x3＝π，N＝；当f（x）的图象与直线y＝－相交时，设三个交点横坐标依次为x1，x2，x3，此时和最大为M，由2sin（2x＋）＝－，得sin（2x＋）＝－，则x1＋x2＝，x3＝，M＝.所以M＋N＝. 15.解：（1）f（x）＝sin2x－cos2x＋2sin xcos x＝－cos 2x＋sin 2x＝2（sin 2x－cos 2x）＝2sin（2x－），∴T＝π. （2）由（1）得f（α）＝2sin（2α－）＝，sin（2α－）＝， ∴cos（4α－）＝cos［2（2α－）］＝1－2sin2（2α－）＝1－＝. 16.解：（1）当2x－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f（x）取到最大值， ∴f（x）取得最大值时相应x的集合为{x｜x＝＋kπ，k∈Z}； 当2x－＝－＋2kπ，k∈Z，即x＝－＋kπ，k∈Z时，f（x）取到最小值－， ∴f（x）取得最小值时相应x的集合为{x｜x＝－＋kπ，k∈Z}. （2）列表： 2x－ － 0 π x 0 π f（x） －1 0 0 － －1 描点、连线，f（x）的图象如图所示. 17.解：由于函数f（x）的最小正周期不小于， 所以≥，所以1≤ω≤6，ω∈N*. 若选择①，即f（x）的图象关于直线x＝对称， 则有ω＋＝kπ＋（k∈Z），解得ω＝k＋（k∈Z）， 由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝3，ω＝4. 此时，f（x）＝4sin＋a. 由x∈，得4x＋∈， 因此当4x＋＝，即x＝时，f（x）取得最大值4＋a， 令4＋a＝3，解得a＝－1，不符合题意. 故不存在正实数a，使得函数f（x）在上有最大值3. 若选择②，即f（x）的图象关于点对称， 则有ω＋＝kπ（k∈Z）， 解得ω＝k－（k∈Z）， 由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝1，ω＝3. 此时，f（x）＝4sin（3x＋）＋a. 由x∈，得3x＋∈， 因此当3x＋＝，即x＝时，f（x）取得最大值4sin ＋a＝＋＋a， 令＋＋a＝3，解得a＝3－－，不符合题意. 故不存在正实数a，使得函数f（x）在上有最大值3. 若选择③，即f（x）在上单调递增， 则有（k∈Z）， 解得（k∈Z）， 由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝0，ω＝1. 此时，f（x）＝4sin＋a. 由x∈，得x＋∈， 因此当x＋＝，即x＝时，f（x）取得最大值2＋a， 令2＋a＝3，解得a＝3－2，符合题意. 故存在正实数a＝3－2，使得函数f（x）在上有最大值3. 18.解：（1）连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ， 则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈（0，）. 因为A，D关于点O对称，所以AD＝2OA＝40cos θ. 设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ. 因为θ∈（0，），所以2θ∈（0，π）， 所以当sin 2θ＝1，即θ＝时，Smax＝400（m2）. 此时AO＝DO＝10（m）. 故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2. （2）由（1）知AB＝20sin θ，AD＝40cos θ， 所以AB＋BC＋CD＝40sin θ＋40cos θ＝40sin（θ＋）， 又θ∈（0，），所以θ＋∈（，）， 当θ＋＝，即θ＝时，（AB＋BC＋CD）max＝40（m）， 此时AO＝DO＝10（m）， 即当A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远. 19.解：（1）由函数f（x）＝2sin＋m的图象关于直线x＝π对称， 则2ω×π－＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝＋，k∈Z， 又0＜ω＜，则当k＝0时，ω＝， 即f（x）＝2sin＋m，f（x）的最小正周期为T＝＝3π. （2）由函数y＝f（x）的图象过点（π，0）， 则f（π）＝2sin＋m＝0，解得m＝－2， 故f（x）＝2sin－2， ∵0≤x≤，∴0≤x≤π，－≤x－≤， 则－≤sin≤1，－3≤2sin（x－）－2≤0， ∴f（x）在上的值域为[－3，0]. 学科网（北京）股份有限公司 $$