精品解析：江苏省南京市五所高中合作联盟2023-2024学年高一下学期期中数学试卷

2023-2024学年高一下学期五所高中合作联盟期中数学试卷 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法运算法则进行求解即可. 【详解】， 故选：D 2. 在中，若，，，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】解：由正弦定理可得，，， ，， 或， 故选：D 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式把题目中的角转化为锐角，最后逆用两角和的正弦公式进行求解即可. 【详解】 故选：A 4. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的性质，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】 ， 故选：B 5. 若，，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式结合角的范围即可求解. 【详解】，， ，，， 故选：A. 6. 已知、，且，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系中平方和关系求出相应角的正弦值，然后运用余弦两角和公式进行求解即可. 【详解】、，且，， ， ， ， ，， 、， ， ， 故选： B 7. 在斜中，设角、、的对边分别为、、，已知，若是的角平分线，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正余弦定理可得，即可根据等面积法可得，利用余弦定理可得，由二倍角公式即可求解. 【详解】解：由正弦定理可得得， 由余弦定理可得， 由于所以， ， 由于，所以， 由于，， 由余弦定理可得， ， ，， ，， ， 故选：B 8. 如图，在梯形中，，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，结合数量积的定义得，最后由数量积的运算律即可求解. 【详解】， ， ， ，，， ， ， ， 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 若复数为实数，则 B. 若复数为纯虚数，则 C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数表示实数、纯虚数的条件，结合共轭复数的性质、虚数单位幂的周期性逐一判断即可. 【详解】A：若复数实数， 则，解得，故本选项正确； B：若复数为纯虚数，则，解得， 故本选项不正确； C：当时，，，故本选项正确； D ：时，， ， ， ，故本选项正确； 故选：ACD 10. 关于平面向量、、，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若非零向量、满足，则与的夹角是 D. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据相等向量的定义、余弦函数的最值性质，结合平面向量加减法的几何意义、投影向量的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则，但、的方向不一定相同，故A错误； 对于B，由平面向量数量积的定义可知，，故B正确； 对于C，若非零向量、满足， 则根据平面向量减法的几何意义可以确定以、、为边长的三角形为等边三角形，根据平面向量加法的几何意义，结合等边三角形三线合一， 所以和的夹角为，故C正确； 对于D，若向量，，则，，则向量在向量上的投影向量为，故D正确， 故选：BCD 11. 下列选项中，值为的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三角恒等变换以及诱导公式逐一验算即可求解. 【详解】A选项：； B选项： ； C选项： ； D选项：因为，可得； 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，计15分.请把答案写在答题纸的指定位置上.） 12. 在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理可得答案. 【详解】， ， 故答案为： 13. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】应用两角和正弦公式计算再结合同角三角函数关系弦化切计算即可. 【详解】 . 故答案：. 14. 如图，在中，、分别是、的中点，与的交点为，若，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量运算性质，结合平面向量线性运算的性质，由可以转化为，最后对结合余弦定理进行化简，然后应用基本不等式进行求解即可. 【详解】， ， ， ， ， ， 当且仅当时取等号，即时取等号， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分，请把在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量与满足，，与的夹角为. （1）当为何值时，； （2）求向量与向量的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直得数量积为0，即可根据数量积的运算律求解， （2）根据模长公式求解长度，即可由夹角公式求解. 【小问1详解】 ，, ，， ，解得， 当时， 【小问2详解】 ， ， . 16. 在中，角、、所对的边分别为、、，若，，且. （1）求； （2）已知点在线段上，且，求长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得答案； （2）由余弦定理求出，平方关系求出，在中再由正弦定理可得答案. 【小问1详解】 由余弦定理可得， ，， 解得； 【小问2详解】 由（1）可得， ，， 在中，，， 解得. 17. 若已知向量，，设函数. （1）若且，求角大小； （2）已知，均为锐角，，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用向量平行坐标表示列式化简求角； （2）由向量数量积公式结合三角恒等变换求值，最后应用两角和差正弦公式计算. 【小问1详解】 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， . 18. “无想山国家森林公园”位于南京市溧水区城南新区，总面积约平方千米，平均海拔米，拥有天池、无想湖等多个天然和人工湖泊，以及壮观的松林景观和竹海景观，森林覆盖率为，空气质量常年保持一级标准.无想山景区山清水秀，文化底蕴深厚，自古被誉为“溧水第一胜境”.为了方便市民休闲、观光和锻炼，溧水区政府决定在无想山脚下挖掘一个人工湖.人工湖设计呈凸四边形形状，记为四边形，并规划百米，百米. （1）设计师发现无论多长，为一个定值，请你验证设计师的结论，并求出这个定值； （2）为了能容纳更多的游船，人工湖的面积越大越好，问怎样设计才能使人工湖的面积最大？并求出最大值. 【答案】（1）答案见解析，定值为1 （2）当时，才能使人工湖的面积最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理进行边角转化进行求解即可； （2）把四边形的面积转化为两个三角形面积之和，得到，在这两个三角形中，利用公共边用余弦定理表示，得到，对两个式子进行平方后相加，根据同角的三角函数关系式，结合两角和的余弦公式，得到，最后利用余弦函数的最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 始终为定值； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， 、， 当时，， . 19. 如图，在中，，，，，. （1）求的值； （2）线段上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的位置，若不存在，请说明理由； （3）若是内一点，且满足，求的最小值. 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）应用向量的加减法转化向量的数量积即可； （2）应用向量的数量积表示向量的垂直计算求参； （3）先转化表示数量积，再结合基本不等式求出最小值即可. 【小问1详解】 ， ， 【小问2详解】 设， ， ， ， ， ， 解得； 【小问3详解】 ， 所以， ， ， ， ， ，，、、三点共线， ， 当且仅当即为中点时取等号， 而， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年高一下学期五所高中合作联盟期中数学试卷 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 中，若，，，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. （ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知、，且，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 在斜中，设角、、的对边分别为、、，已知，若是的角平分线，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在梯形中，，，，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 若复数为实数，则 B. 若复数为纯虚数，则 C. 当时， D. 当时， 10. 关于平面向量、、，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若非零向量、满足，则与的夹角是 D. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为 11. 下列选项中，值为的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，计15分.请把答案写在答题纸的指定位置上.） 12. 在中，角、、所对边分别为、、，若，，，则______. 13. 已知，则______. 14. 如图，在中，、分别是、的中点，与的交点为，若，则的最小值为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，请把在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量与满足，，与夹角为. （1）当何值时，； （2）求向量与向量的夹角的余弦值. 16. 在中，角、、所对的边分别为、、，若，，且. （1）求； （2）已知点线段上，且，求长. 17. 若已知向量，，设函数. （1）若且，求角的大小； （2）已知，均为锐角，，，求的值. 18. “无想山国家森林公园”位于南京市溧水区城南新区，总面积约平方千米，平均海拔米，拥有天池、无想湖等多个天然和人工湖泊，以及壮观的松林景观和竹海景观，森林覆盖率为，空气质量常年保持一级标准.无想山景区山清水秀，文化底蕴深厚，自古被誉为“溧水第一胜境”.为了方便市民休闲、观光和锻炼，溧水区政府决定在无想山脚下挖掘一个人工湖.人工湖设计呈凸四边形形状，记为四边形，并规划百米，百米. （1）设计师发现无论多长，为一个定值，请你验证设计师的结论，并求出这个定值； （2）为了能容纳更多的游船，人工湖的面积越大越好，问怎样设计才能使人工湖的面积最大？并求出最大值. 19. 如图，在中，，，，，. （1）求的值； （2）线段上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的位置，若不存在，请说明理由； （3）若是内一点，且满足，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $