第三章 函数的概念与性质 章末检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

章末检测（三）　函数的概念与性质 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数f（x）＝＋的定义域是（　　） A.[－1，＋∞） B.（－∞，0）∪（0，＋∞） C.[－1，0）∪（0，＋∞） D.R 2.已知函数f（x）＝若f（a）＝10，则a的值是（　　） A.－3或5 B.3或－3 C.－3 D.3或－3或5 3.已知函数f（x）＝（m2－m－1）是幂函数，且为偶函数，则实数m＝（　　） A.2或－1 B.－1 C.4 D.2 4.下列四个函数中，在（0，＋∞）上单调递增的是（　　） A.f（x）＝3－x B.f（x）＝x2－3x C.f（x）＝｜x＋2｜ D.f（x）＝－ 5.已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝－x2＋2x，则f（x）在[－3，－1]上（　　） A.单调递增，最小值为－1 B.单调递增，最大值为－1 C.单调递减，最小值为－1 D.单调递减，最大值为－1 6.若f（x）是偶函数且在[0，＋∞）上单调递增，又f（－2）＝1，则不等式f（x－1）＜1的解集为（　　） A.{x｜－1＜x＜3} B.{x｜x＜－1或x＞3} C.{x｜x＜－1或0＜x＜3} D.{x｜x＞1或－3＜x＜0} 7.已知函数f（x）＝是R上的减函数，那么a的取值范围是（　　） A.（0，3） B.（0，3] C.（0，2） D.（0，2] 8.定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足＜0，且f（2）＝4，则不等式f（x）－＞0的解集为（　　） A.（4，＋∞） B.（0，4） C.（0，2） D.（2，＋∞） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知函数f（x）＝则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的定义域为R B.f（x）的值域为R C.f（x）为奇函数 D.f（x）为增函数 10.甲同学家到乙同学家的途中有一个公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（　　） A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B.甲从家到公园的时间是30 min C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D.当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x 11.对于定义域为D的函数y＝f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内是增函数或减函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y＝f（x）（x∈D）称为闭函数.下列结论正确的是（　　） A.函数y＝x是闭函数 B.函数y＝x2＋1是闭函数 C.函数y＝－x2（x≤0）是闭函数 D.函数f（x）＝（x＞－1）是闭函数 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知f（x）＝是奇函数，则f（－3）＝　　　　，f（g（－3））＝　　　　. 13.若函数f（x）满足f（）＝x，则f（x）的解析式为　　　　. 14.设函数f（x）＝若f（t＋1）＞f（2t－4），则t的取值范围是　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝x2＋（x≠0）. （1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由； （2）若f（1）＝2，试判断f（x）在[2，＋∞）上的单调性. 16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝x－[x]，x∈[－1，2），其中[x]表示不超过x的最大整数，例[－3.05]＝－4，[2.1]＝2. （1）将f（x）的解析式写成分段函数的形式； （2）作出函数f（x）的图象； （3）根据图象写出函数的值域和单调区间. 17.（本小题满分15分）已知函数f（x）满足f（x＋2）＝x2＋4x＋6，且g（x）＝f（x）＋2ax. （1）求f（x）的解析式； （2）求a的值，使g（x）在区间[－5，5]上的最小值为－1. 18.（本小题满分17分）已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3. （1）若f（x）在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围； （2）在区间[－1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围. 19.（本小题满分17分）若函数f（x）在x∈[a，b]时，函数f（x）的取值区间恰为［，］，就称区间[a，b]为f（x）的一个“倒域区间”.已知定义在[－2，2]上的奇函数g（x），当x∈[0，2]时，g（x）＝－x2＋2x. （1）求g（x）的解析式； （2）求函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”； （3）求函数g（x）在定义域内的所有“倒域区间”. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案与详解 章末检测（三）　函数的概念与性质 1.C　要使函数有意义，需满足即x≥－1且x≠0.故选C. 2.A　若a≤0，则f（a）＝a2＋1＝10，解得a＝－3（a＝3舍去）；若a＞0，则f（a）＝2a＝10，解得a＝5.综上可得，a＝5或a＝－3，故选A. 3.D　由幂函数的定义知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.又因为f（x）为偶函数，所以指数m2－2m－2为偶数，故只有m＝2满足.故选D. 4.C　f（x）＝3－x在R上是减函数；f（x）＝x2－3x在上单调递增，在上单调递减；f（x）＝｜x＋2｜在（－∞，－2）上单调递减，在[－2，＋∞）上单调递增，因此在（0，＋∞）上也单调递增；f（x）＝－的定义域是{x｜x≠2}，而2∈（0，＋∞）.故选C. 5.C　f（x）＝－x2＋2x，图象为开口向下，对称轴为x＝1的抛物线，所以x＞0时f（x）在[1，3]上单调递减，最大值为1.因为f（x）为奇函数图象关于原点对称，所以函数f（x）在[－3，－1]也单调递减，最小值为－1. 6.A　由于函数y＝f（x）为偶函数，则f（2）＝f（－2）＝1，且函数y＝f（x）在[0，＋∞）上单调递增，由f（x－1）＜1，可得f（｜x－1｜）＜f（2），∴｜x－1｜＜2，即－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3.因此，不等式f（x－1）＜1的解集为{x｜－1＜x＜3}. 7.D　∵函数f（x）＝是R上的减函数，∴当x≤1时，f（x）单调递减，即a－3＜0，即a＜3①，当x＞1时，f（x）单调递减，即a＞0②，且（a－3）×1＋5≥，即a≤2③，由①②③得0＜a≤2，故选D. 8.C　由题意，设g（x）＝xf（x），因为＜0，即＜0，所以函数g（x）是减函数，不等式f（x）－＞0，即＞0，因为x∈（0，＋∞），所以不等式等价于xf（x）－8＞0，即xf（x）＞8，又f（2）＝4，则g（2）＝2·f（2）＝8，所以不等式xf（x）＞8的解集为（0，2）. 9.ACD　根据分段函数的解析式可知，f（x）的定义域为R，选项A正确；f（x）的值域为（－∞，－1）∪{0}∪（1，＋∞），选项B不正确；画出函数图象（图略）可知，选项C、D正确.故选A、C、D. 10.BD　在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；由题中图象知，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx（k≠0），则2＝30k，解得k＝，D正确.故选B、D. 11.AC　选项A，因为y＝x是R上的增函数，且在R上任意子区间都满足新定义，所以A正确；选项B，若函数是闭函数，则可设x∈[a，b]，y∈[a，b]，假设函数是增函数，则显然无解，若是减函数，则解得a＝b，又a＜b，所以不存在区间满足新定义，所以B错误；选项C，函数是开口向下的二次函数，且在（－∞，0]上是增函数，令f（x）＝－x2，若是闭函数，则一定有即解得满足新定义的闭区间是[－1，0]，此时a＝－1，b＝0，所以C正确；选项D，函数在（－1，＋∞）上是增函数，若满足新定义则有即解得a＝b，又a＜b，所以不存在区间满足新定义，所以D错误. 12.－6　－33　解析：因为函数f（x）是奇函数，所以f（－3）＝g（－3）＝－f（3）＝－6，所以f（g（－3））＝f（－6）＝－f（6）＝－33. 13.f（x）＝（x≠1）　解析：令＝t，则x＝，t≠1，∴f（t）＝，t≠1，∴f（x）＝（x≠1）. 14.（－∞，5）　解析：函数f（x）＝画出函数f（x）的图象，如图所示.可知函数f（x）是在R上的增函数.若f（t＋1）＞f（2t－4），则只需要t＋1＞2t－4，解得t＜5. 15.解：（1）当a＝0时，f（x）＝x2，f（－x）＝f（x），函数f（x）是偶函数. 当a≠0时，f（x）＝x2＋（x≠0），而f（－1）＋f（1）＝2≠0，f（－1）－f（1）＝－2a≠0，∴f（－1）≠－f（1），f（－1）≠f（1）. ∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数. （2）若f（1）＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，这时f（x）＝x2＋. 设∀x1，x2∈[2，＋∞），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝（x1＋x2）（x1－x2）＋＝（x1－x2）， 由于x1≥2，x2≥2，且x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在[2，＋∞）上单调递增. 16.解：（1）当－1≤x＜0时，[x]＝－1，所以f（x）＝x＋1， 当0≤x＜1时，[x]＝0，所以f（x）＝x， 当1≤x＜2时，[x]＝1，所以f（x）＝x－1， 综上，f（x）＝ （2）f（x）图象如图所示： （3）由图象可得f（x）的值域为[0，1），单调递增区间为[－1，0），[0，1），[1，2），无单调递减区间. 17.解：（1）因为f（x＋2）＝x2＋4x＋6＝（x＋2）2＋2，所以f（x）＝x2＋2. （2）由（1）可得，g（x）＝x2＋2ax＋2，其对称轴为x＝－a， 当－a≤－5，即a≥5时，g（x）在区间[－5，5]上单调递增，所以g（x）min＝g（－5）＝－1. 即（－5）2－10a＋2＝－1，解得a＝，又因为a≥5，所以a＝不满足题意； 当－5＜－a＜5，即－5＜a＜5时，g（x）在区间[－5，5]上先减后增，所以g（x）min＝g（－a）＝－1， 即－a2＋2＝－1，解得a＝或a＝－； 当－a≥5，即a≤－5时，g（x）在区间[－5，5]上单调递减，所以g（x）min＝g（5）＝－1， 即52＋10a＋2＝－1，解得a＝－，又因为a≤－5，所以a＝－不满足题意. 综合上述，a的值为或－. 18.解：（1）由题意，得函数f（x）是二次函数，且f（0）＝f（2），可得函数f（x）的对称轴为x＝1， 又由最小值为1，可设f（x）＝a（x－1）2＋1， 又f（0）＝3，即a×（0－1）2＋1＝3，解得a＝2， 所以函数的解析式为f（x）＝2（x－1）2＋1＝2x2－4x＋3. 又函数f（x）＝2x2－4x＋3的对称轴为x＝1， 要使f（x）在区间[2a，a＋1]上不单调，则满足2a＜1＜a＋1，解得0＜a＜， 即实数a的取值范围是（0，）. （2）由在区间[－1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方， 可得2x2－4x＋3＞2x＋2m＋1在区间[－1，1]上恒成立， 化简得m＜x2－3x＋1在区间[－1，1]上恒成立， 设函数g（x）＝x2－3x＋1， 则g（x）在区间[－1，1]上单调递减， 所以g（x）在区间[－1，1]上的最小值为g（1）＝－1， 所以m＜－1. 所以实数m的取值范围为（－∞，－1）. 19.解：（1）当x∈[－2，0）时，则－x∈（0，2]， 由奇函数的定义可得g（x）＝－g（－x）＝－[－（－x）2＋2（－x）]＝x2＋2x， 所以g（x）＝ （2）设g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为[a，b]，则1≤a＜b≤2，因为函数g（x）在[1，2]上单调递减，且g（x）在[a，b]上的值域为［，］， 所以解得 所以函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为［1，］. （3）因为g（x）在x∈[a，b]时，函数值g（x）的取值区间恰为［，］，其中a≠b且a≠0，b≠0，所以则 只考虑0＜a＜b≤2或－2≤a＜b＜0. ①当0＜a＜b≤2时，因为函数g（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减， 故当x∈[0，2]时，g（x）max＝g（1）＝1，则≤1，所以1≤a＜2，所以1≤a＜b≤2， 由（2）知g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为［1，］； ②当－2≤a＜b＜0时，g（x）在[－2，－1]上单调递减，在[－1，0]上单调递增， 故当x∈[－2，0）时，g（x）min＝g（－1）＝－1，所以≥－1，所以－2＜b≤－1. 所以－2≤a＜b≤－1， 因为g（x）在[－2，－1]上单调递减，则解得 所以g（x）在[－2，－1]内的“倒域区间”为［，－1］. 综上所述，函数g（x）在定义域内的“倒域区间”为［1，］和［，－1］. 学科网（北京）股份有限公司 $$