第二章一元二次函数、方程和不等式章末检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

章末检测（二）　一元二次函数、方程和不等式 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.不等式4＋3x－x2＜0的解集为（　　） A.{x｜－1＜x＜4} B.{x｜x＜－1或x＞4} C.{x｜x＜－4或x＞1} D.{x｜－4＜x＜1} 2.若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是（　　） A.A≤B B.A≥B C.A＜B或A＞B D.A＞B 3.已知－1≤a≤3，2≤b≤4，则2a－b的取值范围是（　　） A.－6≤2a－b≤4 B.0≤2a－b≤10 C.－4≤2a－b≤2 D.－5≤2a－b≤1 4.“a＞0，b＞0”是“ab＜”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设a，b是两个实数，且a≠b，有如下三个式子：①a5＋b5＞a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2（a－b－1），③＋＞2.其中恒成立的有（　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6.若x＞y＞1，则下列四个数中最小的数是（　　） A. B. C. D.（＋） 7.已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是（　　） A.2 B.2 C.4 D.5 8.某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－300x＋80 000，为使平均处理成本最低，该厂每月处理量应为（　　） A.300吨 B.400吨 C.500吨 D.600吨 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.若正实数x，y满足x＞y，则下列结论中正确的有（　　） A.xy＜y2 B.x2＞y2 C.＞1 D.＞ 10.已知实数x，y满足x2＋y2＝1，则（1－xy）（1＋xy）有（　　） A.最小值 B.最小值 C.最小值1 D.最大值1 11.已知关于x的不等式x2＋bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞3}，则下列说法正确的是（　　） A.b＝－1 B.不等式bx＋c＞0的解集是{x｜x＜－6} C.b＋c＝5 D.不等式cx2－bx＋1＜0的解集是{x｜x＜－或x＞} 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.若＜＜0，有下列结论：①＜；②｜a｜＋b＞3；③a－＞b－.其中正确的是　　　　.（填序号） 13.已知关于x的不等式（x－1）（x－2a）＞0（a∈R）的解集为集合A，集合B＝{x｜2＜x＜3}.若B⊆A，则实数a的取值范围为　　　　. 14.若正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： （1）xy的最小值； （2）x＋y的最小值. 16.（本小题满分15分）设命题p：方程x2＋（2m－4）x＋m＝0有两个不相等的实数根；命题q：对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立. （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围. 17.（本小题满分15分）已知二次函数y＝x2－2tx＋t2－1（t∈R）. （1）若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x2－2tx＋t2－1≥0； （2）若关于x的方程x2－2tx＋t2－1＝0的两个实数根均大于－2且小于4，求实数t的取值范围. 18.（本小题满分17分）某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知x年内付出的各种维护费用之和y满足二次函数y＝ax2＋c，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元. （1）扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润； （2）若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案： ①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地； ②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地. 问该水产养殖户会选择哪种方案？ 19.（本小题满分17分）如图，ABDC为梯形，其中AB＝a，CD＝b，设O为对角线的交点.GH表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行于两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段. （1）试研究线段GH，KL，EF，MN与代数式，，，之间的关系； （2）推测（1）中代数式之间的一个大小关系； （3）用基本不等式证明（2）中所得到的猜测. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案与详解 章末检测（二）　一元二次函数、方程和不等式 1.B　不等式4＋3x－x2＜0可化为x2－3x－4＞0，即（x＋1）（x－4）＞0，解得x＜－1或x＞4.故所求不等式的解集为{x｜x＜－1或x＞4}.故选B. 2.B　∵A－B＝a2＋3ab－（4ab－b2）＝＋b2≥0，∴A≥B. 3.A　因为－1≤a≤3，2≤b≤4，可得－2≤2a≤6，－4≤－b≤－2，所以－2－4≤2a－b≤6－2，即－6≤2a－b≤4. 4.D　当a＞0，b＞0时，≥，即ab≤，当a＝b时，ab＜不成立，故充分性不成立；当ab＜时，a，b可以异号，故a＞0，b＞0不一定成立，故必要性不成立.综上，知“a＞0，b＞0”是“ab＜”的既不充分也不必要条件，故选D. 5.B　①a5＋b5－（a3b2＋a2b3）＝a3（a2－b2）＋b3（b2－a2）＝（a2－b2）（a3－b3）＝（a－b）2（a＋b）（a2＋ab＋b2）＞0不恒成立；②（a2＋b2）－2（a－b－1）＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝（a－1）2＋（b＋1）2≥0恒成立；③＋＞2不恒成立.故选B. 6.D　因为x＞y＞1，所以＞＝1，＝＞＝1，＞1，（＋）＜（1＋1）＝1，所以四个数中最小的数是（＋）. 7.C　因为a＞0，b＞0，所以＋＋2≥2＋2≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立. 8.B　由题意，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）的函数关系为y＝x2－300x＋80 000，所以平均处理成本为s＝＝＝＋－300，其中300≤x≤600，又＋－300≥2－300＝400－300＝100，当且仅当＝时等号成立，所以x＝400时，平均处理成本最低.故选B. 9.BC　∵x，y为正实数且x＞y，∴xy＞y2，故A错；∵x，y为正实数且x＞y，∴x－y＞0，x＋y＞0，∴（x－y）（x＋y）＝x2－y2＞0，即x2＞y2，故B正确；∵x，y为正实数且x＞y，∴·x＞·y，即＞1，故C正确；∵x，y为正实数且x＞y，∴x＞x－y＞0，∴＞，即＜，故D错误. 10.BD　∵x2y2≤（）2＝，当且仅当x2＝y2＝时，等号成立，∴0≤x2y2≤，∴≤1－x2y2≤1，即≤（1－xy）·（1＋xy）≤1. 11.ABD　∵关于x的不等式x2＋bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞3}，∴－2和3是方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，∴根据根与系数的关系得，－b＝－2＋3，即b＝－1，故A中说法正确；又－2×3＝－6＝c，∴不等式bx＋c＞0可化为－x－6＞0，∴x＜－6，故B中说法正确；∴b＋c＝－7，故C中说法不正确；不等式cx2－bx＋1＜0为－6x2＋x＋1＜0，即6x2－x－1＞0，即（3x＋1）·（2x－1）＞0，解得x＞或x＜－，故D中说法正确.故选A、B、D. 12.①③　解析：因为＜＜0，所以a＜0，b＜0，所以＜0＜，所以①正确；当a＝－1，b＝－2时，满足＜＜0，但｜a｜＋b＝－1＜3，所以②错误；因为＜＜0，所以a＞b，－＞－，所以a－＞b－，所以③正确. 13.{a｜a≤1}　解析：关于x的不等式（x－1）（x－2a）＞0（a∈R）的解集为A. ①当2a＞1时，A＝{x｜x＜1或x＞2a}，∵B⊆A，∴解得＜a≤1； ②当2a＝1，即a＝时，A＝{x｜x≠1}，此时B⊆A，满足题意； ③当2a＜1时，A＝{x｜x＜2a或x＞1}，满足B⊆A，由2a＜1，解得a＜. 综上可得实数a的取值范围为{a｜a≤1}. 14.　解析：已知正数a，b满足a＋b＝1，则（3a＋2）＋（3b＋2）＝7，所以＋＝·（＋）＝（＋＋2）≥（2＋2）＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立.因此，＋的最小值为. 15.解：（1）由2x＋8y－xy＝0，x＞0，y＞0， 得＋＝1. ∴1＝＋≥2＝，则xy≥64， 当且仅当即时，等号成立，此时（xy）min＝64. （2）由2x＋8y－xy＝0，x＞0，y＞0，得＋＝1. 则x＋y＝（x＋y）＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当即时，等号成立， 此时（x＋y）min＝18. 16.解：（1）若命题p为真命题，即方程x2＋（2m－4）x＋m＝0有两个不相等的实数根， 则有Δ＝（2m－4）2－4m＝4m2－20m＋16＞0， 解得m＜1或m＞4. ∴实数m的取值范围为{m｜m＜1或m＞4}. （2）若命题q为真命题，则对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立. 设y＝x2－4x＋13，则只需2≤x≤3时，m2≤ymin即可. ∵y＝x2－4x＋13＝（x－2）2＋9，2≤x≤3， ∴ymin＝9，∴m2≤9，解得－3≤m≤3. ∴当命题q为真命题时，实数m的取值范围为{m｜－3≤m≤3}. ∵命题p，q一真一假， ∴若命题p为真命题，命题q为假命题， 则有解得m＜－3或m＞4； 若命题p为假命题，命题q为真命题，则有 解得1≤m≤3. 综上所述，当命题p，q一真一假时，实数m的取值范围为{m｜m＜－3或1≤m≤3或m＞4}. 17.解：（1）∵二次函数y＝x2－2tx＋t2－1有两个互为相反数的零点， ∴方程x2－2tx＋t2－1＝0有两个互为相反数的实数根，设为x1，x2，∴x1＋x2＝0. 由根与系数的关系可得，x1＋x2＝2t＝0， 解得t＝0. ∵x2－2tx＋t2－1≥0， ∴x2－1≥0，解得x≥1或x≤－1. ∴该不等式的解集为{x｜x≥1或x≤－1}. （2）∵Δ＝（－2t）2－4（t2－1）＝4t2－4t2＋4＝4＞0， ∴∀t∈R，该方程总有两个不相等的实数根. ∵方程的两个实数根均大于－2且小于4， ∴解得－1＜t＜3. ∴实数t的取值范围是{t｜－1＜t＜3}. 18.解：（1）由已知得，当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝12，即解得所以y＝3x2. 又投资243万元，x年共收入90x万元， 设x年共获得的纯利润为P万元，则P＝90x－3x2－243（x∈N*）. 令P＞0，即90x－3x2－243＞0，即x2－30x＋81＜0，解得3＜x＜27（x∈N*）， 所以从第4年开始获取纯利润. （2）方案①：年平均利润t＝＝90－3≤90－3×2＝36，当且仅当x＝9时，取等号， 所以当x＝9时，t取最大值36，此时以138万元出售该基地共获得利润36×9＋138＝462（万元）. 方案②：纯利润总和P＝90x－3x2－243＝－3（x－15）2＋432（x∈N*）， 当x＝15时，纯利润总和最大，为432万元， 此时以30万元出售该基地共获得利润432＋30＝462（万元）. 两种方案盈利相同，但方案①时间较短，所以选择方案①. 19.解：（1）因为GH是梯形ABDC的中位线， 所以GH＝＝； 因为梯形ABLK与梯形KLDC相似，所以＝， 所以KL＝＝； 因为△AEO∽△ACD，△DOF∽△DAB， 所以＝，＝， 所以＋＝1，同理可得＋＝1， 所以OE＝OF＝. 所以EF＝， 设梯形MNDC，ABNM，ABDC的面积分别为S1，S2，S，高分别为h1，h2，h， 则S1＝S2＝S，（a＋b）h＝（b＋MN）h1＝（a＋MN）h2， 所以＋＝h， 所以（a＋b）（＋）＝1， 所以MN＝. （2）由题图可知，EF＜KL＜GH＜MN， 即＜＜＜. （3）证明：由题意，得a＞0，b＞0，a≠b， 显然＞， ＜＝， 因为a2＋b2＞2ab， 所以2（a2＋b2）＞（a＋b）2， 所以＜， 所以＜＜＜. 学科网（北京）股份有限公司 $$