专题09 图形的变化、相交线与平行线6种常考题型归类-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（吉林专用）

专题09 图形的变化、相交线与平行线 （原卷版） 平移与轴对称 1．（2021·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的斜边OA在y轴上，，点B在第一象限．标记点B的位置后，将沿x轴正方向平移至的位置，使经过点B，再标记点的位置，继续平移至的位置，使经过点，此时点的坐标为 ． 2．（2023·吉林长春·中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．    3．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．    4．（2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上． (1)在图①中，四边形面积为2； (2)在图②中，四边形面积为3； (3)在图③中，四边形面积为4． 5．（2024·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形，图②中已画出以为半径的，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，面出四边形的一条对称轴． (2)在图②中，画出经过点E的的切线． 6．（2022·吉林·中考真题）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点，，均在格点上．请在给定的网格中按要求画四边形． (1)在图①中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形； (2)在图②中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是中心对称图形． 7．（2020·吉林·中考真题）如图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．，，均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图： （1）在图①中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点． （2）在图②中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点． （3）在图③中，画一个，使与关于某条直线对称，且，，为格点． 旋转 8．（2024·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 10．（2024·吉林长春·中考真题）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 11．（2022·吉林·中考真题）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角可以为 度．（写出一个即可） 12．（2021·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为 ． 图形的相似 13．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 14．（2024·吉林长春·中考真题）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③当，时，； ④当，时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 15．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ． 16．（2023·吉林长春·中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．      17．（2021·吉林·中考真题）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为 ．    18．（2020·吉林·中考真题）如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为 ． 19．（2020·吉林·中考真题）如图，．若，，则 ． 20．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． (1)当点是边的中点时，求的长； (2)当时，点到直线的距离为________； (3)连结，当时，求正方形的边长； (4)若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为________．（写出一个即可） 21．（2023·吉林长春·中考真题）如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）    (1)当点和点重合时，线段的长为__________； (2)当点和点重合时，求； (3)当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由； (4)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 22．（2023·吉林·中考真题）如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动．连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），四边形的面积为（）   　　   (1)的长为__________，的长为_________．（用含x的代数式表示） (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 23．（2022·吉林长春·中考真题）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．      (1)网格中的形状是________； (2)在图①中确定一点D，连结、，使与全等： (3)在图②中的边上确定一点E，连结，使： (4)在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2． 锐角三角函数 24．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　）      A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 25．（2023·吉林长春·中考真题）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 26．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（2021·吉林长春·中考真题）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 28．（2020·吉林长春·中考真题）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（2024·吉林·中考真题）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求吉塔的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，） 30．（2020·吉林·中考真题）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部相距的处，用高的测角仪测得该塔顶端的仰角为．求塔的高度（结果精确到）．（参考数据：，，） 投影与视图 31．（2024·吉林长春·中考真题）南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（　　）． A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．右视图 32．（2024·吉林·中考真题）葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．主视图、左视图与俯视图都相同 33．（2023·吉林·中考真题）图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（    ）      A．   B．   C．   D．   34．（2022·吉林长春·中考真题）图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是（    ） A． B． C． D． 35．（2022·吉林·中考真题）吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．下图是一款松花砚的示意图，其俯视图为（    ） A． B． C． D． 36．（2021·吉林·中考真题）如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是（    ） A． B． C． D． 37．（2021·吉林长春·中考真题）如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（    ） A．圆锥 B．长方体 C．球 D．圆柱 38．（2020·吉林·中考真题）如图，由个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（    ） A． B． C． D． 相交线与平行线 39．（2024·吉林·中考真题）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 40．（2022·吉林·中考真题）如图，如果，那么，其依据可以简单说成（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 41．（2024·吉林长春·中考真题）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为（　　） A． B． C． D． 42．（2021·吉林长春·中考真题）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，，则的大小为 度． 43．（2020·吉林·中考真题）如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 ． 44．（2023·吉林·中考真题）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形其中判定的依据是__________． 【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，与边分别交于点M，N．求证：是菱形． 【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上．当时，延长交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，（为锐角），则四边形的面积为_________．    45．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整． 【作业】如图①，直线，与的面积相等吗？为什么？ 解：相等．理由如下： 设与之间的距离为，则，． ∴． 【探究】 (1)如图②，当点在，之间时，设点，到直线的距离分别为，，则． 证明：∵ (2)如图③，当点在，之间时，连接并延长交于点，则． 证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则， ∴ ． ∴ ． ∴． 由【探究】（1）可知 ， ∴． (3)如图④，当点在下方时，连接交于点．若点，，所对应的刻度值分别为5，1.5，0，的值为 ． 平移与轴对称 46．（2024·吉林·模拟预测）如图，把一张长方形纸片沿折叠，折叠后点C，D的对应点分别是M，N，与交于点G．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 47．（2024·吉林长春·二模）如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，，则阴影部分的面积等于 ． 48．（23-24七年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将沿x轴正方向平移至，此时点C的坐标为 ． 49．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点A落到E处，交于点F，折痕为，若,，则的度数为 ． 50．（2024·吉林长春·三模）将图①中长、宽的长方形白纸条折成如图2的图形，并在其一面着色，则图②中着色部分的面积为 ． 51．（2024·吉林长春·二模）如图，正方形的边长为，点在边上且，点是上一动点，则的最小值为 ． 旋转 52．（2024·吉林长春·二模）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形为矩形，长为4米，长为1米，点C与点N重合．道闸打开的过程中，如图②，边固定，连杆、分别绕点A、D转动，且边始终与边平行．当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为0.8米，则点P到的距离的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 53．（2024·吉林长春·一模）如图，在中，．将绕点B逆时针旋转得到，当的边经过点A时，的大小为（    ） A． B． C． D． 54．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度．    55．（2024·吉林长春·三模）如图，将绕点A逆时针旋转43°得到，点B的对应点D恰好落在边上，则的度数为 ． 56．（2024·吉林长春·一模）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点的对应点为．若，，则的大小为 度． 图形的相似 57．（2024·吉林·模拟预测）如图，在菱形中，，，点E，F分别是，上的点，若，则的最小值是 ． 58．（2024·吉林松原·三模）如图①是液体沙漏的平面示意图（数据如图），经过一段时间后的液体如图②所示，此时液面 ． 59．（2024·吉林·模拟预测）如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则的长为 ． 60．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D、B，使点A、D、B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取一点C，测得如果，则河宽为 ． 61．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，她调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，则树高 m．    62．（2024·吉林长春·三模）如图，在中，点、为边的三等分点，点、在边上，，交于点．若，则的长为 ． 锐角三角函数 63．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，放风筝的人与风筝的水平距离是90米，若拉紧的风筝线与水平线的夹角，则放出的线的长度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 64．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．则可表示为（    ） A． B． C． D． 65．（2024·吉林·模拟预测）如图，测量的距离，可以在小河边取的垂线上的一点，测量得米，，则小河宽为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 66．（2024·吉林长春·模拟预测）计算： ． 67．（2024·吉林松原·模拟预测）木栏头灯塔是矗立在海南岛文晶市的一座航标灯塔（如图①），被称为“亚洲第一灯塔”，如图②，虎威岛A位于木栏头灯塔O的南偏西方向上，一艘轮船在B处测得灯塔O位于它的北偏西方向上，轮船沿着正北方向航行后，到达位于灯塔O正东方向上的C处，该船继续向北航行至直线上的点D处． (1)填空： ______度， ______度； (2)求点D到灯塔O的距离（参考数据，，，．结果精确到小数点后一位）． 68．（2024·吉林白城·模拟预测）桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图①是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子．备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械，下面为某学习小组制定的项目式学习表． 根据上述信息，求点A位于最高点时到地面的距离（结果精确到0.1米，参考数据： ，）， 投影与视图 69．（2024·吉林长春·模拟预测）下列几何体中，其主视图和俯视图完全相同的是（    ） A． B． C． D． 70．（2024·吉林·二模）下列四种体育用球的主视图、左视图和俯视图都相同的是（    ） A． B． C． D． 71．（2024·吉林长春·二模）如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体搭成的，将小正方体移走后，新的几何体的正视图为（    ）    A．   B．   C．   D．   72．（2024·吉林长春·三模）榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，这种连接方式不但可以承受较大的荷载，而且允许产生一定的变形．右图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（   ） A． B． C． D． 73．（2024·吉林长春·二模）如图是由6个相同的小正方体组合而成的立体图形，其中的4个小正方体标注了数字，若移走1个小正方体后，该立体图形的左视图发生改变，则移走的小正方体上标注的数字为（   ） A．① B．② C．③ D．④ 74．（2024·吉林松原·三模）如图是由7个相同的小正方体拼成的立体图形，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下的几何体与原几何体的左视图相同，则取走的小正方体不可能是（    ） A．④ B．③ C．② D．① 75．（2024·吉林长春·一模）下列几何体中，其俯视图是四边形的是（    ） A．   B．   C．   D．   相交线与平行线 76．（2024·吉林长春·模拟预测）如图为商场某品牌椅子的实物图和侧面图．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 77．（2024·吉林长春·一模）一副三角尺按如图方式摆放，点D在直线上，且，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 78．（2024·吉林长春·三模）将一副三角板按如图所示的方式摆放，，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 79．（2024·吉林·二模）小军将一副三角板按如图所示的方式摆放， 其中，，， 若， 则图中的度数为(    ) A． B． C． D． 80．（2024·吉林·一模）如图，已知直线，直线与a、b分别交于点B、C．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 81．（2024·吉林长春·一模）如图，在矩形中，，E为的中点，若P、Q为边上的两个动点，且，若想使得四边形的周长最小，则的长度应为 ． 82．（2024·吉林·三模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则 °． 83．（2024·吉林长春·二模）如图，点为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点，、交于点，、交于点，连结，给出下面四个结论：；；；．上述结论中，一定正确的是 （填所有正确结论的序号）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 图形的变化、相交线与平行线 （解析版） 平移与轴对称 1．（2021·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的斜边OA在y轴上，，点B在第一象限．标记点B的位置后，将沿x轴正方向平移至的位置，使经过点B，再标记点的位置，继续平移至的位置，使经过点，此时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件结合等腰直角三角形的性质先求出点B ，点，即可得出点向右每次平移个单位长度，而为点B向右平移2个单位后的点，根据点平移规律即可得到答案 【详解】如图过点B作， 为等腰直角三角形，斜边在轴上， ， 向右平移至，点B在上，同理可得点的坐标为 每次向右平移1个单位，即点向右每次平移个单位， 为点B向右平移2个单位后的点 点的坐标为 故答案为： 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及坐标与图像变换—平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图像上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减． 2．（2023·吉林长春·中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．    【答案】 【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， 则， ∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， ∴，， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 3．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．    【答案】 【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵将沿折叠，点的对应点为点．点刚好落在边上，在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．（2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上． (1)在图①中，四边形面积为2； (2)在图②中，四边形面积为3； (3)在图③中，四边形面积为4． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查网格作图、设计图案、轴对称的性质、平移的性质等知识点，根据轴对称的性质、平移的性质作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为2四边形即可． （2）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为3四边形即可． （3）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为4四边形即可． 【详解】（1）解：如图①：四边形即为所求； （不唯一）． （2）解：如图②：四边形即为所求； （不唯一）． （3）解：如图③：四边形即为所求； （不唯一）． 5．（2024·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形，图②中已画出以为半径的，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，面出四边形的一条对称轴． (2)在图②中，画出经过点E的的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等： （1）如图所示，取格点E、F，作直线，则直线即为所求； （2）如图所示，取格点，作直线，则直线即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，取格点E、F，作直线，则直线即为所求； 易证明四边形是矩形，且E、F分别为的中点； （2）解：如图所示，取格点，作直线，则直线即为所求； 易证明四边形是正方形，点E为正方形的中心，则． 6．（2022·吉林·中考真题）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点，，均在格点上．请在给定的网格中按要求画四边形． (1)在图①中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形； (2)在图②中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是中心对称图形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）以所在直线为对称轴，找出点的对称点即为点，再顺次连接点即可得； （2）根据点平移至点的方式，将点进行平移即可得点，再顺次连接点即可得． 【详解】（1）解：如图①，四边形是轴对称图形． （2）解：先将点向左平移2格，再向上平移1个可得到点， 则将点按照同样的平移方式可得到点， 如图②，平行四边形是中心对称图形． 【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形、平移作图，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解题关键． 7．（2020·吉林·中考真题）如图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．，，均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图： （1）在图①中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点． （2）在图②中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点． （3）在图③中，画一个，使与关于某条直线对称，且，，为格点． 【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）图见解析． 【分析】（1）先画出一条的正方形网格的对称轴，根据对称性即可在图①中，描出点AB的对称点MN，它们一定在格点上，再连接即可． （2）同（1）方法可解； （3）同（1）方法可解； 【详解】解：（1）如图①，的正方形网格的对称轴l，描出点AB关于直线l的对称点MN，连接即为所求； （2）如图②，同理（1）可得，即为所求； （3）如图③，同理（1）可得，即为所求． 【点睛】本题考查了作图轴对称变换，解决本题的关键是找到图形对称轴的位置． 旋转 8．（2024·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 9．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出． 【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意； B．∵， ∴， ∴一定成立，故B不符合题意； C．∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴一定成立，故C不符合题意； D．不一定成立，故D符合题意． 10．（2024·吉林长春·中考真题）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键． 由旋转的性质可得,即，再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心，以为半径的圆弧的长即可解答． 【详解】解：∵将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上， ∴,即， ∴点A经过的路径长至少为． 故答案为：． 11．（2022·吉林·中考真题）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角可以为 度．（写出一个即可） 【答案】60或120或180或240或300（写出一个即可） 【分析】如图（见解析），求出图中正六边形的中心角，再根据旋转的定义即可得． 【详解】解：这个图案对应着如图所示的一个正六边形，它的中心角， ， 角可以为或或或或， 故答案为：60或120或180或240或300（写出一个即可）． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角、图形的旋转，熟练掌握正多边形的性质是解题关键． 12．（2021·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可求得和的长度，进而可求得点的坐标． 【详解】解：作轴于点， 由旋转可得，轴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴点坐标为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转找到题目中线段之间的关系． 图形的相似 13．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”． 14．（2024·吉林长春·中考真题）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③当，时，； ④当，时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②③ 【分析】如图：连接，由圆周角定理可判定①；先说明、可得、，即可判定②；先证明可得,即,代入数据可得，然后运用勾股定理可得，再结合即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O，连接，易得，从而证明是等边三角形，即是菱形，然后得到，再解直角三角形可得，根据三角形面积公式可得，最后根据三角形的中线将三角形平分即可判定④． 【详解】解：如图：连接， ∵是的中点， ∴, ∴，即①正确； ∵是直径， ∴， ∴， ∵ ∴, ∵， ∴， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴,即②正确； 在和, ， ∴， ∴,即, ∴，即, ∴, ∵， ∴，即③正确； 如图：假设半圆的圆心为O，连接， ∵，，是的中点， ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，即是菱形， ∴， ∵， ∴，即，解得：, ∴， ∵ ∴，即④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 15．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到，，再证明，进而可证明，由相似三角形的性质可得，即． 【详解】解：∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 16．（2023·吉林长春·中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．      【答案】 【分析】根据位似图形的性质即可求出答案． 【详解】解：， ， 设周长为，设周长为， 和是以点为位似中心的位似图形， ． ． 和的周长之比为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质． 17．（2021·吉林·中考真题）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为 ．    【答案】2.7 【分析】根据，可得，进而得出即可． 【详解】解：如图，过作于，则， ∴，即， 解得， 故答案为：2.7    【点睛】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质． 18．（2020·吉林·中考真题）如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】先根据三角形中位线定理得出，再根据相似三角形的判定与性质得出，从而可得的面积，由此即可得出答案． 【详解】点，分别是边，的中点 ，即 又 则四边形的面积为 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 19．（2020·吉林·中考真题）如图，．若，，则 ． 【答案】10 【分析】根据平行线分线段成比例得到，由条件即可算出DF的值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 20．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． (1)当点是边的中点时，求的长； (2)当时，点到直线的距离为________； (3)连结，当时，求正方形的边长； (4)若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为________．（写出一个即可） 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握面积法是解题的关键；（1）根据等腰三角形三线合一性质，利用勾股定理即可求解；（2）利用面积法三角形面积相等即可；（3）设，则，，过点作于 ，根据，建立方程；即可求解；（4）第一种情况，，在异侧时，设，，则，证明，得到，即可求解；第二种情况，当，在同侧，设，则，，，求得，解方程即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可知：， 为等腰三角形，故点是边的中点时，； 在中，； （2）根据题意作，如图所示； 当时，则， 设点到直线的距离为， ， 解得：； （3）如图，当时，点落在上， 设，则，， 过点作于 则， ， ， 解得： 故， 所以正方形的边长为； （4）如图，，在异侧时； 设，，则 三边的比值为， ， ， 当，在同侧 设，则，， 三边比为， 三边比为， 设，则，， 解得： 综上所述：的长为或 21．（2023·吉林长春·中考真题）如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）    (1)当点和点重合时，线段的长为__________； (2)当点和点重合时，求； (3)当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由； (4)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)或或 【分析】（1）证明四边形是矩形，进而在中，勾股定理即可求解． （2）证明，得出； （3）过点作于点，证明得出，即可得出结论 （4）分三种情况讨论，①如图所示，当点在上时，②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接，      ∵四边形是矩形 ∴ ∵， ∴四边形是矩形， 当点和点重合时， ∴， 在中，， 故答案为：． （2）如图所示，    ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图所示，过点作于点，    ∵，， ∴， 则四边形是矩形， ∴ 又∵ ∴， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形； （4）①如图所示，当点在上时，    ∵， 在中，， 则， ∵，则，， 在中，， ∴ 解得： 当时，点在矩形内部，符合题意， ∴符合题意， ②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，    则，， 在中， ， 解得：， ③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，此时    综上所述，或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键． 22．（2023·吉林·中考真题）如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动．连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），四边形的面积为（）   　　   (1)的长为__________，的长为_________．（用含x的代数式表示） (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出，可得四边形是平行四边形，证明即可； （2）分，两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解； （3）根据（2）的图形，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点是正方形对角线的中点， ∴，则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴ 故答案为：；． （2）解：当时，点在上，    由（1）可得， 同理可得， ∵，， 则 ； 当时，如图所示，    则，， ， ∴； 综上所述，； （3）依题意，①如图，当四边形是矩形时，此时， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即， 解得：，    当四边形是菱形时，则， ∴， 解得：（舍去）； ②如图所示，当时，四边形是轴对称图形，    ，解得， 当四边形是菱形时，则，即，解得：（舍去）， 综上所述，当四边形是轴对称图形时，或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23．（2022·吉林长春·中考真题）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．      (1)网格中的形状是________； (2)在图①中确定一点D，连结、，使与全等： (3)在图②中的边上确定一点E，连结，使： (4)在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2． 【答案】(1)直角三角形 (2)见解析（答案不唯一） (3)见解析 (4)翙解析 【分析】（1）运用勾股定理分别计算出AB，AC，BC的长，再运用勾股定理逆定理进行判断即可得到结论； （2）作出点A关于BC的对称点D，连接BD，CD即可得出与全等： （3）过点A作AE⊥BC于点E，则可知： （4）作出以AB为斜边的等腰直角三角形，作出斜边上的高，交AB于点P，交BC于点Q，则点P，Q即为所求． 【详解】（1）∵ ∴, ∴是直角三角形， 故答案为：直角三角形； （2）如图，点D即为所求作，使与全等：      （3）如图所示，点E即为所作，且使：    （4）如图，点P，Q即为所求，使得，且相似比为1：2．    【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定，熟练掌握相关定理是解答本题的关键． 锐角三角函数 24．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　）      A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解 【详解】解：由题意得： ∴千米 故选：A 25．（2023·吉林长春·中考真题）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】根据余弦值的概念即邻边与斜边之比，即可求出答案. 【详解】解：表示的是地面，表示是图书馆， ， 为直角三角形， （米）. 故选：D. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的概念. 26．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可． 【详解】∵BC⊥AC， ∴△ABC是直角三角形， ∵∠ABC=α， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键． 27．（2021·吉林长春·中考真题）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜边AB，求∠BAC的对边，选择∠BAC的正弦，列出等式即可表示出来． 【详解】在Rt△ABC中， , 即， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是根据解三角函数的定义，列出方程． 28．（2020·吉林长春·中考真题）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解； 【详解】由题可知，△ABD是直角三角形，， ，,． 选项B、C、D都是错误的， 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解，准确理解是解题的关键． 29．（2024·吉林·中考真题）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求吉塔的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意和添加辅助线是解题的关键． 先解得到，再解，，即可求解． 【详解】解：延长交于点G，由题意得， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：吉塔的高度约为． 30．（2020·吉林·中考真题）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部相距的处，用高的测角仪测得该塔顶端的仰角为．求塔的高度（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】通过，可求出AE的长，从而得到AB的高度． 【详解】解：由题意可知，，， 在直角△ADE中，， ∵， ∴，即， ∴， 因此塔的高度为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用问题，熟练掌握三角函数是解题的关键． 投影与视图 31．（2024·吉林长春·中考真题）南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（　　）． A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．右视图 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解决本题的关键． 根据三视图主视图、俯视图、左视图的定义即可解答． 【详解】解：由题意可知图③是从“四角亭”上方看到的，即为俯视图． 故选B． 32．（2024·吉林·中考真题）葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．主视图、左视图与俯视图都相同 【答案】A 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义找到葫芦的三视图即可得到答案． 【详解】解：葫芦的俯视图是两个同心圆，且带有圆心，主视图和俯视图都是下面一个较大的圆，中间一个较小的圆，上面是一条线段， 故选：A． 33．（2023·吉林·中考真题）图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（    ）      A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】主视图是从几何体正面观察到的视图． 【详解】解：领奖台从正面看，是由三个长方形组成的．三个长方形，右边最低，中间最高， 故选A． 【点睛】本题考查主视图，掌握三视图的特征是解题关键． 34．（2022·吉林长春·中考真题）图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三视图的概念，从正面看到的图形就是主视图，再根据小正方体的个数和排列进行作答即可． 【详解】正面看，其主视图为： 故选：A． 【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看所得到的图形，主视图是 从正面看所得到的图形，左视图时从左面看所得到的图形，熟练掌握知识点是解题的关键． 35．（2022·吉林·中考真题）吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．下图是一款松花砚的示意图，其俯视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图）即可得． 【详解】解：其俯视图是由两个同心圆（不含圆心）组成，即为 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了俯视图，熟记定义是解题关键． 36．（2021·吉林·中考真题）如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形． 【详解】解：粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形． 故选：A． 【点睛】本题考查简单组合几何体的三视图，解题关键是掌握主视图是从正面看到的图形． 37．（2021·吉林长春·中考真题）如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（    ） A．圆锥 B．长方体 C．球 D．圆柱 【答案】D 【分析】根据三视图的定义及性质：“长对正，宽相等、高平齐”，可知该几何体为圆柱 【详解】主视图和俯视图为矩形，则该几何体为柱体，根据左视图为圆，可知该几何体为：圆柱 A、B、C选项不符合题意，D符合题意． 故选D． 【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键． 38．（2020·吉林·中考真题）如图，由个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图的定义即可得． 【详解】由左视图的定义得：这个立体图形的左视图由2行1列组成，其中，每行上只有1个小正方形，1列上有2个小正方形 观察四个选项可知，只有选项A符合 故选：A． 【点睛】本题考查了左视图的定义，熟记定义是解题关键．三视图的另两个概念是：主视图和俯视图，这是常考点，需掌握． 相交线与平行线 39．（2024·吉林·中考真题）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据得到，再由四边形内接于得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴, 故选：C． 40．（2022·吉林·中考真题）如图，如果，那么，其依据可以简单说成（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】根据“同位角相等，两直线平行”即可得． 【详解】解：因为与是一对相等的同位角，得出结论是， 所以其依据可以简单说成同位角相等，两直线平行， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键． 41．（2024·吉林长春·中考真题）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键． 根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论． 【详解】解：， 故选：D． 42．（2021·吉林长春·中考真题）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，，则的大小为 度． 【答案】 【分析】根据两直线平行，得同位角相等，根据三角形外角性质求得，利用平角为即可求解． 【详解】设交于点G 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，平角的概念，解题的关键是构建未知量和已知量之间的关系． 43．（2020·吉林·中考真题）如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短． 【详解】通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【点睛】此题主要考查点到直线的距离，动手比较、发现结论是解题关键． 44．（2023·吉林·中考真题）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形其中判定的依据是__________． 【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，与边分别交于点M，N．求证：是菱形． 【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上．当时，延长交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，（为锐角），则四边形的面积为_________．    【答案】（操作发现），两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（探究提升），见解析；（结论应用），80 【分析】（操作发现），根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可； （探究提升），证明四边形是平行四边形，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立； （结论应用），证明四边形是菱形，求得其边长为10，作于Q，利用正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：（操作发现），∵两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起， ∴，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （探究提升），∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴平行四边形是菱形； （结论应用），∵平行四边形纸条沿或平移， ∴，， ∴四边形、、是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵四边形是菱形， ∴四边形是菱形， ∵四边形的周长为40， ∴， 作于Q，    ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：80． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 45．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整． 【作业】如图①，直线，与的面积相等吗？为什么？ 解：相等．理由如下： 设与之间的距离为，则，． ∴． 【探究】 (1)如图②，当点在，之间时，设点，到直线的距离分别为，，则． 证明：∵ (2)如图③，当点在，之间时，连接并延长交于点，则． 证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则， ∴ ． ∴ ． ∴． 由【探究】（1）可知 ， ∴． (3)如图④，当点在下方时，连接交于点．若点，，所对应的刻度值分别为5，1.5，0，的值为 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式可得，由此即可得证； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，先根据平行线的判定可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，然后结合【探究】（1）的结论即可得证； （3）过点作于点，过点作于点，先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式可得，，由此即可得出答案． 【详解】（1）证明：，， ． （2）证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则， ． ． ． 由【探究】（1）可知， ． （3）解：过点作于点，过点作于点，则， ， ， ， 点所对应的刻度值分别为5，，0， ，， ， 又，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 平移与轴对称 46．（2024·吉林·模拟预测）如图，把一张长方形纸片沿折叠，折叠后点C，D的对应点分别是M，N，与交于点G．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质；熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先用平行线的性质得到，再由折叠的性质得到，即可得到的度数，即可进行解答． 【详解】解：， ，； 由折叠的性质得到， ； ， ， ． 故选A． 47．（2024·吉林长春·二模）如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，，则阴影部分的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查求阴影部分的面积，平移的性质，根据平移的性质，得到阴影部分的面积等于梯形的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵其中一个三角形沿着方向平移到的位置， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 48．（23-24七年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将沿x轴正方向平移至，此时点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【详解】解：∵点O平移到点， ∴将沿x轴正方向向右平移4个单位长度， ∴点平移至点C的坐标为，即． 故答案为：． 49．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点A落到E处，交于点F，折痕为，若,，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质，平行四边形的性质以及三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点A落到E处， ，， 四边形纸片为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 50．（2024·吉林长春·三模）将图①中长、宽的长方形白纸条折成如图2的图形，并在其一面着色，则图②中着色部分的面积为 ． 【答案】26 【分析】本题考查的是折叠的性质，由折叠可知，重叠部分是两个等腰直角三角形，再利用面积差可得答案. 【详解】解：由折叠可知，重叠部分是两个等腰直角三角形， 即一个边长为的正方形， 所以着色部分的面积为：． 故答案为：26 51．（2024·吉林长春·二模）如图，正方形的边长为，点在边上且，点是上一动点，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】此题考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，得出的最小值时点位置是解题关键．连接，由正方形的性质可得点B和点D关于直线对称，就是的最小值，最后运用正方形的性质和勾股定理先计算出的长度即可解答． 【详解】解：如图，连接， 点和点关于直线对称， ， 则就是的最小值， 正方形的边长是，， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 旋转 52．（2024·吉林长春·二模）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形为矩形，长为4米，长为1米，点C与点N重合．道闸打开的过程中，如图②，边固定，连杆、分别绕点A、D转动，且边始终与边平行．当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为0.8米，则点P到的距离的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的性质和判定，旋转的性质，由题知，米，利用解直角三角形得到，证明四边形为矩形，根据求解，即可解题． 【详解】解：由题知，米， 当道闸打开至时，为0.8米， 米， ， 四边形为矩形， 米， 故选：D． 53．（2024·吉林长春·一模）如图，在中，．将绕点B逆时针旋转得到，当的边经过点A时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用旋转的性质得出，，利用等边对等角得出，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵旋转， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 54．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度．    【答案】60 【分析】本题考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键．观察图形可得，图形由六个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【详解】解：图形可看作由一个基本图形旋转6次所组成，故最小旋转角为 故答案为：60． 55．（2024·吉林长春·三模）如图，将绕点A逆时针旋转43°得到，点B的对应点D恰好落在边上，则的度数为 ． 【答案】/43度 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是银题的关键． 由旋转得，，再根据“8字型”可得． 【详解】解：由旋转得，， ，， ． 故答案为：． 56．（2024·吉林长春·一模）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点的对应点为．若，，则的大小为 度． 【答案】65 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 先根据直角三角形两锐角互余可得，再根据旋转的性质可得即可． 【详解】解：∵，， ． 由旋转的性质可得，． 故答案为：65． 图形的相似 57．（2024·吉林·模拟预测）如图，在菱形中，，，点E，F分别是，上的点，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理，会构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意构造相似三角形，作，取，连接，，得到，进而得出，当三点共线时，的值最小，即的值最小，最后利用勾股定理即可解出． 【详解】作，取，连接，，如图所示， 在菱形中， ， ， ， ， ， 当三点共线时，的值最小，即的值最小， 在菱形中，， ，是等腰三角形， ，， ， 在中，， ， 故答案为：． 58．（2024·吉林松原·三模）如图①是液体沙漏的平面示意图（数据如图），经过一段时间后的液体如图②所示，此时液面 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了，相似三角形的实际应用，求相似比，解题的关键是：将实际问题转化为数学模型． 画出截面图，过点C作交于点G，交于点F，由，列出等量关系式，即可求解． 【详解】解：如图所示为沙漏横截面，过点C作交于点G，交于点F， 由题意得：， ∵， ∴分别是边上的高， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 故答案为： 59．（2024·吉林·模拟预测）如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例得到，将数据代入即可求出答案． 【详解】， ， ， ． 故答案为：6． 60．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D、B，使点A、D、B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取一点C，测得如果，则河宽为 ． 【答案】45 【分析】本题考查了相似三角形的应用．证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ 解得：， 即河宽为． 故答案为：45 61．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，她调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，则树高 m．    【答案】7.5 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，并根据比例关系求值是解题的关键．根据题意证，根据线段比例关系求出即可求出的长． 【详解】解：，， ， ，， ， ，， ， ， ， 故答案为：7.5 62．（2024·吉林长春·三模）如图，在中，点、为边的三等分点，点、在边上，，交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键．利用平行线的性质得到，利用相似三角形的性质求得的长度，利用平行线分线段成比例定理求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【详解】点，为边的三等分点， ， ， ， ， ， 点，为边的三等分点，， 点，为边的三等分点， ， ， ， ， ． 故答案为： 锐角三角函数 63．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，放风筝的人与风筝的水平距离是90米，若拉紧的风筝线与水平线的夹角，则放出的线的长度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：∵米，，， ∴， ∴， 故选：A． 64．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设扶梯的长度为x米，利用正弦的定义得到，然后求出x即可，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 【详解】解：设扶梯的长度为x米， 由题意得，， 解得, 故选D． 65．（2024·吉林·模拟预测）如图，测量的距离，可以在小河边取的垂线上的一点，测量得米，，则小河宽为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据正切的定义计算即可得出答案，熟练掌握正切的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵米，， ∴（米）， 故选：C． 66．（2024·吉林长春·模拟预测）计算： ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了负整数次幂、特殊角的三角函数值等知识点，掌握常见的特殊角的三角函数值成为解题的关键． 先根据负整数次幂、特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解：． 故答案为：0． 67．（2024·吉林松原·模拟预测）木栏头灯塔是矗立在海南岛文晶市的一座航标灯塔（如图①），被称为“亚洲第一灯塔”，如图②，虎威岛A位于木栏头灯塔O的南偏西方向上，一艘轮船在B处测得灯塔O位于它的北偏西方向上，轮船沿着正北方向航行后，到达位于灯塔O正东方向上的C处，该船继续向北航行至直线上的点D处． (1)填空： ______度， ______度； (2)求点D到灯塔O的距离（参考数据，，，．结果精确到小数点后一位）． 【答案】(1)45，50 (2)点D到灯塔O的距离约为 【分析】本题考查了方位角的定义，锐角三角函数的定义，路程、速度、时间之间的数量关系，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据方位角的定义及平行线的性质即可解答； （2）先在中求出，在中，根据锐角三角函数的定义可知，计算即可得出答案； 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45，50； （2）解：由题意可知：， 在中， ， ∴， 在中，， ∴， 答：点D到灯塔O的距离约为． 68．（2024·吉林白城·模拟预测）桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图①是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子．备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械，下面为某学习小组制定的项目式学习表． 根据上述信息，求点A位于最高点时到地面的距离（结果精确到0.1米，参考数据： ，）， 【答案】4.7米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．如图，作，于，则，，求解，然后根据点A位于最高点时到地面的距离为，计算求解即可． 【详解】解：解：如图，作，于， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵米，， ∴（米）， ∴， ∴， ∴点A位于最高点时到地面的距离为米． 投影与视图 69．（2024·吉林长春·模拟预测）下列几何体中，其主视图和俯视图完全相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了简单几何体的三种视图，主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形．掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 【详解】解：A．圆柱的主视图是矩形，俯视图是一个圆形，不符合题意； B．圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆（带圆心），不符合题意； C．球的三视图都是大小相同的圆，符合题意； D．三棱柱的主视图一行三个相邻的矩形，俯视图是一六边形，不符合题意． 故选：C． 70．（2024·吉林·二模）下列四种体育用球的主视图、左视图和俯视图都相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图．分别找到每个选项的三视图，即可求解． 【详解】解：A、C、D选项的主视图、左视图或俯视图不尽相同，都不符合题意； B选项的主视图、左视图和俯视图都是圆，故本选项符合题意； 故选：B． 71．（2024·吉林长春·二模）如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体搭成的，将小正方体移走后，新的几何体的正视图为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从正面看得到的图形是正视图，可判断将A移走后走后，新的几何体的正视图． 【详解】解：将小正方体移走后，从正面看，最左边有上下两个正方形，右边有一个正方形， 故选：A． 72．（2024·吉林长春·三模）榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，这种连接方式不但可以承受较大的荷载，而且允许产生一定的变形．右图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三视图，掌握俯视图是从上面看到的图形是解题关键．注意：可见部分的轮廓线用实线表示，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线用虚线表示． 根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得答案． 【详解】解：根据主视图可以发现，顶端是一个上宽下窄的梯形， 从上往下看立体图，可以得到俯视图的形状应该是四根实线夹着两根虚线的长方形，如图， 故选：D． 73．（2024·吉林长春·二模）如图是由6个相同的小正方体组合而成的立体图形，其中的4个小正方体标注了数字，若移走1个小正方体后，该立体图形的左视图发生改变，则移走的小正方体上标注的数字为（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】经过观察移走④几何体的左视图不会发生变化． 本题考查几何体从不同方向看的问题，能根据不同方向观察图形是解题的关键． 【详解】解：将①或②或③移走都不会改变几何体的左视图， 移走④后几何体的左视图右边会少一个正方形． 故选:D 74．（2024·吉林松原·三模）如图是由7个相同的小正方体拼成的立体图形，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下的几何体与原几何体的左视图相同，则取走的小正方体不可能是（    ） A．④ B．③ C．② D．① 【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：若取走标有④的小正方体，则左视图只有上下两个正方形，比原来少了右侧的一个正方形；只取走标有①或②或③的小正方体，左视图不变， 所以取走的正方体不可能是④． 故选：A． 75．（2024·吉林长春·一模）下列几何体中，其俯视图是四边形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上方看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：A．俯视图为圆，不符合题意； B、俯视图为三角形，不符合题意； C、俯视图为圆，不符合题意； D、俯视图为四边形，符合题意； 故选D． 相交线与平行线 76．（2024·吉林长春·模拟预测）如图为商场某品牌椅子的实物图和侧面图．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据题意推出，最后根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选B． 77．（2024·吉林长春·一模）一副三角尺按如图方式摆放，点D在直线上，且，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角板中角度的计算，关键是由平行线的性质推出，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ． 故选：D． 78．（2024·吉林长春·三模）将一副三角板按如图所示的方式摆放，，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质与判定，三角板中角度的计算；设交于点，根据题意可得，则，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵， ∴ ∴ ∴， 故选：A． 79．（2024·吉林·二模）小军将一副三角板按如图所示的方式摆放， 其中，，， 若， 则图中的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，设与交于点，根据平行线的性质可得，则． 【详解】解：设与交于点， 由题意得，，， ， ， ． 故选：C． 80．（2024·吉林·一模）如图，已知直线，直线与a、b分别交于点B、C．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质以及三角形的外角定理，熟练掌握“两直线平行，内错角相等”以及三角形的外角定理是解题的关键． 根据“”得出，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 又∵ ∴ 故选：A． 81．（2024·吉林长春·一模）如图，在矩形中，，E为的中点，若P、Q为边上的两个动点，且，若想使得四边形的周长最小，则的长度应为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平行线性质，相似三角形判定及性质等．根据题意在上截取，作点F关于的对称点G连接与交于点Q，过点A作，过G作交于点H，即可得到，再利用相似三角形性质求出本题答案． 【详解】解：∵四边形的周长中和是定值， ∴要使四边形的周长最小，只要最小即可； 在上截取，作点F关于的对称点G连接与交于点Q，过点A作，过G作交于点H， ∴，， ∵，E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 82．（2024·吉林·三模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则 °． 【答案】25 【分析】由平行线的性质求出，然后根据三角形外角的性质即可求解．本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数，由三角形外角的性质即可解决问题． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ∵ ． 故答案为：． 83．（2024·吉林长春·二模）如图，点为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点，、交于点，、交于点，连结，给出下面四个结论：；；；．上述结论中，一定正确的是 （填所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，关键是由等边三角形的性质推出，，判定是等边三角形。 由判定，推出，由对顶角的性质得到，由三角形内角和定理得到，由判定，推出，而，得到是等边三角形，因此，得到，推出，在变化，不一定是． 【详解】解：、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 故符合题意； ，，， ， 故符合题意； ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故符合题意； 在上的位置在变化， 在变化，不一定是， 故不符合题意． 正确的是． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$