6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式 课件 +学案+作业 2024-2025学年苏科版八年级数学上册

八年级数学导学案 课题：6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式 主备人： 审核人： 姓名： 班级： _________ 学号： __________ 日期： 【学习目标】 1．经历实际问题中的数量关系的分析、抽象初步体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系. 2．了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系. 【重点和难点】 重点：通过具体实例，初步体会一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的内在联系． 难点：了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系. 【课前预习作业】 一根长25cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体.在弹簧伸长后的长度不超过35cm的限度内，每挂1kg质量的物体，弹簧伸长0.5cm，如果设所挂物体的质量是x kg，弹簧的长度是y cm. 问题1：求x与y之间的函数表达式，并画出函数的图像. 问题2：求该弹簧所挂物体的最大质量. 问题3：能否用一元一次不等式求该弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量？ 【课堂探究活动】 探究一：一次函数与一元一次方程联系 问题1：求一元一次方程2x-4=0的解. 问题2：一次函数y=2x-4，请问x取什么值时，y=0？ 问题3：根据一次函数y=2x-4的图像，当自变量x取什么值时，函数值y=0？ 探究二：一次函数与一元一次不等式的联系 问题1：求一元一次不等式2x-4＞0，2x-4<0的解集. 问题2：一次函数y=2x-4，请问y＞0，x的取值范围是什么？y＜0，x的取值范围是什么？ 问题3：根据一次函数y=2x-4的图像，你能说出不等式2x-4>0,2x-4<0的解集吗？ 【当堂训练】 1.一次函数的图像如图所示，则它的解析式为 ， 当x 时，y=0；当x 时，y>0. 2.如果一元一次方程2x+m=0的根是x=-1，那么一次函数y=2x+m的图像与x轴交点的坐标为 . . 3.已知函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图像， 观察图像并回答问题： （1）x取何值时，2x－4＞0？ （2）x取何值时，－2x＋8＞0？ （3）x取何值时，2x－4＞0与－2x＋8＞0同时成立？ （4）x取何值时，2x－4＞－2x＋8 （5）求函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图像与x轴 所围成的三角形的面积？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$6.6一次函数、一元一次方程 和一元一次不等式 一根长25cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体.在弹簧伸长后的长度不超过35cm的限度内，每挂1kg质量的物体，弹簧伸长0.5cm，如果设所挂物体的质量是x kg，弹簧的长度是y cm. 明确目标自主学 问题1：求x与y之间的函数表达式，并画出函数的图像. 根据题意，这根弹簧挂x kg质量的物体后，伸长了0.5xcm，此时弹簧的长度是（0.5x＋25）cm，即得x与y之间得函数表达式为 y=0.5x+25 一次函数 情境导入 是什么函数呢？ 因为所挂物体的质量越大，弹簧的长度越长，又因为挂上物体后弹簧得长度不能超过35cm，所以当y＝35时，该弹簧所挂物体得质量最大. 解 一元一次方程 0.5x+25=35 x=20 所以该弹簧所挂物体的最大质量是20kg. 问题2：求该弹簧所挂物体的最大质量. 问题3：能否用一元一次不等式求该弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量？ 挂上物体后弹簧得长度不能超过35cm，即y≤35 得一元一次不等式0.5x+25≤35 解得x≤20 所以该弹簧所挂物体的最大质量是20kg. 一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着紧密的联系 问题1：求一元一次方程2x-4=0的解 探究一：一次函数与一元一次方程联系 问题2：一次函数y=2x-4，请问x取什么值时，y=0？ 问题3：根据一次函数y=2x-4的图像， 当自变量x取什么值时，函数值y=0？ x=2 令y=0，即2x-4=0，从而解得x=2 图像与x轴的交点的纵坐标y=0，即2x-4=0；即当x的取值为该一次函数的图像与x轴交点的横坐标时，能使2x-4=0 解决问题互动学 从数的角度看： 一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解 一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值y 0时x的取值 一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解 一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与 交点的 坐标 从形的角度看： 归纳小结 = x轴 横 1.一次函数 y=0.8x-2 与x轴的交点为（2.5,0）,你能说出方程 0.8x-2=0 的解吗？ 练习： x=2.5 2.已知：一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的坐标为(2,0)那么一元一次方程kx+b=0的解是x=_____. x y y=kx+b 2 o . 2 探究二：一次函数与一元一次不等式的联系 问题2：一次函数y=2x-4，请问y＞0，x的取值范围是什么？ y＜0，x的取值范围是什么？ 问题1：求一元一次不等式2x-4＞0，2x-4<0的解集 x＞2，x＜2 令y＞0，即2x-4＞0，从而解得x＞2 令y＜0，即2x-4＜0，从而解得x＜2 问题1：由图像可得，一次函数y=2x-8的图像与x轴交点为（4,0），所以要使y>0，即2x-8>0，应有x>4,要使y<0，即2x-8<0，应有x<0 问题2：因为任何一个不等式都可以化简成kx+b>0(或kx+b<0)的形式，所以一元一次不等式kx+b>0(或kx+b<0)的解集就是一次函数y=kx+b的函数值y>0（或y<0）时的取值范围 问题2：从图像看，一元一次不等式kx+b>0的解集就是直线y=kx+b位于x轴上方部分相应的取值范围，一元一次不等式kx+b<0的解集就是直线y=kx+b位于x轴下方部分相应的取值范围， 探究二：一次函数与一元一次不等式的联系 问题3：根据一次函数y=2x-4的图像，你能说出不等式2x-4>0,2x-4<0的解集吗？ y=2x-4 2 -4 x y 0 从图像看，一元一次不等式2x-4>0的解集就是直线y=2x-4位于x轴上方部分相应x的取值范围即x＞2，一元一次不等式2x-4<0的解集就是直线y=2x-4位于x轴下方部分相应x的取值范围即x＜2。 问题1：由图像可得，一次函数y=2x-8的图像与x轴交点为（4,0），所以要使y>0，即2x-8>0，应有x>4,要使y<0，即2x-8<0，应有x<0 问题2：因为任何一个不等式都可以化简成kx+b>0(或kx+b<0)的形式，所以一元一次不等式kx+b>0(或kx+b<0)的解集就是一次函数y=kx+b的函数值y>0（或y<0）时的取值范围 问题2：从图像看，一元一次不等式kx+b>0的解集就是直线y=kx+b位于x轴上方部分相应的取值范围，一元一次不等式kx+b<0的解集就是直线y=kx+b位于x轴下方部分相应的取值范围， 从数的角度看： 一元一次不等式 kx+b>0（k≠0）的解集 一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值y 0时x的取值范围 直线y=kx+b（k≠0）位于x轴 部分相应的x的取值范围 从形的角度看： 归纳小结 一元一次不等式 kx+b>0（k≠0）的解集 ＞ 上方 从数的角度看： 一元一次不等式 kx+b＜0（k≠0）的解集 一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值y 0时x的取值范围 直线y=kx+b（k≠0）位于x轴 部分相应的x的取值范围 从形的角度看： 归纳小结 一元一次不等式 kx+b＜0（k≠0）的解集 ＜ 下方 练习： 1.一次函数 y=-x+2 的图像如图所示,你能说出 -x+2＜0 的解集吗？ O x y y=-x+2 2 2 解集是 x＞2. 2.一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，你能说出 kx+b＜0 的解集吗？ O x y y=kx+b -4 解集是 x＜ -4. 3.试根据一次函数y＝2x＋4的图像说出方程2x＋4＝0的解和不等式2x＋4＞0、2x＋4＜0的解. 拓展延伸：根据函数y=2x+4的图像，你能确定不等式2x+4>2的解集吗？ y= 2 x=-2，x＞-2，x＜-2. 2x+4>2即y＞2 2x+4>2的解集为x＞-1 已知一次函数 y = 2x+1,根据它的图像回答下列问题. (1) x 取什么值时,函数值 y =5? (2) x 取什么值时,函数值 y ＞5? (3) x 取什么值时,函数值 y ＜5? 解：作出函数 y = 2x+1的图像 及直线y = 5 （如图） y = 2x +1 y= 5 从图中可知： （1）当 x = 2，函数值 y =5 （2）当x > 2 时，函数值 y＞5 （3）当x <2时，函数值 y ＜5 变式练习： 用画函数图像的方法解不等式5x+4＜2x+10 解法1:原不等式化为3x -6<0, 画出直线y = 3x -6(如图) 可以看出,当x<2 时这条直线上 的点在x轴的下方, 即这时y = 3x -6 <0 所以不等式的解集为x<2 拓展延伸： 2 -6 x y 0 y=3x-6 解法2:把5x+4＜2x+10看做两个一次函数 y1=5x+4和y2=2x+10, 画出y1=5x+4和y2=2x+10的图像. 10 -5 y2=2x+10 y1=5x+4 2 当x＜2时直线y1=5x+4上的点都在直线y2=2x+10的下方.即5x+4＜2x+10 x y 0 14 4 由图像可知它们的交点的横坐标为2. ∴此不等式的解集为x＜2 用画函数图像的方法解不等式5x+4＜2x+10 交点 10 -5 y2=2x+10 y1=5x+4 2 x y 0 14 4 两种解不等式的方法都是把不等式转化为比较直线上点的位置的高低 2 -6 x y 0 y=3x-6 当堂训练 1.一次函数的图像如图所示，则它的解析式为 ， 当x 时，y=0；当x 时，y>0. 2.如果一元一次方程2x+m=0的根是x=-1，那么一次函数y=2x+m的图像与x轴交点的坐标为 . 第1题 第2题 y=-2x+2 ＜1 =1 (-1,0) 提高能力反思学 3.已知函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图像， 观察图像并回答问题： （1）x取何值时，2x－4＞0？ （2）x取何值时，－2x＋8＞0？ （3）x取何值时，2x－4＞0 与－2x＋8＞0同时成立？ （4）x取何值时，2x－4＞－2x＋8 （5）求函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8 的图像与x轴所围成的三角形的面积？ y O 1 2 3 4 5 6 1 2 3 -1 -2 -3 -4 y1＝2x－4 y2＝－2x＋8 x 一辆汽车行驶了35km后，驶入高速公路，并105km/h的速度匀速行驶了xh.试根据上述情境，提出一些问题，并用一次函数、一元一次方程或一元一次不等式求解. 特别说明 通过这节课的学习，你有什么收获？ 小 结 $$ 八年级数学上册 6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式教案 【学习目标】 1．经历实际问题中的数量关系的分析、抽象初步体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系. 2．了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系. 【重点和难点】 重点：通过具体实例，初步体会一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的内在联系． 难点：了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系. 【课前预习作业】 一根长25cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体.在弹簧伸长后的长度不超过35cm的限度内，每挂1kg质量的物体，弹簧伸长0.5cm，如果设所挂物体的质量是x kg，弹簧的长度是y cm. 问题1：求x与y之间的函数表达式，并画出函数的图像. 问题2：求该弹簧所挂物体的最大质量. 问题3：能否用一元一次不等式求该弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量？ 【课堂探究活动】 探究一：一次函数与一元一次方程联系 问题1：求一元一次方程2x-4=0的解. 问题2：一次函数y=2x-4，请问x取什么值时，y=0？ 问题3：根据一次函数y=2x-4的图像，当自变量x取什么值时，函数值y=0？ 总结： 练习： 一次函数的图像如图所示， （1）求一元一次方程的解. （2）求一元一次方程的解. 探究二：一次函数与一元一次不等式的联系 问题1：求一元一次不等式2x-4＞0，2x-4<0的解集. 问题2：一次函数y=2x-4，请问y＞0，x的取值范围是什么？y＜0，x的取值范围是什么？ 问题3：根据一次函数y=2x-4的图像，你能说出不等式2x-4>0,2x-4<0的解集吗？ 总结： 练习： 如图，正比例函数y1=k1x的图像与一次函数 y2=k2x+b的图像相交于点A（3，4），当y1>y2时， 求x的取值范围？ 【当堂训练】 1.一次函数的图像如图所示，则它的解析式为 ， 当x 时，y=0；当x 时，y>0. 2.如果一元一次方程2x+m=0的根是x=-1，那么一次函数y=2x+m的图像与x轴交点的坐标为 . . 3.已知函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图像， 观察图像并回答问题： （1）x取何值时，2x－4＞0？ （2）x取何值时，－2x＋8＞0？ （3）x取何值时，2x－4＞0与－2x＋8＞0同时成立？ （4）x取何值时，2x－4＞－2x＋8 （5）求函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图像与x轴 所围成的三角形的面积？ 【课堂小结】 说说你对一次函数、一元一次方程和一元一次不等式关系的重新认识？ 【课堂检测】 1.如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像交x轴于点A(2，0)，则当y＞0时，x的取值范围是 ． 2.一次函数与的图像如图，则下列结论：①k＜0 ；②a＞0； ③当时，；④当x＜3时，y1＜y2，其中正确的有 ． 3.如图，一次函数的图象如图所示，则不等式0≤＜5的解集为　 ． 第1题图 第2题图 第3题图 4.如图，函数y＝ax＋b和y＝kx的图像交于点P， 则根据图像填空： （1）方程组的解是___ ____； （2）不等式ax＋b＜kx的解集是 . 5.已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3的交点坐标是_________． 【课堂小结】 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$