重难点提优03 圆中的模型（5大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版）

专题提优3 圆中的模型 题型01 定点定长作圆 1．如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（　　） A．π m2 B．π m2 C．π m2 D．π m2 【分析】小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为90°和一个半径为1、圆心角为60°的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围． 【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5， 所以面积πm2； 小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m， 则面积（m2）， 则小羊A在草地上的最大活动区域面积ππ（m2）． 故选：D． 【点评】本题考查了扇形的面积的计算，本题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成的，然后分别计算即可． 2．如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝EF，若AD＝3，则的长为（　　） A．π B．π C．π D．π 【分析】连接AC、AF，根据等腰直角三角形的性质得到∠DAE＝45°，AE＝3，根据旋转变换的性质、弧长公式计算，得到答案． 【解答】解：连接AC、AF， 由旋转的性质可知，BC＝EF，AB＝AE， ∵DE＝EF， ∴DE＝BC＝AD， 在Rt△ADE中，DE＝AD， ∴∠DAE＝45°，AE3， ∴∠EAB＝90°﹣45°＝45°，即旋转角为45°， ∴∠FAC＝45°， 在Rt△ABC中，AC9， ∴的长， 故选：A． 【点评】本题考查的是弧长的计算、旋转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键． 3．如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（　　） A．130° B．140° C．150° D．160° 【分析】根据题意得到四边形ABCD的四个顶点共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数． 【解答】解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示， ∴四边形ABCD为圆O的内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ABC＝40°， ∴∠ADC＝140°， 故选：B． 【点评】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键． 4．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AC＝AD＝3，BC＝2，则BD＝　　． 【分析】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于P，连接DP，在△BDP中，由勾股定理即可求出BD的长． 【解答】解： ∵AB＝AC＝AD＝3， ∴点B，C，D在以A为圆心，AB长为半径的同一个圆上，以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于P，连接DP， ∵DC∥AB， ∴， ∴DP＝CB＝2，BP＝3+3＝6， ∵PB是⊙A的直径， ∴∠PDB＝90°， ∴BD4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是作出以A为圆心，AB长为半径的圆，构建直角三角形，从而求解． 题型02 定弦定角 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（　　） A． B．22 C．22 D．4 【分析】由AE⊥BE知点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，利用勾股定理可得答案． 【解答】解：如图， ∵AE⊥BE， ∴点E在以AB为直径的半⊙O上， 连接CO交⊙O于点E′， ∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值， ∵AB＝4， ∴OA＝OB＝OE′＝2， ∵BC＝6， ∴OC2， 则CE′＝OC﹣OE′＝22， 故选：B． 【点评】本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质、勾股定理，根据AE⊥BE知点E在以AB为直径的半⊙O上是解题的关键． 2．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（　　） A．π B．π C．π D．π 【分析】如图，连OI，PI，AI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO＝180°﹣∠IPO﹣∠IOP＝180°（∠HOP+∠OPH）＝135°，并且易证△OPI≌△OAI，得到∠AIO＝∠PIO＝135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，在优弧AO取点P′，连P′A，P′O，可得∠AP′O＝180°﹣135°＝45°，得∠AOO＝90°，O′OOA2，然后利用弧长公式计算弧OA的长． 【解答】解：如图，连OI，PI，AI， ∵△OPH的内心为I， ∴∠IOP＝∠IOA，∠IPO＝∠IPH， ∴∠PIO＝180°﹣∠IPO﹣∠IOP＝180°（∠HOP+∠OPH）， 而PH⊥OA，即∠PHO＝90°， ∴∠PIO＝180°（∠HOP+∠OPH）＝180°（180°﹣90°）＝135°， 又∵OP＝OA，OI公共， 而∠IOP＝∠IOA， ∴△OPI≌△OAI， ∴∠AIO＝∠PIO＝135°， 所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上； 过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O， 在优弧AO取点P′，连P′A，P′O， ∵∠AIO＝135°， ∴∠AP′O＝180°﹣135°＝45°， ∴∠AO′O＝90°，而OA＝2cm， ∴O′OOA2， ∴弧OA的长π（cm）， 所以内心I所经过的路径长为 πcm． 故选：B． 【点评】本题考查了弧长的计算公式：l，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点I的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题． 3．已知以AB为直径的圆O，C为AB弧的中点，P为BC弧上任意一点，CD⊥CP交AP于D，连接BD，若AB＝6，则BD的最小值为 　　． 【分析】以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，依据∠ADC＝135°，可得点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的 ，依据△ACQ中，AQ＝3，即可解决问题． 【解答】解：如图所示，以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，连接AC，BC，BQ． ∵⊙O的直径为AB，C为的中点， ∴∠APC＝45°， 又∵CD⊥CP， ∴∠DCP＝90°， ∴∠PDC＝45°，∠ADC＝135°， ∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的， 又∵AB＝6，C为的中点， ∴△ACB是等腰直角三角形， ∴AC＝3， ∴△ACQ中，AQ＝3， ∴BQ3， ∵BD≥BQ﹣DQ， ∴BD的最小值为33． 故答案为33． 【点评】本题考查了轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理以及弧长的计算，正确寻找点D的运动轨迹是解决问题的关键． 题型03 定角定高 1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC边上的高AD＝6，则△ABC周长的最小值为 　　． 【分析】延长CB到E，使得BE＝BA，延长BC到F，使得CD＝CA，连接AE，AF，作△AEF的外接圆⊙O，过点O作OJ⊥EF于点J，交⊙O于点T．求出EF的最小值，可得结论． 【解答】解：如图，延长CB到E，使得BE＝BA，延长BC到F，使得CD＝CA，连接AE，AF，作△AEF的外接圆⊙O，连接OE，OF，过点O作OJ⊥EF于点J，交⊙O于点T． ∵BA＝BE，CA＝CF， ∴∠BAE＝∠BEA，∠CAF＝∠CFA， ∵∠ABC＝∠BAE+∠BEA，∠ACB＝∠CAF+∠CFA， ∴∠AEF+∠AFE（∠ABC+∠ACB）＝45°， ∴∠EAF＝135°， ∴∠EOF＝90°， ∵OJ⊥EF， ∴EJ＝JF， ∴OJEF， 设OE＝OF＝r，则EFr，OJr， ∵AB+BC+AC＝EB+BC+CF＝EF， ∴EF最小时，△ABC的周长最小， ∵AD⊥BC， ∴AD+OJ≤OT， ∴6r≤r， ∴r≥12+6， ∴EF≥1212， ∴AB+BC+AC≥1212， ∴△ABC的周长的最小值为1212， 故答案为：1212． 【点评】本题考查轴对称最短问题，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 2．辅助圆之定角定高求解探究 （1）如图①，已知线段AB，以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形； （2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为AB边上的高，若CD＝4，试判断AB是否存在最小值，若存在，请求出AB最小值；若不存在，请说明理由； （3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）构造辅助圆，利用直径所对圆周角是直角解决问题即可． （2）如图2中，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，作OE⊥AB于E．设OA＝OC＝2x．求出x的最小值即可解决问题． （3）如图③中，连接AC，延长BC交AD的延长线于G，将△CDF顺时针旋转得到△CBH，作△CEH的外接圆⊙O．由（2）可知，当△CEH的外接圆的圆心O在线段BC上时，△ECH的面积最小，此时四边形AFCE的面积最大． 【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求． （2）如图②中，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，作OE⊥AB于E．设OA＝OC＝2x． ∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，OA＝OB，OE⊥AB， ∴AE＝EB，∠AOE＝∠BOE＝60°， ∴OEOA＝x，AEx， ∵OC+OE≥CD， ∴3x≥4， ∴x， ∴x的最小值为， ∵AB＝2x， ∴AB的最小值为． （3）如图③中，连接AC，延长BC交AD的延长线于G，将△CDF顺时针旋转得到△CBH，作△CEH的外接圆⊙O． ∵∠ADC＝∠ABC＝90°，AC＝AC，CD＝CB， ∴Rt△ACD≌Rt△ACB（HL）， ∴S△ACD＝S△ACB， ∵∠DAB＝45°， ∴∠DCB＝135°， ∴∠DCG＝45°， ∵∠CDG＝90°， ∴CD＝DG＝6， ∴CGCD＝12， ∴AB＝GB＝12+6， 由（2）可知，当△CEH的外接圆的圆心O在线段BC上时，△ECH的面积最小，此时四边形AFCE的面积最大， 设OC＝OE＝r，易知OB＝EBr， ∴rr＝6， ∴r＝6（2）， ∴EHr＝12（2）， ∴四边形AFCE的面积的最大值＝2（12+6）×612（2）×6144． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 题型04 最大张角 1．某儿童游乐场的平面图如图所示，场所工作人员想在OD边上的点P处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果更佳，必须要求∠APB最大，已知：∠DOC＝60°，OA＝400米，AB＝200米，问在OD边上是否存在一点P，使得∠APB最大？若存在，请求出此时OP的长和∠APB的度数；若不存在，请说明理由． 【分析】当经过A，B的⊙T与OD相切于P时，∠APB的值最大，作TH⊥OC于H，交OD于Q，连接TA，TB，OT．设TP＝TA＝TB＝r，用两种方法求出QH，构建方程即可解决问题． 【解答】解：如图，当经过A，B的⊙T与OD相切于P时，∠APB的值最大， 作TH⊥OC于H，交OD于Q，连接TA，TB，OT．设TP＝TA＝TB＝r， ∵TA＝TB，TH⊥AB， ∴AH＝HB＝100（m）， ∵∠OHQ＝90°，∠O＝60°，OH＝OA+AH＝（400+100）（m）， ∴QHOH＝（400300）（m），∠OQH＝30°， ∴TQ＝2PT＝2r， ∵TH， ∴2r400300， 整理得：3r2﹣（16001200）r+600000+2400000， ∴（r﹣200）（3r﹣10001200）＝0， ∴r＝200或（10001200）（舍弃）， ∴AT＝200m， ∴AT＝2AH， ∴∠ATH＝30°，∠ATB＝2∠ATH＝60°， ∴∠APB∠ATB＝30°， ∴OP＝OQ﹣PQ＝800+200600＝（200+200）（m）． 【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 2．问题提出 （1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为CD的中点，则∠AEB　　∠ACB（填“＞”“＜”“＝”）； 问题探究 （2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，∠APB最大？并说明理由； 问题解决 （3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB＝6米），下边沿到地面的距离BD＝11.6米．如果小刚的眼睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离． 【分析】（1）过点E作EF⊥AB于点F，由矩形的性质和等腰三角形的判定得到：△AEF是等腰直角三角形，易证∠AEB＝90°，而∠ACB＜90°，由此可以比较∠AEB与∠ACB的大小． （2）当点P位于CD的中点时，利用外角性质解答即可； （3）过点E作CE∥DF交AD于点C，作线段AB的垂直平分线，垂足为点Q，并在垂直平分线上取点O，使OA＝CQ，根据线段之间的关系解答即可． 【解答】解：（1）∠AEB＞∠ACB，理由如下： 如图1，过点E作EF⊥AB于点F， ∵在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为CD中点， ∴四边形ADEF是正方形， ∴∠AEF＝45°， 同理，∠BEF＝45°， ∴∠AEB＝90°． 而在直角△ABC中，∠ABC＝90°， ∴∠ACB＜90°， ∴∠AEB＞∠ACB． 故答案为：＞； （2）当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由如下： 假设P为CD的中点，如图2，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于点P， 在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE，BF， ∵∠AFB是△EFB的外角， ∴∠AFB＞∠AEB， ∵∠AFB＝∠APB， ∴∠APB＞∠AEB， 故点P位于CD的中点时，∠APB最大： （3）如图3，过点E作CE∥DF交AD于点C，作线段AB的垂直平分线，垂足为点Q，并在垂直平分线上取点O，使OA＝CQ， 以点O为圆心，OA长为半径作圆，则⊙O切CE于点G，连接OG，并延长交DF于点P，此时点P即为小刚所站的位置， 由题意知DP＝OQ， ∵OA＝CQ＝BD+QB﹣CD＝BDAB﹣CD， BD＝11.6米，AB＝3米，CD＝EF＝1.6米， ∴OA＝11.6+3﹣1.6＝13米， ∴DP米， 即小刚与大楼AD之间的距离为4米时看广告牌效果最好． 【点评】此题考查四边形综合题，关键是根据正方形的性质和三角形外角的性质解答． 题型05 四点共圆 1．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D是BC中点，∠CAD＝∠CBE，则AE＝（　　） A．4 B．3 C．2 D． 【分析】如图，连接DE，由等腰直角三角形的性质可求∠C＝∠BAC＝45°，ACAB＝4，由∠CAD＝∠CBE，可证点A，点B，点D，点E四点共圆，可得∠ABD＝∠DEC＝90°，由等腰直角三角形的性质可求DE，即可求解． 【解答】解：如图，连接DE， ∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4， ∴∠C＝∠BAC＝45°，ACAB＝4， ∵D是BC中点， ∴CDBC＝2， ∵∠CAD＝∠CBE， ∴点A，点B，点D，点E四点共圆， ∴∠ABD＝∠DEC＝90°， ∴∠C＝∠EDC＝45°， ∴DE＝CECD， ∴AE＝AC﹣CE＝3， 故选：B． 【点评】本题考查了四点共圆，等腰直角三角形的性质，证明点A，点B，点D，点E四点共圆是本题的关键． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝2，D是AB边上的动点，连接CD，将△BCD绕点C沿顺时针旋转至△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值＝　　． 【分析】设BD为a，表示线段AE，AD，用a表示△ADE的面积表达式，从而利用二次函数的极值属性求出极值． 【解答】解：设BD为a ∵∠ACB＝120°，AC＝BC＝2 ∴AB＝2 ∴AD ∵AE＝BD，∠B＝∠CAE＝30°，BC＝AC ∴△BDC≌△AEC（SAS） 作EF⊥AB，垂足为F 在Rt△AEF中 ∠FAE＝60°，AE＝BD＝a ∴AF，EF ∴△ADE的面积 即当a，△ADE的面积有最大值为 故答案为 【点评】本题考查了数形结合的数学思想，将几何问题转化为函数问题，利用函数关系式获得极值． 3．如图，已知AC＝BC＝4，点D是AB下方一点，且∠C＝∠D＝90°，求四边形ACBD面积的最大值． 【分析】根据∠C＝∠D＝90°，可得A，C，B，D四个点在同一个圆上，因为四边形ACBD的面积等于两个三角形的面积之和，这两个三角形的底相同，所以当两个三角形的高之和等于圆的直径时，四边形面积最大． 【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F， ∵∠C＝∠D＝90°， ∴AB是圆的直径，即A，C，B，D四个点在以AB为直径的圆上， ∵AC＝BC＝4， ∴AB， ∵四边形ACBD的面积＝△ACB的面积+△ADB的面积， ∴四边形ACBD的面积AB•DEAB•DF AB•（DE+DF）， ∴当DE与DF的和等于圆的直径时，四边形ACBD的面积最大， 即当DE+DF时， 四边形ACBD的面积16， ∴四边形ACBD面积的最大值为16． 【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知并结合图形分析当这两个三角形的高之和等于圆的直径时，四边形的面积最大是解题的关键． 提优练习 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，P是矩形上方一个动点．且满足∠APB＝90°，连接DP，则DP的最大值是（　　） A．22 B．4 C．2 D．42 【分析】由∠APB＝90°，可知点P在以AB为直径的圆上，作辅助圆O，确定当P、O、D共线时，PD最大，先根据勾股定理计算OD的长，OP就是半径OB的长，可得PD的长． 【解答】解：∵∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的圆上， 取AB的中点为O，画半圆， 连接OP、OD， 如图1，△DPO中，OP+OD＞PD， ∴当P、O、D在同一直线上时，PD的长最大，如图2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAO＝90°， ∵AD＝2，AO＝2， ∴OD＝2， ∴PD＝OD+PO＝OD+OB＝22； 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的性质、圆周角定理、三角形的三边关系、勾股定理，确定DP的最大值时点P的位置是本题的关键． 2．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（　　） A． B． C． D． 【分析】由AQ⊥BQ，得点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为，连接OC，代入弧长公式即可． 【解答】解：∵AQ⊥BQ， ∴点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为，连接OC， ∵∠ACB＝90°，OA＝OB， ∴CO＝OA＝1， ∴∠COB＝2∠CAB＝60°， ∴的长为， 故选：D． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，确定点Q在以AB为直径的⊙O上运动是解题的关键． 3．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】如图，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题． 【解答】解：如图，连接OD，OC， ∵AD＝DP， ∴OD⊥PA， ∴∠ADO＝90°， ∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC， 当点D在CK的延长线上时，CD的值最大， ∵C为的三等分点， ∴∠AOC＝60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴CK⊥OA， 在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1， ∴CK， ∵DKOA＝1， ∴CD1， ∴CD的最大值为1， 故选：D． 【点评】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题． 4．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（　　） A．22 B． C．4 D．2 【分析】如图，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，连接OD，过点O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．证明点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的⊙O，推出当点P落在线段OD上时，DP的值最小，想办法求出OD，OP，可得结论． 【解答】解：如图，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，连接OD，过点O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J． ∵∠BPE∠EOB， ∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的⊙O， ∴当点P落在线段OD上时，DP的值最小， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∵AB＝3，AE：EB＝1：2， ∴BE＝2， ∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB， ∴EQ＝BQ，∠EOQ＝∠BOQ＝60°， ∴OQ＝1，OE＝2， ∵OJ⊥AD，OQ⊥AB， ∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°， ∴四边形AQOJ是矩形， ∴AJ＝OQ＝1， JO＝AQ＝2， ∵AD＝5， ∴DJ＝AD﹣AJ＝4， ∴OD2， ∴PD的最小值＝OD﹣OP＝22， 故选：A． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，矩形的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（　　） A．3 B．1 C．1+3 D．1 【分析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题； 【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H． ∵AQ＝QP， ∴OQ⊥PA， ∴∠AQO＝90°， ∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK， 当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解） 在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2， ∴OHOC＝1，CH， 在Rt△CKH中，CK， ∴CQ的最大值为1， 故选：D． 【点评】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 6．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为 　　． 【分析】先判断出点C的运动轨迹是在半径为2的⊙B上，再取OD＝OA＝4，连接OD，则OM是△ACD的中位线，OM，进而可得OM最大值时，CD取最大值，此时D、B、C三点共线，计算即可求出结果． 【解答】解：∵C为坐标平面内一点，BC＝2， ∴点C的运动轨迹是在半径为2的⊙B上， 如图，取OD＝OA＝4，连接OD， ∵点M为线段AC的中点， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM， ∴OM最大值时，CD取最大值，此时D、B、C三点共线， 此时在Rt△OBD中，BD4， ∴CD＝2+4， ∴OM的最大值是1+2． 故答案为：1+2． 【点评】本题考查了坐标和三角形的中位线，定点定长构造辅助圆等，解题关键是确定点C的运动轨迹． 7．如图，矩形ABCD的边AB＝8，AD＝6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠ADP＝∠PAB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为 　7　． 【分析】先找出点P的运动路线为以AD为直径的圆，设圆心为O，作点M关于直线DC的对称点M′，连接OM′交⊙O于点P′，可推出M′P′的长即为PN+MN的最小值，再求出M′P′的长即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠ADP＝∠PAB， ∴∠ADP+∠PAD＝∠PAB+∠PAD＝∠BAD＝90°， ∴点P的运动路线为以AD为直径的圆， 作以AD为直径的⊙O，作点M关于直线DC的对称点M′，连接OM′交⊙O于点P′，连接M′N，OP， 则OP＝OP′＝3，M′N＝MN， ∴PN+MN＝PN+M′N＝PN+M′N+OP﹣OP′≥OM′﹣OP′＝OM′﹣3， ∴PN+MN的最小值为OM′﹣3； 连接OM， ∵四边形ABCD是矩形，点O是AD的中点，点M为BC的中点， ∴ODADBC＝CM＝3，OD∥CM，∠ODC＝90°， ∴四边形OMCD是矩形， ∴OM＝DC＝AB＝8， ∵点M关于直线DC的对称点M′， ∴M′M＝2MC＝6， 在Rt△M′OM中， 由勾股定理，得OM′， ∴PN+MN的最小值为OM′﹣3＝10﹣3＝7， 故答案为：7． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，能利用一条线段的长表示两线段的和的最小值是解题的关键． 8．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为 　　． 【分析】由∠AFC＝90°，得点F在以AC为直径的圆上运动，当点E与B重合时，此时点F与G重合，当点E与D重合时，此时点F与A重合，则点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为的长，然后根据条件求出所在圆的半径和圆心角，从而解决问题． 【解答】解：∵CF⊥AE， ∴∠AFC＝90°， ∴点F在以AC为直径的圆上运动， 以AC为直径画半圆AC，连接OA， 当点E与B重合时，此时点F与G重合， 当点E与D重合时，此时点F与A重合， ∴点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为的长， ∵点G为OD的中点， ∴OGODOA＝2， ∵OG⊥AB， ∴∠AOG＝60°，AG＝2， ∵OA＝OC， ∴∠ACG＝30°， ∴AC＝2AG＝4， ∴所在圆的半径为2，圆心角为60°， ∴的长为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，定角对定弦，弧长公式等知识，确定点F的运动路径是解题的关键． 9．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，△DBC的面积为8，则BC长为 　4　． 【分析】如图，作DH⊥BC交BC的延长线于H，取CD的中点O，连接OA，OB．由对角互补可证明A，C，H，D四点共圆，利用全等三角形的性质证明BC＝DH，即可解决问题． 【解答】解：如图，作DH⊥BC交BC的延长线于H，取CD的中点O，连接OA，OB． ∵DH⊥BH， ∴∠DHC＝90°， ∴四边形DACH对角互补， ∴A，C，H，D四点共圆， ∵∠DAC＝90°，CO＝OD， ∴OA＝OD＝OC＝OH， ∴A，C，H，D四点在以O为圆心的圆上， ∵AC＝AD， ∴∠CHA＝∠AHD＝45°，（没有学习四点共圆，可以这样证明：过点A作AM⊥DH于M，过点A作AN⊥BH于N，证明△AMD≌△ANC，推出AM＝AN，推出AH平分∠MHN即可） ∵∠ABC＝45°， ∴∠BAH＝90°， ∴BA＝AH， ∵∠BAH＝∠CAD＝90°， ∴∠BAC＝∠HAD， ∵AC＝AD，AB＝AH， ∴△BAC≌△HAD（SAS）， ∴BC＝DH， ∴S△BCDBC×DHBC2＝8， ∴BC＝4或﹣4（舍弃）， 故答案为4． 【点评】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 10．（1）【学习心得】 小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　45或135　°． （2）【问题解决】 如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数． 小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△BCD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题． （3）【问题拓展】 如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长． 【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解． （2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC， （3）如图3，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．利用圆周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得DE＝OF＝2；在等腰Rt△BOE中，利用勾股定理得到OE＝DF＝4；则在Rt△AOF中，易得AF＝2，故AD＝24． 【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC， ∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上， ∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角， ∴∠BDC∠BAC＝45°， 同理，当点D在弧BC上时，∠BDC＝135°． 故答案为：45°或135； （2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO． ∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴点A、B、C、D共圆， ∴∠BDC＝∠BAC， ∵∠BDC＝25°， ∴∠BAC＝25°， （3）如图3，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC． ∵∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝90°． 在Rt△BOC中，BC＝6+2＝8， ∴BO＝CO＝4． ∵OE⊥BC，O为圆心， ∴BEBC＝4， ∴DE＝OF＝2． 在Rt△BOE中，BO＝4，BE＝4， ∴OE＝DF＝4． 在Rt△AOF中，AO＝4，OF＝2， ∴AF＝2， ∴AD＝24． 【点评】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法． 11．如图，△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F． （1）小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程： ∵AC＝BC＝EC， ∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上． ∴∠AEB＝　　∠ACB＝　45　°． （2）若BE＝2，求CF的长． （3）线段AE最大值为 　8　；若取BC的中点M，则线段MF的最小值为 　22　． 【分析】（1）根据AC＝BC＝EC，得A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，根据圆周角定理可知∠AEB的度数； （2）由△EFG是等腰三角形可求出FG＝1，利用勾股定理求出CG的长，从而得出答案； （3）根据直径是圆中最大的弦知当AE经过圆心C时，线段AE的最大值为2AC＝8，取AB的中点O，连接OF，可证∠AFB＝90°，则点F在以AB为直径的圆O上，当OF经过点M时，MF最短，此时OF⊥BC，从而解决问题． 【解答】解：（1）∵AC＝BC＝EC， ∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上， ∴∠AEB， 故答案为：，45； （2）由折叠可知，CD垂直平分BE， ∴BE⊥CD， 设CD、BE交于点G，则GE＝BG， ∴∠FGE＝90°， ∵∠AEB＝45°， ∴FG＝GE＝1， 在Rt△CEG中， 由勾股定理得，CG， ∴CF＝CG﹣FG1； 当点E在AB的下方时，如图， ∵AC＝BC＝EC， ∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上， ∴∠EAB+∠EBA， 即∠BEF＝45°， 由翻折可知，∠EGF＝90°，EG＝GB， ∴△EGF是等腰直角三角形， ∴GF＝EG＝1， 在Rt△CEG中，CG， ∴CF1， 综上所述，CF的长为1或1； （3）∵A，B，E，三点在以C为圆心，以AC为半径的圆上， ∴当AE经过圆心C时，线段AE的最大值为2AC＝8， 在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°， ∴AB4， BM＝CM，∠ABC＝∠BAC＝45°， 连接BF，取AB的中点O，连接OF，如图， ∵CD垂直平分BE，∠AEB＝45°， ∴BF＝EF， ∴∠EBF＝∠AEB＝45°， ∴∠EFB＝90°， ∴∠AFB＝90°， ∴OF， ∴点F在以点O为圆心，AB为直径的圆上， ∵∠ACB＝90°， ∴点C在⊙O上， ∴当OF经过点M时，MF最短，此时OF⊥BC， ∴OM＝BM•tan∠ABC＝2×1＝2， ∴MF＝OF﹣OM＝22， 即线段MF的最小值为22， 故答案为：8；22． 【点评】本题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，圆周角定理，利用定点定长构造辅助圆是解题的关键． 12．问题发现： （1）如图①，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝45°，则点P与⊙O的位置关系是 　点P在⊙O上　；若∠AQB＜45°，则点Q与⊙O的位置关系是 　点Q在⊙O外　． 问题解决： 如图②、图③所示，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAB＝135°，且AB＝1，AD＝2，点P是BC边上任意一点． （2）当∠APD＝45°时，求BP的长度． （3）是否存在点P，使得∠APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若不存在，也请说明理由． 【分析】（1）如图①中，根据圆周角与圆心角的关系即可判断； （2）如图2中，AB⊥BC，AD⊥DC，可知四边形ABCD对角互补，由此可证A、B、C、D四点共圆，如图构造等腰直角三角形△AOD，与O为圆心作⊙O交BC于P、P′，易知∠APD＝∠AP′D＝45°．求出BP′和BP的长即可解决问题； （3）作线段AD的垂直平分线，交AD于E，交BC于F，点O在EF上，以OA为半径作⊙O，当⊙O与BC相切于点P时，∠APD最大，求出此时BP的值即可； 【解答】解：（1）如图①中， ∵∠APQ∠AOB＝45°， ∴点P在⊙O上， ∵∠AQB＜45°， ∴点Q在⊙O外． 故答案为点P在⊙O上，点Q在⊙O外． （2）如图2中，如图构造等腰直角三角形△AOD，与O为圆心作⊙O交BC于P、P′，易知∠APD＝∠AP′D＝45°． 延长DO交BC于H， ∵∠DAB＝135°，∠DAO＝45°， ∴∠OAB＝∠B＝90°， ∴OA∥BC， ∴∠DOA＝∠OHB＝90°， ∴四边形ABHO是矩形， ∴AB＝OH＝1，OA＝BH， ∵AD＝2， ∴OA＝OD＝OP＝OP′＝2， 在Rt△OPH和Rt△OP′H中， 易知HP＝HP′， ∴BH＝OA＝2， ∴BP′＝2，PB＝2． （3）如图③中，存在． 作线段AD的垂直平分线，交AD于E，交BC于F，点O在EF上，以OA为半径作⊙O，当⊙O与BC相切于点P时，∠APD最大，理由：在BC上任意取一点M，连接MA、MD，MD交⊙O于N，连接AN． ∵∠AND＞∠AMD，∠APD＝∠AND， ∴∠APD＞∠AND， 连接OP，延长DA交CB的延长线于点G． ∵AB⊥BC，∠DAB＝135°， ∴∠G＝∠EFG＝45°， ∴△ABG，△EFG都是等腰直角三角形， ∵AB＝BG＝1， ∴AG，∵AD＝2，OE⊥AD， ∴AE＝ED， ∴EG＝EF＝2，GFEG＝4， 设OP＝PF＝r，则OFr，OE＝EF﹣OF＝2r， 在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2， ∴（）2+（2r）2＝r2， 解得r＝4或4（舍弃）， ∴BP＝GF﹣GB﹣PF＝4﹣1﹣r1． 【点评】本题考查圆综合题、圆周角与圆心角的关系、点与圆的位置关系、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题提优3 圆中的模型 题型01 定点定长作圆 1．如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（　　） A．π m2 B．π m2 C．π m2 D．π m2 2．如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝EF，若AD＝3，则的长为（　　） A．π B．π C．π D．π 3．如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（　　） A．130° B．140° C．150° D．160° 4．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AC＝AD＝3，BC＝2，则BD＝　 　． 题型02 定弦定角 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（　　） A． B．22 C．22 D．4 2．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（　　） A．π B．π C．π D．π 3．已知以AB为直径的圆O，C为AB弧的中点，P为BC弧上任意一点，CD⊥CP交AP于D，连接BD，若AB＝6，则BD的最小值为 　 　． 题型03 定角定高 1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC边上的高AD＝6，则△ABC周长的最小值为 　 　． 2．辅助圆之定角定高求解探究 （1）如图①，已知线段AB，以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形； （2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为AB边上的高，若CD＝4，试判断AB是否存在最小值，若存在，请求出AB最小值；若不存在，请说明理由； （3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 题型04 最大张角 1．某儿童游乐场的平面图如图所示，场所工作人员想在OD边上的点P处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果更佳，必须要求∠APB最大，已知：∠DOC＝60°，OA＝400米，AB＝200米，问在OD边上是否存在一点P，使得∠APB最大？若存在，请求出此时OP的长和∠APB的度数；若不存在，请说明理由． 2．问题提出 （1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为CD的中点，则∠AEB　 　∠ACB（填“＞”“＜”“＝”）； 问题探究 （2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，∠APB最大？并说明理由； 问题解决 （3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB＝6米），下边沿到地面的距离BD＝11.6米．如果小刚的眼睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离． 题型05 四点共圆 1．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D是BC中点，∠CAD＝∠CBE，则AE＝（　　） A．4 B．3 C．2 D． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝2，D是AB边上的动点，连接CD，将△BCD绕点C沿顺时针旋转至△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值＝　 　． 3．如图，已知AC＝BC＝4，点D是AB下方一点，且∠C＝∠D＝90°，求四边形ACBD面积的最大值． 提优练习 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，P是矩形上方一个动点．且满足∠APB＝90°，连接DP，则DP的最大值是（　　） A．22 B．4 C．2 D．42 2．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（　　） A．2 B． C． D． 4．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（　　） A．22 B． C．4 D．2 5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（　　） A．3 B．1 C．1+3 D．1 6．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为 　 　． 7．如图，矩形ABCD的边AB＝8，AD＝6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠ADP＝∠PAB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为 　 　． 8．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为 　 　． 9．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，△DBC的面积为8，则BC长为 　 　． 10．（1）【学习心得】 小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　 　°． （2）【问题解决】 如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数． 小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△BCD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题． （3）【问题拓展】 如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长． 11．如图，△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F． （1）小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程： ∵AC＝BC＝EC， ∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上． ∴∠AEB＝　 　∠ACB＝　 　°． （2）若BE＝2，求CF的长． （3）线段AE最大值为 　 　；若取BC的中点M，则线段MF的最小值为 　 　． 12．问题发现： （1）如图①，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝45°，则点P与⊙O的位置关系是 　 　；若∠AQB＜45°，则点Q与⊙O的位置关系是 　 　． 问题解决： 如图②、图③所示，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAB＝135°，且AB＝1，AD＝2，点P是BC边上任意一点． （2）当∠APD＝45°时，求BP的长度． （3）是否存在点P，使得∠APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若不存在，也请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$