第12讲 整式的乘除 单元综合检测（重点）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪教版2024）

第12讲 整式的乘除 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．计算：（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．计算：（    ） A． B． C． D． 4．下列各式中，能用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 5．若是完全平方式，则m的值为（　　　） A．4 B．2或 C． D．或4 6．一个长方形的面积是，宽是，则这个长方形的长是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 8．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（    ） A． B． C． D． 9．已知，则代数式的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 10．设，，．若，则的值是（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 二、填空题 11．的值为 ． 12．计算： ． 13．计算： ．（结果用幂的形式表示） 14． ． 15．已知，，则的值为 ． 16．要使的展开式中不含项，则 ． 17．如图，把7个长和宽分别为，的小长方形（图1），拼接在一起构成如图2所示的长方形，则图中阴影部分的面积为 ．（用含有，的代数式表示） 18．我国古代的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中用如图的三角形解释的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”计算的展开式中第三项的系数为 ．    三、解答题 19．计算 (1)． (2)． 20．计算： (1)（结果用幂的形式表示） (2) (3) (4) 21．计算 （1） （2） （3） （4） 22．（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再求值：，其中． 23．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 24．如图是一个长方形纸片，它的长为，宽为，现用剪刀在长方形纸片内剪的去2个边长均为的正方形． (1)用含，的代数式表示剩余纸片的面积；（结果化为最简形式） (2)若，，求剩余纸片的面积． 25．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个整式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个整式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中，的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 26．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①　　　　图②　　　　； （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　　　　(用字母a、b表示)；    【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知2m﹣n=3，2m+n=4，则4m2﹣n2的值为　　　　； ②计算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)． 【拓展】计算的结果为　　　　． 27．【典例展示】 若关于x，y的代数式的值与x无关，求a的值； 解：原式 ∵代数式的值与x无关， ∴，∴． 【理解应用】 已知，，且的值与x无关，求m的值； 【拓展延伸】 用6张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 整式的乘除 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同底数幂的乘法运算法则即可求解． 【解析】解：原式 故选：C 【点睛】本题考查单项式乘单项式，掌握同底数幂的乘法运算法则是关键． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据积的乘方运算和幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、同底数幂的除法运算法则和完全平方公式，逐项分析判断即可． 【解析】解：A. ，故本选项运算错误，不符合题意； B. ，故本选项运算错误，不符合题意； C. ，本选项运算正确，符合题意； D. ，故本选项运算错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算、完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 3．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是积的乘方运算，单项式除以单项式，先计算积的乘方，再计算单项式的除法运算即可． 【解析】解：； 故选A 4．下列各式中，能用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方差公式的结构特征进行判断即可． 【解析】解：能用平方差公式的是， 故选：A． 【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题关键． 5．若是完全平方式，则m的值为（　　　） A．4 B．2或 C． D．或4 【答案】D 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，然后再根据完全平方公式的乘积的二倍项即可确定m的值． 【解析】解：∵， ∴， 解得m=-2或m=4， 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的特点得到是解决问题的关键． 6．一个长方形的面积是，宽是，则这个长方形的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题租用考查了整式除以单项式，根据长方形面积公式只需要计算出的结果即可得到答案． 【解析】解：∵一个长方形的面积是，宽是， ∴这个长方形的长是， 故选D． 7．已知，，，则、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方，变形为同底数幂的形式，再比较大小，可使计算简便． 先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据指数的大小即可比较大小． 【解析】解：∵； ； ． 则． 故选：A． 8．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式乘整式，单项式乘整式，整式运算．要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解． 【解析】解：图1中，阴影部分长宽长方形面积， 阴影部分的面积， 图2中，阴影部分大长方形面积长宽长方形面积长宽长方形面积边长的正方形面积， 阴影部分的面积， ． 故选：D． 9．已知，则代数式的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算，代数式求值．先根据整式的混合运算法则进行计算，化简后，利用整体思想代入求值即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：A． 10．设，，．若，则的值是（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】A 【分析】先将a=x-2017，b=x-2019代入，得到（x-2017）2+（x-2019）2=34，再变形为（x-2018+1）2+（x-2018-1）2=34，然后将（x-2018）作为一个整体，利用完全平方公司得到一个关于（x-2018）的一元二次方程即可解答． 【解析】解：∵a=x-2017，b=x-2019，a2+b2=34， ∴（x-2017）2+（x-2019）2=34， ∴（x-2018+1）2+（x-2018-1）2=34， ∴（x-2018）2+2（x-2018）+1+（x-2018）2-2（x-2018）+1=34， ∴2（x-2018）2=32， ∴（x-2018）2=16， 又∵c=x-2018， ∴c2=16. 故答案为A． 【点睛】本题考查了完全平方公式，对所给条件灵活变形以及正确应用整体思想是解答本题的关键． 二、填空题 11．的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方运算，掌握运算法则是解题关键． 根据积的乘方与幂的乘方运算法则进行计算． 【解析】解：， 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】 【分析】 本题考查了，掌握整式的乘除法法则和乘法公式是解决本题的关键，把102、98、99分别变形为、、，再套用平方差和完全平方公式计算比较简便． 【解析】 原式 ． 故答案为： 13．计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】运用同底数幂运算法则即可求解，本题主要考查同底数幂的乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【解析】解： ， 故答案为：． 14． ． 【答案】1 【分析】本题考查的是乘方符号的确定，积的乘方运算的逆运算的含义，本题把原式化为，再计算即可. 【解析】解：， 故答案为：1 15．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方的逆用，根据同底数幂的除法法则和幂的乘方的运算法则求解即可． 【解析】解：，， ． 故答案为：． 16．要使的展开式中不含项，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了单项式乘整式，以此判断不含某一项的结果，先根据单项式乘整式进行化简，然后让这一项的系数为0即可，正确计算是解题的关键． 【解析】解： ， ∵展开式中不含项， ∴， 故答案为：0． 17．如图，把7个长和宽分别为，的小长方形（图1），拼接在一起构成如图2所示的长方形，则图中阴影部分的面积为 ．（用含有，的代数式表示） 【答案】 【分析】由图2可知，该图形长是图1小长方形的一个长加上两个宽，该图形宽是图1小长方形的一个长加上一个宽，用矩形面积公式即可求出整个图形的面积，再减去7个小长方形面积即可． 【解析】解：（a+2b）（a+b）-7ab== 【点睛】本题主要考查了整式乘以整式，熟练地掌握整式乘以整式的运算法则是解题的关键．整式乘以整式，把前面一个整式的每一项分别乘以后面一个整式的每一项的结果作为积的因式． 18．我国古代的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中用如图的三角形解释的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”计算的展开式中第三项的系数为 ．    【答案】190 【分析】根据图形中的规律即可求出的展开式中第三项的系数． 【解析】解：∵的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； ； ∴的第三项系数为， ∴的展开式中第三项的系数为， 故答案为：190． 【点睛】此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力． 三、解答题 19．计算 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘除运算． （1）分别计算同底数幂的乘法、积的乘方和同底数幂的除法，再合并即可求解； （2）先计算单项式乘整式，再合并同类项即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 20．计算： (1)（结果用幂的形式表示） (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据幂的乘方公式计算； （2）用单项式乘法法则计算即可； （3）先算单项式乘整式和单项式乘单项式，再合并同类项即可； （4）根据整式除单项式法则计算． 【解析】（1）； （2）； （3） ； （4） . 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式乘除的相关运算的法则． 21．计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）4x2-x+7；（4）a2+b2 【分析】（1）根据整式的乘除法运算即可求出答案． （2）根据平方差公式即可求出答案． （3）根据完全平方公式、整式的加减运算以及乘除运算即可求出答案． （4）根据整式的加减运算以及乘除运算即可求出答案． 【解析】解：（1） = =； （2） =； （3）原式=3x2+5x-2+x2-6x+9 =4x2-x+7； （4）原式=（a-b）2+2ab =a2-2ab+b2+2ab =a2+b2． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型． 22．（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1），；（2），6． 【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式将原式展开，再合并同类项，代入数据计算即可； （2）利用整式除以单项式和单项式乘整式将原式展开，再合并同类项，代入数据计算即可． 【解析】解：（1） ， 当时，原式； （2） ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算及求值，掌握相关运算法则是解题的关键． 23．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)44 (2)24 (3)18 【分析】本题主要考查了幂的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂乘除法和幂的乘方运算以及逆运算法则． （1）根据幂的乘方运算及逆运算法则进行计算即可； （2）根据同底数幂乘法和幂的乘方运算及逆运算法则进行计算即可； （3）根据同底数幂除法和幂的乘方运算及逆运算法则进行计算即可． 【解析】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 24．如图是一个长方形纸片，它的长为，宽为，现用剪刀在长方形纸片内剪的去2个边长均为的正方形． (1)用含，的代数式表示剩余纸片的面积；（结果化为最简形式） (2)若，，求剩余纸片的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，整式的混合运算； （1）用长方形纸片的面积减去2个正方形的面积进行列式，然后根据整式乘以整式以及合并同类项的法则进行计算即可； （2）直接代入（1）中结果计算即可． 【解析】（1）解： ， 所以剩余纸片的面积为； （2）若，， 则， 所以剩余纸片的面积为． 25．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个整式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个整式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中，的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式乘整式、二元一次方程组的应用等知识点，根据整式乘整式的运算法则分别进行计算，求出与的值是解题的关键． （1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据整式相等的条件列出关于、的二元一次方程，再求出与的值； （2）把与的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可． 【解析】（1）解：由题意得 ， ， 所以，① ② 由②得，代入①得， 所以 所以 所以 （2）解：当时，由得 26．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①　　　　图②　　　　； （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　　　　(用字母a、b表示)；    【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知2m﹣n=3，2m+n=4，则4m2﹣n2的值为　　　　； ②计算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)． 【拓展】计算的结果为　　　　． 【答案】探究：（1），；（2）；应用：①12；②；拓展：． 【分析】探究：（1）图①阴影部分的面积等于两个正方形的面积差，图②阴影部分的面积等于一个大长方形的面积； （2）根据图①与图②的面积相等即可得； 应用：①根据上述得到的乘法公式（平方差公式）即可得； ②利用两次平方差公式即可得； 拓展：将原式改写成，再多次利用平方差公式即可得． 【解析】探究：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，则其面积为， 故答案为：，； （2）由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：， 故答案为：； 应用：①， 故答案为：12； ②原式， ， ； 拓展：原式， ， ， ， ， ． 故答案是：． 【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形、以及应用，熟练掌握平方差公式是解题关键． 27．【典例展示】 若关于x，y的代数式的值与x无关，求a的值； 解：原式 ∵代数式的值与x无关， ∴，∴． 【理解应用】 已知，，且的值与x无关，求m的值； 【拓展延伸】 用6张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】【理解应用】； 【拓展延伸】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用： 【理解应用】先去括号得，再根据去关型问题得，进而可求解； 【拓展延伸】设，由图得，，则可得，根据题意得，进而可求解； 熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【解析】解：【理解应用】 ， 的值与x无关， ， 解得：； 【拓展延伸】设， 由图得：，， ， 的长度发生变化时，的值始终保持不变， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 14 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$