专题19 几何证明压轴题分类训练（7种类型71题） 2025年中考数学复习专题分类强化训练（重庆专用）

专题19 几何证明压轴训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 目录 命题角度一：中点辅助线 1 命题角度二：截长补短 9 命题角度三：截长补短与中点 12 命题角度四：30°角的构造 15 命题角度五：45°角的构造 17 命题角度六：边角构造 24 命题角度七：几何变换 27 命题角度一：中点辅助线 1．在中，，点为延长线上任一点，连接． (1)如图，若，，求线段的长； (2)如图，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接．点为的中点，连接．求证：； (3)在（）的条件下，设点为直线上的点，交于点．点在延长线上运动的过程中，当时，将沿直线翻折到所在平面内得到，同时将沿直线翻折到所在平面内得到．在取得最大值时，请直接写出的值． 2．如图，在中，，，点在边上，连接． (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，以为边在左侧作等边，连接，过点作交于点．猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想； (3)在取得最小值的条件下，以为边在左侧作等腰，其中．点为直线左侧平面内一点，满足，连接，点为的中点．当取得最大值时，将沿翻折得到，连接，请直接写出的值． 3．在中，，，是等边三角形，连接、．    (1)如图1，当、、三点在同一直线上时，、交于点，且．若，求的长； (2)如图2，当、、三点在同一直线上时，是中点，连接、，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，，在直线上运动，将沿翻折得到，连接，是上一点，且，是直线上的另一个动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，直接写出此时点到直线的距离． 4．图，在中，，，将绕着点顺时针旋转度得到线段，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，交于点，连接，． (1)如图1，若，点恰好在线段上时，求的面积． (2)如图2，在旋转的过程中，若为的中点，求证：． (3)如图3，，在旋转的过程中，连接，在线段上取一点，使得，当取得最大值时，请直接写出的值． 5．等边中，点为直线上一动点，连接．    (1)如图1，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接．若点在边上，且，，求的长度； (2)如图2，若点在延长线上，点为线段上一点，点在延长线上，连接、．在点的运动过程中，若，且，猜想线段与线段之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，将沿直线翻折至所在平面内得到，点在边上，且，将绕点逆时针方向旋转得到线段，点是直线上一动点，将沿直线翻折至所在平面内得到，在点，运动过程中，当最小时，若，请直接写出的面积． 6．在中，，，D为上任意一点，E为上任意一点． (1)如图1，连接，若，，求的长． (2)如图2，若点D为中点，连接，点F为上任意一点，连接并延长交于点M，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，点N在上，且，求证：． (3)如图3，点D为中点，连接，点F为的中点，连接、，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最大值． 7．如图，为的中线，以为直角边在其右侧作，，与交于点F，． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若将绕点C逆时针旋转得，连接，，探究，的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，，，直线上有一点M，连接，将沿着翻折至所在的平面内得到，取的中点P，连接，当最小时，请直接写出的面积． 8．和是以点为公共顶点的等腰三角形，其中，，，连接． (1)如图1，当，点在的延长线上时，点为中点，连接．若，，求的长； (2)如图2，点为中点，连接，，交于点．点是上一点，连接．延长，相交于点．若，求证：； (3)如图3，当，点在的延长线上时，延长至点，使得．延长至点，使得，连接．若，当的长度取最小值时，请直接写出的面积． 9．如图1，在中，，，E为线段上不与点B、C重合一点，D为线段的中点，将线段绕点E顺时针旋转得线段与交于点H，连接的延长线与的反向延长线交于点G． (1)求的度数； (2)如图2，若点M为线段的中点，连接，求证：； (3)如图3，点N为线段上一动点，连接，过点C作于J，过点H作于L，将沿所在直线折叠得，点P、T分别为线段边上的点，且满足，，连接交于点Q，若，，，请直接写出点Q到所在直线距离的最大值． 10．如图，在中，将线段绕点顺时针旋转一定角度得到，D给好落在直线上；过点作垂直直线于点，在直线上再取两点（点在点左侧），连接，且，； (1)如图1，在线段上，若，，，诸求出线段的长； (2)如图2，在线段上，连接交于点，若时，求证：； (3)如图3，在线段延长线上，且，在上取一点使得，当取得最小值时，请直接写出此时的值． 11．在中，交于点D，点F在边上，交于点E．    (1)如图1，若点E是的中点，，求的长； (2)如图2，点E是的中点，点F是中点，求证； (3)如图3，线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接交于点M，N是直线上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．已知，，当最大时，请直接写出的面积． 12．已知中，点和点是平面内两点，连接，和，． (1)如图1，若，，，求的长度； (2)如图2，连接和，点为中点，点为中点，连接和，若，求证：； (3)若，，当取得最小值，且取得最大值时，直接写出的面积． 13．如图，在中，． (1)如图1，D为边的中点，连接，过C点作于点，交于点，连接，若，求的面积： (2)如图2，，D、E分别为边上的点，且，连接交于点G，若F为的中点，连接，猜想线段和之间存在的数量关系，并证明你的猜想： (3)如图3，D为平面内一点，若，连接，以为边向上构造等边，连接并延长至点P使，当最短时，请直接写出的值． 14．在中，，P为直线上一动点， 连接， 取的中点，将线段绕点 C顺时针旋转到，旋转角为α，连接． (1)当点P在延长线上，且时，解决以下问题． ①如图1，与相交于H， 若，，连接，求的长； ②如图2，当N落在上时，取的中点E， 连接．点D为上一点， 满足， 求证：． (2)如图3，已知，，． 连接、， 当取得最小值时，直接写出四边形的面积． 15．在等腰中，． (1)如图1，当点为中点时，过点作的垂线交于点，若，，求的长； (2)如图2，，、分别为、边上的点，且，连接交于点，若为的中点，连接、，猜想线段和之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，为平面内一点，若，连接，以为边向上构造等边，连接并延长至点，使，当最短时，请直接写出的值． 16．如图，在和中，，，． (1)如图1，当点在同一直线上时，连接，满足，，求的面积； (2)如图2，当点在同一直线上时，连接，为的中点，连接，试猜想线段与关系； (3)如图3，若，为边上一动点，连接，将沿所在直线翻折，点D的对应点为，为中点，连接，请直接写出当取最小值时，直接写出线段的长度． 17．在直角中，，，，点为线段上一点，连接． (1)如图1，若为的中点，连接，，求的长； (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，，为上一点，连接，满足，取，中点分别为，，连接，求证：； (3)如图3，若，将线段绕着点逆时针旋转得，连接，为上一点，且，连接、，将沿直线翻折至所在平面内得到，当最小时，直接写出的面积． 18．在菱形中，，点在平面内，点为直线上一点． (1)如图1，当在上时，，若，，求的长； (2)如图2，当在延长线上时，，为的中点，连接并延长交于点，求证：； (3)如图3，在直线上运动，若，将沿所在直线翻折至，连接，在这个过程中，当的面积取得最大值时，请直接写出的值． 19．在△ABC中，AC＝BC，D为△ABC外一点，连接CD． （1）如图1，若∠ACB＝60°，CD∥AB，连接BD交AC于点E，且CD＝2AB＝2，求S△BCE． （2）如图2，CE＝CD，∠ECB＝∠DCA，ED交AB于点F，FG垂直平分EC，且FG＝EC，M，N分别为AF，CD中点，连接MN，求证：MN＝BF． （3）如图3，若∠ACB＝90°，CD∥AB，将AD绕着A点顺时针旋转60°得到AD'，连接DD'，BD'，且AC＝，求BD'的最小值． 20．在中，点为线段上一动点，点为射线上一动点，连接，． (1)若，当点在线段上时，交于点，点为中点． ①如图1，若，求的长度； ②如图2，点为线段上一点，连接并延长交的延长线于点．若点为中点，，求证：． (2)如图3，若．当点在线段的延长线上时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，当取得最小值时，内存在点，使得，当取得最小值时，请直接写出的值． 21．如图，平行四边形中,，过A作，在上取一点，将绕点逆时针旋转得线段． (1)如图1，若点是中点，,旋转后点恰好落在边上，求的长度． (2)如图2，将绕点逆时针旋转得线段，当时，在上取一点，使,连，猜想与的大小关系并证明． (3)如图3，若点为中点，点为中点，，当最小时，直接写出． 命题角度二：截长补短 22．在中，，于点D．    (1)如图1，过点B作，分别交于H，于M，求证：； (2)如图2，过点D作交于点F，点G为左侧一点，，，连接，，，之间存在的数量关系； (3)如图3，，，点P为内部一点的最小值． 23．平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连． (1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度； (2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：； (3)如图3，已知，若，直接写出的最小值． 24．在等腰中，，点在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点．    (1)如图1，若，点为中点，，，求的长； (2)如图2，点在的延长线上，连接，若，，，求证：； (3)如图3，，，点是平面内直线下方一动点，始终满足．点为直线上一点，连接，满足，延长至点，使得.点为直线上一点，连接，将沿翻折至所在平面内得到，连接、，当最小时，直接写出的面积． 25．已知为等边三角形，分别为线段，上一点，，与交于点. (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，为射线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，若，证明：； (3)如图3，在（2）的条件下，，为线段上的动点，随着的运动而运动，连接，当取得最大值时，直接写出的面积． 26．在中，，点是直线上一动点，连接．    (1)如图1，平分，于点，若，，求线段的长； (2)如图2，若，点在线段上，，，于点，交的延长线于点，过点作于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，点是平面内一点，且，，过点作于点，交于点，连接，，若，，当取最小值时，直接写出的面积． 27．在中，点C在直线的上方． (1)如图1，，点D在边上，且 ，若，求线段的长； (2)如图2，点E为外一点， ，，猜想 之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3， ，点P是射线上一动点，且，连接，将线段绕点A顺时针旋转到得线段，连接，直接写出的最小值． 28．在等边中，点F是延长线上一点，点D是线段上一点，将绕点D逆时针旋转得到． (1)如图1，若点E恰好落在边上，，求的长； (2)如图2，若，连接，探究之间的数量关系，并写出证明过程； (3)如图3，若，，连接，当最小时，直接写出的面积． 命题角度三：截长补短与中点 29．已知，点为边中点，点为线段中点． (1)如图1，若，，，求的长： (2)如图2，过点作直线，分别过点，，作直线的垂线段，，，求证：； (3)在（1）条件下，点与点分别是射线与射线上两动点，且，点关于的对称点为，将绕点顺时针旋转得到，连接，当最大时，直接写出的面积． 30．在中，D为边上一点，连接，E为上一点，连接．    (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，连接，若，点G为的中点，连接，求证：； (3)如图3，若是等边三角形，，D为直线上一点，将绕点A逆时针方向旋转到，连接，M为线段上一点，，P为直线上一点，分别连接，请直接写出的最小值． 31．如图，在等腰中，，，为上一点．    (1)如图1，若为的中点，为延长线上的一点，连结，点为的中点，连结交于点，连结交延长线于点，且，求证：； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)如图2，连结，将绕点顺时针旋转得到线段，连结交于点，交于点，点是上一点，连结，以为斜边在其右侧作，且，，连结交于点，当点、的距离最小时，请直接写出与四边形的面积之比． 32．如图，在中，点是边上一动点，连接． (1)如图1，点是边上一点，连接，若，平分，．当，时，求线段的长度； (2)如图2，，当且时，将线段绕着点逆时针旋转到，使，连接，过点作于点，点为边中点．连接并延长交的延长线于点，且交于点．若，求证：； (3)如图3，当，时，将线段绕着点顺时针旋转到，是边上一点且，连接、．为直线上一动点，当点、、在同一直线上时，将沿直线翻折到同一平面的，连接、．当最小时，直接写出的面积． 33．为等腰直角三角形，，， 线段 绕点旋转至线段，点的对应点为，连接． (1)如图1，若在外部，且，交 于点，若．求 的长度； (2)如图2，若在内部，延长 交 于点，延长交 于点，，将线段 绕点 逆时针旋转得到线段，为中点，连接并延长交 于点，求证：； (3)如图3，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接 、．为直 线 上一点，将沿 翻 折 ，点对应点为，，当最小时，直接写出的面积． 34．已知：等边，点和点在直线的异侧，且，于点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，取中点，连接，试探究三条线段的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，当最小时，在线段上取点，在射线上取点，使，连接，射线交延长线于点．当最小时，请直接写出的值． 命题角度四：30°角的构造 35．在中，，是边上的高，点E是线段上一点，点F是直线上的一点，连接、，直线交直线于点G． (1)如图1，点F在线段延长线上，若，，证明； (2)如图2，点F在线段上，连接并延长至点H，满足，连接，若，证明：； (3)如图3，点F在线段延长线上，若，，点Q为上一点，，连接，点I在的下方，且，，连接，点M为的中点，连接，点N为线段上一动点，连接，将沿直线翻着得到，连接，点P为的中点，连接，．当最大时，请直接写出的面积． 36．如图所示，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接平分交于点E． (1)若，求的长； (2)以为边作，，连接，判断之间的数量关系并说明理由； (3)若点P是直线上的一动点，将沿着进行翻折得到，连接，将绕着点B逆时针旋转得到线段，连接．若，当最小时，直接写出的值． 37．在中，，，过点A作于点O，点D是边上一点，连接． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，将线段绕着点A逆时针旋转到，点F为线段的中点，连接． 求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，当最小时，将沿着翻折得到，连接，请直接写出的值． 38．如图，在直角中，．点D为内一点，且，E为线段的中点，连接．    (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，连接，若，，过点E作交于F，求证：； (3)如图3，过点D作于点M，于点N，连接，若，，求的最小值． 39．如图，在中，，点F在线段上，连接，延长至点D，连接，满足，点H是线段上一动点（与点B，C不重合），连接交于点E，交于点G．    (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若，猜想与的数量关系，并证明你猜想的结论； (3)如图3，在（1）的条件下，点P是内一点，连接，满足，是否存在点P，H，使得最小，若存在，请直接写出的最小值． 40．已知，中，，，交于点，．    (1)如图1，将绕点逆时针旋转得线段，且点在的延长线上，求的长． (2)如图2，在（1）的条件下，连接，为上一点，且满足：，作于点，求证：． (3)如图3，在（1）的条件下，、分别为线段、上的两个动点，且满足，当最小时，为平面内一动点，将沿翻折得，请直接写出的最大值． 命题角度五：45°角的构造 41．在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，，点为中点，与交于点，若，求的长度； (2)如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：； (3)如图3，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在，运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 42．把的边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接． (1)如图1，已知，，．求的长； (2)如图2，求证：； (3)如图3，已知，将沿着直线折叠，得到、连接是直线上的一个动点，当最小时值为，请直接写出的面积． 43．如图，在中，，，点在的延长线上，连接． (1)如图，当，时，求的长； (2)如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点为的中点，过点作于点．求证：； (3)如图，在第（）问的条件下，取的中点，点为线段上的一动点，连接，将沿HQ翻折得，连接，当最大时，直接写出的面积． 44．和均为等腰直角三角形，，点在直线上，点在右侧，连接、，直线分别交、于点、点． (1)如图1，点在的左侧，点为中点，若，，求的长度； (2)如图2，点在边上，连接、．若点为的中点，探究与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，点在边上，过点作交的延长线于点，连，当取得最小值时，将绕点顺时针旋转（）得到，连接，点在上，满足，连接，将沿着直线翻折得到，连接，当取最大值时，请直接写出的面积． 45．如图，已知中，，，点D是上一点．    (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，将绕点D顺时针旋转后得到线段，交于点M．连接并延长交延长线于点F．求证：． (3)如图3，，将沿翻折，得到，点D、N分别是和上的两个动点，在运动过程中，始终保持，过点A作直线的垂线，垂足为G．连接，在线段上取一点Q，使得，直接写出当取得最小值时的面积． 46．在中，，点是线段上一点． (1)如图1，已知，求的长； (2)如图2，点是的中点，点分别是线段上的点，连接并延长与交于点，以为直角边，构造等腰，在上取一点，当，时，求证：； (3)如图3，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，以为直角边作等腰，连接，当取得最小值时，直接写出的值． 47．在中，，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，． (1)如图1，若将线段绕点逆时针旋转得到线段，线段，交于点，求证：； (2)如图2，将线段绕点顺时针旋转时，若的平分线交于点，交的延长线于点，连接．求证：； (3)在（2）的条件下，取的中点，如图，连接和，请直接写出的最大值． 48．在中，，点E是内部的一点，连接，且，延长交于点D．    (1)如图1，若，求的长． (2)如图2，过点A作交的延长线于点F，过点B作交于点M，求证：． (3)如图3，在（1）问的条件下，点H是的中点，点О是直线上的动点，连接，将沿翻折得到，连接，直接写出当取最小值时的值． 49．在中，，，点是边上一点，连接，的角平分线交于点．    (1)如图1，，若，求的长； (2)如图2，点是上一点，过点作于点，若点恰好平分线段，求证：； (3)如图3，点为边上一点，且满足，过点作于点，连接，当最短时，请直接写出的值． 50．在中，，，点、分别是线段，上一动点，连接，交于点． (1)如图1，若平分，，求线段的长； (2)如图2，若平分，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，连接交于点，点是线段上一动点，连接，若，，求证：； (3)如图3，若，当取得最小值时，点是直线上一动点，连接，将沿着直线翻折至同一平面内得到，点是内一点，连接，，使，连接，直线交直线于点，连接，当最短时，直接写出的面积． 51．在中，，，点是平面内一点． (1)如图1，当点为中点时，连接，作的平分线交于点，，求线段的长； (2)如图2，点为线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，点是线段中点，连接交延长线于点，当时，求证：； (3)如图3，点为线段中点，连接，为平面内一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．过作的平行线，交直线于点，连接．将沿翻折得到，当线段最短时，直接写出此时的值． 52．如图，在中，，D，E分别为上两动点，． (1)如图1，若于H交于K，求证：； (2)如图2，若交于F，，，求证：； (3)如图3，若，将绕点E顺时针旋转得，N为中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 53．已知是等腰直角三角形，，为平面内一点． (1)如图1，当点在的中点时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若，求的周长； (2)如图2，当点在外部时，、分别是、的中点，连接、、，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，若，请探究、、之间的数量关系并给出证明； (3)如图3，当在内部时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若经过中点，连接、，为的中点，连接并延长交于点，当最大时，请直接写出的值． 54．在中，，将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)如图1，连接，延长交延长线于点，若，，，求的长； (2)如图2，连接，过点作于点，以为边作，且，连接交延长线于点，若，求证：； (3)如图3，若为等边三角形，连接，为线段上一点，且，为线段上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接、．当取得最小值时，请直接写出的值． 55．如图，等腰直角三角形中有，点是线段中点，点是平面内任意一点，将线段绕点逆时针旋转得线段． (1)如图1，连接，若点与点重合，，求长度； (2)如图2，若点在右侧，取中点，连接，在线段上取一点满足． ①证明：； ②如图3，连接，作点分别关于的对称点，连接，若，直接写出的值． 56．如图，在等腰中，，，点在线段的中垂线上，连接、．    (1)如图1，若时，连接并延长交于点，若，求的面积； (2)如图2，连接，若，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点．求证：； (3)在等腰内部有一点，连接、、，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，当取得最小值时，请直接写出的值． 57．如图，在中，，，点D为一点，连接． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，过点A作于点E，交于点M，于点G，交于点N，求证：； (3)如图3，将沿翻折至处，在上取点，连接，过点作交于点，交于点，连接，若，，求的最小值． 58．在中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，若，，．求的长． (2)如图2，若，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，延长交于点F，点G是的中点，连接．若，求证：． (3)如图3所示，若，E是上一点，且，延长到F使得，G是上一点，且，M是平面内任意一点，将沿着翻折，将点G翻折到处，求长度的最大值． 命题角度六：边角构造 59．已知点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，．    (1)如图1，若，，求； (2)如图2，求证：； (3)如图3，若，，点F在线段BC上，且，点M，N分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，写出你的理由． 60．等边中，点在线段上，连接． (1)如图，过点作于点，若，，求的长； (2)如图，点在线段的延长线上，点在线段上，连接，若，，求证：； (3)如图，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点是直线上一动点，将沿直线翻折得到，在点运动过程中，最小时，请直接写出的面积． 61．已知为等边三角形，D是边上一点，连接，点为上一点，连接． (1)如图1，延长交于点F，若，，求的长； (2)如图2，将绕点C顺时针旋转到，延长至点H，使得，连接交于点N，求证； (3)如图3，，点H是上一点，且，连接，点K是上一点，，连接，，将沿翻折到，连接，当的周长最小时，直接写出的面积． 62．中，，D为边的中点，连接． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，，为上一点，将绕点D顺时针旋转得线段，作交的延长线于点，如果，求证：； (3)如图3，，为上一点，将绕点顺时针旋转得线段，当最小时，为平面内一点，将沿翻折得，当最大时，直接写出的值． 63．如图，在中，平分交边于点，在边上取点，使得，连接． (1)如图1，当时，求的大小． (2)如图2，过点作于点，当时，请证明：． (3)如图3，在（2）问的条件下，连接，当时，在四边形内部是否存在点，使得点到四边形四条边的距离相等？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 64．在等腰中，，点是射线上的一点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若，过点作交于点，点为边上的一点，且，过点作交直线于点，求证：； (3)如图3，若，，点是边上的一点，且，点是平面内任意一点，将沿翻折得到，点为直线上的一点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，若，当线段最短时求的面积． 65．是等边三角形，点D为线段上任意一点，连接，E为直线上一点． (1)如图1，当点D为中点时，点E在边上，连接．若，，求的长； (2)如图2，若点E为延长线上一点，且，点F为延长线上一点，且．猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（1）的条件下，M为线段上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接．当的值最小时，直接写出的面积． 命题角度七：几何变换 66．如图，在中，，于点D，交于点E，于点F，连接． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，点M为外一点，满足，，，连接．当最大时，直接写出的面积． 67．在中，，，点在边的延长线上，连接． (1)如图1，点为边上一点，点为中点，连接．若，求证：； (2)如图2，点为边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．若，猜想与的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，取中点，连接．点是直线上一点，点是直线上一点，连接．若，当取得最大值时，直接写出的最小值． 68．已知为等边三角形，是边上一点，连接，点为上一点，连接． (1)如图1，延长交于点，若，，求的长； (2)如图2，将绕点顺时针旋转到，延长至点，使得，连接交于点，求证； (3)如图3，，点是上一点，且，连接，点是上一点，，连接，，将沿翻折到，连接，当的周长最小时，直接写出的面积． 69．在中，，点为边上一动点，连接．    (1)如图1，若，求； (2)如图2，若点为中点，平分为平分线上一点，连接 若，请猜想之间的数量关系并证明； (3)作，的角平分线交于点，过点作的平行线分别交于，点为平面中一动点，连接，将沿翻折得到，连接，若，当的值最大时，求． 70．如图所示，为等腰三角形，，点D是上一点，连接． (1)如图1，若，，以为边在的右侧作等边，连接，求的长； (2)如图2，若，以为底边在的右侧作等腰直角，连接，求证：； (3)如图3，若，点E为中点，将绕点A顺时针旋转得到线段，连接，直线与直线交于点F，当取得最小值时，直接写出的值． 71．在等腰与等腰中，，，．    (1)如图，点在外部，连接、、，，当，时，求的长． (2)若，解决以下两个问题： ①如图，点在内部，连接、为边上一点，连接，分别交、于点、，点为的中点，连接，当时，证明：． ②如图，点在的边上，点为边上一点，，，点为所在直线上一动点，连接、、，当最大时，请直接写出的最小值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 几何证明压轴训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 目录 命题角度一：中点辅助线 2 命题角度二：截长补短 87 命题角度三：截长补短与中点 115 命题角度四：30°角的构造 142 命题角度五：45°角的构造 166 命题角度六：边角构造 246 命题角度七：几何变换 271 命题角度一：中点辅助线 1．（2024·重庆大渡口·一模）在中，，点为延长线上任一点，连接． (1)如图，若，，求线段的长； (2)如图，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接．点为的中点，连接．求证：； (3)在（）的条件下，设点为直线上的点，交于点．点在延长线上运动的过程中，当时，将沿直线翻折到所在平面内得到，同时将沿直线翻折到所在平面内得到．在取得最大值时，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）根据旋转的性质得到，证明是等腰直角三角形，求出，的长度，在中运用勾股定理得到从而求出； （）取的中点，连接，证明，得到，证明点三点共线，再证明，，即可证明结论； （）由题可知，点在以点为圆心，的长度为半径的圆上运动，得点在线段上时，取得最大值，证明，设，则，，，根据相似三角形的性质表示，根据锐角三角函数，表示，即可求解． 【详解】（1）解：如图，将绕点逆时针旋转，使得与重合，得到，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴，，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：连接， 由线段绕着点逆时针旋转得到线段，得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∵，点是中点， ∴， ∵点是中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴点三点共线， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题可知，点在以点为圆心，的长度为半径的圆上运动， 得点在线段上时，取得最大值， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由折叠可知， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练运用上述知识点解题． 2．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，在中，，，点在边上，连接． (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，以为边在左侧作等边，连接，过点作交于点．猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想； (3)在取得最小值的条件下，以为边在左侧作等腰，其中．点为直线左侧平面内一点，满足，连接，点为的中点．当取得最大值时，将沿翻折得到，连接，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)，见解析； (3)． 【分析】（1）过点作于，根据等腰三角形的性质和三角函数即可求解； （2）过点作与的延长线交于点，作的延长线如图，根据等腰三角形的性质，，由等边三角形的性质得，，证明，从而证明，再根据性质，，由，得，，证明即可； （3）由题意得，当时，最小，作的外接圆，连接，则点P的轨迹为优弧，则，连接，取中点，连接，，确定点Q轨迹为优弧，故当点三点共线时，最大，延长交于点G，则垂直平分，过点作，垂足为点H，过点E作，垂足为点N，过点E作，垂足为点R，连接，过点作，垂足为点K，可得，则，设，则，，，过点O作，则，，运用勾股定理得，由，得到，则，而，则，求得，则，可求，，，，则，最后在中，，即可求解． 【详解】（1）过点作于， 又∵，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴线段的长为； （2）猜想，理由如下： 过点作与的延长线交于点，作的延长线如图， ∵，， ∴，， ∵是等边三角形 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； （3）解：解：如图：由题意得，当时，最小， ∵， ∴为中点， 作的外接圆，连接，则点P的轨迹为优弧， ∴， 连接，取中点，连接， ∵点Q为的中点， ∴，， ∴点Q轨迹为优弧， ∵， ∴当点三点共线时，最大，如图： 延长交于点G，则垂直平分，过点作，垂足为点H，过点E作，垂足为点N，过点E作，垂足为点R，连接，过点作，垂足为点K， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∵分别为中点， ∴， ∴，则 ∴设，则，， ∴， 过点O作， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形的中位线定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 3．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）在中，，，是等边三角形，连接、．    (1)如图1，当、、三点在同一直线上时，、交于点，且．若，求的长； (2)如图2，当、、三点在同一直线上时，是中点，连接、，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，，在直线上运动，将沿翻折得到，连接，是上一点，且，是直线上的另一个动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，直接写出此时点到直线的距离． 【答案】(1) (2)见解析 (3)点到直线的距离为：． 【分析】 （1）解求得，计算得出，然后解求得； （2）延长至，是，连接，，设与交于，证明，进而证明得出，进一步得出结论； （3）作于，取点，连接，，先证得点在过点且与垂直的直线上运动，点在以点为圆心，2为半径的圆上运动，过点作的垂线段，交圆于，当点运动到点时，此时最小，解直角梯形，求得的值，进而求得，，作，解，进一步求得结果． 【详解】（1） 解：，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， 在中，，， ， ， 在中，，， ； （2） 证明：如图1，    延长至，是，连接，，设与交于， ，， ， ，， ∴， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 即：， 是等边三角形， ，， ， ； （3） 解：如图，    作于，取点，连接，， ， ， ， ， ， 由（2）得， 是等边三角形， ，， ， ， 即：， ， ， 点在过点且与垂直的直线上运动， ， 点在以点为圆心，2为半径的上运动， 作直线于，当点在处时，交圆于，最小， 作于， ， ∴， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 作于， ， ， ， ， ， 所以此时点到直线的距离为：． 【点睛】 本题考查等腰三角形性质，解直角三角形，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 4．（2024·重庆·三模）图，在中，，，将绕着点顺时针旋转度得到线段，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，交于点，连接，． (1)如图1，若，点恰好在线段上时，求的面积． (2)如图2，在旋转的过程中，若为的中点，求证：． (3)如图3，，在旋转的过程中，连接，在线段上取一点，使得，当取得最大值时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可知，，过点作于点，得，利用旋转及等腰三角形的性质求得，可知，得，进而即可求解； （2）过点作于，交于点，连接，由旋转及等腰三角形的性质可知，，进而可证明，得，根据，，易证，进而可证明，得，由旋转可知，，根据等腰三角形的性质可知，结合平行线分线段成比例得，即：，即可证得； （3）结合等腰直角三角形的性质，将绕点逆时针旋转得，过点作垂直于的延长线于，则，由旋转可知，为等腰直角三角形，再证明，可得，在上取，则，再证，得，，则，，可知点在以为圆心，为半径的圆上，进而可知当经过点时，取得最大值，即点在线段上时，设，求的，，，过点作，过点作，过点作，可知四边形为矩形，再根据直角三角形求得，，在中，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 过点作于点， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， 由旋转可知，，， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作于，交于点，连接， 由旋转可知，，，即， ∴，， ∴，， 又∵点为的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴， 由旋转可知，， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； （3）将绕点逆时针旋转得，可知为等腰直角三角形， 则，， 过点作垂直于的延长线于，则，可知为等腰直角三角形， ∴，，， 由旋转可知，为等腰直角三角形，则，， ∴，，即：， ∴， ∴， ∴， 在上取，则， ∵，则， ∴， 又∵， ∴， ∴，，则，， 即点在以为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴当经过点时，取得最大值，即点在线段上时， 设，则，，， 过点作， ∵，则， ∴，，则， ∴，则， ∴， 过点作，过点作， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 则， 在中， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定及性质等知识，掌握以上知识，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 5．（23-24九年级下·重庆渝北·阶段练习）等边中，点为直线上一动点，连接．    (1)如图1，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接．若点在边上，且，，求的长度； (2)如图2，若点在延长线上，点为线段上一点，点在延长线上，连接、．在点的运动过程中，若，且，猜想线段与线段之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，将沿直线翻折至所在平面内得到，点在边上，且，将绕点逆时针方向旋转得到线段，点是直线上一动点，将沿直线翻折至所在平面内得到，在点，运动过程中，当最小时，若，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】 （1）作，求出长，再求出，证明，即可； （2）作，交的延长线于点，由条件，，再证明出，得到，再证出，即可证明出结论； （3）判断出点在过且平行于的直线上，点定在以为圆心，为半径的上，连接，作直线，交于，作于，用梯形的面积减去三角形的面积，再减去三角形的面积即可． 【详解】（1） 如图1，作于点，    ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ． （2） ． 如图2，作，交的延长线于点，    ， ，即， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 如图3，若将沿直线翻折得到，则， 点在过且平行于的直线上， 若将沿直线翻折得到，则， 点定在以为圆心，为半径的上， 过作于，交于点， 则的长为最小值， 连接，作直线，交于，作于，    由题得点在上，且， ，， ， ， ，， 由折叠得，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等等知识点的综合应用，解直角三角形、点的轨迹的判断、直线与圆的位置关系是解题关键． 6．（22-23九年级下·重庆万州·期中）在中，，，D为上任意一点，E为上任意一点． (1)如图1，连接，若，，求的长． (2)如图2，若点D为中点，连接，点F为上任意一点，连接并延长交于点M，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，点N在上，且，求证：． (3)如图3，点D为中点，连接，点F为的中点，连接、，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过E作于H，根据等腰三角形的性质和锐角三角函数关系求解即可； （2）如图2，过E作交延长线于H，则，由旋转性质和全等三角形的判定，结合等腰三角形的判定与性质证明得到，，，进而利用等腰直角三角形的性质和平行线的性质，以及全等三角形的判定与性质证明即可证得结论； （3）先根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，进而得到点在以点F为圆心，为半径的圆上运动；再判断出点G在过点A且与平行的射线上运动，以及当点E与C重合时，最大，即最大，进而可求解． 【详解】（1）解：如图1，过E作于H， ∵在中，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴； （2）证明：如图2，过E作交延长线于H，则， 由旋转性质得，， ∴， ∵在中，，，点D为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵在中，，， ∴， ∵点D为中点， ∴，， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折至所在平面内，得到， ∴， ∴点在以点F为圆心，为半径的圆上运动； 由（2）知，则， 即点G在过点A且与平行的射线上运动， ∵，， ∴， 当点E与C重合时，的长最大，即的长最大，如图， ∵，∴的长的最大值为， ∵当G、F、共线时，的长最大， ∴线段的长度的最大值为． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、圆的有关性质、翻折性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 7．（22-23九年级下·重庆九龙坡·阶段练习）如图，为的中线，以为直角边在其右侧作，，与交于点F，． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若将绕点C逆时针旋转得，连接，，探究，的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，，，直线上有一点M，连接，将沿着翻折至所在的平面内得到，取的中点P，连接，当最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】 （1）证明，根据求出，再求出求解即可； （2）结论：．延长到，使得，连接，，，，．想办法证明是等边三角形，可得结论； （3）首先判断出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆．当点落在上时，的长最小，如图中，过点作于点，过点作于点．求出，可得结论． 【详解】（1） 解：如图所示， ， ， ， ， ； （2） 结论：． 理由：延长到，使得，连接，，，，． ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （3） 连接． ，，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， 由翻折变换的性质可知，， ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆． 当点落在上时，的长最小，如图中，过点作于点，过点作于点． ，，， ， ， ， ， ， ， 的面积． 【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了轴对称变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 8．（2024·重庆沙坪坝·一模）和是以点为公共顶点的等腰三角形，其中，，，连接． (1)如图1，当，点在的延长线上时，点为中点，连接．若，，求的长； (2)如图2，点为中点，连接，，交于点．点是上一点，连接．延长，相交于点．若，求证：； (3)如图3，当，点在的延长线上时，延长至点，使得．延长至点，使得，连接．若，当的长度取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）运用等腰直角三角形性质和勾股定理即可求得答案； （2）延长至点，使，连接，，延长、交于点，设与交于点，可证得，得出，，再证得，得出，再证得，得出，推出，可得，再运用等腰三角形性质即可证得结论； （3）设，，则，，利用勾股定理得①，过点作于，可证得，得出，即，可得，，运用勾股定理可得，当，即时，最小，得出②，联立①②，可求得，代入①，可得，再利用三角形面积公式即可求得答案． 【详解】（1）解：，， ， ，， 和均为等腰直角三角形， ，， ，， ，， ， 在中，， 点为中点， ； （2）证明：如图，延长至点，使，连接，，延长、交于点， 设与交于点， 点为中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 在等腰中，， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：，， ， ，， 和均为等腰直角三角形， ，，， ， 设，，则，， ， ， 即①， 如图，过点作于， 则， ， ， ，即， ，， ， ， 在中，， 当，即时，最小， ②， 联立①②，得， 或（舍去）， ， 代入①，可得， 此时，， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形及等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 9．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图1，在中，，，E为线段上不与点B、C重合一点，D为线段的中点，将线段绕点E顺时针旋转得线段与交于点H，连接的延长线与的反向延长线交于点G． (1)求的度数； (2)如图2，若点M为线段的中点，连接，求证：； (3)如图3，点N为线段上一动点，连接，过点C作于J，过点H作于L，将沿所在直线折叠得，点P、T分别为线段边上的点，且满足，，连接交于点Q，若，，，请直接写出点Q到所在直线距离的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）过点F作交延长线于V，证明得到，再证明，推出是等腰直角三角形，则，即可得到； （2）如图所示，延长交于S，连接，先由等腰直角三角形的性质得到，，，则，证明，得到，则；再证明，得到，即可证明是等腰直角三角形，则； （3）先求出，则，利用勾股定理得到，证明，求出，则，；如图所示，过点P作交于R，则，，推出，即可得到，则，进而得到，则，故当点N与点E重合时最大，即此时最大，即此时点Q到的距离最大；过点C作于W，利用等面积法求出，进而求出，则，求出，则点Q到的距离的最大值为． 【详解】（1）解：如图所示，过点F作交延长线于V， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，延长交于S，连接， ∵在中，，，E为线段上不与点B、C重合一点，D为线段的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点P作交于R， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得 ∴， ∴， ∵点N在上运动， ∴当点N与点E重合时最大，即此时最大，即此时点Q到的距离最大； 过点C作于W， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点Q到的距离的最大值为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等腰直角三角形的性质与判定，平行线的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 10．（2024·重庆·一模）如图，在中，将线段绕点顺时针旋转一定角度得到，D给好落在直线上；过点作垂直直线于点，在直线上再取两点（点在点左侧），连接，且，； (1)如图1，在线段上，若，，，诸求出线段的长； (2)如图2，在线段上，连接交于点，若时，求证：； (3)如图3，在线段延长线上，且，在上取一点使得，当取得最小值时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）由得，进而求得，因此，在中，利用勾股定理可求得，根据即可求解； （2）在上取一点，使得，并连接，由得，根据条件证明，因此，，再证明即可得出结论； （3）根据角度关系，旋转的性质，且当取得最小值，即当时，值最小，可得，是等腰直角三角形，根据勾股定理分别算出的值即可求解． 【详解】（1）∵， ， ， 又∵， ∴， ， ， ， ， ∴在中，，， 由勾股定理知：， ； （2）如图， 在上取一点，使得，并连接， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示， 已知，，， ∴，，是线段的垂直平分线， ∵，即，且， ∴，且， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵，，， ∴，， 当取得最小值，即当时，值最小， 如图所述， ∴， ∴，是等腰直角三角形， 如图所示，， ∴ 设，则， ∴， 解得，， ∴ ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确做出辅助线、找到全等三角形是解题的关键． 11．（23-24九年级下·重庆·期中）在中，交于点D，点F在边上，交于点E．    (1)如图1，若点E是的中点，，求的长； (2)如图2，点E是的中点，点F是中点，求证； (3)如图3，线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接交于点M，N是直线上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．已知，，当最大时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）作于G，可得出，从而得出，，，进而得出及，从而得出，进一步得出结果； （2）取的中点G，连接，可证得，从而得出不妨设，则，从而得出，，证得，进而得出，从而； （3）作交的延长线于H，可证得，从而，进而证明，从而得出，从而，所以B、M、共线时，最大，此时在的延长线上，设，则，在中，由勾股定理得，求得x的值，从而得出，，可以得出点在上，进一步得出结果． 【详解】（1）解：作于G，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）取的中点G，连接，    ∵F是的中点， ∴， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴ ∴， 不妨设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （3）作交的延长线于H，    ∴ ∴ ∵线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴B、M、共线时，最大，此时在的延长线上，    设，则 ∴ 在中，由勾股定理得 ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∵将沿翻折得到，在上， ∴点在上， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 12．（2024·重庆·二模）已知中，点和点是平面内两点，连接，和，． (1)如图1，若，，，求的长度； (2)如图2，连接和，点为中点，点为中点，连接和，若，求证：； (3)若，，当取得最小值，且取得最大值时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点作交于点，证明即可求解； （2）取的中点，连接，根据中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，再证明，得出，进而即可得证； （3）将绕点顺时针转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接， 根据，当四点共线时，最小，进而确定的位置，根据点在为圆心，为半径的圆上运动，由点到圆上的距离关系，得出当取得最大值时，在的延长线上，连接，过点作于点，进而解直角三角形，求得的长，根据三角形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作交于点， ∵中， ∴，， ∵，， ∴，． 又∵， ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，取的中点，连接， 又∵是，， ∴， ∵ ∴， ∵，为的中点， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴即 又∵ 即， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （3）解：∵中，， ∴是等边三角形， 如图所示，将绕点顺时针转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，，， 则是等边三角形， 是等边三角形， ∵ 取的中点，则， ∵是的中点，，， ∴ ∴当四点共线时，最小 此时如图所示， ∴ ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴是直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 设，则，， 在中， ∵是等边三角形， ∴， 在中， ∴ ∴ 解得： ∴， 取的中点，连接， ∵ ∴点在为圆心，为半径的圆上运动， ∴， ∴当取得最大值时，在的延长线上， 连接，过点作于点， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，旋转的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，相似三角形的性质与判定，加权费马点问题，点与圆的位置关系，直径所对的圆周角是直角；熟练掌握以上知识是解题的关键． 13．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，在中，． (1)如图1，D为边的中点，连接，过C点作于点，交于点，连接，若，求的面积： (2)如图2，，D、E分别为边上的点，且，连接交于点G，若F为的中点，连接，猜想线段和之间存在的数量关系，并证明你的猜想： (3)如图3，D为平面内一点，若，连接，以为边向上构造等边，连接并延长至点P使，当最短时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）由等腰三角形“三线合一”的性质及得出，根据的三角函数得出，进而得出，即可得出的面积； （2）在上截取，把绕点顺时针旋转得，延长交于连接，根据旋转点性质得出是等边三角形，是等边三角形，通过证明，，得出，根据中位线的性质得出，即可得出； （3）把线段绕点逆时针旋转得线段，连接、，设中点为，连接，可证明是等边三角形，即可证明，得出，即可证明点在以为圆心，为半径的圆上，点在线段时，有最小值，根据中位线的性质得出，，根据直角三角形斜边中线的性质，利用勾股定理求出和的值即可得答案． 【详解】（1）解：∵，为边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）如图，在上截取，把绕点顺时针旋转得，延长交于连接， ∵，， ∴是等边三角形，，， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵把绕点顺时针旋转得， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴． （3）如图，把线段绕点逆时针旋转得线段，连接、，设中点为，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵以为边向上构造等边， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∵是等边三角形，为中点， ∴，， ∴， 当点在线段时，有最小值，最小值为， ∵，为中点， ∴，， ∴， ∴的最小值为，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、直角三角形斜边中线的性质、旋转的性质、解直角三角形及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 14．（2024·重庆·一模）在中，，P为直线上一动点， 连接， 取的中点，将线段绕点 C顺时针旋转到，旋转角为α，连接． (1)当点P在延长线上，且时，解决以下问题． ①如图1，与相交于H， 若，，连接，求的长； ②如图2，当N落在上时，取的中点E， 连接．点D为上一点， 满足， 求证：． (2)如图3，已知，，． 连接、， 当取得最小值时，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)①，②证明见解析； (2)． 【分析】（1）①先求得，进而根据旋转的性质得出，则在中勾股定理即可求解； ②取的中点， 连接，证明， ，，得出，结合即可得证； （2）取的中点，连接交于点，延长交于点，得出，点在上运动，得出的轨迹，延长得到直线，交的延长线于点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，确定点的位置，连接，则交于点，当与重合时，取得最小值，进而通过全等三角形的性质，解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：①为中点， ， ， ， ， ， ， ， 又∵旋转到， ， ， 在中：， ； ②取的中点， 连接， ∵， ∴， ， ， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， 又∵分别为中点， ， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴． （2）解：如图所示，取的中点，连接交于点，延长交于点， ∵是的中点， ∴，，是等边三角形， ∴，则 将绕点逆时针旋转得到， ∴，则 又∵ ∴点在上运动， 延长得到直线，交的延长线于点， ∵ ∴ 又∵，则 ∴， 作点关于的对称点，连接交于点，交于点， ∴， ∵， ∴ 连接，则交于点，当与重合时，取得最小值， 此时如图所示，连接 ∵，为的中点， ∴为的中点， ∴ 又∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴， 又 ∴ ∴ ∴ ∴四边形的面积为 即取得最小值时，四边形的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，中位线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 15．（2024·重庆·三模）在等腰中，． (1)如图1，当点为中点时，过点作的垂线交于点，若，，求的长； (2)如图2，，、分别为、边上的点，且，连接交于点，若为的中点，连接、，猜想线段和之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，为平面内一点，若，连接，以为边向上构造等边，连接并延长至点，使，当最短时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）如图，将绕点逆时针旋转得到，取，连接， 证明，得到，在上找一点使得，证明，利用中位线性质，即可解答； （3）如图，把线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，，设的中点为，连接，根据等边三角形的性质得到，，得到，，根据全等三角形的性质得到，求得，根据等边三角形的性质得到，，求得，当点在线段上时，有最小值，最小值为，得到，，于是得到结论． 【详解】（1）解：，为等腰三角形， ， ， 过点作的垂线交于点， ， 可得； （2）解：，理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转得到，取，连接， ，， ， ， 同理可得， ， ，即， ， ， 为等边三角形， ， ， 如图，在上找一点使得， ， ， ， ，点是的中点， ，即； （3）解：如图，把线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，，设的中点为，连接， 是等边三角形， ，， 以为边向上构造等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， 点在以为圆心，2为半径的圆上， 是等边三角形，为的中点， ，， ， 当点在线段上时，有最小值，最小值为， ，为的中点时， ， ， ， 的最小值为，， ， ． 16．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在和中，，，． (1)如图1，当点在同一直线上时，连接，满足，，求的面积； (2)如图2，当点在同一直线上时，连接，为的中点，连接，试猜想线段与关系； (3)如图3，若，为边上一动点，连接，将沿所在直线翻折，点D的对应点为，为中点，连接，请直接写出当取最小值时，直接写出线段的长度． 【答案】(1)6 (2)，，证明见解析 (3) 【分析】（1）设交于点O，根据，得到，结合，推出点C是的中点，由等腰直角三角形的性质得到，推出，进而证明，由即可求解； （2）延长到T，使得，连接，延长交于点．证明，推出，再利用三角形中位线定理即可证明，在根据三角形内角和定理得到，由平行线的性质得到，即可证明； （3）取的中点，的中点，连接，根据，是等腰直角三角形，求出，从而得到，根据，可得出当且仅当三点共线时取最小值，此时，，推出，由折叠的性质得到，，证明四点共圆，得到，由，从而得到，推出，证明，得到，求出，即可求出的长． 【详解】（1）解：设交于点O， ，点在同一直线上， ， ， ， ， ， 点C是的中点， 中，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：延长到T，使得，连接，延长交于点． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ，，， ， ， ， ； （3）解：取的中点，的中点，连接， ，是等腰直角三角形， ， ， ， 当且仅当三点共线时取最小值， 此时，， ， 由折叠的性质得到，，， ，即， 设， ， ，即， ， 四点共圆， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 17．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）在直角中，，，，点为线段上一点，连接． (1)如图1，若为的中点，连接，，求的长； (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，，为上一点，连接，满足，取，中点分别为，，连接，求证：； (3)如图3，若，将线段绕着点逆时针旋转得，连接，为上一点，且，连接、，将沿直线翻折至所在平面内得到，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）解直角三角形求得，进而可得，勾股定理，即可求解． （2）证明得出，进而证明，得出，进而即可得证． （3）先求得，根据旋转的性质可得，在上取点，使得，构造得出，则点在以为圆心为半径的圆上运动，依题意，与关于对称，当面积取得最小值时，的面积取得最小，当在上时，取得等于号，此时最小，求得的最小值，最小，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵在直角中，，，， ∴，， ∵ ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， ∵是的中点 ∴，， ∴， ∴， 在中，； （2）解：如图所示，取的中点，连接， 设，则， ∵ ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到 ， ∴，， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴，， 又∵是的中点 ∴ ∴， 又∵，则 ∴ ∴, ∵， ∴ ∴, ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵是的中点， ∴ ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵旋转， ∴ 如图所示，在上取点，使得，则 又∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴点在以为圆心为半径的圆上运动， 依题意，与关于对称， ∴当面积取得最小值时，的面积取得最小， ∵， ∴当在上时，取得等于号，此时最小，即最小， ∴的最小值为， ∴， ∴当最小时， 的面积为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，中位线的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18．（22-23九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）在菱形中，，点在平面内，点为直线上一点． (1)如图1，当在上时，，若，，求的长； (2)如图2，当在延长线上时，，为的中点，连接并延长交于点，求证：； (3)如图3，在直线上运动，若，将沿所在直线翻折至，连接，在这个过程中，当的面积取得最大值时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）过点作交于点，根据菱形的性质及已知可得是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，可得，，设，则，，根据勾股定理可得，即，求解即可； （2）过点作交于点，证明是等边三角形，可得，，由，继而得到，证明，可得，证明，可得 ，即可得证； （3）分三种情况：①当点在线段（不含端点）上运动；②当点在射线上且在点（含端点）的右边运动；③当点在射线上且在点（含端点）的左边运动，进行讨论即可． 【详解】（1）解：过点作交于点， ∴， ∵在菱形中，，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴的长为；    （2）证明：过点作交于点， ∴， 由（1）知：是等边三角形， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴；    （3）解：①当点在线段（不含端点）上运动， 以点为圆心，为半径画图， ∵， ∴，即点在圆上， 以点为圆心，为半径画图， ∵将沿所在直线翻折至， ∴点点在圆上， ∵为的中点，， ∴（为定值）， ∴当时，此时，的面积最大， ∴， ∴， 过点作于点， ∵， ∴， ， ， ∴， ∴；    ②当点在射线上且在点（含端点）的右边运动， 以点为圆心，为半径画图， ∵， ∴，即点在圆上， 以点为圆心，为半径画图， ∵将沿所在直线翻折至， ∴点点在圆上， ∵为的中点，， ∴（为定值）， ∴当时，此时，的面积最大， ∴， ∴， 过点作，交点的延长线于点， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴；    ③当点在射线上且在点（含端点）的左边运动， 由①②可知，点点在且半径为的圆上，点点在且半径为的圆上， 当时，此时点与重合，点与重合，点与重合，的面积最大， 则，不符合题意； 综上所述，或． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数，三角形外角的定义和性质等知识点．通过作辅助线构造全等三角形的和圆是解题的关键． 19．（2021·重庆沙坪坝·二模）在△ABC中，AC＝BC，D为△ABC外一点，连接CD． （1）如图1，若∠ACB＝60°，CD∥AB，连接BD交AC于点E，且CD＝2AB＝2，求S△BCE． （2）如图2，CE＝CD，∠ECB＝∠DCA，ED交AB于点F，FG垂直平分EC，且FG＝EC，M，N分别为AF，CD中点，连接MN，求证：MN＝BF． （3）如图3，若∠ACB＝90°，CD∥AB，将AD绕着A点顺时针旋转60°得到AD'，连接DD'，BD'，且AC＝，求BD'的最小值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）3﹣． 【分析】（1）由题意过点B作BH⊥AC于H．想办法求出EC，BH，可得结论； （2）根据题意延长AN到H，使得NH＝AN，连接FH，CF．利用全等三角形的性质证明FH＝BF，可得结论； （3）根据题意在直线CD上取两点E，F，连接AE，AF，使得△AEF是等边三角形，过点A作AR⊥EF于R，连接ED′，过点B作BH⊥ED′交ED′的延长线于H，设AB交EH于J．证明∠CHE＝60°＝定值，推出点D的运动轨迹是直线ED′，当BD′与BH重合时BD′定值最小，求出BH即可． 【详解】解：（1）如图1中，过点B作BH⊥AC于H． ∵AC＝BC，∠ACB＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝1， ∵BH⊥AC， ∴AH＝CH＝， ∴BH＝， ∵， ∴＝＝， ∴EC＝AC＝， ∴S△BEC＝•EC•BH＝××＝． （2）证明：如图2中，延长AN到H，使得NH＝AN，连接FH，CF． ∵DN＝CN，∠AND＝∠HNC，AN＝NH， ∴△AND≌△HNC（SAS）， ∴AD＝CH，∠ADN＝∠NCH， ∵CD＝CE，∠DCA＝∠ECB，CA＝CB， ∴△DCA≌△ECB（SAS）， ∴AD＝BE，∠CDA＝∠CEB， ∵FG垂直平分线段EC， ∴CG＝EG，FC＝FE， ∵FG＝EC， ∴FG＝GC＝GE， ∴∠FEC＝∠FCE＝45°， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∴∠DCE＝90°， ∴∠DCF＝45°， ∵∠FCH＝∠NCH+45°，∠BEF＝∠CEB+45°， ∴∠FCH＝∠BEF， ∵CH＝BE，CF＝EF， ∴△FCH≌△FEB（SAS）， ∴FH＝BF， ∵AM＝FM，AN＝NH， ∴FH＝2MN， ∴BF＝2MN．即 （3）如图3中，在直线CD上取两点E，F，连接AE，AF，使得△AEF是等边三角形，过点A作AR⊥EF于R，连接ED′，过点B作BH⊥ED′交ED′的延长线于H，设AB交EH于J． ∵CA＝CB＝，∠ACB＝90°， ∴AB＝AC＝2，∠CAB＝45°， ∵， ∴∠ACD＝∠CAB＝45°， ∵AR⊥CD， ∴AR＝RC＝， ∵△AEF是等边三角形， ∴AE＝＝2， ∵∠DAD′＝∠EAF＝60°， ∴∠D′AE＝∠DAF， ∵D′A＝DA，EA＝FA， ∴△AED′≌△AFD（SAS）， ∴∠AED′＝∠AFD＝60°， ∵∠AEF＝60°， ∴∠CED′＝60°＝定值， ∴点D的运动轨迹是直线ED′， ∴当BD′与BH重合时BD′定值最小， ∵ ∴∠AJE＝∠CEH＝60°， ∴△AJE是等边三角形， ∴AJ＝AE＝2， ∴BJ＝AB﹣AJ＝2﹣2， ∴BH＝BJ•sin60°＝， ∴BD′的最小值为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线定理，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 20．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）在中，点为线段上一动点，点为射线上一动点，连接，． (1)若，当点在线段上时，交于点，点为中点． ①如图1，若，求的长度； ②如图2，点为线段上一点，连接并延长交的延长线于点．若点为中点，，求证：． (2)如图3，若．当点在线段的延长线上时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，当取得最小值时，内存在点，使得，当取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】（1）①过点作于点，通过勾股定理得到的长，证明利用勾股定理即可求解； ②延长至点，使，连接，连接交于点，用过证明三角形全等结合直角三角形的两个锐角互余，三角形内角和等知识即可得证； （2）沿直线翻折后，点的对应点落在直线上，当时，取得最小值，通过含角的直角三角形的特征求出，过点作的垂线，过点作垂线相交于点，点在以为圆心，为半径的圆上，半径，当，，三点共线时，取得最小值，利用勾股定理相似三角形的判定与性质即可得出最后结果． 【详解】（1）解：①过点作于点， ， ，， ， 在中，， ， 点为中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，， ； ②证明：延长至点，使，连接，连接交于点． ， ， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设， 在中，， ， ， ， ，，即， ， 点为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ； （2）如图，沿直线翻折后，点的对应点落在直线上，当时，取得最小值． 由题意可知：，，， ， ， ， ， ， 过点作的垂线，过点作垂线相交于点， 点在以为圆心，为半径的圆上，半径，当，，三点共线时，取得最小值， 此时， ， 过点作于点， ， ， ， 或者． 【点睛】本题考查了三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠性质，直角三角形特征，勾股定理，三角形内角和定理等知识，添加辅助线构造直角三角形和全等三角形是解答本题的关键． 21．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，平行四边形中,，过A作，在上取一点，将绕点逆时针旋转得线段． (1)如图1，若点是中点，,旋转后点恰好落在边上，求的长度． (2)如图2，将绕点逆时针旋转得线段，当时，在上取一点，使,连，猜想与的大小关系并证明． (3)如图3，若点为中点，点为中点，，当最小时，直接写出． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】（）根据平行四边形性质得到，，，根据得到，根据中点性质和旋转性质推出，得到； （）延长到点，使，连，，根据三角形中位线性质得到，，得到，根据，推出，根据等腰三角形性质得到，，得到，结合推出，由推出，推出，得到， ，推出，，推出， 得到； （）根据点为中点，得到当点绕着点旋转时，点绕着的中点旋转，根据含的直角三角形性质得到，，根据中点性质得到，根据勾股定理得到，运用三角形面积公式求出，当最小时，点P在上，推出，得到，得到． 【详解】（1）如图，∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵点是中点， ∴， 由旋转知，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2），证明如下： 如图，延长至点，使，连，， ∵， 是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵点为中点， ∴当点绕着点旋转时，点绕着的中点旋转，如图， 连接，，设的边上的高为， ∵， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴，， 当最小时，点在上， 此时，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形性质，含的直角三角形性质，等腰三角形性质，勾股定理解直角三角形，三角形中位线性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等问题，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 命题角度二：截长补短 22．（2023·重庆·一模）在中，，于点D．    (1)如图1，过点B作，分别交于H，于M，求证：； (2)如图2，过点D作交于点F，点G为左侧一点，，，连接，，，之间存在的数量关系； (3)如图3，，，点P为内部一点的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据垂线定义求出，根据，得出，即可证明结论； （2）在上取点J，使得，连接，，延长交于点K．过点A作，交的延长线于点H，证明，得出，，证明，得出，，证明，得出，证明，证明四边形是平行四边形，得出即可； （3）将绕点B逆时针旋转得到，连接AT、，延长，过点A作交的延长线于点K．证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 在上取点J，使得，连接，，延长交于点K．过点A作，交的延长线于点H，如图所示：    ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴； （3）解：如图3中，将绕点B逆时针旋转得到，连接AT、，延长，过点A作交的延长线于点K．    根据旋转可知，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，矩形的判断和性质，两点之间线段最短，解直角三角形，等腰三角形的判断和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质． 23．（2023·广东深圳·二模）平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连． (1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度； (2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：； (3)如图3，已知，若，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“直角三角形的中线等于斜边长一半”，可以得到，再在直角中，利用勾股定理求出，则，即可求解； （2）由题意可得，是的角平分线，且，故延长交于点M，可证，要证，而，即证明即可，延长交于N，过E作于P，先证明，可以得到，再证明四边形是正方形，得到，接着证明即可解决； （3）如图3，分别以和为边构造等边三角形，构造“手拉手”模型，即可得到，所以，则，当B，F，M，N四点共线时，所求线段和的值最小，利用，解即可解决． 【详解】（1）解：∵，如图1， ∴， E为的中点，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （2）证明：如图2，设射线与射线交于点M， 由题可设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于N， ∴， 过E作于P， 则， 在与中，   ， ∴， ∴， 过E作于Q， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， 在与中， ，   ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转得到，得到等边，同理以为边构造等边， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 当B，F，M，N四点共线时，最小， 即为线段BN的长度，如图4， 过N作交其延长线于T， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为 ． 【点睛】本题是一道四边形综合题，考查了线段的“截长补短”在证明三角形全等中的应用，同时要注意基本辅助线构造方法，比如第（2）问中的线段既是角平分线，又是垂线段，延长相交构等腰就是本题的突破口，再结合线段的截长补短来构造全等，还考查了多条线段和的最值问题，利用旋转变换来转化线段是解决此问的关键． 24．（2024·重庆·三模）在等腰中，，点在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点．    (1)如图1，若，点为中点，，，求的长； (2)如图2，点在的延长线上，连接，若，，，求证：； (3)如图3，，，点是平面内直线下方一动点，始终满足．点为直线上一点，连接，满足，延长至点，使得.点为直线上一点，连接，将沿翻折至所在平面内得到，连接、，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，进而根据勾股定理即可求解； （2）在上截取，连接并延长交于点，证明，，根据全等三角形的性质即可得证； （3）以为边作等边三角形，作的外接圆，连接，先确定点的轨迹，根据将沿翻折至所在平面内得到，得出，即点在过点，与垂直的直线上，作平行四边形，则点在班级为的上运动，当三点共线时，且时，取得最小值，为，此时如图所示， 为的中点，连接交的延长线与点，交于点，过点作，交于点，进而解直角三角形得出，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴，， 又∵点为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）在上截取，连接并延长交于点，    ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：根据题意要使得最小，则在的上方， 如图所示，以为边作等边三角形，作的外接圆，连接，      ∵ ∴点在上运动， ∵将沿翻折至所在平面内得到， ∴ ∴，即点在过点，与垂直的直线上， ∵ ∴ 作平行四边形，则点在班级为的上运动， 当三点共线时，且时，取得最小值，为，此时如图所示，    ∴， ∴垂直平分 如图所示，为的中点，连接交的延长线与点，交于点，过点作，交于点，    ∴， ∴ 如图所示，   中，， ∴ 设，则 ∴ ∴ ∴ 在中， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，定弦定角问题，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，求一点到圆上的距离最值问题，熟练掌握以上知识，找出动点的轨迹是解题的关键． 25．（23-24九年级下·重庆北碚·阶段练习）已知为等边三角形，分别为线段，上一点，，与交于点. (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，为射线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，若，证明：； (3)如图3，在（2）的条件下，，为线段上的动点，随着的运动而运动，连接，当取得最大值时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）过点作，如图所示，由等边三角形性质及全等三角形判定与性质得到，设，则，由，解得，由等腰直角三角形及含的直角三角形性质，设，则，，列方程求解即可得到答案； （2）延长交于，在上取，如图所示，根据等边三角形性质、三角形全等的判定与性质，通过构造的、、将线段转化到一条线上即可得证； （3）将绕点逆时针旋转，得到，以为底边，向左作顶角为的等腰，延长到点，使，由，得到，由，得到，由，，得到，即：，在中，，此时∠BKC=60°，点，重合，，，得到，在中，求出的长，在中，求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： 在等边三角形中，，， 在和中， ， ， 设，则， ，解得， 在中，，，则， ， ， 在中，设，则，由勾股定理可得， ， ，解得，则； （2）解：延长交于，在上取，如图所示： 在等边三角形中，，， 在和中， ， ， 是的一个外角， ， ，， ， 将线段绕点逆时针旋转得， ，， 在和中， ， ， 由知，，则， ， ，即， 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， 是等边三角形，则， ，， ， 在和中， ， ， ； （3）解：将绕点逆时针旋转，得到则，，，以为底边，向左作顶角为的等腰，则，延长到点，使，则，连接，，， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∴，即：， 在中，，即：， 当，，共线时取得最大值， 此时，点，重合，，即：，， ∴， ∴， 过点，作，交于点， 在中，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了，等边三角形的性质，顶角的等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理解三角形，两点之间线段最短，解题的关键是：连接辅助线，构造比例线段． 26．（2024·重庆九龙坡·二模）在中，，点是直线上一动点，连接．    (1)如图1，平分，于点，若，，求线段的长； (2)如图2，若，点在线段上，，，于点，交的延长线于点，过点作于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，点是平面内一点，且，，过点作于点，交于点，连接，，若，，当取最小值时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）由平分，，，，得到，，，，在中，根据勾股定理求出，设，在中，应用勾股定理求出，在中，应用勾股定理，即可求解， （2）延长与延长线交于点，作， 由，，，得到，，，由，得到，由，得到，，由，得到，根据，即可得到， （3）作中点，连接、，由，得到，由，得到，即：，解得：，根据直角三角形斜边中线的性质，得到，，是等腰直角三角形，，在中，，当点在线段上时，过点作，交于点，由是等腰直角三角形，得到，根据，即可求解， 本题考查了，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：根据相似三角形得到的比例关系，确定的长度． 【详解】（1）解：∵平分，，，， ∴，， ∴， ∴，，， 在中，， ∴设，则：，， 在中，,即：，解得：， 在中，， 故答案为：， （2）解：延长与延长线交于点，    ∵，，， ∴， ∴，， ∴，即：， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）解：作中点，连接、，    ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即：， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴，即：，解得：， ∵是中点，， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， 在中，，当点在线段上时，取最小值， 过点作，交于点，    ∵是等腰直角三角形， ∴， ， 故答案为：． 27．（2024·重庆大渡口·二模）在中，点C在直线的上方． (1)如图1，，点D在边上，且 ，若，求线段的长； (2)如图2，点E为外一点， ，，猜想 之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3， ，点P是射线上一动点，且，连接，将线段绕点A顺时针旋转到得线段，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）设，则，对运用勾股定理求解即可； （2）过点C作的平行线交于点G，则A、C、E、B四点共圆，先证明四边形是平行四边形，再由“”证明，即可得证； （3）记与交点为点K，过点B在直线上方作，且，连接，先证明，得，再通过证明出，则，由即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 则（负值舍去）； （2）解：过点C作的平行线交于点G， ∵ ，， ∴A、C、E、B四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：记与交点为点K，过点B在直线上方作，且，连接， 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，则， ∵， ∴ ∴， ∵点K为中点，且 ∴， ∵， ∴， ∴， 而，点K为中点， ∴， 在中，，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴，当O、P、K三点共线时，等号成立， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，圆周角定理，直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 28．（2024·重庆渝北·二模）在等边中，点F是延长线上一点，点D是线段上一点，将绕点D逆时针旋转得到． (1)如图1，若点E恰好落在边上，，求的长； (2)如图2，若，连接，探究之间的数量关系，并写出证明过程； (3)如图3，若，，连接，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1)6 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点D作，根据等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，再由各角之间的关系得出，利用全等三角形的判定和性质得出，，再由相似三角形的判定和性质求解即可； （2）过点D作，根据等边三角形的判定和性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，在上截取，连接，利用全等三角形的判定和性质得出，再由平行四边形的判定和性质即可证明； （3）以为腰，为顶点，向下作顶角的等腰三角形，得到，，，设，则，，， 在中，应用勾股定理，得到，当时，取得最小值，此时，，，，，，得到，由，，得到，，由，即可求解， 本题考查了，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，解题的关键是：连接辅助线构造全等三角形． 【详解】（1）解：过点D作， ∵等边， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵将绕点D逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点D作， ∵等边， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转得：， ∴， 在上截取，连接，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴； （3）解：将绕点D顺时针旋转得到，连接、，延长交于点，在上截取， 则，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设，则，，， 在中，， ∵， ∴当时，取得最小值，取得最小值， ∴，，，， ∵，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 命题角度三：截长补短与中点 29．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）已知，点为边中点，点为线段中点． (1)如图1，若，，，求的长： (2)如图2，过点作直线，分别过点，，作直线的垂线段，，，求证：； (3)在（1）条件下，点与点分别是射线与射线上两动点，且，点关于的对称点为，将绕点顺时针旋转得到，连接，当最大时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，得到，求出的长，在中，应用勾股定理，即可求解， （2）作，延长，交于点，由，得到，由，得到，，结合，得到，等量代换，即可求解， （3）作中点，作，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出的长度，根据对称的性质求出的长度，由旋转的性质，得到，的长度，在中，应用勾股定理，求出的长度，在中，，当点在线段上时，取得最大值，在中，，求出的长度，代入，即可求解， 本题考查了，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，三角形的中位线，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题的关键是：根据中点，连接辅助线，构造全等三角形． 【详解】（1）解：∵，点为边中点，， ∴，， 在中，， （2）解：过点，作，交直线于点，延长，交于点， ∵点为线段中点，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平行于 ∴，， ∵为边中点， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）在（1）条件下，点与点分别是射线与射线上两动点，且，点关于的对称点为，将绕点顺时针旋转得到，连接，当最大时，直接写出的面积． 解：作中点，连接，，，过点作，交于点， ∵，是中点， ∴， 由对称的性质可得：， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， 在中，， 在中，， 当点在线段上时，取得最大值， 在中，，即：，解得：， ∴， 30．（23-24九年级上·重庆南川·期末）在中，D为边上一点，连接，E为上一点，连接．    (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，连接，若，点G为的中点，连接，求证：； (3)如图3，若是等边三角形，，D为直线上一点，将绕点A逆时针方向旋转到，连接，M为线段上一点，，P为直线上一点，分别连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）本题根据题意证明，根据，推出，求出，的长度，已知，再根据三角形的面积公式，即可解题． （2）本题根据题意延长到点F，使，连接，在上截取，连接，证明，由等边三角形的判定，证明是等边三角形，得出，再根据已知，证明，得到，即可解题． （3）本题根据题意分析点的轨迹是直线，直线分别交、的延长线于点、，作点关于的对称点，过作直线的垂线分别交于点P、交直线于点，此时的值最小为，求出的值，即可解题． 【详解】（1）解： ， ， 又， ， 在中，， ， ， 又， ， ， ． （2）解：延长到点F，使，连接，在上截取，连接，如图所示：   G为的中点， ， 在和中， ， ，， ， 即， 又，， 是等边三角形， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：点的轨迹是直线，直线分别交、的延长线于点、，作点关于的对称点，过作直线的垂线分别交于点P、交直线于点，此时的值最小，最小值为．过点B作的垂线垂足为点I，如图所示：   是等边三角形，， ，， 由旋转性质可得，，，， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ，， ， 四边形为矩形， ， ， ， 在等边中，，， ， 的最小值是． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质、勾股定理、30度所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，中点的性质、旋转的性质、对称的性质、矩形的判断和性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用． 31．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在等腰中，，，为上一点．    (1)如图1，若为的中点，为延长线上的一点，连结，点为的中点，连结交于点，连结交延长线于点，且，求证：； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)如图2，连结，将绕点顺时针旋转得到线段，连结交于点，交于点，点是上一点，连结，以为斜边在其右侧作，且，，连结交于点，当点、的距离最小时，请直接写出与四边形的面积之比． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】 （1）先证明，进而证明； （2）作正方形，作交于点，则，证明，，，得出是等边三角形，进而得出，证明，可得，则； （3）根据已知条件可得点在以为直径的圆上运动，设的中点为，过点作于点，设与交于点，连接，过点作于点，根据旋转的性质证明，同理可得，则，当与点重合，与重合，当与点重合，且点在上时，的距离最小，标记字母，如图所示，分别垂直与，垂足分别为，设交于点，过点作，设，则， 然后想办法求得，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵等腰中，，，为的中点， ∴，， ∴， ∵ ∴ 即 ∴ （2）证明：如图所示，作正方形，作交于点，则，    ∴ ∵点为的中点 ∴， 又∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴，即， 在中， ∴ ∴， ∵， ∴ 又∵ ∴， ∵是正方形对角线的交点， ∴ 又∵ ∴ ∴， 在中， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴四点共圆，直径为， ∵，， ∴ ∴ ∴点在以为直径的圆上运动，设的中点为，过点作于点， 如图所示，设与交于点，连接，过点作于点，    ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴， 又∵ ∴， ∴，则在平行于的上运动， ∴ 同理可得，则， ∴当与点重合，与重合， 当与点重合，且点在上时，的距离最小，标记字母，如图所示，分别垂直与，垂足分别为，设交于点，过点作，    ∴四边形是矩形，则， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， 在中， 则 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 设，则 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴与四边形的面积之比为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，正方形的性质，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 32．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，点是边上一动点，连接． (1)如图1，点是边上一点，连接，若，平分，．当，时，求线段的长度； (2)如图2，，当且时，将线段绕着点逆时针旋转到，使，连接，过点作于点，点为边中点．连接并延长交的延长线于点，且交于点．若，求证：； (3)如图3，当，时，将线段绕着点顺时针旋转到，是边上一点且，连接、．为直线上一动点，当点、、在同一直线上时，将沿直线翻折到同一平面的，连接、．当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质定理，得出，根据等腰三角形三线合一的性质，结合勾股定理求出，根据得出答案即可； （2）连接，根据等腰三角形三线合一，利用证明，得出，推出，，利用证明，得出，，推出，根据，，证明即可； （3）根据题目条件补充图形，并连接，过点作于，利用证明，得出，，利用证明，结合，，得出，，根据、计算，再计算求出，，根据翻折得出计算，分析点的运动轨迹在以点为圆心，为半径的圆上，得出当点在如图位置，点、、在同一直线上时，最小，计算，根据、、、，分别计算，最后根据计算出答案即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ∵，平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵，点为边中点， ∴，，， 又∵， ∴， ∵将线段绕着点逆时针旋转到，使， ∴， ，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即； （3）解：如图，连接，过点作于， ∵将线段绕着点顺时针旋转到， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折到同一平面的， ∴，，， ， ∴点的运动轨迹在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当点在如图位置，点、、在同一直线上时，最小， ∴此时点在线段上，， ∴， ，， ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、等边对等角、等角对等边、折叠问题、一点到圆上点距离的最小值的理解、三角形面积公式的计算与理解等知识，综合性强，难度较大，灵活运用知识点、作辅助线推理证明、数形结合是解题的关键． 33．（2024·重庆渝中·二模）为等腰直角三角形，，， 线段 绕点旋转至线段，点的对应点为，连接． (1)如图1，若在外部，且，交 于点，若．求 的长度； (2)如图2，若在内部，延长 交 于点，延长交 于点，，将线段 绕点 逆时针旋转得到线段，为中点，连接并延长交 于点，求证：； (3)如图3，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接 、．为直 线 上一点，将沿 翻 折 ，点对应点为，，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1)的长度为 (2)见解析 (3) 的面积为 【分析】（1）过点作于点，依题意是等腰直角三角形，则，根据旋转的性质可得是等边三角形，根据，进而即可求解； （2）连接，证明得出是等边三角形，进而证明，根据全等三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，即可得证； （3）根据题意得出为直 线 上一点，将沿 翻 折 ，点对应点为，进而证明，得出，以为斜边作等边三角形，根据圆周角定理可得在上运动，根据题意当三点共线，且时，最小，过点作于点，得出，证明，设交于点，进而求得，最后根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点 ∵为等腰直角三角形，，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴ 又∵线段 绕点旋转至线段，， 则是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）证明：如图所示，连接 ∵为等腰直角三角形，，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵，则， ∵将线段 绕点 逆时针旋转段， ∴ ∴ ∴ ∵线段 绕点旋转至线段， ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ 又∵为中点， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴； （3）解：∵为等腰直角三角形，，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵为直 线 上一点，将沿 翻 折 ，点对应点为， ∴在上，， ∵将线段绕点逆时针旋转到线段， ∴ ∴是等边三角形， ∵ ∴ ∴ 以为斜边作等边三角形，如图所示， ∵ ∴在上运动， ∴当三点共线，且时，最小， 设交于点， ∵ ∴ ∴ 在中，，， ∴ ∴ 过点作于点， ∴ ∵垂直平分， ∴ ∴ ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， 设交于点， ∵又， ∴， 又∵为的中点， ∴是的中位线， ∴，则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 34．（2024·重庆沙坪坝·三模）已知：等边，点和点在直线的异侧，且，于点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，取中点，连接，试探究三条线段的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，当最小时，在线段上取点，在射线上取点，使，连接，射线交延长线于点．当最小时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，易得四边形为矩形，三线合一求出，的长，含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理求出的长，进而求出，勾股定理求出的长； （2）倍长至点，连接，在上截取，三角形的中位线定理，得到，中垂线的判定和性质，得到，证明，得到，再根据，即可得出结论； （3）定弦定角得到三点共圆，圆周角定理得到，确定圆心的位置，取的中点，连接，得到点在以为圆心的圆上，进而得到当三点共线时，的值最小，进而得到此时为以为直角顶点的直角三角形，当时，即：，，最小，过点作，利用锐角三角形函数和含30度角的直角三角形的性质求出两个三角形的面积，即可得出结果． 【详解】（1）解：过点作于点，    ∵等边，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）；理由如下： 延长至点，使，连接，在上截取，    ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）设， ∵，为定值， ∴点三点共圆，设圆心为，则圆心在线段的中垂线上，且， ∵垂直平分， ∴点在射线上， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 取的中点，连接，则：，，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 连接，则：， ∴当三点共线时，的值最小， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴三点共线， ∴为直径， ∴， ∴， ∵ ∴为的中点， ∵， ∴， ∴， 过点作，交于点， ∴， ∴ ∴当与点重合时，，的值最小， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴    【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，合理添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 命题角度四：30°角的构造 35．（23-24九年级下·重庆·期中）在中，，是边上的高，点E是线段上一点，点F是直线上的一点，连接、，直线交直线于点G． (1)如图1，点F在线段延长线上，若，，证明； (2)如图2，点F在线段上，连接并延长至点H，满足，连接，若，证明：； (3)如图3，点F在线段延长线上，若，，点Q为上一点，，连接，点I在的下方，且，，连接，点M为的中点，连接，点N为线段上一动点，连接，将沿直线翻着得到，连接，点P为的中点，连接，．当最大时，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）设，由已知得，由三角形内角和得，由三角形外角的性质则可得； （2）连接，作交延长线于点M，作于K，延长至N，使，连接，可证明，则；设，则得出，进而得出，从而，进而有，可证得，则，最后即可得出结论； （3）首先确定点P的轨迹：取中点O，连接，则有，从而点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，则当点A、O、P共线时，最大，此时最大，可得，从而；其次，确定点P在上：过点O作于J，易得，则可得的长，由勾股定理求得，，即可证明，从而得，，由此可得，即得点P在上，从而可得出结果． 【详解】（1）证明：设， ，是边上的高， 平分， 即； ， ， ， ； ， ； ， ； （2）证明：如图，连接，作交延长线于点M，作于K，延长至N，使，连接； 在中，； ， ； ， ， 则； 设，则， ； ， ， 即， ， ， ， ； ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； ， ， 即； （3）解：， ； ， ，， ， ； 如图，取中点O，连接， 点是的中点， 则， 所以点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，则当点A、O、P共线时，最大，此时最大； ， ； 过点O作于J， ， ， ， ， 即， ； 在中，由勾股定理得， 而，即， ； ， ， ， ， 即， 而， 所以点P在上，，， ． 【点睛】本题是几何综合性题，考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，确定圆的条件，解直角三角形，三角形中位线定理等一系列知识，关键是作辅助线，构造全等三角形． 36．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图所示，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接平分交于点E． (1)若，求的长； (2)以为边作，，连接，判断之间的数量关系并说明理由； (3)若点P是直线上的一动点，将沿着进行翻折得到，连接，将绕着点B逆时针旋转得到线段，连接．若，当最小时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查等边三角形，全等三角形，三角形内角和，特殊角的三角函数值，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的证明与性质是解题的关键，（1）延长交于点M，由等腰直角三角形的性质可得，进而可得，，再根据是等边三角形，得到，得到，，求出的值，即 可得的值．（2）过点E作，交的延长线与点H，易证，从而得到 ， 再根据，得到，进而得到之间的数量关系；（3）连接，过点G作交的延长线与点H，易证，，，故当最小时，最小，从而得到，故当A、C、F三点共线时，最小，根据 ，可得到的值，进而得到的值． 【详解】（1）解：延长交于点M， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， （2）解：过点E作，交的延长线与点H， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）解：连接，过点G作交的延长线与点H， 由题意得：，，， ∴， ∴， ∴，， ∴当最小时，最小， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴当A、C、F三点共线时，最小，即最小值为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 37．（23-24九年级下·重庆·期中）在中，，，过点A作于点O，点D是边上一点，连接． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，将线段绕着点A逆时针旋转到，点F为线段的中点，连接． 求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，当最小时，将沿着翻折得到，连接，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）由等腰三角形三线合一，可求得，推导出为等腰直角三角形，再利用勾股定理求出，以及三角函数求出，从而求得的长度； （2）取中点K，作，结合线段旋转，推导出，再证，再利用中得出，最后结合得证； （3）构造，使，通过设数法求得，的值，在和中，利用，求得和的长度，从而计算出和． 【详解】（1）， ， 又， ， ， ， 在中，， ， ， 又， ， 在中，，， ， 即， ， ． （2）取的中点K，连接，作，连接． ，，， ，， 又 即 在中，， ， 在和中 ， ，， F是的中点 又 在中，， ， 即，， ， 是的外角， 又 在和中 ， ， ，（已证），（已证），， ． （3）延长，交于M，过点C作的垂线，垂足为N， 作的垂直平分线交于点F，连接． 由（2）可知，，， 当时，最短， 不妨设， 则，， 点F在的垂直平分线上， ， ， ， 不妨设，由，可知，， K是的中点， 在中，，， ， 在中，，， ，， 设为x，则为x， 在中，，，， ， ， ， 即，， 在中，， 又， ， 在和中，，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于压轴题． 38．（2024·重庆·模拟预测）如图，在直角中，．点D为内一点，且，E为线段的中点，连接．    (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，连接，若，，过点E作交于F，求证：； (3)如图3，过点D作于点M，于点N，连接，若，，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，分别求得进而根据为线段的中点，即可求解； （2）过点作，，连接，设交于点，证明，得是等腰直角三角形，根据平行线分线段成比例可得得出，进而根据，，即可得证； （3）以为边作等边三角形，的外心为，过点分别作，垂足为，则，四点共圆，在上，为定值，当最小时，最小，连接，当在上时，最小，进而求得，设的中点，连接，过点作于点，设，则，求得，根据得出，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，    ∵，， ∴， 在中，， ∴ ∵为线段的中点， ∴； （2）解：如图所示，过点作，，连接，设交于点，    ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵E为线段的中点， ∴ ∴， ∵ ∴ 又， ∴ ∴ （3）如图所示，如图所示，以为边作等边三角形，的外心为，过点分别作，垂足为，则    ∵，， ∴四点共圆， 又∵， ∴在上， ∵，，，则， ∴，即为定值， ∴当最小时，最小， 连接，当在上时，最小， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 如图所示，设的中点，连接，过点作于点，    ∴ ∴ 设，则 ∴ 又∵ ∴ 解得： ∴ 即的最小值为 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，垂径定理，一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 39．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在中，，点F在线段上，连接，延长至点D，连接，满足，点H是线段上一动点（与点B，C不重合），连接交于点E，交于点G．    (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若，猜想与的数量关系，并证明你猜想的结论； (3)如图3，在（1）的条件下，点P是内一点，连接，满足，是否存在点P，H，使得最小，若存在，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)存在， 【分析】（1）由题意知，由，，可得，则，，如图1，作于，则，，，，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，由，可得，进而可求，证明，，则，如图2，作交于，作于，则，，，证明，则，进而可得； （3）由（1）可知，，如图3，以为边作等边三角形，以为圆心，长为半径作，在优弧上取点，连接，则，，由，可知四点共圆，即在上在内部的弧上运动，如图3，作，作于，则，，可知当四点共线，且时，最小，如图3，作于，交于，作于，则即为的最小值，由，可得，则，即在上，则四边形是矩形，，，，如图3，作的垂直平分线交于，连接，则，，则，设，则，，，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，则，，则，即的最小值为，进而可求的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图1，作于，    ∴，，， ∴，， ∴的长为； （2）解：，证明如下； 由题意知，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 如图2，作交于，作于，    ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知，， 如图3，以为边作等边三角形，以为圆心，长为半径作，在优弧上取点，连接， ∴，， ∵， ∴四点共圆，即在上在内部的弧上运动， 如图3，作，作于， ∴， ∵， ∴当四点共线，且时，最小， 如图3，作于，交于，作于，则即为的最小值， ∵， ∴， ∴，即在上，则四边形是矩形， ∴， ∴，， 如图3，作的垂直平分线交于，连接，则， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为， ∴存在点，的最小值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，正弦，正切，余弦，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，圆周角定理，四点共圆，勾股定理，矩形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，正弦，正切，余弦，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，圆周角定理，四点共圆，勾股定理，矩形的判定与性质，垂直平分线的性质是解题的关键． 40．（23-24九年级上·重庆渝中·期末）已知，中，，，交于点，．    (1)如图1，将绕点逆时针旋转得线段，且点在的延长线上，求的长． (2)如图2，在（1）的条件下，连接，为上一点，且满足：，作于点，求证：． (3)如图3，在（1）的条件下，、分别为线段、上的两个动点，且满足，当最小时，为平面内一动点，将沿翻折得，请直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明是等边三角形，即可求解； （2）延长至M使得，连接、、，证明，进而证明，得出则，，即可求解； （3）以为圆心的长为半径，作，作，证明，得出当三点共线时，最小，进而可得的最大值为，证明是等腰直角三角形，解直角三角形，得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴ ∵交于点， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得线段，且点在的延长线上， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）延长至M使得，连接、、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 是等边三角形， 在中， ， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴    （3）解：如图所示，以为圆心的长为半径，作，作，    ∴，， 又∵ ∴ ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小， ∵为平面内一动点，将沿翻折得， ∴，在上， 又∵垂直平分，则， ∴的最大值为， 过点作于点， 在中， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ 在中，，则 设，则 解得： ∵ ∴ 【点睛】本题考查了旋转的性质，一点到圆上的最值问题，解直角三角形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 命题角度五：45°角的构造 41．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，，点为中点，与交于点，若，求的长度； (2)如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：； (3)如图3，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在，运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得的长，由旋转的性质可得，，即可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”证明，可得，即可证明结论； （3）在上截取，连接，先证明当三点共线，且时，有最小值，再证明点三点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵将绕着点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴； （2）证明：如下图，过点作交于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵将绕着点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如下图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，如下图， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点三点共线， 由折叠的性质可得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 42．（23-24九年级下·重庆巴南·阶段练习）把的边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接． (1)如图1，已知，，．求的长； (2)如图2，求证：； (3)如图3，已知，将沿着直线折叠，得到、连接是直线上的一个动点，当最小时值为，请直接写出的面积． 【答案】(1)2 (2)见详解 (3) 【分析】（1）由旋转的性质得，由勾股定理得，，即可求解； （2）过作交于，由四点共圆可判定、、、四点共圆，由可判定，由全等三角形的性质得，即可得证； （3）将绕顺时针旋转至，连接，过作交于，可求出，当、、三点共线时，的值最小，此时的值最小，，过作交于，由圆的基本性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，设，由直角三角形的特征得，，由可求，由即可求解． 【详解】（1）解：由旋转得，， ， ， ， ， ； 由旋转得，， ， ， ， ， ； （2）证明：如图2，过作交于， ， 由旋转得：，， ， ， ， 、、、四点共圆， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图3，将绕顺时针旋转至，连接，过作交于， ， ，， ， 如图，当、、三点共线时，的值最小，此时的值最小， ， 过作交于， 由（2）得：，、、、四点共圆， ， ，， ，， ， ①， ， ， ②， ①②得：， ， ， 解得：， ，，， ， 0， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设， ， ，， ， ， 解得：， ， 由（2）得：， 由翻折得：，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定及性质，四点共圆的判定及圆的基本性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征，特殊角的三角函数等；掌握判定方法及性质，判断出四点共圆，找出是解题的关键． 43．（23-24九年级上·重庆铜梁·期末）如图，在中，，，点在的延长线上，连接． (1)如图，当，时，求的长； (2)如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点为的中点，过点作于点．求证：； (3)如图，在第（）问的条件下，取的中点，点为线段上的一动点，连接，将沿HQ翻折得，连接，当最大时，直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）作于，可得，解直角三角形即可求解； （）作于，连接，在上截取，可得，可推出四点共圆，得到，，进而可得，得到，又根据，可得，即可求证； （）由折叠可得，从而推出点在以为圆心，为半径圆上运动，进而得到当与相切时，最大，此时，作于，求得，根据，可得，得到，再根据三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图， 作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图， 作于，连接，在上截取， ∴，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：如图， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以为圆心，为半径圆上运动， ∴当与相切时，最大，此时， 作于，由()知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，折叠的性质，解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 44．（2024·重庆九龙坡·三模）和均为等腰直角三角形，，点在直线上，点在右侧，连接、，直线分别交、于点、点． (1)如图1，点在的左侧，点为中点，若，，求的长度； (2)如图2，点在边上，连接、．若点为的中点，探究与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，点在边上，过点作交的延长线于点，连，当取得最小值时，将绕点顺时针旋转（）得到，连接，点在上，满足，连接，将沿着直线翻折得到，连接，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)的面积为 【分析】（1）过点作于，根据，设，则，进而得出，根据，得出，进而在中，根据勾股定理，即可求解． （2）取中点，连，连，得出、、、共圆，证得出平行四边形，，根据垂直平分，即可求解； （3）分三步，先确定的轨迹为过B且垂直于的直线上，则当时，取得最小值；然后确定所在的圆心位置，以及的圆心位置，当最大值时，则在的延长线上，如图所示，作正方形，延长交于点，延长交于点，最后根据相似三角形的性质以及解直角三角形进行计算即可求解． 【详解】（1）解：过点作于，如图， 等腰中，为中点， ， ， 设， 中， ， ， ， ， ， ， 在中，， ∴在等腰中，； （2）解：； 证明如下： 取中点，连，连， ， ， 、、、共圆， ， 点为中点， ， ； 又点为中点， ， ， ，， 四边形为平行四边形， ， 又， ， 故， 又垂直平分， ， ∴； （3）解：如图所示，连接， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即， ∴当时，取得最小值； 如图所示，在上取点，使得， ∵将绕点顺时针旋转（）得到， ∴点在半径为的上运动， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点在以为圆心为半径的圆上运动， ∵，， ∴是的角平分线，从而是的垂直平分线， ∴， ∵将沿着直线翻折得到， ∴, 连接并延长，交于点，在上取点，使得， ∴， ∴， ∴点在以为圆心为半径的圆上运动， 当最大值时，则在的延长线上，如图所示，作正方形，延长交于点，延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴, 如图所示，将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 设正方形的边长为， ∵是的中点， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； ， ， ∴， ∴， 在中，∴， ∴， ∵， ∴， ， ； 由， ∴， ∴， ，， 则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，瓜豆模型，综合性强，熟练掌握以上知识是解题的关键． 45．（23-24九年级下·重庆江北·阶段练习）如图，已知中，，，点D是上一点．    (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，将绕点D顺时针旋转后得到线段，交于点M．连接并延长交延长线于点F．求证：． (3)如图3，，将沿翻折，得到，点D、N分别是和上的两个动点，在运动过程中，始终保持，过点A作直线的垂线，垂足为G．连接，在线段上取一点Q，使得，直接写出当取得最小值时的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先解直角三角形求出，再利用勾股定理求出，进而可得的长； （2）作交于H，可得是等腰直角三角形，求出，，证明，得到，，再证明，根据全等三角形的性质，等量代换得到答案； （3）由翻折得四边形是正方形，根据可知过正方形两条对角线的交点，由已知可得点G在以为直径的上运动，点在如图3的上运动，且在上与相切，，则，，然后求出的半径，进而可计算出，和的长，再证明，利用相似三角形的性质求出，最后根据列式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图2，作交于H，    ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， （3）解：由翻折得：， ∵， ∴四边形是正方形， ∵在运动过程中，始终保持， ∴过正方形两条对角线的交点， 如图3，连接与交于点P，则过点P，    ∵， ∴点G在以为直径的上运动， ∵， ∴点在如图的上运动，且在上与相切，， ∴当点A、Q、共线时，取得最小值， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 作于K，于M，于H，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，翻折的性质，正方形的判定和性质，圆的基本性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质等知识，能够灵活运用相关性质定理，作出合适的辅助线是解题的关键． 46．（23-24九年级下·重庆·期中）在中，，点是线段上一点． (1)如图1，已知，求的长； (2)如图2，点是的中点，点分别是线段上的点，连接并延长与交于点，以为直角边，构造等腰，在上取一点，当，时，求证：； (3)如图3，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，以为直角边作等腰，连接，当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）过点D作，可得是等腰直角三角形，则由勾股定理得，在中，由勾股定理得，最后在等腰中，由勾股定理得，即可求解； （2）过点R作交的延长线于点N，先证明，再证明，则，而在中，，由，得到； （3）连接，在等腰中，，在等腰中，，则，因此，由得当点B、C、P三点共线时，取得最小值，过点O作，可求得，则，解，设，则，则，，，可证，可设，再证明，则，由 ，得到，故，即可求解． 【详解】（1）解：过点D作， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， 则由勾股定理得：， 解得：， ∴， 在中，， ∴， 同理在等腰中，由勾股定理得， ∴； （2）解：过点R作交的延长线于点N， ∵ ， ∵点D是的中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴， ∴． （3）解：连接， ∵将沿所在直线翻折至所在平面内得到，将沿所在直线翻折至所在平面内得到， ∴可得 ∴， ∵以为直角边作等腰， ∴， ∴ 在等腰中，，在等腰中，， ∴， ∴， ∵， ∴ 当点B、C、P三点共线时，取得最小值， 过点O作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴设， 由翻折得，，而，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系求最值，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 47．（2023·重庆南岸·一模）在中，，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，． (1)如图1，若将线段绕点逆时针旋转得到线段，线段，交于点，求证：； (2)如图2，将线段绕点顺时针旋转时，若的平分线交于点，交的延长线于点，连接．求证：； (3)在（2）的条件下，取的中点，如图，连接和，请直接写出的最大值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求得，再根据，求得，从而得，即可证明结论成立； （2）过点作的延长线于点，先证得，再证得，，从而有，利用勾股定理得，从而即可证明结论成立； （3）先证为定值，，进而由将线段绕点旋转，得到线段，得点在以点为圆心为半径的圆上运动，当点、、三点共线时，最大，由勾股定理得，进而有，于是即可求解． 【详解】（1）证明：∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作，交的延长线于点， ∵将线段绕点旋转，得到线段，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴； （3）解∶如图3， ∵， ∴， ∵，， ∴, ，， ∴， ∵点是的中点，， ∴为定值， ∵将线段绕点旋转，得到线段， ∴点在以点为圆心为半径的圆上运动，当点、、三点共线时，最长，此时最大，如下图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了旋转图形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定及性质、多边形的内角和定理以及角平分线的定义，熟练利用全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定及性质是解题的关键． 48．（2024·重庆·二模）在中，，点E是内部的一点，连接，且，延长交于点D．    (1)如图1，若，求的长． (2)如图2，过点A作交的延长线于点F，过点B作交于点M，求证：． (3)如图3，在（1）问的条件下，点H是的中点，点О是直线上的动点，连接，将沿翻折得到，连接，直接写出当取最小值时的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）过点C作交延长线于G，求出，解直角三角形得到，证明得到，据此利用勾股定理即可求出答案； （2）如图所示，连接，过点A作交延长线于N，将绕点B逆时针旋转90度得到， 由旋转的性质可得，则是等腰直角三角形，进而得到，证明三点共线，得到，则点F与点G重合，证明，得到，再证明，得到，则；由勾股定理得，再由，即可证明； （3）如图3-1所示，由（1）可得，则，可得；如图3-2所示，延长到T，使得 ，连接，证明，得到，则，故当在上时，有最小值；如图所示，过点T作交延长线于K，解得到，，再解 得到；由勾股定理得，则，即． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作交延长线于G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；    （2）证明：如图所示，连接，过点A作交延长线于N，将绕点B逆时针旋转90度得到， 由旋转的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， 又∵， ∴点F与点G重合， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴；    （3）解：如图3-1所示，由（1）可得， ∴， ∴；    如图3-2所示，延长到T，使得 ，连接， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，有最小值； 如图所示，过点T作交延长线于K， 在中，，， 在中，， ∴； ∵H是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，即．    【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，折叠的性质等等，解（2）的关键在于证明，解（3）的关键在于构造字母相似三角形从而确定当在上时，有最小值． 49．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）在中，，，点是边上一点，连接，的角平分线交于点．    (1)如图1，，若，求的长； (2)如图2，点是上一点，过点作于点，若点恰好平分线段，求证：； (3)如图3，点为边上一点，且满足，过点作于点，连接，当最短时，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】过点E作交于点N，过点E作交于点M，可得，，可求得，利用角平分线的性质得，得到四边形为正方形，进一步求得，结合可求得，即可求得； 过点D作于点M，连接，则有，进一步得和，即可证明，得，得到，即可证明； 作于V，作，交的延长线于W，则有，可得和，即可证明，得，进一步证明，有，得到点Q的运动轨迹，连接，找到最短时点Q位置，作于R，利用平行得，求得，求得和即可． 【详解】（1）解：过点E作交于点N，过点E作交于点M， ∵，， ∴， 在中，设，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形， ∴，    在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， （2）证明：过点D作于点M，连接，如图，    ∵O为的中点，，， ∴，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴； （3）作于V，作，交的延长线于W，如图，    ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， ∴， 那么，点Q在以为直径的上运动， 连接，交于，当点Q在处时最短，如图，    作于R，设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得， 则， ∴ ∵， ∴， ∴， 则． 【点睛】 本题主要考查解直角三角形、角平分线的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线和对动点轨迹的确定． 50．（2024·重庆·二模）在中，，，点、分别是线段，上一动点，连接，交于点． (1)如图1，若平分，，求线段的长； (2)如图2，若平分，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，连接交于点，点是线段上一动点，连接，若，，求证：； (3)如图3，若，当取得最小值时，点是直线上一动点，连接，将沿着直线翻折至同一平面内得到，点是内一点，连接，，使，连接，直线交直线于点，连接，当最短时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，由正切函数得 ，即可求解； （2）延长至，使，连接，由可判定，由全等三角形的性质得，，从而可求 ，由旋转的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，，，从而可得，由等腰三角形的性质得，由可判定，全等三角形的性质得，用等量代换即可求证； （3）沿翻折得，连接、，过点作，使，连接，的运动轨迹为为圆心，为半径的，由可判定，由全等三角形的性质得，当、、三点共线时取得最小值，此时取得最小值，、、三点共线，时，最小，由翻折及等腰三角形的性质得，、、三点共线，过作交于，，，由即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， 在中： ， ， ； （2）解：如图，延长至，使，连接， ，，平分， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由旋转得：， ， ， ， ， 在和中 ， ()， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ()， ， ， ， 故； （3）解：如图，沿翻折得，连接、，过点作，使，连接， ，， ， 的运动轨迹为为圆心，为半径的， 在和中 ， ()， ， ， 、、三点共线时，取得最小值， 此时取得最小值， ， 如上图，、、三点共线，时，最小， ， ， 由翻折得： ， ， ， ， ， ， ， ， 、、三点共线， 如图，过作交于， ， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，线段和最小问题等，掌握相关的判定方法及性质，构建全等三角形，找出取得最小值的条件是解题的关键． 51．（2024·重庆·模拟预测）在中，，，点是平面内一点． (1)如图1，当点为中点时，连接，作的平分线交于点，，求线段的长； (2)如图2，点为线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，点是线段中点，连接交延长线于点，当时，求证：； (3)如图3，点为线段中点，连接，为平面内一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．过作的平行线，交直线于点，连接．将沿翻折得到，当线段最短时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点B作于H，证明，则；设，则；由已知得，由，则可得x的值，由勾股定理求得结果； （2）延长到M，且使，连接并延长交于N，过点D作于P，证明，得；由得A、F、D、B四点共圆，则得，从而；由易得；证明四边形为矩形，则；由，由即可求证； （3）连接，由平行线性质得，则，则B，N，C，D四点共圆，得，即点N在以为直径的圆上；设此圆的圆心为H，连接，当点N在线段上时，最小；连接交于Q，过N作于K；设，利用相似三角形的性质及勾股定理可计算出，由对称性质得，；再在中由面积关系可计算出；由勾股定理可计算出，即可求得结果． 【详解】（1）解：点E作于H， ， ， ， ； 为中点，，， ， ； 设，则； 为的平分线，， ， ， ， ， ， ， ， 即； 由勾股定理得； （2）证明：如图，延长到M，且使，连接并延长交于N，过点D作于P； 点是线段中点， ， ， ， ， ； ， ； 线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ， ， A、F、D、B四点共圆， ； ， ； ， ， ； ， ； ， 四边形为矩形， ； ， ， ； ； ； （3）解：如图，连接， ， ， ， ， ， B，N，C，D四点共圆； 为中点，且， ， 即点N在以为直径的圆上，设此圆的圆心为H，连接，如右图， 当点N在线段上时，最小； 连接交于Q，过N作于K； 则， ， ； 设，则，， 则； ， ； 由勾股定理，即； ， 即，； ； 在中，由勾股定理得， 由对称性质得，； 则； 在中，， ； ； 为圆的直径， ； 在中，由勾股定理得， ． 【点睛】本题是圆与三角形的综合，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，四点共圆，圆的性质，对称的性质，旋转的性质，矩形的判定与性质等知识，综合性强，涉及的知识点多，难度较大；对于前两问，证明相似与全等是关键；对于第三问，确定点N的轨迹是关键． 52．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，D，E分别为上两动点，． (1)如图1，若于H交于K，求证：； (2)如图2，若交于F，，，求证：； (3)如图3，若，将绕点E顺时针旋转得，N为中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）先证明，然后推导，根据在同一个三角形中等角对等边得到； （2）过点作，交的延长线于点，连接交于点，则，可以证明，然后证明，即可得到，然后设，，则根据即可得到结论； （3）过点作于，过点作延长线于，连接，连接交于，过点作交于， 证明 ，故当三点共线时,的值最小(两点之间，线段最短) ，此时取得最小值，算出此时和的长，最后根据,代入计算即可. 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， 又，于交于， ，， ， ； （2）证明：如图，过点作，交的延长线于点，连接交于点， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ∴， ， ， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ， 设，， 则，，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， （3）如图，过点作于，过点作延长线于，连接，连接交于，过点作交于， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ， ， 为中点，为中点， ， ， 为中点，， ∴， 是的中点， 是的中位线， ∴， 在和中， ， ， ， ， 如图，当、、三点共线时，的值最小（两点之间，线段最短）， 此时取得最小值， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，构造辅助线、数形结合画出图象分析和计算是解题的关键． 53．（2024·重庆·一模）已知是等腰直角三角形，，为平面内一点． (1)如图1，当点在的中点时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若，求的周长； (2)如图2，当点在外部时，、分别是、的中点，连接、、，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，若，请探究、、之间的数量关系并给出证明； (3)如图3，当在内部时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若经过中点，连接、，为的中点，连接并延长交于点，当最大时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质及旋转的性质是解题的关键． （1）作中点，连接，是的中位线，可得，得到，由旋转的性质可得，，进而得到，，最后由勾股定理得即可求解； （2）连接、，过点作的垂线，交于点，可得，进而求出，进而得出结论； （3）设、交于点，作中点，作中点，由是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，，进而证明，，由直角三角形斜边中线，得到，由是的中位线，得到，在在中，求出、的长，当、、三点共线时，取得最大值，此时，结合，得到，由是的中位线，得到，进而得到，， ，由即可求解． 【详解】（1）解：如图，作中点，连接， 是的中点，是中点， ∴是的中位线， ∴，， 是等腰直角三角形， ， 由旋转的性质可得，，， ， ， ， ， ，， 由勾股定理得， ， ， ， ，， 的周长． （2）猜想：，理由如下： 连接、，过点作的垂线，交于点， 是等腰直角三角形，、分别是、的中点， ，且， 由旋转的性质可得，，， ∴，即：， ， ，， ， ， 即， 三角形是等腰直角三角形，， ， ， ， ； （3）设、交于点，作中点，连接、、、，作中点，连接、， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，，即：， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∵是中点，是中点， ∴是的中位线， ∴，， 设，则，， 在中，，， 当、、三点共线时，，取得最大值， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是中点，是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， 故答案为：． 54．（2024·重庆·一模）在中，，将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)如图1，连接，延长交延长线于点，若，，，求的长； (2)如图2，连接，过点作于点，以为边作，且，连接交延长线于点，若，求证：； (3)如图3，若为等边三角形，连接，为线段上一点，且，为线段上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接、．当取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等边对等角以及三角形内角和定理得出，，进而根据平角的定义得出，根据旋转的性质可得，，进而得出，根据等角对等边即可得证； （2）延长至，使得，证明，,，根据是等腰直角三角形，得出，根据全等三角形的性质可得，即可得证； （3）以为边作等边，作的外接圆，先确定在的上运动，作关于的对称点，连接，作交的延长线于点，连接， 进而得出在上运动，当，且三点共线时，取得最小值，过点作于点，则，重合，重合，与的交点为，求得，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，进而解直角三角形，求得，根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， （2）证明：如图所示，延长至，使得， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ （3）解： ∵，则 如图所示，以为边作等边，作的外接圆 ∴ ∴在的上运动， 如图所示，作关于的对称点，连接，作交的延长线于点，连接， ∴， 设，则 又∵ ∴ ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴ ∵关于的对称点 ∴， ∴ ∴ ∴ 又∵，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴在上运动， ∴当，且三点共线时，取得最小值 如图所示，过点作于点，则，重合，重合，与的交点为， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又 ∴是等腰直角三角形， ∴ 当取得最小值时，如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 设 ∵， ∴， ∴在中， ∴ 在中， ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴ ∴ 即． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，解直角三角形，轴对称的性质，熟练掌握旋转的性质，解直角三角形是解题的关键． 55．（2024·重庆·模拟预测）如图，等腰直角三角形中有，点是线段中点，点是平面内任意一点，将线段绕点逆时针旋转得线段． (1)如图1，连接，若点与点重合，，求长度； (2)如图2，若点在右侧，取中点，连接，在线段上取一点满足． ①证明：； ②如图3，连接，作点分别关于的对称点，连接，若，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）如图所示，过点作的延长线于点，则，先由线段中点的定义得到，，由旋转可得，，，则可证明，得到，，则，再利用勾股定理求解即可； （2）①如图所示，连接，过点N作交延长线与Q，先由等腰直角三角形的性质得到，即，，，再证明A、N、C、E四点共圆，得到，则；证明是的中位线，得到，则，证明，得到，，则可证明，进而证明，则；证明是等腰直角三角形，得到，证明，得到，在中，，由此可证明； ②如图所示，过点E作于H，交延长线与G，由轴对称的性质可得，点Q和点P到直线的距离等于点E到直线的距离，证明三点共线，根据，推出；设，则，则，证明，得到，则，即可得到；如图所示，过点F作于M，同理可证明，则，，可得，在中，由勾股定理得，． 【详解】（1）解：如图所示，过点作的延长线于点，则， ∵，点是线段中点， ∴，， ∵， ∴ 由旋转可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，连接，过点N作交延长线与Q， ∵等腰直角三角形中有，点是线段中点， ∴，即，，， ∵， ∴， ∴A、N、C、E四点共圆， ∴； ∵，， ∴； ∵点N和点D分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，过点E作于H，交延长线与G， 由轴对称的性质可得，点Q和点P到直线的距离等于点E到直线的距离， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点F作于M， 同理可证明， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等等等，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 56．（2023·重庆九龙坡·三模）如图，在等腰中，，，点在线段的中垂线上，连接、．    (1)如图1，若时，连接并延长交于点，若，求的面积； (2)如图2，连接，若，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点．求证：； (3)在等腰内部有一点，连接、、，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，当取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）过作，交于，可求，由可求，再根据，即可求解； （2）在线段上截取，过点作，交于，可证，从而可证，再证四边形是矩形和，即可得证； （3）过作，使，作，使，可证，可得，当、、、在一条直线上时，的值最小，即的值最小；再过作，交于，过作交的延长线于，过作，交的延长线于可证，从而可求，可证，可得，证，设，可求，可求，，即可求解． 【详解】（1）    解：如图，过作，交于， 点在的中垂线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：在线段上截取，过点作，交于，   ，，， ，， ，，， ， ， ， ， ， 即： 在和中 ， ()， ， 在和中 ， ()， ， ，， 在的中垂线上， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ()， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图，过作，使，作，使，   ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，当、、、在一条直线上时，的值最小，即的值最小，    如图，过作，交于，过作交的延长线于，过作，交的延长线于，   ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， 由翻折得：，， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，勾股定理，翻折的性质，动点线段和最小问题等，掌握相关的判定方法及性质，并会根据题意作出辅助线是解题的关键． 57．（23-24九年级下·重庆开州·期中）如图，在中，，，点D为一点，连接． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，过点A作于点E，交于点M，于点G，交于点N，求证：； (3)如图3，将沿翻折至处，在上取点，连接，过点作交于点，交于点，连接，若，，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）作于K．求得，利用三角函数的定义求得，，据此求解即可； （2）证明，求得，作交BC于点Q，证明，得到，据此即可证明结论成立； （3）取中点M，连接，分别求出的长度即可求出最小值． 【详解】（1）解：如图1，作于K． ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作交BC于点Q， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ； （3）解：如图3，取中点M，连接，连接交于点N，作于点P，设交于点Q． 由轴对称性质可知：，垂直平分， 即，， ∴， ∵， ∴，即， ∵于点H， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 设，则，， 设，则， 同理可证， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵M为中点，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当且仅当A、H、M三点共线时，取得最小值为． 【点睛】本题为几何综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定性质、几何变换、解直角三角形等重要知识点．熟练掌握常用几何定理和模型是解决问题的关键． 58．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）在中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，若，，．求的长． (2)如图2，若，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，延长交于点F，点G是的中点，连接．若，求证：． (3)如图3所示，若，E是上一点，且，延长到F使得，G是上一点，且，M是平面内任意一点，将沿着翻折，将点G翻折到处，求长度的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点D作，交延长线与点E，证明，得到，由，推出，进而得到，利用勾股定理即可求解； （2）先证明点三点共线，得到，延长到点M，使得，连接，证明，得到，推出，再证明，得到，设，则，证明，即可证明结论； （3）根据题意，得出点在为圆心，为半径的圆上运动，点在半径为的上运动，作平行四边形得出点在半径的上运动，进而根据的长为，勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作，交延长线与点E， 线段绕点A逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：线段绕点A逆时针旋转得到线段， ， ， ， 点三点共线， ， 如图，延长到点M，使得，连接， 点G是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ，即， ； （3）解：如图所示，以为边作等边三角形， ∵，，则四边形四点共圆，则点在上运动， 设的外心为，连接，作，且，交于点 则四边形是平行四边形， ∴， ∴点在上运动， ∵，， ∵G是上一点，且，是平面内任意一点，将沿着翻折，将点翻折到处， ， ∴在为圆心，为半径的圆上运动， ∴的长为， 过点作于点，则， ∵ ∴，即的半径都是， ∴ 过点作交的延长线于点， ∵， ∴ 当与重合时取得最小值， ∵ 又 ∴，则 在中， ∴，则 ∴， 在中，，则， ∴ 在中， ∴长度的最大值为 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，求一点到圆上的距离，平行四边形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 命题角度六：边角构造 59．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）已知点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，．    (1)如图1，若，，求； (2)如图2，求证：； (3)如图3，若，，点F在线段BC上，且，点M，N分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，写出你的理由． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）由正切函数得，再由直角三角形的特征得，即可求解； （2）过作交的延长线于，由矩形的性质及直角三角形的特征得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求证； （3）作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，由对称的性质得，，由等腰三角形的性质得，当、、、四点共线时，取得最小值为，此时，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过作交的延长线于，   四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ()， ， ； （3）解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，   ， ， ， ， ， ， ， ， 当、、、四点共线时，取得最小值为， 此时， 是等边三角形， ， ， ， 取得最小值为， 取得最小值为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定及性质，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质等知识，掌握相关的判定方法及性质，能利用轴对称的性质找出取得最小值的条件是解题的关键． 60．（23-24九年级下·重庆大足·期末）等边中，点在线段上，连接． (1)如图，过点作于点，若，，求的长； (2)如图，点在线段的延长线上，点在线段上，连接，若，，求证：； (3)如图，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点是直线上一动点，将沿直线翻折得到，在点运动过程中，最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）由可设，则，由勾股定理可得，求出，进而利用三角函数即可求解； （）延长，使，连接，过点作，可得为等边三角形，进而得到，，再证明，得到，证明，得到，即得，即可得到，即得，再根据即可求证； （）由题意可知，点在以点为圆心，为半径的圆上，当点三点共线时，最小，过点作于，过点作于，过点作于，则，解直角三角形求出，，得到， 由勾股定理得，再求出，得到，证明，得到，可得，最后根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴； （2）解：延长，使，连接，过点作， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴； （3）解：由题意可知，点在以点为圆心，为半径的圆上，当点三点共线时，最小，过点作于，过点作于，过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由旋转可得，，， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，解直角三角形，旋转的性质，折叠的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 61．（23-24九年级下·重庆·期中）已知为等边三角形，D是边上一点，连接，点为上一点，连接． (1)如图1，延长交于点F，若，，求的长； (2)如图2，将绕点C顺时针旋转到，延长至点H，使得，连接交于点N，求证； (3)如图3，，点H是上一点，且，连接，点K是上一点，，连接，，将沿翻折到，连接，当的周长最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图1，过点作于点，利用等腰直角三角形的性质求得，再解直角三角形求解即可． （2）如图2，延长到，使，连接，过点作，交于点，先后证明，，，，利用三角形全等的性质和线段的和差求解即可． （3）过点，分别作的垂线，分别交于点，交于点，作，交于点，证明，可得，，，再证明，可得，设，可得，得到当的周长最小值时，的值最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图2，延长到，使，连接，过点作，交于点， 为等边三角形， ， ， 由旋转的性质得，， ，，， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又，， ， ，， 同理，， ， ； （3）解：如图3，过点，分别作的垂线，分别交于点，交于点，作，交于点， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ． 又， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则， ， ， ， ， 的周长， 的周长最小值时，的值最小， 当时，的值最小，此时， 即点，点重合，如图4， 的面积． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了解直角三角形，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，求二次函数的最值等知识，做出合理的辅助线，学会利用参数构建二次函数解决问题是解题的关键． 62．（23-24九年级下·重庆·期中）中，，D为边的中点，连接． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，，为上一点，将绕点D顺时针旋转得线段，作交的延长线于点，如果，求证：； (3)如图3，，为上一点，将绕点顺时针旋转得线段，当最小时，为平面内一点，将沿翻折得，当最大时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)2 【分析】（1）作于点，由得到，利用比例关系设设，，用含的式子表达出长度求解即可； （2）连接，，利用等边三角形的判断方法判定出为等边三角形，借助等边三角形的性质证出，由全等的性质得到，推出，利用，，，四点共圆，证出为等边三角形，借助等边三角形的性质证出，由全等的性质得到为等腰直角三角形后即可解答； （3）寻找出点的运动轨迹后，推导出最大时候的位置，再利用中线平分面积和三角形的面积公式进行比较即可． 【详解】（1）解：作于点， 解：∵， ∴， ∴， ∴设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵D为边的中点， ∴； （2）解：连接，，如图所示： ∵，D为的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵绕点D顺时针旋转得线段， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由三线合一可得：为的中垂线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，，四点共圆， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）同理可得：， ∴， ∴点在直线上运动，如图所示： ∴当时取最小值，此时为的中点， ∴，为的中点， 由翻折的性质可得，即点的运动轨迹为， ∴当弦为直径的时候，最大，此时为中点， 过做于的延长线于点，于点，连接，如图所示： ∵为为中点， ∴， ∵和分别是，的中点， ∴，且， ∴． 【点睛】本题为几何综合题，考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，旋转变换、折叠性质、圆周角定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． 63．（2024·重庆九龙坡·一模）如图，在中，平分交边于点，在边上取点，使得，连接． (1)如图1，当时，求的大小． (2)如图2，过点作于点，当时，请证明：． (3)如图3，在（2）问的条件下，连接，当时，在四边形内部是否存在点，使得点到四边形四条边的距离相等？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，证明见解析； (3)存在点，使得点到四边形四条边的距离相等，且． 【分析】本题考查了三角形内角和定理、中位线定理、等腰三角形三线合一、黄金三角形等知识， （1）设，则，，根据即可求解； （2）取中点，连接；由三线合一得为中位线，根据，即可证明； （3）根据，平分可得，设，则，，，根据可得，进而得是三个内角分别为，，的“黄金三角形”，作的平分线交于点，证明得出，证明得出平分，再证明即可求解； 【详解】（1）解：，理由如下： 设，则，， 又，． （2）证明：取中点，连接； 由三线合一得出为中点， 为中位线， 且 ， ， ， ． （3）解：存在点，使得点到四边形四条边的距离相等，且，理由如下： ，平分， ， 设，则，， ， ， ， ， 是三个内角分别为，，的“黄金三角形”， 如图，作的平分线交于点， 设，则， ， ， ， ， ，平分 ， 平分 当点为角平分线与交点时，点到四边形四条边的距离相等， ，， ，， 平分 平分 在中， 在中，， , 由对称性可知， ， ． 64．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）在等腰中，，点是射线上的一点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若，过点作交于点，点为边上的一点，且，过点作交直线于点，求证：； (3)如图3，若，，点是边上的一点，且，点是平面内任意一点，将沿翻折得到，点为直线上的一点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，若，当线段最短时求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）作，求得是等腰直角三角形，根据，，求出，根据含角直角三角形的性质，求出的长，即可求解， （2）作，证明是正方形，由，，得到，，即可求解， （3）作，在射线上截取，作， 由、是等腰直角三角形，得到，，，由，得知当取最小值时，取得最小值，根据点到直线距离，垂线段最短，得知当点与点重合时，取得最小值，由，得到，依次求出、、、的值代入，即可求解． 【详解】（1）解：过点作，交于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （2）解：过点作，交于点， ∵，，， ∴是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， （3）解：过点，作，交于点，在射线上截取，连接、、，过点作，交直线于点， ∵，，，， ∴、是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 由翻折的性质可得，， ∴当取最小值时，取得最小值， ∵当点与点重合时，取得最小值， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了，等腰直角三角形的性质与判定，含角直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，正方形的性质与判定，点到直线距离，垂线段最短，旋转的性质，折叠的性质，解题的关键是：连接辅助线，构造全等、相似三角形． 65．（23-24九年级上·重庆江北·期末）是等边三角形，点D为线段上任意一点，连接，E为直线上一点． (1)如图1，当点D为中点时，点E在边上，连接．若，，求的长； (2)如图2，若点E为延长线上一点，且，点F为延长线上一点，且．猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（1）的条件下，M为线段上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接．当的值最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，利用见解析 (3) 【分析】（1）过点E作于F，根据等边三角形的性质得到，，利用锐角三角函数求得、、，进而求得，然后利用勾股定理求解即可； （2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质分别证明和得到即可得出结论； （3）在上截取，连接，则是等边三角形，证明得到，，进而，则点N在过点G且垂直于的直线l上运动，作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于N，交于H，连接交直线l于O，此时的值最小，设直线l与相交于K，连接，利用锐角三角函数求得，，，证明是等边三角形和 ，进而求得，，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：过点E作于F，如图， ∵，， ∴， ∵是等边三角形，点D为中点， ∴，， ∴，，， 在中，， ∴； （2）解：，理由为： 在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∴点N在过点G且垂直于的直线l上运动， 作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于N，交于H，连接交直线l于O，则，，，此时的值最小， 设直线l与相交于K，连接， ∵，，， ∴，，， ∴，又， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∵是等边三角形，点D为中点， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、旋转性质、等腰三角形的性质、利用轴对称求最短路径问题等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识与联系，并添加辅助线构造等边三角形和全等三角形是解答的关键． 命题角度七：几何变换 66．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，在中，，于点D，交于点E，于点F，连接． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，点M为外一点，满足，，，连接．当最大时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先解直角三角形得到，再解直角三角形得到，由平行线的性质得到，解得到，解得到，则，解得，即可得到； （2）过点E作于G，在上取一点H使得，连接，证明四边形是正方形，得到；再证明，进而证明，得到，同理可证明，可证明，，即可证明； （3）在上取一点G使得，连接，设，则，由勾股定理得，解得，则，可求出，进而得到；解，得到；如图所示，在下方取一点O，使得，过点O作于H，则，，进一步可得；可证明；如图所示，连接，证明，推出，证明，得到；由，得到点M在以点O为圆心，为半径的圆上运动，则当三点共线且点O在线段上时，有最大值，设此时交于T，则，同理可证明四边形是正方形，设，则，根据，得到，解得，则，，进而得到，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过点E作于G，在上取一点H使得，连接，则四边形是矩形， 由（1）得， ∴四边形是正方形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，在上取一点G使得，连接， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 在中，； 如图所示，在下方取一点O，使得，过点O作于H， ∴，， ∴； ∵， ∴； 如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴点M在以点O为圆心，为半径的圆上运动， ∴当三点共线且点O在线段上时，有最大值， 设此时交于T，则， 同理可证明四边形是正方形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴，， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，一点到圆上一点距离的最值问题，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，解（2）的关键在于作出辅助线构造全等三角形，解（3）的关键在于证明，以及点M的运动轨迹是圆． 67．（23-24九年级下·重庆·期中）在中，，，点在边的延长线上，连接． (1)如图1，点为边上一点，点为中点，连接．若，求证：； (2)如图2，点为边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．若，猜想与的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，取中点，连接．点是直线上一点，点是直线上一点，连接．若，当取得最大值时，直接写出的最小值． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）连接，将绕点F顺时针旋转交射线于点G，则，则，而，故，即可证明； （2）将绕点C顺时针旋转至，连接，先证明，再证明，则； （3）延长至点H，使得，连接，取的外心O，连接，以为边构造等边，连接，连接，则问题转化为“定弦定角”问题，则点在以点O为圆心，为半径的圆上，可求，，证明，则点C在以点N为圆心，为半径的圆上，由，得到当点三点共线时，取得最大值，过点M作的对称点，连接，交于点T，延长交于点R，则，，，倒角可得，由勾股定理得，，倒角可证明，设，则，由勾股定理得，，解得：，再由勾股定理得，，故，故，因此最小值为． 【详解】（1）证明：连接，将绕点F顺时针旋转交射线于点G，则 ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵点F为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点F为中点， ∴， ∴； （2）解：与的数量关系为：， 将绕点C顺时针旋转至，连接，则， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长至点H，使得，连接，取的外心O，连接，以为边构造等边，连接，连接， ∵点M为中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵点O为的外心， ∴点在以点O为圆心，为半径的圆上， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C在以点N为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴当点三点共线时，取得最大值，如图， 过点M作的对称点，连接，交于点T，延长交于点R，则，，， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 解得：， ∴由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理等，熟练掌握知识点，正确条件辅助线是解题的关键． 68．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为等边三角形，是边上一点，连接，点为上一点，连接． (1)如图1，延长交于点，若，，求的长； (2)如图2，将绕点顺时针旋转到，延长至点，使得，连接交于点，求证； (3)如图3，，点是上一点，且，连接，点是上一点，，连接，，将沿翻折到，连接，当的周长最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图1，过点F作于点P，利用等腰直角三角形的性质求得，再解直角三角形求解即可； （2）如图2，延长到I，使，连接，过点H作，交于点M，先后证明，，，，利用三角形全等的性质和线段的和差求解即可； (3) 过点D，H分别作的垂线，分别交于点F，交于点G，作，交于点E，证明可得，，再证明，可得，设，则，可得，得到当的周长最小值时，的值最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点P， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，延长到I，使，连接，过点H作，交于点M， 为等边三角形， ，， 由旋转的性质得，，，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ， 同理， ， ； （3）如图3，过点D，H分别作的垂线，分别交于点F，交于点G，作，交于点E， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ， 的周长最小值时，的值最小， 当时，的值最小，此时， 即点K，点G重合，如图4， 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了解直角三角形，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，求二次函数的最值等知识，做出合理的辅助线，学会利用参数构建二次函数解决问题是解题的关键． 69．（2024·重庆·模拟预测）在中，，点为边上一动点，连接．    (1)如图1，若，求； (2)如图2，若点为中点，平分为平分线上一点，连接 若，请猜想之间的数量关系并证明； (3)作，的角平分线交于点，过点作的平行线分别交于，点为平面中一动点，连接，将沿翻折得到，连接，若，当的值最大时，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点C作于点，利用角的直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理解题即可； （2）根据题意得到，然后连接，，过点E作于点F，于点G，证明，然后得到，再借助勾股定理解题即可； （3）过作于交于点E，过作于交于点Q，根据三角函数得到，然后求出，长，然后根据三角形三边关系的应用得到，即可知道当，，三点共线时，最大，然后解题即可． 【详解】（1）解：过点C作于点， ∵， ∴， 又∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴；    （2）解：∵点为中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 连接，，过点E作于点F，于点G， 则，， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵平分， ∴， ∴，四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴；    （3）解：∵， ∴， 又∵平分、， ∴，， ∴， ∴， 又∵ ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 过作于交于点E，过作于交于点Q， 则和是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， 解得：，， ∴，    连接，过P点作， 则，， ∴， ∵， ∴当，，三点共线时，最大，这是， 过点作于点H，则， ∴．    【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 70．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图所示，为等腰三角形，，点D是上一点，连接． (1)如图1，若，，以为边在的右侧作等边，连接，求的长； (2)如图2，若，以为底边在的右侧作等腰直角，连接，求证：； (3)如图3，若，点E为中点，将绕点A顺时针旋转得到线段，连接，直线与直线交于点F，当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，可以得到，然后过点A作于点F， 利用勾股定理解题即可； （2）延长到F，使得，连接，，证明，得到，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题即可； （3）过作交于点G，交于点H，设，可以得到，即可知道点在的垂直平分线上运动，当时，长最小，然后利用解直角三角形求出和长解题即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 过点A作于点F， 则，， ∴， ∴； （2）证明：延长到F，使得，连接，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：过作交于点G，交于点H，设， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴点在的垂直平分线上运动，当时，长最小， 这时， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，旋转的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 71．（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）在等腰与等腰中，，，．    (1)如图，点在外部，连接、、，，当，时，求的长． (2)若，解决以下两个问题： ①如图，点在内部，连接、为边上一点，连接，分别交、于点、，点为的中点，连接，当时，证明：． ②如图，点在的边上，点为边上一点，，，点为所在直线上一动点，连接、、，当最大时，请直接写出的最小值． 【答案】(1)6； (2)①见解析；②． 【分析】（1）根据题意可知，，，由图可知，，可以判定≌，可得出，又由，可得，，可判断是等边三角形，即可求解． （2）①延长至，使，连接，可证得≌，从而，根据，，可证得，从而，进而得出，进一步得出结论； ②作于，作的垂直平分线，交于，交于，可推出点在处，，从而得出，延长至，使，连接，交于，则最小，可推出，，进而求得，进一步得出结果． 【详解】（1）解：， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ． （2）解：①证明：如图，    延长至，使，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 使的中点， ； 如图，    设的外接圆的半径为， ， 即：， 当最大时，最小， 当与时相切时，最大， 作于，作的垂直平分线，交于，交于， ， ，，， ， ， 点在处，点在处， ， ， ， ， ， ， ， ， 延长至，使，连接，交于，则最小， 可得，， ， 的最小值为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，确定圆的条件，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$