6.4.2 平面与平面平行课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第六章　立体几何初步 4.2　平面与平面平行 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.理解平面与平面平行的性质定理的含义,并能用图形语言、文字语言、符号语言进行描述. 2.理解平面与平面平行的判定定理的含义,并能用图形语言、文字语言、符号语言进行描述. 3.能运用平面与平面平行的性质定理和平面与平面平行的判定定理证明一些空间中相关的平行问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线　　　  图形语言   符号语言 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b　 由面面平行得出线线平行 作用 证明两条直线平行 简记为“若面面平行,则线线平行” 平行 名师点睛 1.该定理中有三个条件:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b.这三个条件缺一不可. 2.已知两个平面平行,虽然一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面,但是一个平面内的一条直线与另一个平面内的一条直线不一定互相平行,它们可能是平行直线,也可能是异面直线,但不可能是相交直线. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若三个平面α,β,γ满足α∥β∥γ,且平面δ与这三个平面相交,交线分别为a,b,c,则有a∥b∥c成立.(　　) (2)若直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,且α∥β,则a,b无交点.(　　) √ √ 2.[人教A版教材例题]求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等. 解析 如图,α∥β,AB∥CD,且A∈α,C∈α,B∈β,D∈β,求证:AB=CD. 证明:过平行线AB,CD作平面γ,与平面α和β分别相交于AC和BD. ∵α∥β,∴BD∥AC. 又AB∥CD,∴四边形ABDC是平行四边形, ∴AB=CD. 知识点二　平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条　　　　直线与另一个平面　　　　,那么这两个平面平行  图形语言   符号语言 a⊂α,b⊂α,a∩b=A,a∥β,b∥β⇒α∥β  由线面平行,得出面面平行 作用 证明两个平面　　　  相交 平行 平行 名师点睛 应用面面平行判定定理应具备的条件 (1)平面α内两条相交直线a,b,即a⊂α,b⊂α,a∩b=A. (2)两条相交直线a,b都与β平行,即a∥β,b∥β. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行.(　) (2)直线a∥平面β,直线b∥平面β,a⊂平面α,b⊂平面α⇒平面α∥平面β.(　　) 2.使三角板的一条边所在直线与桌面平行,这个三角板所在的平面与桌面平行吗? × × 提示 不一定,也可能相交. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　对两个定理的理解 角度1.对面面平行性质定理的理解 【例1】 (1)若平面α∥平面β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中(　　) A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一一条与a平行的直线 D 解析 因为a与B确定一个平面,该平面与β的交线即为符合条件的直线,只有唯一一条. (2)下列说法正确的有　 .(填序号)  ①α∩β=a,b⊂α⇒a∥b; ③若平面α∥平面β,a⊂α,b⊂β,则a∥b; ④平面α∥平面β,点P∈α,a∥β,且P∈a,则a⊂α. ④ 解析 ①中α∩β=a,b⊂α,则a,b可能平行也可能相交,故①不正确;②若a∥α,b⊂α,则a与b异面或a∥b,故②不正确;③若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b或a与b异面,故③不正确;④由α∥β,点P∈α,知P∉β,则过点P且平行于β的直线a必在α内,故④正确. 规律方法　定理的实质是由面面平行得出线线平行,其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面,由其结论可知此定理可用来证明线线平行. 变式训练1两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是(　　) A.两两相互平行 B.两两相交于一点 C.两两相交但不一定交于同一点 D.两两相互平行或交于同一点 A 解析 根据平面与平面平行的性质,知四条直线两两相互平行.故选A. 角度2.对面面平行判定定理的理解 【例2】 下列说法中正确的是(　　) ①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行;②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行;③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行;④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,则这两个平面平行. A.①③ B.②④ C.②③④ D.③④ D 解析 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,在AB上任取一点E,过E点作EF∥AD交CD于点F.由线面平行的判定定理知,EF,BC都平行于平面ADD1A1.用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面ADD1A1平行,但是平面ABCD与平面ADD1A1不平行,因此①②都不正确,③正确,事实上,若一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面必无公共点(要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别);④是平面与平面平行的判定定理,正确. 规律方法　解决此类问题时,若判定一个命题正确,必须用相关定理严格证明;而要否定一个命题,只需举出一个反例,此时使用几何模型是非常有效的方法. 变式训练2a是平面α外的一条直线,过a作平面β,使β∥α,这样的β(　　) A.只能作一个 B.至少可以作一个 C.不存在 D.至多可以作一个 D 解析 因为a是平面α外的一条直线,所以a∥α或a与α相交,当a∥α时,β只有一个;当a与α相交时,β不存在.故选D. 探究点二　平面与平面平行的性质定理的应用 【例3】 如图,已知平面α∥平面β,点P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D. (1)求证:AC∥BD; (2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长. (1)证明 因为PB∩PD=P, 所以直线PB和PD确定一个平面γ, 则α∩γ=AC,β∩γ=BD. 又α∥β,所以AC∥BD. (2)解由(1)得AC∥BD, 变式探究在本例中,若P在α与β之间,在第(2)问条件下求CD的长. 解 如图, 因为PB∩PC=P, 所以PB,PC确定平面γ,γ∩α=AC,γ∩β=BD. 又α∥β,所以AC∥BD,所以△PAC∽△PBD, 规律方法　应用平面与平面平行性质定理的基本步骤 探究点三　平面与平面平行的判定定理的应用 【例4】 如图,在四棱锥P-ABCD中,E,F,G分别是PC,PD,BC的中点, DC∥AB,求证:平面PAB∥平面EFG. 证明 因为E,G分别是PC,BC的中点, 所以EG∥PB. 又因为EG⊄平面PAB,PB⊂平面PAB, 所以EG∥平面PAB. 因为E,F分别是PC,PD的中点, 所以EF∥CD.又因为AB∥CD, 所以EF∥AB.因为EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB, 所以EF∥平面PAB, 又EF∩EG=E,EF⊂平面EFG,EG⊂平面EFG, 所以平面PAB∥平面EFG. 规律方法　证明两个平面平行,可以用定义,也可以用判定定理.但用定义证明时,需说明两个平面没有公共点,这一点也不容易做到(可用反证法),所以通常用判定定理证明两个平面平行,其步骤如下: 变式训练3如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.求证: (1)B,C,H,G四点共面; (2)平面EFA1∥平面BCHG. 证明 (1)因为GH是△A1B1C1的中位线, 所以GH∥B1C1.又B1C1∥BC, 所以GH∥BC,所以B,C,H,G四点共面. (2)因为E,F分别为AB,AC的中点,所以EF∥BC. 因为EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,所以EF∥平面BCHG. 因为A1G∥EB,且A1G=EB, 所以四边形A1EBG是平行四边形,所以A1E∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG, 所以A1E∥平面BCHG. 因为A1E∩EF=E,A1E⊂平面EFA1,EF⊂平面EFA1, 所以平面EFA1∥平面BCHG. 探究点四　线面平行、面面平行的综合问题 【例5】 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点,在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?证明你的结论. 解 当E为棱AB的中点时,DE∥平面AB1C1. 证明如下: 如图所示,取BB1的中点F,AB的中点E,连接EF,FD,DE. 因为D,E,F分别为CC1,AB,BB1的中点,所以EF∥AB1. 因为AB1⊂平面AB1C1,EF⊄平面AB1C1, 所以EF∥平面AB1C1. 同理可证FD∥平面AB1C1. 因为EF∩FD=F,所以平面EFD∥平面AB1C1. 因为DE⊂平面EFD,所以DE∥平面AB1C1. 规律方法　1.证明直线与平面平行,除了定义法、判定定理法以外,还可以用两平面平行的性质,也就是说为了证明直线与平面平行,也可以先证明两平面平行,再由两平面平行的性质得到线面平行. 2.空间中线线、线面、面面平行关系的转化如下: 本节要点归纳 1.知识清单: (1)平面与平面平行的性质定理; (2)平面与平面平行的判定定理. 2.方法归纳:转化与化归、数形结合. 3.常见误区:判定平面与平面平行的条件不充分. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 1.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是(　　) A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 B 解析 由面面平行的判定定理知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的充分条件.由面面平行的性质定理知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β ”的必要条件,故选B. 1 2 3 4 2.(多选)[2023安徽安庆期中]下列说法正确的是(　　) A.平行于同一条直线的两个平面平行 B.平行于同一平面的两个平面平行 C.平行于同一平面的两直线关系不确定 D.两平面平行,一平面内的直线必平行于另一平面 BCD 1 2 3 4 3.如图所示,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则S△A'B'C'∶S△ABC=　　　　.  1 2 3 4 1 2 3 4 4.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形,AB∥CD,且AB= CD.试问在PC上能否找到一点E,使得BE∥平面PAD?若能,请确定点E的位置,并给出证明;若不能,请说明理由. 1 2 3 4 ②⇒a与b无公共点⇒a∥b; 所以,所以,所以CD=, 所以PD=PC+CD=. 所以,即.所以, 所以PD=.所以CD=PC+PD=3+. 解析 ∵平面α∥平面ABC,平面PAB与它们的交线分别为A'B',AB,∴AB∥A'B'.同理B'C'∥BC.易得△ABC∽△A'B'C',∴S△A'B'C'∶S△ABC=()2=()2=. 解 在PC上能找到点E,且满足,可使BE∥平面PAD. 证明如下:延长DA和CB交于点F,连接PF. 在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=CD. 所以,所以. 又,所以在△PFC中,, 所以BE∥PF. 而BE⊄平面PAD,PF⊂平面PAD, 所以BE∥平面PAD. $$