第六章 立体几何初步章末总结提升课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第六章　立体几何初步 章末总结提升 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 网络构建·归纳整合 专题突破·素养提升 网络构建·归纳整合 专题突破·素养提升 专题一　几何体的表面积与体积 1.主要考查多面体、旋转体的表面积,旋转体的侧面展开图,柱体、锥体、台体的体积,球的表面积和体积,不规则几何体常用等体积法、分割法、补形法等进行求解. 2.利用公式求解表面积、体积,提高数学运算素养. 【例1】 如图,截角四面体是一种半正八面体,可由四面体经过适当的截角,即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图,将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体.求: (1)该截角四面体的表面积; (2)该截角四面体的体积. 解 (1)依题意,该截角四面体是由4个边长为1的正三角形和4个边长为1的正六边形围成, (2)该截角四面体是棱长为3的正四面体去掉4个角上棱长为1的正四面体而得, 规律方法　关于空间几何体的体积、表面积,首先要准确确定几何体的基本量,如球的半径,几何体的高、棱长等,其次是准确代入相关的公式计算. 变式训练1(1)如图所示,已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,则三棱锥B1-ABC1的体积为(　　) A (2)某圆台的母线长为2,母线与轴所在直线的夹角是60°,且上、下底面的面积之比为1∶4,则该圆台外接球的表面积为(　　) A.56π B.64π C.112π D.128π C 专题二　空间中的平行关系 1.空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行,主要考查在空间几何体中证明线面平行、面面平行以及线线平行. 2.通过线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化,提升逻辑推理和直观想象素养. 【例2】 已知M,N分别是底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD的棱AB,PC的中点,平面CMN与平面PAD交于PE.求证: (1)MN∥平面PAD; (2)MN∥PE. 证明 (1)如图,取DC的中点Q,连接MQ,NQ. ∵NQ是△PDC的中位线,∴NQ∥PD.∵NQ⊄平面PAD, PD⊂平面PAD, ∴NQ∥平面PAD. ∵M是AB的中点,四边形ABCD是平行四边形, ∴MQ∥AD.∵MQ⊄平面PAD,AD⊂平面PAD, ∴MQ∥平面PAD.∵MQ∩NQ=Q,MQ⊂平面MNQ,NQ⊂平面MNQ, ∴平面MNQ∥平面PAD. ∵MN⊂平面MNQ,∴MN∥平面PAD. (2)∵平面MNQ∥平面PAD,平面PEC∩平面MNQ=MN,平面PEC∩平面PAD=PE,∴MN∥PE. 规律方法　线线平行、线面平行、面面平行相互间的转化 变式训练2如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为DD1,BB1的 中点. (1)求证:CF∥平面A1EC1; (2)过点D作正方体截面使其与平面A1EC1平行,请给以证明并求出该截面图形的面积. (1)证明 取CC1中点M,连接ME,B1M. 由MC∥FB1且MC=FB1,可得四边形MCFB1为平行四边形,则FC∥MB1. 由ME∥A1B1且ME=A1B1,可得四边形MEA1B1为平行四边形,则A1E∥MB1, 则A1E∥FC.又A1E⊂平面A1EC1,CF⊄平面A1EC1, 则CF∥平面A1EC1. (2)解取AA1,CC1中点G,H,连接DG,GB1,B1H,HD. 易知四边形DGB1H为平行四边形,且DH∥C1E,DG∥A1E. 又因为DH,DG⊂平面DGB1H,DH∩DG=D,A1E,C1E⊂平面A1EC1,A1E∩C1E=E,所以平面DGB1H∥平面A1EC1, 平面DGB1H即为所求截面. 专题三　空间中的垂直关系 1.主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理,以及线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的联系与转化. 2.通过线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的转化,提升直观想象和逻辑推理素养. 【例3】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证: (1)平面ADE⊥平面BCC1B1; (2)直线A1F∥平面ADE. (1)证明 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱, 所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC,所以CC1⊥AD. 又因为AD⊥DE,CC1,DE⊂平面BCC1B1,CC1∩DE=E, 所以AD⊥平面BCC1B1. 又AD⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)证明 因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1,且A1F⊂平面A1B1C1,所以CC1⊥A1F.又因为CC1,B1C1⊂平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE,A1F⊄平面ADE,所以A1F∥平面ADE. 规律方法　线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化 变式训练3在四棱锥P-ABCD中,已知AB∥CD,平面PAB与平面PCD的交线为l. (1)求证:AB∥l; (2)若PA⊥平面ABCD,且BC=2AB,∠ABC=60°,求证:AB⊥PC. 证明 (1)因为AB∥CD,AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,所以AB∥平面PCD,AB⊂平面PAB,平面PCD∩平面PAB=l,所以AB∥l. (2)因为四边形ABCD中,BC=2AB,∠ABC=60°, 所以在△ABC中,AB⊥AC. 又因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD, 所以PA⊥AB,PA∩AC=A,所以AB⊥平面PAC. 因为PC⊂平面PAC,所以AB⊥PC. 专题四　空间角的求法 1.空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角,主要考查空间角的定义及求法,求角时要先找角,再证角,最后在三角形中求角. 2.通过找角、证角、求角,提升逻辑推理与数学运算素养. 【例4】 如图,正方体的棱长为1,B'C∩BC'=O,求: (1)AO与A'C'所成的角的大小; (2)AO与平面ABCD所成的角的正切值; (3)二面角B-AO-C的大小. 解 (1)∵A'C'∥AC, ∴AO与A'C'所成的角就是∠OAC. ∵AB⊥平面BCC'B',OC⊂平面BCC'B',∴OC⊥AB. 又OC⊥BO,AB∩BO=B,AB,BO⊂平面ABO, ∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO,∴OC⊥OA. (2)如图,作OE⊥BC于E,连接AE. ∵平面BCC'B'⊥平面ABCD,平面BCC'B'∩平面ABCD=BC,OE⊂平面BCC'B',∴OE⊥平面ABCD, ∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.在Rt△OAE (3)由(1)可知OC⊥平面AOB. ∵OC⊂平面AOC,∴平面AOB⊥平面AOC,即二面角B-AO-C的大小为90°. 规律方法　1.求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角). 2.求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影). 3.二面角的平面角的作法常有三种:(1)定义法;(2)三垂线法;(3)垂面法. 变式训练4(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=4,AB=2 ,CC1=2 ,E,F分别为AC,CC1的中点,则直线EF与平面AA1B1B所成的角是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° A 解析 如图,连接AC1,取A1B1的中点记为O,连接C1O,AO. ∵C1A1=C1B1,O为A1B1的中点, ∴C1O⊥A1B1. 又AA1⊥平面A1B1C1,∴AA1⊥C1O. 又AA1∩A1B1=A1,AA1⊂平面AA1B1B,A1B1⊂平面AA1B1B, ∴C1O⊥平面AA1B1B.又EF∥AC1, ∴EF与平面AA1B1B所成的角即为∠C1AO. 在Rt△C1AO中,∠C1OA=90°, (2)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD为直角梯形, AB∥CD,AB⊥AD.若AB=AD,直线PB与CD所成的角为45°,求二面角P-CD-B的大小. 解∵AB⊥AD,CD∥AB,∴CD⊥AD. 又PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD. 又PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD, ∴CD⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD,∴CD⊥PD, ∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角. 又直线PB与CD所成的角为45°, ∴∠PBA=45°,PA=AB,∴在Rt△PAD中,PA=AD, ∴∠PDA=45°,即二面角P-CD-B的大小为45°. 截角四面体中,正三角形的面积S1=×1×1×, 边长为1的正六边形的面积S2=6××1×1×, 所以该截角四面体的表面积为S=4×+4×=7. 棱长为1的正四面体的高h=, 棱长为3的正四面体的高为3h=, 则棱长为1的正四面体的体积V1=×12×, 棱长为3的正四面体的体积V2=×32×, 所以该截角四面体的体积V=V2-4V1=-4×. A. B. C. D. 解析 . 解析 由圆台的母线长为2,母线与轴所在直线的夹角是60°,则AD=2, ∠DAE=60°,即DE=,AE=O2O1=1.又上、下底面的面积之比为1∶4,则DO2=2AO1,即AO1=,DO2=2.设该圆台外接球的半径为R,则AO=DO=R. 设OO2=t,则OO1=1+t,则R2=12+t2,R2=3+(1+t)2,解得t=4,R2=28,则该圆台外接球的表面积为4π×28=112π.故选C. 连接B1D.因为正方体棱长为2,所以B1G=,DG=,B1D=2,在△DGB1中,设B1D边上的高为h,则h=,所以△DGB1的面积为×B1D×h=×2,所以四边形DGB1H的面积为2. 在Rt△AOC中,OC=,AC=, sin∠OAC=,∴∠OAC=30°, 即AO与A'C'所成的角为30°. 中,OE=,AE=, ∴tan∠OAE=, 即AO与平面ABCD所成的角的正切值为. C1O==3,AC1==6, sin∠C1AO=,∴∠C1AO=30°. $$