第二十二章　二次函数单元测试2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数单元测试 [时间:40分钟 分值:100分] 一、选择题(每题4分,共36分) 1.下列各式中,y是x的二次函数的是 ( ) A.y= B.y=2x+1 C.y=x2+x-2 D.y2=x2+3x 2.抛物线y=-x2-1的顶点坐标为 ( ) A.(1,0) B.(-1,0) C.(0,-1) D.(2,3) 3.将二次函数y=x2-4x-1化为y=(x-h)2+k的形式,结果为 ( ) A.y=(x+2)2+5 B.y=(x-2)2-5 C.y=(x-2)2+5 D.y=(x+2)2-5 4.已知抛物线y=a(x-2)2+k(a>0,a,k为常数),A(-3,y1),B(3,y2),C(4,y3)是抛物线上三点,则y1,y2,y3由小到大排列为 ( ) A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y2<y3<y1 D.y3<y2<y1 5.若二次函数y=mx2+x+m(m-2)的图象经过原点,则m的值为 ( ) A.2 B.1 C.0或2 D.1或2 6.下列说法错误的是 ( ) A.二次函数y=3x2中,当x>0时,y随x的增大而增大 B.二次函数y=-6x2中,当x=0时,y有最大值0 C.二次函数y=ax2中,a越大,图象开口越小,a越小,图象开口越大 D.不论a是正数还是负数,抛物线y=ax2的顶点一定是坐标原点 7.竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为 ( ) A.23.5 m B.22.5 m C.21.5 m D.20.5 m 8.如图1,从某建筑物10 m高的窗口A处用水管向外喷水,喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直).若抛物线的最高点M离墙1 m,离地面 m,则水流落地点B离墙的距离OB是 ( ) 图1 A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m 9.“闻起来臭,吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃,臭豆腐虽小,但制作流程却比较复杂,其中在进行加工煎炸臭豆腐时,我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,“可食用率”p与加工煎炸的时间t(单位:分)近似满足函数关系式:p=at2+bt+c(a≠0,a,b,c为常数).如图2记录了三次试验数据,根据上述函数关系和试验数据,可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为 ( ) 图2 A.3.50分钟 B.4.05分钟 C.3.75分钟 D.4.25分钟 二、填空题(每题5分,共20分) 10.若抛物线y=x2+(a-2)x+c的顶点在y轴上,则a的值是 . 11.如图3,若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴直线x=1对称,则点Q的坐标为 . 图3 12.如果a<0,关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,那么抛物线y=ax2+bx+c的顶点在x轴 .(填“上方”或“下方”) 13.如图4所示,要建一个矩形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙足够长),如果用60 m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场,设养鸡场平行于墙的一边长为x m,当x= 时,养鸡场的面积最大. 图4 三、解答题(共44分) 14.(14分)如图5,已知二次函数y=ax2-4x+c的图象经过点A(-1,-1)和点B(3,-9). (1)求该二次函数的解析式; (2)求该抛物线的对称轴及顶点坐标; (3)点C(m,m)与点D均在该函数图象上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点D的坐标. 图5 15.(14分)超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40元(市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过60元),每天可售出50件.根据市场调查发现,每件销售价格每增加2元,每天销售量会减少1件.设每件销售价格增加x元,每天售出y件. (1)y与x之间的函数解析式为 ; (2)当x为 时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元; (3)设超市每天销售这种玩具可获利润w元,当x为多少时,w最大,最大利润是多少? 16.(16分)如图6,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0)和点B(0,3),且这个抛物线的对称轴为直线l,顶点为C. (1)抛物线的解析式为 ; (2)连接AB,AC,BC,求 ABC的面积. 图6 教师详解详析 1.C 2.C [解析] 抛物线y=-x2-1的顶点坐标为(0,-1).故选C. 3.B [解析] y=x2-4x-1=x2-4x+4-4-1=(x-2)2-5.故选B. 4.C [解析] 抛物线y=a(x-2)2+k(a>0,a,k为常数)的对称轴为直线x=2, 所以点A(-3,y1)到直线x=2的距离为5, 点B(3,y2)到直线x=2的距离为1, 点C(4,y3)到直线x=2的距离为2, 且距离对称轴越远,函数值越大, 所以y2<y3<y1. 故选C. 5.A [解析] 根据题意,得m(m-2)=0,所以m=0或m=2.因为二次函数的二次项系数不为零,即m≠0,所以m=2. 6.C [解析] A.二次函数y=3x2的图象开口向上,对称轴是y轴,当x>0时,y随x的增大而增大,正确;B.二次函数y=-6x2的图象开口向下,顶点为(0,0),故当x=0时,y有最大值0,正确;C.|a|越大,图象开口越小,|a|越小,图象开口越大,错误;D.抛物线y=ax2的顶点就是坐标原点,正确.故选C. 7.C [解析] 由题意可得h=-5t2+20t+1.5=-5(t-2)2+21.5, 故当t=2时,h取得最大值,为21.5. 故选C. 8.B [解析] 设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+. 因为抛物线过点(0,10),所以10=a+, 所以a=-, 所以抛物线的解析式为y=-(x-1)2+. 令y=0,即0=-(x-1)2+, 解得x1=-1(舍去),x2=3.故OB=3 m.故选B. 9.C [解析] 将图象中的三个点(3,0.8),(4,0.9),(5,0.6)分别代入函数关系式p=at2+bt+c,得解得 所以函数关系式为p=-0.2t2+1.5t-1.9. 由题意可知,加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标, t=-=-=3.75. 故选C. 10.2 [解析] 因为抛物线y=x2+(a-2)x+c的顶点在y轴上,所以-=0,解得a=2. 11.(-2,0) [解析] P,Q两点关于对称轴对称,则P,Q两点到对称轴直线x=1的距离相等,所以点Q的坐标为(-2,0). 12.上方 [解析] 因为a<0,所以抛物线开口向下.因为方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,所以抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,所以可得抛物线的顶点在x轴上方. 13.30 14.解:(1)将A(-1,-1),B(3,-9)代入y=ax2-4x+c, 得所以 所以该二次函数的解析式为y=x2-4x-6. (2)因为-=-=2,==-10, 所以该抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-10). (3)因为点C(m,m)在该函数图象上, 所以m2-4m-6=m,所以m1=6,m2=-1. 因为m>0,所以m=6,所以C(6,6). 因为抛物线的对称轴为直线x=2,点C与点D关于抛物线的对称轴对称, 所以点D的坐标为(-2,6). 15.解:(1)y=-x+50 (2)10 [解析] 根据题意,得(40+x)(-x+50)=2250, 解得x1=50,x2=10. 因为每件利润不能超过60元,所以x=10. 故当x为10时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元. (3)根据题意,得w=(40+x)(-x+50)=-x2+30x+2000=-(x-30)2+2450. 因为每件利润不能超过60元,所以x≤20. 因为a=-<0, 所以当x<30时,w随x的增大而增大, 所以当x=20时,w最大=2400. 答:当x为20时,w最大,最大利润是2400元. 16.解:(1)y=-x2+x+3 [解析] 因为抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3 ,0),B(0,3), 所以 解得 所以抛物线的解析式为y=-x2+x+3. (2)因为y=-x2+x+3=-(x-)2+4,所以抛物线的对称轴为直线x=,点C的坐标为(,4). 如图,设直线l交x轴于点H,则OH=,CH=4,AH=OA-OH=3 -=2 , 所以S ABC=S四边形OHCB+S CHA-S AOB=(OB+CH) OH+AH CH-OA OB= (3+4) + 2 4- 3 3 =3 . 学科网(北京)股份有限公司 $$