专题04 与圆有关的位置关系—切线定理【挑战压轴题】（尖子生拔高卷）-2024-2025学年苏科版数学九年级上册培优专题真题讲练

2024-2025学年苏科版数学九年级上册【挑战压轴题】培优专题真题培优卷 专题04 与圆有关的位置关系—切线定理 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.46（较难） 题目来源：江苏省各地名校真题 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2020秋•邹城市期末）如图，直线、、分别与相切于、、，且，若，，则的长等于　　 A．13 B．12 C．11 D．10 2．（2分）（2024•益阳三模）如图，是的直径，过圆上一点作的切线，交的延长线于点，若，的半径为2，则的长是　　 A． B． C． D．2 3．（2分）（2023•宽城区二模）如图，是的直径，是弦，垂直于过点的切线，垂足为点．若，则的大小为　　 A． B． C． D． 4．（2分）（2023•瑶海区校级一模）如图，直线与相切于点，是的一条弦，且，连接．若的半径为2，，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 5．（2分）（2024•长阳县模拟）如图，与相切于点，的延长线交于点，连接，已知，则的大小为　　 A． B． C． D． 6．（2分）（2024•榆社县模拟）如图，为的直径，点在的延长线上，为的切线，切点为点，点在上，且．若，，则的长为　　 A．4 B． C． D．8 7．（2分）（2024•富平县二模）如图，点、、均在上，连接、、、，过点作的切线，交的延长线于点，且．若，，则的长为　　 A． B．1 C．2 D． 8．（2分）（2022秋•个旧市期末）为了落实“双减”政策，一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课，如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为和，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径的长度为　　． A．240 B． C．120 D． 9．（2分）（2023•九龙坡区模拟）如图，是的直径，是的切线，连接交于点，连接，，，则的长为　　 A． B． C． D． 10．（2分）（2022秋•连山区月考）如图，，已知是圆的直径，点在的延长线上，与圆相切于点，过点作的垂线交的延长线于点，若圆的半径为4，，则的长为　　 A．4 B． C．3 D．2 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024•绥化二模）如图，是以原点为圆心，为半径的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为 　　． 12．（2分）（2024•张店区二模）如图，是的内接三角形，过外一点作的两条切线和，点，为切点．点在上，点在上，点在上，且，．若，则　　度． 13．（2分）（2022秋•天台县期末）如图，半径为1的与直线相切于点，点是上的一个动点，作于点，则的最大值是 　　． 14．（2分）（2023秋•游仙区月考）如图，在中，，，，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留 　　． 15．（2分）（2023秋•鄞州区期末）如图，在中，，，，过上的动点作半径为4的的切线，切点为、，若为的中点，则的最小值为 　　 16．（2分）（2023秋•新余期末）已知点，的半径为3，切于点，点为上的动点，当点的坐标为 　　时，是等腰三角形． 17．（2分）（2023•霍林郭勒市二模）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为1，大正方形的面积为64，则小正方形的边长为 　　． 18．（2分）（2022•仪征市校级模拟）如图，矩形中，，，分别与边，，相切，点，分别在，上，，将四边形沿着翻折，使点、分别落在、处，若射线恰好与相切，切点为，则线段的长为 　　． 19．（2分）（2023•蓬江区一模）如图，的直径，和是它的两条切线，切点分别为、，切于点，交于点，交于点，设，，则与的函数关系式是 　　． 20．（2分）（2021•鹤峰县模拟）已知正方形边长为2，与以的中点为圆心的圆相切交于点，求三角形的面积 　　． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024•宁明县一模）如图，已知是的直径，是的弦，延长到，使，连接，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为6，，求的长． 22．（6分）（2023秋•长垣市期末）如图，在中，，点为边上一点，以点为圆心，长为半径的圆与边相交于点，连接，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求半径的长． 23．（8分）（2023秋•任城区校级月考）如图，内接于，．点在直径的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 24．（8分）（2024•东台市校级模拟）如图，，点、分别在射线、上，，． （1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在、两点分别与射线和相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹； （2）将劣弧所在的扇形围成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 　　； （3）求所得的劣弧与线段、围成的封闭图形的面积． 25．（8分）（2024•自贡模拟）如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点交于点．（1）求证：是的切线； （2）延长和交于点，若，求的值； （3）在（2）的条件下，求的值． 26．（8分）（2023秋•江阴市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心，3为半径作圆．从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴负半轴运动，运动时间为．连结，将沿翻折，得到．求有一边所在直线与相切时直线的解析式． 27．（8分）（2022•海珠区一模）在中，，以长为半径作． （1）尺规作图：将绕点顺时针旋转得△，使得点的对应点落在线段上（保留作图痕迹，不用写画法）； （2）在（1）的条件下，若线段与交于点，连接． ①求证：与相切； ②如果，，与交于点，连接，求的长． 28．（8分）（2022•新华区校级四模）如图1，在中，，，，点在边上，由点向点运动，当点与点重合时，停止运动．以点为圆心，为半径在的下方作半圆，半圆与交于点．，， 如图1，当时，　　，点到半圆的最短距离　　； （2）半圆与相切时，求的长？ （3）如图2，半圆与交于点、，当时，求扇形的面积？ （4）以，为边矩形，当半圆与有两个公共点时，则的取值范围是 　　 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学九年级上册【挑战压轴题】培优专题真题培优卷 专题04 与圆有关的位置关系—切线定理 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.46（较难） 题目来源：江苏省各地名校真题 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2020秋•邹城市期末）如图，直线、、分别与相切于、、，且，若，，则的长等于　　 A．13 B．12 C．11 D．10 解：， ， 、，分别与相切于、、， ，，，， ， ， ， ． 故选：． 2．（2分）（2024•益阳三模）如图，是的直径，过圆上一点作的切线，交的延长线于点，若，的半径为2，则的长是　　 A． B． C． D．2 解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， 在中，， ， 故选：． 3．（2分）（2023•宽城区二模）如图，是的直径，是弦，垂直于过点的切线，垂足为点．若，则的大小为　　 A． B． C． D． 解：如图，连接． 由题意可知为的切线， ． ， ， ． ， ． 故选：． 4．（2分）（2023•瑶海区校级一模）如图，直线与相切于点，是的一条弦，且，连接．若的半径为2，，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 解：如图所示，过点作，作于，则点是的中点， 直线与相切于点，， ，，在同一条直线上，且， ， 在中，， ， ， ， ，， ， ，，， ， 阴影部分的面积为， 故选：． 5．（2分）（2024•长阳县模拟）如图，与相切于点，的延长线交于点，连接，已知，则的大小为　　 A． B． C． D． 解：如图所示，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故选：． 6．（2分）（2024•榆社县模拟）如图，为的直径，点在的延长线上，为的切线，切点为点，点在上，且．若，，则的长为　　 A．4 B． C． D．8 解：连接，如图所示： 是的切线， ， ． 设，则． 在中，， ， 解得． ， ． 是的直径， ． ， ． 在中，， ． ． 故选：． 7．（2分）（2024•富平县二模）如图，点、、均在上，连接、、、，过点作的切线，交的延长线于点，且．若，，则的长为　　 A． B．1 C．2 D． 解：如图所示，连接， 是的切线， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 故选：． 8．（2分）（2022秋•个旧市期末）为了落实“双减”政策，一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课，如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为和，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径的长度为　　． A．240 B． C．120 D． 解：如图，设小圆的切线与小圆相切于点，与大圆交于、，连接， ， ， 在中，，， ， ， 即该球在大圆内滑行的路径的长度为， 故选：． 9．（2分）（2023•九龙坡区模拟）如图，是的直径，是的切线，连接交于点，连接，，，则的长为　　 A． B． C． D． 解：是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 连接， 是的直径， ， ， ， ， 故选：． 10．（2分）（2022秋•连山区月考）如图，，已知是圆的直径，点在的延长线上，与圆相切于点，过点作的垂线交的延长线于点，若圆的半径为4，，则的长为　　 A．4 B． C．3 D．2 解：连接， 与圆相切于点， ， ， ， ， ， 设，则， 解得：， 故． 故选：． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024•绥化二模）如图，是以原点为圆心，为半径的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为 　　． 解：如图，作于，连接、， ， 在中，当，，则， 当时，， 解得：，则， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 为切线， ， ， ， ， 当最小时，最小， 最小时，最小， 当时，即点运动到点时，最小，最小，此时， ， ， 故答案为：． 12．（2分）（2024•张店区二模）如图，是的内接三角形，过外一点作的两条切线和，点，为切点．点在上，点在上，点在上，且，．若，则　75　度． 解：连接，， ，是的两条切线， ，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：75． 13．（2分）（2022秋•天台县期末）如图，半径为1的与直线相切于点，点是上的一个动点，作于点，则的最大值是 　　． 解：由圆的对称性不妨设点是左半圆上的动点．如图，在的延长线上取一点，使，则．当与相切于点时，取得最大值，此时连接并延长交延长线于点，则． ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，， 连接，则． 为等腰直角三角形， ， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 14．（2分）（2023秋•游仙区月考）如图，在中，，，，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留 　　． 解：在中，，， ， ，的周长， 内切圆半径， ， 设与切于点，与切于点，连接、， 则四边形为正方形， ． 故答案为：． 15．（2分）（2023秋•鄞州区期末）如图，在中，，，，过上的动点作半径为4的的切线，切点为、，若为的中点，则的最小值为 　　 解：连接、、，设与交于点，如图， ，为的中点， ， 、是的切线， ， 为的中点， ， 、、三点共线， ， 点在以为直径的圆上， 当、、三点共线时，有最小值，， ，， ， ， ， ，， ， ， 即， ， ， ， ， ，， ， 的最小值为：， 故答案为：． 16．（2分）（2023秋•新余期末）已知点，的半径为3，切于点，点为上的动点，当点的坐标为 　，，，　时，是等腰三角形． 解：如图，当的坐标为或或，时，是等腰三角形．理由如下： 连接， ，的半径为3， ，， ， 切于点， ， ， ， ， ， ； 当时，连接交轴于点， 切于点， 切于点， ， ， 是等边三角形， ， ，， ，； ，， ， ， ， ． 综上所述：当的坐标为或或，时，是等腰三角形． 故答案为：或或，． 17．（2分）（2023•霍林郭勒市二模）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为1，大正方形的面积为64，则小正方形的边长为 　　． 解：如图，设内切圆的圆心为，连接、， 则四边形为正方形， ， ， ， ， ， ，， ， 小正方形的面积 ． 小正方形的边长为． 故答案为：． 18．（2分）（2022•仪征市校级模拟）如图，矩形中，，，分别与边，，相切，点，分别在，上，，将四边形沿着翻折，使点、分别落在、处，若射线恰好与相切，切点为，则线段的长为 　或或1　． 解：设与圆相切于点，与圆相切于点， 连接，，，，过点作于点，如图， 分别与边，，相切，， 的直径为4， ． ，为的切线， ，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形． ． ，为的切线， ，，，． 四边形沿着翻折，使点、分别落在、处， ，，，． ， ， ， ， ， ， ． ． 四边形为直角梯形，， ，， 设，则，， ， 解得：或． ． 当时，此时与重合，满足条件， 符合题意， 综上，的值为：或或1． 故答案为：或或1． 19．（2分）（2023•蓬江区一模）如图，的直径，和是它的两条切线，切点分别为、，切于点，交于点，交于点，设，，则与的函数关系式是 　　． 解：连接、， 、、是的切线， 、平分和，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 20．（2分）（2021•鹤峰县模拟）已知正方形边长为2，与以的中点为圆心的圆相切交于点，求三角形的面积 　1.5　． 解：设与圆相切于点， 四边形是正方形， ，， 、是圆的半径， 与圆相切于点，与圆相切于点， 与圆相切于点， ，， 设， 则，， 在中，， ， 解得：， ， 三角形的面积 ， 故答案为：1.5． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024•宁明县一模）如图，已知是的直径，是的弦，延长到，使，连接，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为6，，求的长． （1）证明：如图，连接． ，， ． ． 又， ． ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ． 又， 是等边三角形． ，． ， ． 22．（6分）（2023秋•长垣市期末）如图，在中，，点为边上一点，以点为圆心，长为半径的圆与边相交于点，连接，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求半径的长． （1）证明：连接，如图， ， ， ， ， 在中，， ， ， ，即， 是半径， 是的切线； （2）解：， ， 设半径为，则， 在直角三角形中， ，即， ． 半径的长为3． 23．（8分）（2023秋•任城区校级月考）如图，内接于，．点在直径的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． （1）证明：连接，如图1， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2）解：①连接，，如图2， 为的直径， ， 由（1）知：， ， ， ， 又由（1）知：，， ， ． 24．（8分）（2024•东台市校级模拟）如图，，点、分别在射线、上，，． （1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在、两点分别与射线和相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹； （2）将劣弧所在的扇形围成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 　　； （3）求所得的劣弧与线段、围成的封闭图形的面积． 解：（1）作法：①过、分别作、的垂线，它们相交于， ②以点为圆心，为半径作， 则为所作； （2）， 为等边三角形， 则扇形的面积为：， ， ， ， 解得：， 故答案为：； （3）， 为等边三角形， ，， 平分， ， ， 劣弧与线段、围成的封闭图形的面积． 25．（8分）（2024•自贡模拟）如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点交于点．（1）求证：是的切线； （2）延长和交于点，若，求的值； （3）在（2）的条件下，求的值． （1）证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， 设，则， ， ， ， ； （3）解：由（2）知：，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 26．（8分）（2023秋•江阴市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心，3为半径作圆．从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴负半轴运动，运动时间为．连结，将沿翻折，得到．求有一边所在直线与相切时直线的解析式． 解：当与相切时，如图1， 设切于点，连接，交于，连接， 切于点， ，， ， ， ， ， ， ， 将沿翻折，得到． ，， ，， ，即， ， 在中，，解， 解得， ，， 设直线解析式：， ， 解得：， 故直线解析式：； 当与相切时，如图2， 设切于点，连接， 将沿翻折，得到． ， 经过点， ， ，即， ， 在中，，解， 解得， 则，， ， 设直线解析式：， ， 解得：， 故直线解析式：； 当与相切时，如图3， 设切于点，连接， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， 设直线解析式：， ， 解得：， 故直线解析式：； 当的反向延长线与相切时，如图4， 设切于点，连接，交轴于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得， 则， ， 解得：， 故直线解析式：； 综上，有一边所在直线与相切时直线的解析式：或或或． 27．（8分）（2022•海珠区一模）在中，，以长为半径作． （1）尺规作图：将绕点顺时针旋转得△，使得点的对应点落在线段上（保留作图痕迹，不用写画法）； （2）在（1）的条件下，若线段与交于点，连接． ①求证：与相切； ②如果，，与交于点，连接，求的长． 解：（1）取与的交点为， ①以为圆心，适当长度为半径画弧，交于点，； ②分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点、； ③作直线； ④以为圆心长为半径画弧，交于； ⑤连接； 则△即为所求，如图所示： （2）①△是绕点顺时针旋转而成，且， ，， 点在上， ， 在和△中， ， △， ， 是的半径， 是的切线； ②如图： ，是的半径， 是的切线，且是直角三角形， ，， ， ， 是的切线， ， 故， 即， 令，， ， ，且， ， 解得， ， 在△中，由勾股定理得，， 即的长为． 28．（8分）（2022•新华区校级四模）如图1，在中，，，，点在边上，由点向点运动，当点与点重合时，停止运动．以点为圆心，为半径在的下方作半圆，半圆与交于点．，， 如图1，当时，　30　，点到半圆的最短距离　　； （2）半圆与相切时，求的长？ （3）如图2，半圆与交于点、，当时，求扇形的面积？ （4）以，为边矩形，当半圆与有两个公共点时，则的取值范围是 　　 解：（1）连接，与半圆交于点， 在中， ， ． 在中， ， ． ， ， 点到半圆的最短距离， 故答案为：30；； （2）当半圆与相切时，设切点为，连接，，如图， ， 为半圆的切线， 为半圆的切线， ， ． 设， ， ． 为半圆的切线， ． ， ， 解得：． ； （3）过点作于点，连接，如图， 则， ，， ， ， ， ． ， ， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ， ，，三点重合， ． 扇形的面积； （4）如图， 当与边相切与点时，， 此时，与有一个公共点， 由（2）知：． 当与边相切与点时，， 此时，与有三个公共点， ． 当圆心在与之间时，半圆与有两个公共点， ； 当的圆心在与点之间时，此时与有两个或三个公共点， 当经过点时，与有三个公共点， ，，， ， 解得：． 当时，与有三个公共点， 当时，，与有两个公共点， 综上，当半圆与有两个公共点时，的取值范围是或． 故答案为：或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$