1.2～1.3 一元二次方程的解法、根与系数的关系（检测卷）-2024-2025学年苏科版数学九年级上册同步培优过关必刷卷

2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优过关必刷卷【第1章《一元二次方程》】 1.2-1.3 一元二次方程的解法、根与系数的关系 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.55（较难） 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2023秋•天宁区校级期中）用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是　　 A． B． C． D． 2．（2分）（2021春•东台市月考）用配方法解一元二次方程下列变形正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2分）（2024•睢宁县校级模拟）一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．（2分）（2024•梁溪区校级一模）设，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为　　 A．1 B． C．3或 D．1或 5．（2分）（2024•扬州二模）关于的一元二次方程有实数根，此方程的根可能是　　 A．， B．， C．， D．， 6．（2分）（2024•高邮市三模）若关于的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2分）（2024•鼓楼区校级模拟）若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是　　 A． B． C． D． 8．（2分）（2023秋•南京期中）若关于的方程的两根之和是，两根之积是，则关于的方程的两根之积是　　 A． B． C． D． 9．（2分）（2023秋•锡山区校级月考）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为　　 A． B．1 C．或2 D．或1 10．（2分）（2023秋•惠山区期末）一元二次方程根的情况是　　 A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024•惠山区三模）已知一次函数的图象不过第三象限，则方程的根的个数为 　　． 12．（2分）（2024•海州区校级二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 　　． 13．（2分）（2024•宝应县三模）已知关于的方程有实根，则的取值范围是 　　． 14．（2分）（2023秋•工业园区校级月考）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为 　　． 15．（2分）（2024•赣榆区校级三模）已知，是关于的一元二次方程的两实数根，则式子的值是 　　． 16．（2分）（2024•连云区一模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 　　． 17．（2分）（2023•建湖县校级模拟）对于任意实数，，我们定义新运算“”： ，例如．若，是方程的两根，则的值为 　　． 18．（2分）（2020秋•常州期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　　（填序号） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； ④若方程以是倍根方程，则必有． 19．（2分）（2021秋•灌南县校级月考）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是　　． 20．（2分）（2019秋•滨湖区期末）已知关于的方程、、为常数，的解是，，那么方程的解　　． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2023秋•工业园区校级月考）关于的一元二次方程的两个根． （1）求证：该方程始终有两个实数根； （2）等腰三角形一边长为6，另外两边是该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 22．（6分）（2023秋•江阴市校级月考）已知关于的一元二次方程． （1）试证：无论取任何实数，方程都有实数根； （2）设、是方程的两根，且满足，求的值． 23． （8分）（2024•鼓楼区一模）（1）解方程：； （2） 解不等式组：． 24．（8分）（2023秋•栖霞区校级月考）已知关于的一元二次方程的两根是，． （1）证明：无论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根为1，求它的另一个根和的值； （3）无论为何值，方程总有一个不变的根为 　　． 25．（8分）（2023秋•建湖县期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为，． ①求代数式；的最大值； ②若方程的一个根是6，和是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长． 26．（8分）（2017秋•东台市月考）已知关于的方程 （1）当取何值时，方程有两个实数根； （2）为选取一个适合的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根． 27．（8分）（2024•广陵区一模）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，保． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法“求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． 解决问题： （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：　　； （2）方程，，的两个根与方程 　　的两个根互为倒数． （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 28．（8分）（2023秋•仪征市期中）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：　　； （2）代数式的最小值为 　　； 【类比应用】 （3）试判断代数式与的大小，并说明理由； 【知识迁移】 （4）如图，学校打算用长16米的篱笆围一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（墙足够长），求围成的生物园的最大面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优过关必刷卷【第1章《一元二次方程》】 1.2-1.3 一元二次方程的解法、根与系数的关系 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.55（较难） 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2023秋•天宁区校级期中）用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是　　 A． B． C． D． 解：， ， ， ， 故选：． 2．（2分）（2021春•东台市月考）用配方法解一元二次方程下列变形正确的是　　 A． B． C． D． 解：， ， ． 故选：． 3．（2分）（2024•睢宁县校级模拟）一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 解：， △， 方程没有实数根． 故选：． 4．（2分）（2024•梁溪区校级一模）设，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为　　 A．1 B． C．3或 D．1或 解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ， ，即， ， ， 解得，． 检验：当时，原方程可化为， △， 方程有实数根，符合题意； 当时，原方程可化为， △， 方程无实数根，不符合题意． 故选：． 5．（2分）（2024•扬州二模）关于的一元二次方程有实数根，此方程的根可能是　　 A．， B．， C．， D．， 解：关于的一元二次方程有实数根， ，， 与同号，故、错误； ， ， 与均为负数，故错误，正确． 故选：． 6．（2分）（2024•高邮市三模）若关于的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：根据题意得：△， 解得． 则， 则直线不经过第三象限． 故选：． 7．（2分）（2024•鼓楼区校级模拟）若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是　　 A． B． C． D． 解：设关于的方程的两根分别为，， 关于的方程的两根之和为，两根之积为， ，， ，， 化简，得：，， 整理可得，， 故选：． 8．（2分）（2023秋•南京期中）若关于的方程的两根之和是，两根之积是，则关于的方程的两根之积是　　 A． B． C． D． 解：把方程看作关于的一元二次方程， 设关于的方程的两根为，，则方程的两根为，， 关于的方程的两根之和是，两根之积是， ，， ． 故选：． 9．（2分）（2023秋•锡山区校级月考）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为　　 A． B．1 C．或2 D．或1 解：因为方程有两个相等的实数根， 即方程有两个相等的实数根， 所以△， 解得，， 所以实数的值为． 故选：． 10．（2分）（2023秋•惠山区期末）一元二次方程根的情况是　　 A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 解：， △， 故方程没有实数根， 故选：． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024•惠山区三模）已知一次函数的图象不过第三象限，则方程的根的个数为 　1或2　． 解：一次函数的图象不过第三象限， ，， 当时，，方程为一元一次方程，所以方程根的个数为1个； 当时，△，由于，， △， 方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1或2． 故答案为：1或2． 12．（2分）（2024•海州区校级二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 　且　． 解：， ， 整理可得， 又关于的方程有两个实数根， ， 解得：且， 故答案为：且． 13．（2分）（2024•宝应县三模）已知关于的方程有实根，则的取值范围是 　　． 解：当时，原方程为，有实根，符合题意， 当时，原方程有实数根，则△， 解得：且， 综上，； 故答案为：． 14．（2分）（2023秋•工业园区校级月考）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为 　　． 解：设菱形的两条对角线长分别为、， 菱形的面积两条对角线积的一半， 即． 由题意，得． 菱形的边长 ． 故答案为：． 15．（2分）（2024•赣榆区校级三模）已知，是关于的一元二次方程的两实数根，则式子的值是 　2　． 解：根据题意得，， 所以． 故答案为：2． 16．（2分）（2024•连云区一模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 　5　． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，即：， ， 故答案为：5． 17．（2分）（2023•建湖县校级模拟）对于任意实数，，我们定义新运算“”： ，例如．若，是方程的两根，则的值为 　　． 解：由题意得即为， 化简得， ，是该方程的两根， ，， ， 故答案为：． 18．（2分）（2020秋•常州期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　②③④　（填序号） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； ④若方程以是倍根方程，则必有． 解：①解方程得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故②正确； ③，则：， ，， ， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程的根为：，， 若，则，， 即，， ， ， ， ． 若时，则，， 即，则，， ， ， ， ， ． 故④正确， 故答案为：②③④ 19．（2分）（2021秋•灌南县校级月考）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是　14　． 解：解方程得：或4， 当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行； 当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为， 故答案为：14． 20．（2分）（2019秋•滨湖区期末）已知关于的方程、、为常数，的解是，，那么方程的解　，　． 解：关于的方程的解是，，，，均为常数，， 方程变形为，即此方程中或， 解得或． 故答案为：，． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2023秋•工业园区校级月考）关于的一元二次方程的两个根． （1）求证：该方程始终有两个实数根； （2）等腰三角形一边长为6，另外两边是该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． （1）证明：△， ，即△， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：由，得：， 此方程的两根为，． 若，则，此等腰三角形的三边分别为6，6，2，周长为14． 若，等腰三角形的三边分别为2，2，6，不存在此三角形， 所以，这个等腰三角形的周长为14． 22．（6分）（2023秋•江阴市校级月考）已知关于的一元二次方程． （1）试证：无论取任何实数，方程都有实数根； （2）设、是方程的两根，且满足，求的值． （1）证明：， △ ， 无论取何值，方程总有实数根； （2）解：，是方程的两根， ，， ， ， ， ， 解得：，． 23．（8分）（2024•鼓楼区一模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 解：（1）， ， 则或， 解得，； （2）由得：， 由得：， 则不等式组的解集为． 24．（8分）（2023秋•栖霞区校级月考）已知关于的一元二次方程的两根是，． （1）证明：无论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根为1，求它的另一个根和的值； （3）无论为何值，方程总有一个不变的根为 　　． （1）证明：方程，，，， △， 无论为何值，该方程总有两个实数根． （2）解：把代入方程， 得， 解得， 方程， 解得，， 故，另一个根为． （3）解：方程，，，， △， ，， 此时方程总有一个不变的根为； 故答案为：． 25．（8分）（2023秋•建湖县期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为，． ①求代数式；的最大值； ②若方程的一个根是6，和是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长． （1）证明：△ ， 无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：①该方程的两个实数根为，． ，， ， 代数式的最大值为； ②把代入方程得：， ，， 将代入方程得：， 解得，， 等腰三角形的周长17；16； 将代入方程得：， 解得，， 等腰三角形的周长19；20． 综上分析，等腰三角形的周长17或16或19或20． 26．（8分）（2017秋•东台市月考）已知关于的方程 （1）当取何值时，方程有两个实数根； （2）为选取一个适合的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根． 解：（1）方程有两个实数根， △， 即， ； （2）方程有两个不相等实数根， △， 即， ； 令，代入方程得 ，． 27．（8分）（2024•广陵区一模）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，保． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法“求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． 解决问题： （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：　　； （2）方程，，的两个根与方程 　　的两个根互为倒数． （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 解（1）设所求的方程的根为，则， ． 把代入已知方程，得， 化简，得， 即所求方程为． 故答案为：； （2）设所求方程的根为，则， ． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故答案为：； （3）， 化简，得， 由（2）知，关于的一元二次方程的根与关于的二元一次方程的根互为倒数， 即， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和， 或， 或， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为2025和2022． 28．（8分）（2023秋•仪征市期中）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：　4　； （2）代数式的最小值为 　　； 【类比应用】 （3）试判断代数式与的大小，并说明理由； 【知识迁移】 （4）如图，学校打算用长16米的篱笆围一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（墙足够长），求围成的生物园的最大面积． 解：（1）由题意得，是完全平方式． 故答案为：4． （2）由题意，， 又对于任意的都有， ． 代数式的最小值为． 故答案为：． （3）．理由如下： ， ． （4）设， ． ，生物园的面积． 又 ， ， 当时，取得最大值，最大值为32． 答：当时，面积最大为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$