2.7 弧长及扇形的面积（知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学九年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第2章《对称图形—圆》】 2.7 弧长及扇形的面积 （知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：弧长和扇形面积 3 考点讲练2：求弧长 5 考点讲练3：求扇形半径 7 考点讲练4：求圆心角 8 考点讲练5：求某点的弧形运动路径长度 9 考点讲练6：求扇形面积 11 考点讲练7：求图形旋转后扫过的面积 13 考点讲练8：求弓形面积 15 考点讲练9：求其他不规则图形面积 17 中等题真题汇编练 18 培优题真题汇编练 22 新知精讲梳理 知识点01：弧长的计算 1. 弧长的定义 弧长是圆上两点之间的曲线段，也就是圆上两点之间的弧所对的圆周长的一部分。 2. 弧长公式 弧长的计算公式有两种形式，分别适用于角度制和弧度制： 角度制公式：弧长，其中 ( n ) 是圆心角的角度（单位：度），( R ) 是圆的半径，(π ) 是圆周率（约等于3.14）。 知识点02：扇形面积的计算 1. 扇形的定义 扇形是由圆上两条半径和它们之间的一段弧所围成的图形。 2. 扇形面积公式 扇形面积的计算公式也有两种形式，分别适用于角度制和弧度制： 角度制公式：扇形面积 ( S)，其中 ( n ) 是圆心角的角度（单位：度），( R ) 是圆的半径，( l ) 是扇形的弧长。 弧度制公式：扇形面积 ( S =) 知识点03：知识点应用 1. 公式记忆与理解 学生需要熟练掌握弧长和扇形面积的计算公式，并能够根据题目条件灵活选择使用角度制或弧度制公式。 2. 实际应用 弧长和扇形面积的计算在实际生活中有广泛应用，如计算扇形物体的面积、计算圆上某段弧的长度等。学生需要通过实际问题的练习，加深对知识点的理解和应用能力。 高频易错知识点拨 易错知识点01:公式记忆与应用混淆 1. 弧长公式混淆 易错点：学生容易混淆角度制和弧度制下的弧长公式。 避免方法：明确题目中圆心角的单位（度或弧度），并选择与之对应的公式进行计算。 2. 扇形面积公式混淆 易错点：类似地，学生也容易混淆角度制和弧度制下的扇形面积公式。 避免方法：同样需要明确圆心角的单位，并选用正确的公式进行计算。 易错知识点02:计算过程中的错误 1. 角度与弧度的转换错误 易错点：在需要进行角度与弧度转换时，学生可能因计算错误或概念不清导致转换错误。 避免方法：熟练掌握角度与弧度的转换公式（如 ( 1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{rad} )），并在计算时仔细核对。 2. 运算过程中的计算错误 易错点：在计算弧长或扇形面积时，学生可能因乘法、除法或π的取值等运算过程中的疏忽导致结果错误。 避免方法：在计算过程中保持细心，注意运算顺序和精度，确保每一步的计算都准确无误。 易错知识点03:理解上的误区 1. 对圆心角、弧长和扇形面积关系的理解不足 易错点：学生可能对圆心角、弧长和扇形面积之间的关系理解不够深入，导致在解题时无法灵活运用这些关系。 避免方法：通过图形展示和实例分析等方式，帮助学生理解圆心角、弧长和扇形面积之间的内在联系，并在解题时加以应用。 2. 对扇形概念的理解模糊 易错点：扇形是由圆上两条半径和它们之间的一段弧所围成的图形，但学生可能对这一概念的理解不够清晰，导致在判断扇形或计算扇形面积时出现错误。 避免方法：通过清晰的图形展示和定义解释，帮助学生准确理解扇形的概念及其特征。 易错知识点04:实际应用中的错误 易错点：学生在将弧长和扇形面积的计算公式应用于实际问题时，可能因对题目理解不准确或计算过程中的疏忽导致结果错误。 避免方法：加强对学生应用能力的培养，通过大量实际问题的练习和解析，帮助学生提高解题能力和应用水平。 考点讲练1：弧长和扇形面积 【精讲题】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，中，，，，把绕点顺时针旋转至的位置，使点的对应点落在斜边上，则图中阴影部分的面积是 ． 【举一反三练1】（2024·广东深圳·模拟预测）每年8月8日是“全民健身日”．为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．如图是侧抬腿运动，可以保证全身得到锻炼！已知小敏大腿根部距脚尖，即，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为（    ）． A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知在中，，，，以为直径向外作圆O，P是半圆O上的一个动点，M是的中点，当点P沿半圆O从点A运动至点B时，点M的运动路径长为 ． 【举一反三练3】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，以为直径的半圆交于点D，交于点 (1)若弧的度数为，求的度数； (2)若点D、E是半圆弧的三等分点，，求弧的长． 考点讲练2：求弧长 【精讲题】（23-24九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，点在上，是的切线，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长（结果保留）． 【举一反三练1】．（22-23九年级上·广东湛江·期中）如图，是的切线，A、B为切点，若，，则弧长    ）    A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，是两条弦，的半径长为，弧的长度为，弧的长度为，当时，求证． 【举一反三练3】（2024·安徽六安·三模）如图，四边形是边长为4的正方形，以边为直径作，点E在边上，连接交于点F，连接并延长交于点G．    (1)求证：； (2)若，求劣弧的长．(结果保留) 考点讲练3：求扇形半径 【精讲题】（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【举一反三练1】（22-23九年级上·湖北武汉·期中）如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【举一反三练2】（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，半圆的直径为，点为半圆的三等分点，点为直径上任意一点，若阴影部分的面积为，则半圆的半径为 ． 【举一反三练3】（22-23九年级上·江苏扬州·期中）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为 考点讲练4：求圆心角 【精讲题】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是正六边形的外接圆，半径是6，则的长是 ． 【举一反三练1】（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，长为半径作圆，交轴正半轴于点，点D为上一动点，连接，以为边，在直线的上方作正方形，点从点出发，按顺时针方向以每秒个单位长度的速度在上运动，则第2022秒结束时点的坐标为    【举一反三练2】（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，与相切于点A，交于点C，，的长为，求的长． 【举一反三练3】．（2023·福建福州·三模）如图，已知的半径为2，是的直径，点是延长线上一点．以为边作，使得，，与的交点为，连接，．    (1)判断直线和位置关系； (2)若的长为，，延长交于点，求证：． 考点讲练5：求某点的弧形运动路径长度 【精讲题】（22-23九年级上·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，将绕点顺时针方向旋转后得到． (1)在图中画出； (2)写出点和点的坐标； (3)求出点旋转到点经过的路径的长度． 【举一反三练1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点P，从点P作于点H，设的三个内角平分线交于点M，当点P在弧上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24九年级下·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，，若绕点逆时针旋转后，得到（对应点是对应点是）． (1)画出； (2)求旋转过程中点的运动路径长（结果保留）． 【举一反三练3】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)请画出 ，使 与 关于 轴对称； (2)将 绕点 逆时针旋转 ，画出旋转后得到的 ，并直接写出点，的坐标； (3)求点 旋转到 所经过的路线的长度． 考点讲练6：求扇形面积 【精讲题】（23-24九年级上·吉林四平·阶段练习）如图，为的直径，点是上方上异于的点，点是的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； 【举一反三练1】（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24九年级上·贵州遵义·期末）如图，为的直径，为上一点，过点的直线与的延长线交于点，点在直线上，连接，．有下列条件：①；②平分；③为的切线， (1)请从以上①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 【举一反三练3】．（2024·陕西西安·一模）在源远流长的岁月中，扇子除日用外，还孕育着中华文化艺术的智慧，凝聚了古今工艺美术之精华．将如图①所示的扇子完全打开后可近似看成如图②所示的几何图形，外侧两根竹条、的夹角，点为和所在圆的圆心，点、分别在、上，经测量，，，则贴纸部分（即图②中阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 考点讲练7：求图形旋转后扫过的面积 【精讲题】（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，在边长为12的等边中，点E在边上自A向C运动点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接，交于P，连接，在运动过程中，线段扫过的面积为 ． 【举一反三练1】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图所示，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到．若，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 （结果保留π）． 【举一反三练2】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）在中，在边上，，将线段绕着点逆时针旋转得到，且，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求旋转到的过程中，线段所扫过的面积． 【举一反三练3】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，已知，，是直角坐标系平面上三点． (1)画出绕点C顺时针旋转后的 考点讲练8：求弓形面积 【精讲题】（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是的内接三角形，，，D 为延长线上一点，． (1)求证：是的切线； (2)如果的半径为 4，求阴影部分的面积． 【举一反三练1】（2024·江苏盐城·三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按上述公式计算出弧田的面积为 平方米．    【举一反三练2】．（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）如图，是的直径，C、D是上的两点，过点D作，交的延长线于点E，且与相切，的延长线与交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若．求弦与所围成的图形（阴影部分）的面积（结果保留根号和）． 【举一反三练3】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图．在中．弦垂直于半径．垂足为E．D是优弧上一点．连接、、，．    (1)求的度教； (2)若弦．求图中阴影部分的面积． 考点讲练9：求其他不规则图形面积 【精讲题】（24-25七年级上·全国·假期作业）求阴影部分的面积，如图，正方形的边长是厘米，是正方形各边上的中点，请计算四个扇形的弧围成的阴影部分面积． 【举一反三练1】（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）如图，在中，．现将绕点A逆时针旋转得到，则阴影部分的面积为 ． 【举一反三练2】（2024·湖北孝感·模拟预测）四边形内接于是延长线上一点，． (1)求证：是的切线： (2)若，求图中阴影部分的面积． 【举一反三练3】（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，正方形中，扇形与扇形的弧交于点，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 中等题真题汇编练 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，是圆O的直径，弦，，，则（　） A． B． C． D． 3．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）如图，是的直径，弦，垂足为点，，，则图中阴影部分面积等于（      ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，的半径为2，四边形是圆内接四边形，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 5．（2024·甘肃·中考真题）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是 ．（结果用π表示） 6．（20-21九年级上·河南·期中）如图，在扇形中，，点为半径的中点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，点为弧的中点，连接、．若，则阴影部分的面积为 ． 7．（2024·青海果洛·二模）如图，，，两两不相交且半径都是3，则图中三个阴影扇形的弧长之和为 ． 8．（2024·云南昆明·一模）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是 ．    9．（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，以边为直径的与边分别交于点D、E．求的长． 10．（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）如图，在中，是直径，点C是圆上一点，在的延长线上取一点D，连接，使．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长（结果保留）． 11．（23-24九年级上·河南焦作·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)请画出绕点O逆时针旋转90°后得到的，并写出点的坐标． (2)在（1）的条件下，求点B旋转到所经过的路径长（结果保留） (3)请画出关于点成中心对称的图形． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，交于点E． (1)若点E是弧中点，求的长． (2)若，求弧的长． 培优题真题汇编练 13．（2024·辽宁铁岭·三模）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径作弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”，若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形的边长为（   ）    A．1 B． C． D．2 14．（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（    ） A． B． B． C． D． 15．（2024·安徽合肥·三模）如图，的顶点，落在上，经过圆心，与相交于点，已知，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 16．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，点A，B是半径为2的上的两点，且．下列说法错误的是（    ） A．圆心O到的距离为1 B．在圆上取异于A，B的一点C，则面积的最大值为 C．以为边向上作矩形，交于点P，Q，则扇形的面积为π D．取弦的中点D，当绕点O旋转一周时，点D运动的路线长为 17．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）如图，3个相同的圆两两相切，如果圆的半径为2，则中间围成的面积为（图中阴影部分的面积） ．（结果保留）． 18．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，，，，以为直径的交于点，则的长为 （结果保留）． 19．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，一张直径为的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，连接 ，则 ；图中阴影部分面积的最小值为 ． 20．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，为的直径，是的弦，且，， ，图中阴影部分的面积为，则 ．      21．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点B按顺时针方向旋转后得到． (1)画出，写出点的坐标； (2)计算线段扫过的面积． 22．（24-25七年级上·全国·假期作业）求下图阴影部分的面积．（单位：米．） 23．（21-22九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．请完成如下操作： (1)若O为坐标原点，点A坐标，D为圆弧所在圆的圆心，结合所给网格，则D的坐标 ； (2)直接写出的半径= ； (3)连接，取的中点M，顺次连接M、B、C，将绕点M逆时针旋转90°； (4)求出点C在（3）中旋转的路径长． 24．（23-24九年级上·河北承德·期末）如图1，在矩形中，，，把绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，交矩形边于点，连接． (1)求证：； (2)①当、、共线时，则 ； ②当、、共线时，则 ； (3)若点到直线的距离为，求点所经过的路径长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第2章《对称图形—圆》】 2.7 弧长及扇形的面积 （知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：弧长和扇形面积 3 考点讲练2：求弧长 7 考点讲练3：求扇形半径 11 考点讲练4：求圆心角 15 考点讲练5：求某点的弧形运动路径长度 20 考点讲练6：求扇形面积 26 考点讲练7：求图形旋转后扫过的面积 31 考点讲练8：求弓形面积 36 考点讲练9：求其他不规则图形面积 42 中等题真题汇编练 45 培优题真题汇编练 56 新知精讲梳理 知识点01：弧长的计算 1. 弧长的定义 弧长是圆上两点之间的曲线段，也就是圆上两点之间的弧所对的圆周长的一部分。 2. 弧长公式 弧长的计算公式有两种形式，分别适用于角度制和弧度制： 角度制公式：弧长，其中 ( n ) 是圆心角的角度（单位：度），( R ) 是圆的半径，(π ) 是圆周率（约等于3.14）。 知识点02：扇形面积的计算 1. 扇形的定义 扇形是由圆上两条半径和它们之间的一段弧所围成的图形。 2. 扇形面积公式 扇形面积的计算公式也有两种形式，分别适用于角度制和弧度制： 角度制公式：扇形面积 ( S)，其中 ( n ) 是圆心角的角度（单位：度），( R ) 是圆的半径，( l ) 是扇形的弧长。 弧度制公式：扇形面积 ( S =) 知识点03：知识点应用 1. 公式记忆与理解 学生需要熟练掌握弧长和扇形面积的计算公式，并能够根据题目条件灵活选择使用角度制或弧度制公式。 2. 实际应用 弧长和扇形面积的计算在实际生活中有广泛应用，如计算扇形物体的面积、计算圆上某段弧的长度等。学生需要通过实际问题的练习，加深对知识点的理解和应用能力。 高频易错知识点拨 易错知识点01:公式记忆与应用混淆 1. 弧长公式混淆 易错点：学生容易混淆角度制和弧度制下的弧长公式。 避免方法：明确题目中圆心角的单位（度或弧度），并选择与之对应的公式进行计算。 2. 扇形面积公式混淆 易错点：类似地，学生也容易混淆角度制和弧度制下的扇形面积公式。 避免方法：同样需要明确圆心角的单位，并选用正确的公式进行计算。 易错知识点02:计算过程中的错误 1. 角度与弧度的转换错误 易错点：在需要进行角度与弧度转换时，学生可能因计算错误或概念不清导致转换错误。 避免方法：熟练掌握角度与弧度的转换公式（如 ( 1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{rad} )），并在计算时仔细核对。 2. 运算过程中的计算错误 易错点：在计算弧长或扇形面积时，学生可能因乘法、除法或π的取值等运算过程中的疏忽导致结果错误。 避免方法：在计算过程中保持细心，注意运算顺序和精度，确保每一步的计算都准确无误。 易错知识点03:理解上的误区 1. 对圆心角、弧长和扇形面积关系的理解不足 易错点：学生可能对圆心角、弧长和扇形面积之间的关系理解不够深入，导致在解题时无法灵活运用这些关系。 避免方法：通过图形展示和实例分析等方式，帮助学生理解圆心角、弧长和扇形面积之间的内在联系，并在解题时加以应用。 2. 对扇形概念的理解模糊 易错点：扇形是由圆上两条半径和它们之间的一段弧所围成的图形，但学生可能对这一概念的理解不够清晰，导致在判断扇形或计算扇形面积时出现错误。 避免方法：通过清晰的图形展示和定义解释，帮助学生准确理解扇形的概念及其特征。 易错知识点04:实际应用中的错误 易错点：学生在将弧长和扇形面积的计算公式应用于实际问题时，可能因对题目理解不准确或计算过程中的疏忽导致结果错误。 避免方法：加强对学生应用能力的培养，通过大量实际问题的练习和解析，帮助学生提高解题能力和应用水平。 考点讲练1：弧长和扇形面积 【精讲题】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，中，，，，把绕点顺时针旋转至的位置，使点的对应点落在斜边上，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查旋转的性质．将图中不规则阴影部分的面积，转化为规则的扇形和三角形面积之间的关系即可解决问题． 【规范解答】解：由旋转可知， ，． ， ． ，， ． 在中， ， ． 故答案为：． 【举一反三练1】（2024·广东深圳·模拟预测）每年8月8日是“全民健身日”．为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．如图是侧抬腿运动，可以保证全身得到锻炼！已知小敏大腿根部距脚尖，即，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式列式计算即可． 【规范解答】解：由题意得，轨迹长为：． 故选：A． 【举一反三练2】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知在中，，，，以为直径向外作圆O，P是半圆O上的一个动点，M是的中点，当点P沿半圆O从点A运动至点B时，点M的运动路径长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了求弧长，三角形中位线定理，勾股定理，连接，取的中点D，连接，根据三角形中位线定理得，则点M在以D为圆心，为半径的圆上运动，代入弧长公式计算即可． 【规范解答】解：连接，取的中点D，连接， 在中，，，， 则由勾股定理得， ∴， ∵点M是的中点，点D是的中点， ∴， ∴点M在以D为圆心，为半径的圆上运动， ∴点M的运动路径长为 ， 故答案为：． 【举一反三练3】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，以为直径的半圆交于点D，交于点 (1)若弧的度数为，求的度数； (2)若点D、E是半圆弧的三等分点，，求弧的长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）设圆的圆心为O，如图，连接，根据圆周角定理和等腰三角形的性质即可得到结论； （2）连接，求出，可得是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据弧长公式即可得到结论． 【规范解答】（1）解：设圆的圆心为O，如图，连接， ∵是圆O的直径， ∴， 又∵， ∴， ∵弧的度数为， ， ， ∵，即， ∴， ∵， ； （2）解：连接， ∵点D、E是半圆弧的三等分点， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ， ∴， 弧的长为 ． 考点讲练2：求弧长 【精讲题】（23-24九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，点在上，是的切线，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是∶ （1）利用圆周角定理，切线的性质可得出，，利用余角的性质可得出，利用等边对等角可得出，然后等量代换即可得证； （2）利用三角形外角的性质求出的度数，然后利用弧长公式求解即可． 【规范解答】（1）证明∶∵是的直径， ∴，即， ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三练1】．（22-23九年级上·广东湛江·期中）如图，是的切线，A、B为切点，若，，则弧长    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了切线的性质以及弧长公式．注意求得的度数，熟记弧长公式是关键．由、是的切线，，即可求得的度数，然后由弧长公式求得答案． 【规范解答】解：、是的切线， ，， ， ， ， 的长为：． 故选：B 【举一反三练2】（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，是两条弦，的半径长为，弧的长度为，弧的长度为，当时，求证． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了弧长的计算，三角形全等的判定和性质，根据弧长公式求得，然后利用证得，即可证得结论． 【规范解答】解：设， 由题意，得 ，， ∵， ∴， ∴，即， ∵都是的半径， ∴， ∵， ∴ ∴． 【举一反三练3】（2024·安徽六安·三模）如图，四边形是边长为4的正方形，以边为直径作，点E在边上，连接交于点F，连接并延长交于点G．    (1)求证：； (2)若，求劣弧的长．(结果保留) 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据四边形是正方形，为直径，得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据三角形的内角和得到，根据圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是正方形，为的直径， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：连接，    ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是边长为4的正方形 ∴ ∴的长度为． 【考点评析】本题考查了弧长的计算，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 考点讲练3：求扇形半径 【精讲题】（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了阴影组合图形的面积．解决问题的关键是熟练掌握半圆的三等分点的性质，等边三角形的判断和性质，弧长公式，扇形面积公式，同底等高的两个三角形面积相等． 连接、和，根据C，D是以为直径的半圆的三等分点，可得，推出是等边三角形，推出，得到，根据同底等高的两个三角形面积相等，可将阴影部分的面积转化为扇形的面积，求解即可． 【规范解答】连接、、．设半圆的半径为r， ∵C，D是以为直径的半圆的三等分点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵弧的长为， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【举一反三练1】（22-23九年级上·湖北武汉·期中）如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【思路点拨】取圆心，连接，，，，根据圆周角定理得，设半径为米，则米，在中，根据勾股定理得，解得，圆弧所在圆的半径米． 【规范解答】解：如图，取圆心，连接 ， ， ， 设半径为米，则米， 在中，根据勾股定理得， ， 即， 解得， 圆弧所在圆的半径米． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【举一反三练2】（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，半圆的直径为，点为半圆的三等分点，点为直径上任意一点，若阴影部分的面积为，则半圆的半径为 ． 【答案】5 【思路点拨】连接，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形的面积，然后计算半径即可． 【规范解答】解：连接，如图所示， 和同底等高， ， 点为半圆的三等分点， ， 阴影部分的面积＝， ， 解得：， 故答案为：5． 【考点评析】本题主要考查了扇形面积求法，利用已知得出阴影部分的面积等于扇形的面积是解题的关键． 【举一反三练3】（22-23九年级上·江苏扬州·期中）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为 【答案】 【思路点拨】设的长为，根据扇形的弧长和半径最大的圆周长相等列出方程，解方程即可得解． 【规范解答】解：设的长为， ，，， ， 则扇形的弧长为：，半径最大的圆周长为：， 恰好能作为一个圆锥的侧面和底面， ， 解方程得， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了圆锥、矩形的性质，解题关键在于理解圆锥的侧面展开图与圆锥底面圆之间的关系，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 考点讲练4：求圆心角 【精讲题】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是正六边形的外接圆，半径是6，则的长是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆心角和弧的度数，由正六边形，得到，便可得是等边三角形，即可求解，掌握基础知识是解题的关键． 【规范解答】解：由正六边形， ∴， 又∵是的半径， ∴， ∴是等边三角形， ∵的半径是6， ∴， 故答案为：． 【举一反三练1】（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，长为半径作圆，交轴正半轴于点，点D为上一动点，连接，以为边，在直线的上方作正方形，点从点出发，按顺时针方向以每秒个单位长度的速度在上运动，则第2022秒结束时点的坐标为    【答案】 【思路点拨】先根据点的运动速度求出第2022秒结束时点的位置，再画出图形（见解析），证出，利用全等三角形的性质求出，的长，由此即可得． 【规范解答】解：∵，， ， 的周长为， （秒），， 第2022秒结束时和第6秒结束时，点的位置相同， ， 第6秒结束时，点在轴下方的圆弧上，且， 如图，过点作轴于点，连接，则，    设，则， 解得， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即第2022秒结束时点的坐标为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了点坐标的规律探索、正方形的性质、弧长的计算、三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是正确判断出第2022秒结束时点的位置． 【举一反三练2】（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，与相切于点A，交于点C，，的长为，求的长． 【答案】 【思路点拨】本题根据切线的性质得出，再利用弧长公式求出，推出，得到，结合勾股定理求得，根据即可求得． 【规范解答】解：连接， 与相切于点A， ，即． 设， ，的长为， ． 解得，即． ． ．   ．   在中，， ． 【考点评析】本题考查了切线的性质、弧长公式、三角形内角和定理、等腰三角形性质、勾股定理，熟练掌握相关性质即可解题． 【举一反三练3】．（2023·福建福州·三模）如图，已知的半径为2，是的直径，点是延长线上一点．以为边作，使得，，与的交点为，连接，．    (1)判断直线和位置关系； (2)若的长为，，延长交于点，求证：． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）由题意可证，可知，进而可得直线与相切； （2）由的长为，求得，可得，根据，，即，由，可得，进而，即可证明． 【规范解答】（1）解：直线与相切，理由如下，    ∵的半径为2，是的直径，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 则， ∵为与的交点，即点在上， ∴， ∴直线与相切； （2）∵的长为，即：， ∴， ∵， ∴， ∵，   ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查切线的证明，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 考点讲练5：求某点的弧形运动路径长度 【精讲题】（22-23九年级上·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，将绕点顺时针方向旋转后得到． (1)在图中画出； (2)写出点和点的坐标； (3)求出点旋转到点经过的路径的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】（1）根据，设点和点，利用中点坐标公式，计算出点和点，再描点，画图即可． （2）根据（1）的解答，直接写出答案即可． （3）利用勾股定理，弧长公式解答即可． 本题考查了中心对称的特点和画图，勾股定理，弧长公式的应用，熟练掌握作图和公式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵，设点和点， ∴， 解得 故点和点，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据（1）的解答，得点和点． （3）解：∵， ∴， 圆心角为， ∴点旋转到点经过的路径的长度为． 【举一反三练1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点P，从点P作于点H，设的三个内角平分线交于点M，当点P在弧上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了弧长的计算公式：，其中表示弧长，表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质．如图，连接，由的内心为M，可得到，并且易证，得到，所以点M在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；过、M、三点作，如图，连，，在优弧取点，连接，，可得，得，，然后利用弧长公式计算弧的长即可． 【规范解答】解：如图，连接， 的内心为M， ，， ， ∵， ∴， ， 又，为公共边， 而， ， ， 所以点M在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上； 过、M、三点作，如图，连接，，在优弧取点，连接，， ， ， ， ∵， ， 弧的长， 所以内心M所经过的路径长为． 故选：B． 【举一反三练2】（23-24九年级下·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，，若绕点逆时针旋转后，得到（对应点是对应点是）． (1)画出； (2)求旋转过程中点的运动路径长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查旋转性质作图及求点旋转后形成的弧长，熟练掌握旋转性质，熟记弧长公式是解决问题的关键． （1）根据旋转性质作出图形即可； （2）利用弧长公式求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解： 旋转过程中点的运动路径长为． 【举一反三练3】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)请画出 ，使 与 关于 轴对称； (2)将 绕点 逆时针旋转 ，画出旋转后得到的 ，并直接写出点，的坐标； (3)求点 旋转到 所经过的路线的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3) 【思路点拨】（1）根据关于 轴对称的点的特征，找出点、、关于轴的对称点的坐标，然后顺次连接即可； （2）分别找出点、、绕点逆时针旋转的对应点、、的位置，然后顺次连接即可， （3）观察可知点所经过的路线是半径为，圆心角是的弧长，然后根据弧长公式进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求， ； （3）解：点旋转到点所经过的路线是半径为，圆心角是的弧长， 点旋转到点所经过的路径长为：． 故点旋转到点所经过的路径长是． 考点讲练6：求扇形面积 【精讲题】（23-24九年级上·吉林四平·阶段练习）如图，为的直径，点是上方上异于的点，点是的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积公式、扇形的面积公式等． （1）连接，由，得，而得到，由平行线的性质可得，从而即可得证； （2）由圆周角定理可得，由勾股定理可得，从而得到，再由进行计算即可． 【规范解答】（1）证明：连接， ，点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线； （2）解：为的直径， ， ，， ， ， 由（1）得， ， 图中阴影部分的面积是． 【举一反三练1】（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题考查了勾股定理、扇形面积公式、等腰直角三角形的判定和性质等知识，根据阴影部分的面积进行解答即可． 【规范解答】∵， ∴， 同理， 由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积 故选：C． 【举一反三练2】（23-24九年级上·贵州遵义·期末）如图，为的直径，为上一点，过点的直线与的延长线交于点，点在直线上，连接，．有下列条件：①；②平分；③为的切线， (1)请从以上①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)选择①；②平分作条件；结论：③为的切线，证明见解析； (2) 【思路点拨】（1）先选择①②作为条件，③作为结论，再证明，结合切线的判定方法可得结论； （2）由，再分别计算三角形面积与扇形面积即可． 【规范解答】（1）选择①；②平分作条件；结论：③为的切线， 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的直径． （2）∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ． 【考点评析】本题考查的是平行线的判定，等腰三角形的性质，圆的切线的判定，勾股定理的应用，求解扇形的面积，掌握切线的判定方法是解本题的关键． 【举一反三练3】．（2024·陕西西安·一模）在源远流长的岁月中，扇子除日用外，还孕育着中华文化艺术的智慧，凝聚了古今工艺美术之精华．将如图①所示的扇子完全打开后可近似看成如图②所示的几何图形，外侧两根竹条、的夹角，点为和所在圆的圆心，点、分别在、上，经测量，，，则贴纸部分（即图②中阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了扇形面积的计算，解题关键是熟练掌握扇形的面积公式． 先根据已知条件求出，然后根据阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积，进行计算即可． 【规范解答】解：由题意可知：， ，， ， 阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积 ， 贴纸部分（即图②中阴影部分）的面积为， 故选：C． 考点讲练7：求图形旋转后扫过的面积 【精讲题】（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，在边长为12的等边中，点E在边上自A向C运动点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接，交于P，连接，在运动过程中，线段扫过的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解直角三角形，动点P的运动轨迹等知识，如图，过点A作于A，作于B，连接，交于D，证明，得，再证明，可得，确定点P的运动路径是以点O为圆心，以为半径的弧，利用面积差可得线段扫过的面积，确定点P的运动轨迹是解本题的关键． 【规范解答】过点A作于A，作于B，两线交于点O，连接，交于D， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线，， 在中，， ∴， ∴， ∵点E在边上自A向C运动，点F在边上自C向B运动，且运动速度相同， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P的运动路径是以点O为圆心，以为半径的弧， ∴线段扫过的面积 ， 故答案为：． 【举一反三练1】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图所示，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到．若，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 （结果保留π）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积是：是关键； 分别求得∶扇形的面积、以及的面积，即可求解． 【规范解答】，，， ， 的面积是： ， 在中， ，， ， ， 则阴影部分的面积是：， ， ， ． 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）在中，在边上，，将线段绕着点逆时针旋转得到，且，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求旋转到的过程中，线段所扫过的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路点拨】（1）由可得，根据证明，即可得． （2）在中，先求出，由可得，旋转到的过程中，线段所扫过的图形是一个扇形，根据扇形的面积公式，计算出扇形的面积即可． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质，以及扇形的面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【规范解答】（1）∵将线段绕着点逆时针旋转得到， 即 又 （2）∵中， 旋转到的过程中，线段所扫过的图形是一个扇形, , ∴线段所扫过的面积为． 【举一反三练3】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，已知，，是直角坐标系平面上三点． (1)画出绕点C顺时针旋转后的 (2)求出A点旋转到点所经过的路径长和线段所扫过的图形面积（结果保留根号和）． 【答案】(1)见解析 (2)A点旋转到点所经过的路径长为，线段所扫过的图形面积为 【思路点拨】本题主要考查了作图，旋转的变换，坐标两点的距离公式，旋转的性质，扇形的面积公式，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据旋转的性质，得到绕点C顺时针旋转后的即可； （2）根据坐标两点的距离公式，求得的长即可，由旋转的性质可知，，再利用扇形面积公式，即可求出线段所扫过的图形面积． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：，， ，， 由旋转的性质可知，， ， A点旋转到点所经过的路径是以为圆心角，以为半径的圆弧，则线段所扫过的图形面积是圆心角为，半径为的扇形， 线段所扫过的图形面积是，A点旋转到点所经过的路径是， 故A点旋转到点所经过的路径长为，线段所扫过的图形面积是． 考点讲练8：求弓形面积 【精讲题】（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是的内接三角形，，，D 为延长线上一点，． (1)求证：是的切线； (2)如果的半径为 4，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】 本题考查切线的判定和求弓形的面积： （1）圆周角定理结合等边对等角，求出，进而得到，即可得证； （2）连接，过点作，用扇形的面积减去三角形的面积求出阴影部分的面积即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴的度数为， ∴优弧的度数为：， ∴优弧所对的圆心角的度数为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）连接，过点作， 则：， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【举一反三练1】（2024·江苏盐城·三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按上述公式计算出弧田的面积为 平方米．    【答案】10 【思路点拨】由垂径定理知，再由勾股定理得到，求得，然后由弧田面积公式即可得出结果． 本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理解直角三角形，新定义——弧田面积公式，是解答本题的关键． 【规范解答】由题意得：于点D， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴弧田面积， ∴弧田的面积为10平方米． 故答案为：10． 【举一反三练2】．（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）如图，是的直径，C、D是上的两点，过点D作，交的延长线于点E，且与相切，的延长线与交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若．求弦与所围成的图形（阴影部分）的面积（结果保留根号和）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了切线的性质，矩形的判定，扇形面积公式，圆周角定理． （1）根据切线的性质，直径所对的圆周角为直角，即可证明四边形三个角为直角，即可解答； （2）连接，证明为等边三角形，可得，再利用勾股定理求得的长，利用扇形面积公式，即可解答． 【规范解答】（1）证明：与相切， ， ， 是的直径， ， ， ， 四边形是矩形； （2）解：如图，连接， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 在中， ，， ，， ， ． 【举一反三练3】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图．在中．弦垂直于半径．垂足为E．D是优弧上一点．连接、、，．    (1)求的度教； (2)若弦．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）首先根据垂径定理得到，，然后利用圆周角定理求解即可； （2）连接，首先根据垂径定理得到，然后求出，设，则，根据勾股定理求出，，然后利用代数求解即可． 【规范解答】（1）如图所示，连接，    ∵， ∴，， 又∵， ∴； （2）∵，，   ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得（负值舍去）， ∴，， ∴． 【考点评析】此题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，求弓形阴影面积，解题的关键是正确出辅助线． 考点讲练9：求其他不规则图形面积 【精讲题】（24-25七年级上·全国·假期作业）求阴影部分的面积，如图，正方形的边长是厘米，是正方形各边上的中点，请计算四个扇形的弧围成的阴影部分面积． 【答案】平方厘米 【思路点拨】本题考查了求不规则图形的面积，利用割补法把箭头所示阴影部分转移到空白部分，即可得阴影部分的面积正方形的面积个等腰直角三角形的面积，据此即可求解，掌握割补法是解题的关键． 【规范解答】解：如图所示，利用割补法把箭头所示阴影部分转移到空白部分，则阴影部分的面积正方形的面积个等腰直角三角形的面积， ∴阴影部分的面积为平方厘米， 答：四个扇形的弧围成的阴影部分面积是平方厘米． 【举一反三练1】（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）如图，在中，．现将绕点A逆时针旋转得到，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，解题的关键是找出．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出阴影部分的面积等于扇形的面积是关键．根据旋转的性质可知，由此可得，根据扇形面积公式即可得出结论． 【规范解答】解：∵ ∴． 故答案为：． 【举一反三练2】（2024·湖北孝感·模拟预测）四边形内接于是延长线上一点，． (1)求证：是的切线： (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）连接并延长交于点，连接，则，由，可得，根据直径所对的圆周角是直角可推出，进而得到，即可求解； （2）由（1）可得，结合，可得，，，再根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【规范解答】（1）证明：如图，连接并延长交于点，连接，则． 是的直径， ， ， ， 即， 又是半径 是的切线； （2）解： ． 【考点评析】本题考查圆的综合应用，涉及圆周角定理、切线性质、扇形面积的计算，熟练掌握圆周角定理、切线性质是解题的关键． 【举一反三练3】（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，正方形中，扇形与扇形的弧交于点，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【思路点拨】本题考查了正方形的性质，扇形面积的求法，仔细观察图形，利用图形是解题的关键． 根据阴影部分面积扇形扇形,根据圆的性质，证明为等边三角形，即可得出的度数，即可解答． 【规范解答】解：扇形与扇形的弧交于点， 为等边三角形， ， 四边形为正方形，， ，, ． 故答案为： 中等题真题汇编练 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式：．据此计算即可． 【规范解答】解：由题意得：， ∴扇形的面积为． 故选：D． 2．（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，是圆O的直径，弦，，，则（　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题考查了垂径定理、扇形面积的计算，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．根据垂径定理得出，证明，得出，根据求出结果即可． 【规范解答】解：如图，设线段，交于点E， ∵是的直径，弦， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故选：C． 3．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）如图，是的直径，弦，垂足为点，，，则图中阴影部分面积等于（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，圆周角定理，连接．证明，推出即可解决问题． 【规范解答】解：连接． ， ，， ， ， ， ， ，都是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故选：A． 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，的半径为2，四边形是圆内接四边形，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理和弧长公式，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理和弧长公式是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理得，再代入弧长公式计算即可． 【规范解答】解：， ， ， 的长为：． 故选：C． 5．（2024·甘肃·中考真题）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是 ．（结果用π表示） 【答案】 【思路点拨】根据扇形面积公式计算即可．本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 【规范解答】∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积是 故答案为：． 6．（20-21九年级上·河南·期中）如图，在扇形中，，点为半径的中点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，点为弧的中点，连接、．若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】如图，连接，，，交于．证明，求出四边形的面积即可解决问题．本题考查扇形的面积，四边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【规范解答】解：如图，连接，，，交于． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（2024·青海果洛·二模）如图，，，两两不相交且半径都是3，则图中三个阴影扇形的弧长之和为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理，弧长公式；根据三角形的内角和是180°，以及弧长公式进行计算． 【规范解答】解：， ∴三个阴影扇形的弧长之和为． 故答案为：． 8．（2024·云南昆明·一模）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是 ．    【答案】4 【思路点拨】本题主要考查扇形弧长计算，利用圆的周长就是扇形的弧长，根据弧长的计算公式即可求得半径的长． 【规范解答】解：设扇形的半径是， 则， 解得：， 扇形的半径是4． 故答案为：4． 9．（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，以边为直径的与边分别交于点D、E．求的长． 【答案】的长为 【思路点拨】本题考查圆周角定理，三线合一，求弧长，连接，根据圆周角定理和三线合一，推出，进而利用弧长公式进行求解即可． 【规范解答】解：连接，则． 是直径， ，即． ， ． ， ． ， ． 的长． 10．（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）如图，在中，是直径，点C是圆上一点，在的延长线上取一点D，连接，使．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）连接，得到，圆周角定理得到，得到，进而得到，即可； （2）根据，得到，进而得到，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，求出半径的长，根据弧长公式进行求解即可． 【规范解答】（1）证明：连接，则：，    ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 【考点评析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，弧长公式，等边对等角，含30度角的直角三角形．熟练掌握相关知识点，灵活运用，是解题的关键． 11．（23-24九年级上·河南焦作·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)请画出绕点O逆时针旋转90°后得到的，并写出点的坐标． (2)在（1）的条件下，求点B旋转到所经过的路径长（结果保留） (3)请画出关于点成中心对称的图形． 【答案】(1)图见解析， (2) (3)图见解析 【思路点拨】此题考查了作图——旋转变换，弧长公式， （）利用网格特点和旋转的性质画出点、、的对应点、、，即可画出图形； （）先计算出的长，然后根据弧长公式计算点B旋转到点所经过的路径长； （）利用网格特点和中心对称的性质画出点、、的对应点，即可画出图形． 【规范解答】（1）解：如图所示，    点的坐标为； （2）解：， ∴点B旋转到所经过的路径长为； （3）解：如图所示．    12．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，交于点E． (1)若点E是弧中点，求的长． (2)若，求弧的长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查圆周角定理，弧长的计算，等腰三角形的性质： （1）连接，，由圆周角定理可得，再根据勾股定理计算即可； （2）由等腰三角形的性质推出，得到，由平行线的性质推出，进而可得，再根据弧长公式计算即可． 【规范解答】（1）解：如图，连接，， 为直径，点E是弧中点， ， ， ； （2）解：， ， |， ， ， ， ， ， ， ， 弧的长． 培优题真题汇编练 13．（2024·辽宁铁岭·三模）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径作弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”，若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形的边长为（   ）    A．1 B． C． D．2 【答案】A 【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，熟练掌握等边三角形的性质和扇形面积公式是解题的关键．过点作于点，设等边三角形的边长为，求出等边的面积为，根据“莱洛三角形”的面积为列方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：过点作于点，设等边三角形的边长为，    ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴等边的面积为， ∴， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴等边三角形的边长为， 故选：A． 14．（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【规范解答】解：设该扇面所在圆的半径为， ， ∴， ∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为， ∴， ∴， ∴是的正比例函数， ∵， ∴它的图像是过原点的一条射线． 故选：C． 15．（2024·安徽合肥·三模）如图，的顶点，落在上，经过圆心，与相交于点，已知，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】连接，有圆周角定理得出，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，由三角形外角的定义及性质得出，证明是等边三角形，得出，最后再由弧长公式计算即可得出答案． 【规范解答】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为：． 故选：B． 【考点评析】本题考查了圆周角定理、弧长公式、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 16．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，点A，B是半径为2的上的两点，且．下列说法错误的是（    ） A．圆心O到的距离为1 B．在圆上取异于A，B的一点C，则面积的最大值为 C．以为边向上作矩形，交于点P，Q，则扇形的面积为π D．取弦的中点D，当绕点O旋转一周时，点D运动的路线长为 【答案】C 【思路点拨】过点O作于点H，连接，由垂径定理，勾股定理求出；延长交圆于C，可得，即可求出的最大面积为；以为边向上作矩形，由勾股定理求出，判定为等边三角形，求出，即得扇形的面积为；当绕点O旋转一周时，点D运动的路线是以O为圆心半径是1的圆，即可求出D运动的路线长为．于是可以得到答案． 本题主要考查了垂径定理，勾股定理，三角形面积，等边三角形，扇形面积．熟练掌握垂径定理，勾股定理解直角三角形，三角形面积的计算，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，是解题的关键． 【规范解答】 如图1，过点O作于点H，连接， 则． 在中，由勾股定理得，， ∴圆心O到的距离为1， 故选项A正确； 如图1，延长交于点C， 此时的面积最大． ∵， ∴， ∴面积的最大值为， 故选项B正确； 如图2，连接，． ∵四边形是矩形， ∴， ∴，是的直径， ∴． 在中，由勾股定理得，． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选项C错误； 连接，，． 则， ∵点D是弦的中点， ∴， ∴， ∴当绕点O旋转一周时， 点D运动的路线是以O为圆心，半径长是1的圆， ∴点D运动的路线长为，， 故选项D正确． 故选：C． 17．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）如图，3个相同的圆两两相切，如果圆的半径为2，则中间围成的面积为（图中阴影部分的面积） ．（结果保留）． 【答案】 【思路点拨】此题考查了求不规则图形的面积，设3个相同的圆的圆心分别为A、B、C，分别连接，由题意可得，则是等边三角形，得到，利用等边三角形的面积减去三个扇形的面积即可得到答案． 【规范解答】解：如图，设3个相同的圆的圆心分别为A、B、C，分别连接， ∵3个相同的圆两两相切，圆的半径为2， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴中间围成的面积为（图中阴影部分的面积）， 故答案为： 18．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，，，，以为直径的交于点，则的长为 （结果保留）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，直角三角形性质，勾股定理，弧长公式，连接，由圆周角定理可得，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，进而得到圆的半径，代入弧长公式计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【规范解答】解：连接，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴的长， 故答案为：． 19．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，一张直径为的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，连接 ，则 ；图中阴影部分面积的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】如图1，设圆心为，连接，则，由圆周角定理可得，由勾股定理得，，计算求解即可；设到的距离为，由题意知，，则当最大时，最小，当时，最大，如图1，作于，由垂径定理可得，由勾股定理得，，则，然后求阴影部分面积即可． 【规范解答】解：如图1，设圆心为，连接，则， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 设到的距离为， 由题意知， ， 当最大时，最小， ∴当时，最大，如图1，作于， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【考点评析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形面积，垂径定理等知识．熟练掌握圆周角定理，勾股定理，扇形面积，垂径定理是解题的关键． 20．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，为的直径，是的弦，且，， ，图中阴影部分的面积为，则 ．      【答案】 【思路点拨】本题考查不规则图形的面积，连接，根据可得，可把图中阴影图形的面积转化成一个半圆的面积，进而用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：如图，连接，    ∵， ∴， 即图中阴影部分①的面积与扇形的面积相等，图1中阴影部分②的面积与扇形的面积相等， ∵图1中，圆O的面积为，而图1中阴影部分的面积为 ∴图1中阴影部分的面积占圆面积的一半， 如图2，扇形的面积与图1中阴影部分①的面积相等，扇形的面积与图1中阴影部分②的面积相等， ∵为的直径， ∴， 在图2中，中，， 即， 故答案为：． 21．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点B按顺时针方向旋转后得到． (1)画出，写出点的坐标； (2)计算线段扫过的面积． 【答案】(1)作图见解析，的坐标为； (2)． 【思路点拨】本题主要考查了网格旋转作图．熟练掌握旋转性质，扇形面积计算公式，是解决问题的关键． （1）将，绕点B顺时针旋转，得到，，连接，即得；根据得到，，得到 （2）先求出，，然后利用扇形面积公式进行计算即可． 【规范解答】（1）将线段，绕点B顺时针旋转，得到线段，，连接，得到，即为所求作；； （2）∵，， ∴， 故线段扫过的面积为． 22．（24-25七年级上·全国·假期作业）求下图阴影部分的面积．（单位：米．） 【答案】6平方米 【规范解答】本题考查了圆的面积，观察图形可知，阴影部分面积直径是3米的圆的面积一半直径是4米的圆的面积一半底是3米，高是4米的三角形面积直径是5米的圆的面积一半，根据圆的面积公式，三角形面积公式，代入数据，即可解答． 【思路点拨】解：阴影部分面积为：（平方米）． 23．（21-22九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．请完成如下操作： (1)若O为坐标原点，点A坐标，D为圆弧所在圆的圆心，结合所给网格，则D的坐标 ； (2)直接写出的半径= ； (3)连接，取的中点M，顺次连接M、B、C，将绕点M逆时针旋转90°； (4)求出点C在（3）中旋转的路径长． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【思路点拨】（1）以O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，根据垂径定理即可作线段、的垂直平分线，其交点即为圆心，根据图形即可直接得出点D坐标； （2）根据勾股定理求解即可； （3）根据题意画出图形即可； （4）根据旋转可得出圆心角大小，根据勾股定理可求出半径，最后根据弧长公式求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，以O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，连接、，再作出线段、的垂直平分线，其交点即为圆心D， 由图可知D的坐标为． 故答案为：； （2）解：如图，连接，即长为的半径， ∵，， ∴，， ∴，即的半径为． 故答案为：； （3）解：如图，即为所作图形； （4）解：由题意可知，， ∴点C在（3）中旋转的路径长为． 【考点评析】本题考查垂径定理，线段垂直平分线的性质，坐标与图形，勾股定理，旋转的性质，弧长公式．利用数形结合的思想是解题关键． 24．（23-24九年级上·河北承德·期末）如图1，在矩形中，，，把绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，交矩形边于点，连接． (1)求证：； (2)①当、、共线时，则 ； ②当、、共线时，则 ； (3)若点到直线的距离为，求点所经过的路径长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【思路点拨】（1）由旋转得，由，根据等腰三角形的“三线合一”得，而，即可根据“”证明． （2）①当、、共线时，由勾股定理得，由旋转得，可求得，，于是得，求得，于是得到问题的答案． ②当、、共线时，由，得，由全等三角形的性质得，所以，则，于是得到问题的答案． （3）取的中点，作交于点，则，，所以当点落在上时，点到直线的距离为，此时，则，可知点在以点为圆心，以长为半径的圆上从点运动到点，由弧长公式求得，则点所经过的路径长为． 【规范解答】（1）证明：由旋转得， 于点，交矩形的边于点， ， 在和中， ， ； （2）解：①当、、共线时，如图1， 四边形是矩形，，， ， ， 由旋转得， ， ，， ，， ， ， 解得， 故答案为：； ②当、、共线时，如图2， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图3，取的中点，作交于点，则， ， ， ，且， 两条平行线与之间的距离为， 直线上的点到直线的距离为， 当点落在上时，点到直线的距离为， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， 点在以点为圆心，以长为半径的圆上从点运动到点， ， 点所经过的路径长为． 【考点评析】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、两条平行线之间的距离处处相等、等边三角形的判定与性质、弧长公式等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$