2.6 正多边形与圆（知识精讲+易错点拨+四大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学九年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第2章《对称图形—圆》】 2.6 正多边形与圆 （知识精讲+易错点拨+四大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：求正多边形的中心角 4 考点讲练2：已知正多边形的中心角求边数 5 考点讲练3：正多边形和圆的综合 7 考点讲练4：尺规作图—正多边形 8 中等题真题汇编练 10 培优题真题汇编练 15 新知精讲梳理 知识点01：正多边形与圆的关系 内接关系： 定义：若一个正多边形的所有顶点都在同一个圆上，则称这个正多边形是这个圆的内接正多边形，而这个圆则是这个正多边形的外接圆。 构造方法：把一个圆的圆周分成n（n是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形即为这个圆的内接正n边形。 外接关系： 定义：正多边形的外接圆是通过正多边形的所有顶点的圆。 性质：外接圆的圆心（也称为正多边形的中心）到正多边形各边的距离（称为边心距）相等。 知识点02：正多边形的性质 基本定义： 正多边形是各边相等、各角也相等的多边形。例如，正六边形表示它有六条边且每条边都相等，六个角也都相等。 对称性： 轴对称性：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正多边形的中心。 中心对称性：当正多边形的边数为偶数时，它也是中心对称图形，对称中心就是正多边形的中心。 中心角： 定义：正多边形每一条边所对的圆心角称为正多边形的中心角。 计算公式：对于正n边形，其中心角的度数为 半径与边心距 外接圆半径（正多边形的半径）：外接圆的半径称为正多边形的半径。 边心距：中心到正多边形一边的垂直距离称为边心距。 面积与周长： 面积：正多边形的面积可以通过将其划分为多个三角形或利用其他几何公式来计算。 周长：正多边形的周长是其所有边长的总和，即n×a（其中n是边数，a是边长）。 知识点03：正多边形与圆的应用 内接圆与外切圆： 正多边形不仅有外接圆，还可以有内切圆（即所有边都与圆相切的圆）。 内切圆的圆心也称为正多边形的内心，内心到正多边形各边的距离（即内切圆的半径）也相等。 综合应用： 正多边形与圆的关系在几何证明、计算以及实际应用中都有广泛的应用。例如，在建筑、艺术、工程等领域，经常需要利用正多边形与圆的性质来设计图案、计算尺寸等。 高频易错知识点拨 易错知识点01：正多边形与圆的关系 易错点：混淆内接和外接 错误理解：学生可能混淆正多边形是圆的内接多边形还是外接多边形，或者不清楚如何根据给定条件确定是正多边形内接于圆还是圆外接于正多边形。 正确理解：正多边形内接于圆意味着正多边形的所有顶点都在圆上；而圆外接于正多边形则意味着圆通过正多边形的所有顶点。两者是相对的，但都是描述正多边形与圆之间位置关系的重要概念。 易错知识点02：正多边形的性质 易错点：中心角与边数的关系 错误理解：学生可能忘记或错误计算正多边形的中心角，特别是在涉及具体边数时。 正确理解：正多边形的中心角是其每一条边所对的圆心角，计算公式为，其中 n为正多边形的边数。掌握这个公式对于解决与正多边形中心角相关的问题至关重要。 易错点：轴对称与中心对称的混淆 错误理解：学生可能不清楚正多边形何时是轴对称的，何时是中心对称的，或者将两者混淆。 正确理解：所有正多边形都是轴对称的，对称轴数量等于边数。然而，只有当边数为偶数时，正多边形才是中心对称的。中心对称意味着图形可以围绕某一点旋转180度后与原图形重合，而这一点就是正多边形的中心。 易错知识点03：正多边形与圆的应用 易错点：内切圆与外接圆的半径计算 错误理解：学生可能在计算正多边形内切圆或外接圆的半径时出错，尤其是在涉及具体边长或角度时。 正确理解：内切圆的半径可以通过正多边形的边心距来计算，而外接圆的半径则是正多边形的半径。掌握这些基本概念和计算方法对于解决实际应用问题非常重要。 易错点：面积与周长的计算 错误理解：学生可能在计算正多边形的面积或周长时出错，特别是在没有直接给出边长或角度时。 正确理解：正多边形的面积可以通过将其划分为多个三角形或使用特定公式来计算。周长则是所有边长的总和。在计算过程中，需要注意使用正确的公式和单位。 易错知识点04：综合应用中的易错点 易错点：综合题型的解题策略 错误理解：学生在面对涉及正多边形与圆的综合题型时，可能缺乏清晰的解题思路和策略。 正确理解：解决这类问题通常需要综合运用正多边形与圆的性质、定理和公式。学生应该首先明确题目要求，然后分析题目中的条件和已知信息，最后选择合适的解题方法和步骤进行求解。在解题过程中，需要注意细节和精度，以避免因粗心或计算错误而导致失分。 考点讲练1：求正多边形的中心角 【精讲题】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，正五边形内接于，连接，，则（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24九年级下·安徽淮北·阶段练习）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形的中心，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，正五边形内接于，与相切于点D，连接并延长，交于点P，则的度数是 ． 【举一反三练3】（22-23九年级下·吉林长春·期中）如图①，在中，为边上的中线，以点为顶点的直角绕点旋转，两边分别与交于点，连接．        (1)求证：； (2)若，则面积的最小值为_______； (3)拓展应用：如图②，点是半径为2的正十二边形的中心，点在此正十二边形的边上，连接，若，则阴影部分面积为______． 考点讲练2：已知正多边形的中心角求边数 【精讲题】（23-24九年级上·山西大同·期末）如图，在正六边形中，以点O为原点建立平面直角坐标系，边落在x轴上.若点A的坐标为，则点B的坐标为 ．    【举一反三练1】（22-23九年级上·北京密云·期末）如图，多边形是的内接正n边形，已知的半径为r，的度数为，点O到的距离为d，的面积为S．下面三个推断中． ①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足的函数关系是反比例函数关系； ②若为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系； ③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【举一反三练2】（21-22九年级上·山东济南·期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【举一反三练3】（20-21九年级上·安徽安庆·期末）如图，在的内接四边形中，，点E在弧上，连接、、、． （1）的度数为 ． （2）当时，恰好为的内接正n边形的一边，则n的值为 ． 考点讲练3：正多边形和圆的综合 【精讲题】（2024·河北石家庄·三模）将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙地按如图所示摆放． （1） ； （2）已知点在边上，则的最大值为 ． 【举一反三练1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，正六边形的边，与相切于点，，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24九年级上·广东湛江·期末）一个正方形的边长为，则它的内切圆的面积为（ ） A． B． C． D． 【举一反三练3】（23-24九年级上·广东汕头·期中）【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数． 【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题： （1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）． ②原题中 ． 【深入思考】： （2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明． （3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）． （4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．    考点讲练4：尺规作图—正多边形 【精讲题】（2022·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【举一反三练1】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，由小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中过点作的切线； (2)在图1中画出一个圆内接正方形； (3)在图2中的圆上画出线段的中点； (4)在图3中作一个的圆周角． 【举一反三练2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上 (1)请在图中标出的外接圆的圆心的位置，并填写圆心的坐标：______． (2)尺规作图：画出，并作它的一个内接三角形，要求该三角形为等边三角形． 【举一反三练3】（2020九年级下·山东青岛·学业考试）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：⊙O，点A在圆上． 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 中等题真题汇编练 1．（2024·四川成都·三模）半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，恰好拼成一个菱形，若拼成的菱形的面积为2，则原正六边形纸片的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（2024·山西大同·三模）如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 4．（23-24九年级上·河南郑州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，点O是正八边形的中心，连接、，则 ． 6．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则 ．    7．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若正六边形半径为5，则这个正六边形的周长是 ． 8．（18-19九年级上·全国·阶段练习）如图，正六边形中，对角线与相交于点，则 度． 9．（23-24九年级上·陕西安康·阶段练习）如图，有一个直径为的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边长是 ． 10．（20-21九年级上·四川成都·期末）如图，正五边形内接于，连接，，则 .    11．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，点A是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)画出的内接正． (2)在上画出、两点，使得．（画一种即可） 12．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 13．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若，则点E到的距离为 ． 14．（23-24九年级上·江西上饶·阶段练习）如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），求的大小．    培优题真题汇编练 15．（22-23九年级上·广东湛江·期末）已知正六边形的边长为4，则这个正六边形的半径为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 16．（2024·河北张家口·三模）如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论： ①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是；③． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 17．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是等边的外接圆，点D是弧上一动点（不与A，C重合），下列结论：①；②当最长时，；③；④当，时，；⑤当时，四边形最大面积是．其中一定正确的结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 18．（2024·云南昆明·三模）如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，如果这个正六边形的周长是，则这个正六边形的外接圆半径是（    ）    A． B． C． D． 19．（2024·江苏南京·三模）如图，表示中去掉内接正三角形部分的面积，表示中去掉内接正六边形部分的面积，和的半径均为，则 ．（填“、或”） 20．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，正八边形中，连接，交于点，则的值为 ． 21．（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边与轴正半轴重合，顶点在轴正半轴上，，将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2023次旋转后，顶点的坐标为 ． 22．（2023·浙江温州·三模）图1是由两个正六边形组成的壁挂置物架，轴对称仙人堂盆栽放置在木板上，图2是其示意图．两个正六边形的边与，与均在同一直线上．木板（木板厚度忽略不计），，则的长为 ．盆栽由矩形和圆弧组成，且，，恰好在同一直线上，已知，圆弧最高点到的距离与线段的长度之比为，则圆弧的半径为 ． 23．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知正六边形的半径是，求正六边形的边长和面积． 24．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）如图，小吴同学在陶艺课中为八角花盆制作“圆形托盘”，已知八角花盆底部截面是一个正八边形（如图），请根据下列信息解决问题． (1)求八角花盆底部截面正八边形一个内角的度数； (2)若八角花盆底部截面正八边形的边长是，小吴同学制作的圆形托盘半径是，问：这个托盘是否适用于此八角花盆？（图中边长的数据为近似值，供选用） 25．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点、在轴上，顶点在轴上，若，求中心的坐标． 26．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．    (1)若，则正方形的面积为　 　； (2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16 ①求的值； ②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第2章《对称图形—圆》】 2.6 正多边形与圆 （知识精讲+易错点拨+四大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：求正多边形的中心角 4 考点讲练2：已知正多边形的中心角求边数 8 考点讲练3：正多边形和圆的综合 12 考点讲练4：尺规作图—正多边形 19 中等题真题汇编练 25 培优题真题汇编练 37 新知精讲梳理 知识点01：正多边形与圆的关系 内接关系： 定义：若一个正多边形的所有顶点都在同一个圆上，则称这个正多边形是这个圆的内接正多边形，而这个圆则是这个正多边形的外接圆。 构造方法：把一个圆的圆周分成n（n是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形即为这个圆的内接正n边形。 外接关系： 定义：正多边形的外接圆是通过正多边形的所有顶点的圆。 性质：外接圆的圆心（也称为正多边形的中心）到正多边形各边的距离（称为边心距）相等。 知识点02：正多边形的性质 基本定义： 正多边形是各边相等、各角也相等的多边形。例如，正六边形表示它有六条边且每条边都相等，六个角也都相等。 对称性： 轴对称性：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正多边形的中心。 中心对称性：当正多边形的边数为偶数时，它也是中心对称图形，对称中心就是正多边形的中心。 中心角： 定义：正多边形每一条边所对的圆心角称为正多边形的中心角。 计算公式：对于正n边形，其中心角的度数为 半径与边心距 外接圆半径（正多边形的半径）：外接圆的半径称为正多边形的半径。 边心距：中心到正多边形一边的垂直距离称为边心距。 面积与周长： 面积：正多边形的面积可以通过将其划分为多个三角形或利用其他几何公式来计算。 周长：正多边形的周长是其所有边长的总和，即n×a（其中n是边数，a是边长）。 知识点03：正多边形与圆的应用 内接圆与外切圆： 正多边形不仅有外接圆，还可以有内切圆（即所有边都与圆相切的圆）。 内切圆的圆心也称为正多边形的内心，内心到正多边形各边的距离（即内切圆的半径）也相等。 综合应用： 正多边形与圆的关系在几何证明、计算以及实际应用中都有广泛的应用。例如，在建筑、艺术、工程等领域，经常需要利用正多边形与圆的性质来设计图案、计算尺寸等。 高频易错知识点拨 易错知识点01：正多边形与圆的关系 易错点：混淆内接和外接 错误理解：学生可能混淆正多边形是圆的内接多边形还是外接多边形，或者不清楚如何根据给定条件确定是正多边形内接于圆还是圆外接于正多边形。 正确理解：正多边形内接于圆意味着正多边形的所有顶点都在圆上；而圆外接于正多边形则意味着圆通过正多边形的所有顶点。两者是相对的，但都是描述正多边形与圆之间位置关系的重要概念。 易错知识点02：正多边形的性质 易错点：中心角与边数的关系 错误理解：学生可能忘记或错误计算正多边形的中心角，特别是在涉及具体边数时。 正确理解：正多边形的中心角是其每一条边所对的圆心角，计算公式为，其中 n为正多边形的边数。掌握这个公式对于解决与正多边形中心角相关的问题至关重要。 易错点：轴对称与中心对称的混淆 错误理解：学生可能不清楚正多边形何时是轴对称的，何时是中心对称的，或者将两者混淆。 正确理解：所有正多边形都是轴对称的，对称轴数量等于边数。然而，只有当边数为偶数时，正多边形才是中心对称的。中心对称意味着图形可以围绕某一点旋转180度后与原图形重合，而这一点就是正多边形的中心。 易错知识点03：正多边形与圆的应用 易错点：内切圆与外接圆的半径计算 错误理解：学生可能在计算正多边形内切圆或外接圆的半径时出错，尤其是在涉及具体边长或角度时。 正确理解：内切圆的半径可以通过正多边形的边心距来计算，而外接圆的半径则是正多边形的半径。掌握这些基本概念和计算方法对于解决实际应用问题非常重要。 易错点：面积与周长的计算 错误理解：学生可能在计算正多边形的面积或周长时出错，特别是在没有直接给出边长或角度时。 正确理解：正多边形的面积可以通过将其划分为多个三角形或使用特定公式来计算。周长则是所有边长的总和。在计算过程中，需要注意使用正确的公式和单位。 易错知识点04：综合应用中的易错点 易错点：综合题型的解题策略 错误理解：学生在面对涉及正多边形与圆的综合题型时，可能缺乏清晰的解题思路和策略。 正确理解：解决这类问题通常需要综合运用正多边形与圆的性质、定理和公式。学生应该首先明确题目要求，然后分析题目中的条件和已知信息，最后选择合适的解题方法和步骤进行求解。在解题过程中，需要注意细节和精度，以避免因粗心或计算错误而导致失分。 考点讲练1：求正多边形的中心角 【精讲题】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，正五边形内接于，连接，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查正多边形内角和公式、正多边形的中心角，根据多边形的内角和可以求得的度数，根据周角等于，可以求得的度数，然后即可计算出的度数即可． 【规范解答】解：∵五边形是正五边形， ，， ， 故选：D． 【举一反三练1】（23-24九年级下·安徽淮北·阶段练习）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形的中心，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据点O为正六边形的中心，得到，，继而得到，，解答即可． 本题考查了正多边形的性质，中心角的计算，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和中心角的计算是解题的关键． 【规范解答】∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【举一反三练2】（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，正五边形内接于，与相切于点D，连接并延长，交于点P，则的度数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆内接正多边形，切线的性质，直角三角形的特征；连接，由圆的内接正多边形的性质得，由切线的性质得，由即可求解；掌握相关的性质，作辅助线连半径是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接， 正五边形内接于， ， 与相切于点D， ， ， ； 故答案：． 【举一反三练3】（22-23九年级下·吉林长春·期中）如图①，在中，为边上的中线，以点为顶点的直角绕点旋转，两边分别与交于点，连接．        (1)求证：； (2)若，则面积的最小值为_______； (3)拓展应用：如图②，点是半径为2的正十二边形的中心，点在此正十二边形的边上，连接，若，则阴影部分面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)3 【思路点拨】（1）根据为边上的中线，可得即可证明； （2）先证明，可知当时，面积最小，根据此时是等腰直角三角形求出，即可求解； （3）将正十二边形进行分割证明，可得阴影面积倍的面积，即可求解． 【规范解答】（1）证明：在Rt中，， ， ， ， 为边上的中线， ，，， ， ， ； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴当最短时，面积最小， 根据垂线段最短，即，面积最小，如图，    ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∵为边上的中线， ∴， ∴ 解得：，即 ∴， ∴面积的最小值为1； （3）作辅助线如图所示，其中，    由正十二变形的性质可得： 又∵ ∴， 即 ∵， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴阴影面积； 【考点评析】本题考查了几何问题，涉及到平行截线成比例线段、全等三角形的判定与性质等，掌握分割法是关键． 考点讲练2：已知正多边形的中心角求边数 【精讲题】（23-24九年级上·山西大同·期末）如图，在正六边形中，以点O为原点建立平面直角坐标系，边落在x轴上.若点A的坐标为，则点B的坐标为 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查正多边形，图形和坐标，勾股定理，先根据正六边形得到，，然后再中利用勾勾股定理计算是解题的关键． 【规范解答】解：过点作轴于点， ∵正六边形，点A的坐标为 ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点B的坐标为， 故答案为：．    【举一反三练1】（22-23九年级上·北京密云·期末）如图，多边形是的内接正n边形，已知的半径为r，的度数为，点O到的距离为d，的面积为S．下面三个推断中． ①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足的函数关系是反比例函数关系； ②若为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系； ③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【思路点拨】（1）正n边形每条边对应的圆心角度数为，因此为反比例函数关系； （2）d与r是的邻边和斜边，因此是化简后即正比例函数关系； （3）三角形面积为×底×高，底为，高为，直接代入即可． 【规范解答】①，所以与n满足的函数关系是反比例函数关系，正确； ②，所以，所以d与r满足的函数关系是正比例函数关系，正确； ③，所以S与r满足的函数关系是二次函数关系，正确． 故选D 【考点评析】本题考查正多边形、圆心角的度数、弦心距、三角形的面积之间的函数关系，解题的关键是读懂题意，求出其中的函数关系式． 【举一反三练2】（21-22九年级上·山东济南·期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【思路点拨】连接，先根据圆内接正多边形的性质可得点在上，且是和的角平分线，从而可得，再根据角的和差可得，然后根据圆周角定理可得，最后根据正多边形的性质即可得． 【规范解答】解：如图，连接， 四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形， 点在上，且是和的角平分线，， ， ， ， 恰好是圆O的一个内接正边形的一边， ， 故选：D． 【考点评析】本题考查了圆内接正多边形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键． 【举一反三练3】（20-21九年级上·安徽安庆·期末）如图，在的内接四边形中，，点E在弧上，连接、、、． （1）的度数为 ． （2）当时，恰好为的内接正n边形的一边，则n的值为 ． 【答案】 120° 12 【思路点拨】（1）连接BD，由已知条件证△ABD是等边三角形，得到∠ABD=60°，从而由圆内接四边形的性质可得∠AED=120°； （2）连接OA，由∠ABD=60°，可得∠AOD=120°，结合∠DOE=90°，可得∠AOE=30°，从而可得． 【规范解答】（1）连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴； （2）连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查正多边形与圆相关知识点，理解并熟练运用基本性质和结论是解题关键． 考点讲练3：正多边形和圆的综合 【精讲题】（2024·河北石家庄·三模）将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙地按如图所示摆放． （1） ； （2）已知点在边上，则的最大值为 ． 【答案】 30 【思路点拨】本题考查了正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）先求出正六边形的一个内角的度数，再结合等边对等角以及三角形内角和定理计算即可得出答案； （2）连接交于，连接，交于，则，当、重合时，点到线段的值最大，为，证明是等边三角形，得到，故，由含的直角三角形的性质得出，，从而求出，的长，最后由三角形面积公式计算即可得出答案． 【规范解答】解：（1）由题意得：正六边形的一个内角为， ∴， 故答案为：； （2）如图，连接交于，连接，交于，则， ， ∴当、重合时，点到线段的值最大，为， 由正六边形的性质可得：， ∴是等边三角形， ∴，故， ∵， ∴，， ∴，， ∴的最大值为， 故答案为：． 【举一反三练1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，正六边形的边，与相切于点，，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案． 【规范解答】解：正六边形的边，与相切于点，， ， 六边形是正六边形， ， 在五边形中， ， 故选：． 【举一反三练2】（23-24九年级上·广东湛江·期末）一个正方形的边长为，则它的内切圆的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、正多边形与圆等知识，正确地求出正方形的边心距是解题的关键． 先证明正方形的两条对角线的交点为正方形的内切圆的圆心，再从该圆心向正方形的一边作垂线，得到该正方形的边心距，求出它的长即得到该正方形的内切圆的半径，再求出该正方形的内切圆的面积即可． 【规范解答】解：如图，正方形的对角线、BD交于点O， ，，， ， 点O是正方形的外心，也是它的内心， 作于点E，以点O为圆心，以为半径作，则是正方形的内切圆， ， ， ， ， ， ， 该正方形内切圆的面积为． 故选：B．    【举一反三练3】（23-24九年级上·广东汕头·期中）【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数． 【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题： （1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）． ②原题中 ． 【深入思考】： （2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明． （3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）． （4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．    【答案】（1）①见解析；②；（2），证明见解析；（3），证明见解析；（4）； 【思路点拨】（1）①利用垂直平分线定义即可作出正方形；②利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到结论； （2）根据题意过点C作交于E，利用圆周角定理得到，再判定，证明出和是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形三边关系即可； （3）根据题意过点B，作，在上截取，连接，再证明，再利用含的直角三角形三边关系即可得到本题答案； （4）根据题意以为边，作正方形，连接，设，则，，再分别在和和中应用勾股定理即可得到本题答案． 【规范解答】解：（1）①如图所示，作直径的垂直平分线交于点A，C，则四边形是正方形；    ②如图所示，    ， 故答案为：． （2），证明如下： 如图，过点C作交于E，    ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴（ASA）， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 如图所示，过点C作交于F，    同理可得是等腰直角三角形，， ∴，； （3）， 如图，过点B，作，在上截取，连接，    ∵，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （4）如图，以为边，作正方形，连接，， 根据（1）可得P在上，则，    ∴， 设，则，， 在中，， 在中，， 在 中，， ∴， 解得 （负值舍去）， ∴， ∴矩形的面积为． 【考点评析】本题考查角平分线定义及画法，圆周角定理，全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质，勾股定理，含的直角三角形三边关系．掌握圆周角定理是关键． 考点讲练4：尺规作图—正多边形 【精讲题】（2022·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【思路点拨】（1）利用勾股定理可得答案； （2）延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【规范解答】（1）∵⊙的半径为：， ∴⊙的周长， 故答案为： （2）如图： ∵， 又∵， ∴， ∴． ∵，   ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．   ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形． ∴， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴． ∵， ∴， ∵过圆心, ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 故答案为：如图，延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【考点评析】此题考查作图中的复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型． 【举一反三练1】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，由小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中过点作的切线； (2)在图1中画出一个圆内接正方形； (3)在图2中的圆上画出线段的中点； (4)在图3中作一个的圆周角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【思路点拨】（1）先连接，根据切线的性质作图即可； （2）先过圆心作出直径，然后作出的垂直平分线交于、两点，最后顺次连接、、、，即可得到圆内接正方形； （3）取格点，作直线交于点，由等腰直角三角形的性质结合正方形的性质可得符合题意； （4）先作半径的垂直平分线交于，连接，，则为等边三角形，可得，根据圆周角定理即可求解． 【规范解答】（1）如图所示： （2）如图，正方形即为所求， （3）如图，点即为所求， （4）如图，即为所求 【考点评析】本题考查基本几何作图，涉及到圆周角定理、垂径定理的推论，圆的基本性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握网格中的基本作图方法和相关知识是解答的关键． 【举一反三练2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上 (1)请在图中标出的外接圆的圆心的位置，并填写圆心的坐标：______． (2)尺规作图：画出，并作它的一个内接三角形，要求该三角形为等边三角形． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【思路点拨】（1）分别作、的垂直平分线相交于点，则点即为所求； （2）利用半径把圆等分即可作出等边三角形． 【规范解答】（1）如图所示，点即为所求，， 故答案为：； （2）如图，即为所求． 【考点评析】本题考查作图，坐标与图形的性质，垂径定理，三角形外心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 【举一反三练3】（2020九年级下·山东青岛·学业考试）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：⊙O，点A在圆上． 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 【答案】见解析 【思路点拨】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可． 【规范解答】如图，四边形ABCD即为所求作． 【考点评析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 中等题真题汇编练 1．（2024·四川成都·三模）半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质是正确解答的前提． 根据正六边形的性质，正三角形的性质进行计算即可． 【规范解答】解：如图， ∵半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为， ∴， ∴， ∴的内接正多边形是六边形， ， ， ∴是正三角形， ， ∴正六边形的边长为2， 故选：B． 2．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，恰好拼成一个菱形，若拼成的菱形的面积为2，则原正六边形纸片的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查的是正多边形与圆，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键． 如图：可将正六边形分为6个全等的三角形，拼成的四边形由两个三角形组成，剩余部分由4个三角形组成，据此可求得剩余部分的面积即可． 【规范解答】解：如图： 将正六边形可分为6个全等的三角形， ∵拼成的四边形的面积为2， ∴每一个三角形的面积为1， ∵剩余部分可分割为4个三角形， ∴原正六边形纸片的面积为6． 故选B． 3．（2024·山西大同·三模）如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【思路点拨】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，根据正多边形的性质求得中心角为，进而根据圆周角定理即可求解． 【规范解答】解：连接， 依题意， ∵， ∴ 故选：A． 4．（23-24九年级上·河南郑州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了正多边形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握求正多边形中心角的方法，旋转的性质． 连接，根据正六边形的性质推出，进而得出，，则，再根据旋转的性质，依次得出前几次旋转的点A的对应点坐标，总结出一般变化规律，即可解答． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵该六边形为正六边形， ∴，， ∵轴，正六边形中心与原点O重合， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 第1次旋转结束时，点A的坐标为； 第2次旋转结束时，点A的坐标为； 第3次旋转结束时，点A的坐标为； 第4次旋转结束时，点A的坐标为， ∵4次一个循环， ∴ 第2023次旋转结束时，点A的坐标为． 故选：A． 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，点O是正八边形的中心，连接、，则 ． 【答案】45 【思路点拨】本题主要考查了正多边形的性质，根据是正八边形即可求出． 【规范解答】解：∵是正八边形， ∴， 故答案为：45． 6．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则 ．    【答案】/十五 【思路点拨】本题考查正多边形和圆，连接，求出的度数，利用360度除以的度数即可得出结果． 【规范解答】解：连接，    ∵是的内接正六边形的一边， ∴， ∵是的内接正十边形的一边， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 7．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若正六边形半径为5，则这个正六边形的周长是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，证明为等边三角形，得出，即可得出六边形的周长． 【规范解答】解：如图所示：    六边形是正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵正六边形半径为5， ∴这个正六边形的周长是 故答案为：． 8．（18-19九年级上·全国·阶段练习）如图，正六边形中，对角线与相交于点，则 度． 【答案】120 【思路点拨】本题考查了正六边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，明确正六边形的每条边相等，每个角相等是解答此题的关键．由正六边形的性质得出，，，由等腰三角形的性质得出，，求出，即可求出的度数． 【规范解答】解：∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·陕西安康·阶段练习）如图，有一个直径为的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边长是 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查圆内接正多边形的性质、等边三角形的判定与性质，先求得圆内接正六边形的中心角，进而证明为等边三角形即可求解．熟知圆内接正n多边形的中心角公式是解答关键． 【规范解答】解：如图， 由题意，，， ∴为等边三角形， ∴，即这个正六边形纸片的边长是， 故答案为：2． 10．（20-21九年级上·四川成都·期末）如图，正五边形内接于，连接，，则 .    【答案】/度 【思路点拨】本题考查的是正多边形和圆；根据正五边形的性质可得，即可求解． 【规范解答】∵五边形为正五边形， ∴， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，点A是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)画出的内接正． (2)在上画出、两点，使得．（画一种即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了作图复杂作图，等边三角形的判定、圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系： （1）从A点开始，以为半径．依次画弧，这样把六等份，连接的三等份点得到的内接正三角形； （2）可作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【规范解答】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则． 12．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查圆与正多边形，圆周角定理： （1）连接，根据中心角的计算公式求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可； （2）勾股定理求出的长即可． 【规范解答】（1）解：连接，    由题意得：， ∴； （2）由（1）知：， 又∵， ∴， 即正方形的边长为：． 13．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若，则点E到的距离为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识． （1）利用正方形和圆的关系，求得中心角的度数，再利用圆周角定理即可求解； （2）要证明，只要证明即可； （3）连接并延长交于点F，证明是线段的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，连接，，    ∴ ∵正方形内接于， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接并延长交于点F，    ∵，，∴是线段的垂直平分线， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即点E到的距离为， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·江西上饶·阶段练习）如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），求的大小．    【答案】 【思路点拨】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，连接，．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【规范解答】解：如图，连接，    是正五边形， ， ． 培优题真题汇编练 15．（22-23九年级上·广东湛江·期末）已知正六边形的边长为4，则这个正六边形的半径为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质；掌握正六边形中心角的计算方法是解题关键．如图，求出圆心角，得到为等边三角形，即可解决问题． 【规范解答】解：如图，为内接正六边形的一边； 则， ， 为等边三角形， ． 故选：C． 16．（2024·河北张家口·三模）如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论： ①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是；③． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【思路点拨】由六边形是正六边形，得，，从而Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确；由，，故Ⅲ中最大的内角是，故②说法错误；证明，得，故③说法正确． 【规范解答】解：如图所示：    ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确； ∴，， ∴Ⅲ中最大的内角是，故②说法错误； ∵六边形是正六边形， ∴，，，， ∴，和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 同理可证，， ∴，故③说法正确； 故选． 【考点评析】本题考查的是正多边形与圆的含义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，弧、弦的关系，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键． 17．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是等边的外接圆，点D是弧上一动点（不与A，C重合），下列结论：①；②当最长时，；③；④当，时，；⑤当时，四边形最大面积是．其中一定正确的结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路点拨】由是等边三角形，及同弧所对圆周角相等可得，即可判断①正确；根据最长时，为直径，可判定②正确；在上取一点E，使，可得是等边三角形，从而，有，可判断③正确；过点A作于点，根据直角三角形的性质以及勾股定理，即可判断④是错误的；把绕点逆时针转，使得与重合，点与点是对应点，因为，则，再结合②，即可作答． 【规范解答】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，故①正确； 因为当最长时，则为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 在上取一点E，使，如图： ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； 由③知，则， 过点A作于点，如图所示： 在中，， 则， 因为 所以 在中，， ∵是等边三角形， ，故④是错误的； 把绕点逆时针转，使得与重合，点与点是对应点，如图所示： 因为， 所以是等边三角形， 易知 所以 则 要使四边形最大面积，则最大 此时为的直径 由②知， 则 所以 因为 所以在， 那么 则，故⑤是正确的； ∴正确的有①②③⑤，共4个， 故选：C． 【考点评析】本题考查等边三角形及外接圆，涉及三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识内容，解题的关键是正确作辅助线，构造三角形全等解决问题． 18．（2024·云南昆明·三模）如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，如果这个正六边形的周长是，则这个正六边形的外接圆半径是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；连接，相交于点，根据题意得出是等边三角形是解题关键．由正六边形的性质证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，即可解题． 【规范解答】解：连接，相交于点，    由正多边形性质可知，， 为等边三角形， 正六边形的周长是， ， ． 这个正六边形的外接圆半径是． 故选：C． 19．（2024·江苏南京·三模）如图，表示中去掉内接正三角形部分的面积，表示中去掉内接正六边形部分的面积，和的半径均为，则 ．（填“、或”） 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆的内接正多边形，分别求出、，再根据作差法即可求解，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接，过作于，连接，过作于， 在图中，，，，， ∴，， ∴， ∴ ， 在图中，，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，正八边形中，连接，交于点，则的值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了正多边形与圆、等腰直角三角形的性质，根据正八边形的性质证明和是全等的等腰直角三角形，进而可以解决问题，得到和是全等的等腰直角三角形是解此题的关键． 【规范解答】解：∵是正八边形，连接，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴和是全等的等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边与轴正半轴重合，顶点在轴正半轴上，，将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2023次旋转后，顶点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正多边形的性质，旋转的性质以及旋转引起的坐标变化规律问题，根据正六边形的性质及它在坐标系中的位置，求出点E的坐标，再根据旋转的性质以及旋转的规律求出旋转2023次后顶点E的坐标即可． 【规范解答】解：延长交x轴于点Q，如图， 在正六边形中， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∴点E的坐标为， 将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，第一次旋转后，点E的坐标为；第二次旋转后，点E的坐标为，第三次旋转后，点E的坐标为，第四次旋转后，点E的坐标为， 由此可得点E每旋转四次即回到原来位置，即四次一循环， ， 所以，正六边形经过第2023次旋转后，点E的坐标为， 故答案为： 22．（2023·浙江温州·三模）图1是由两个正六边形组成的壁挂置物架，轴对称仙人堂盆栽放置在木板上，图2是其示意图．两个正六边形的边与，与均在同一直线上．木板（木板厚度忽略不计），，则的长为 ．盆栽由矩形和圆弧组成，且，，恰好在同一直线上，已知，圆弧最高点到的距离与线段的长度之比为，则圆弧的半径为 ． 【答案】 20 【思路点拨】设 的圆心是 ，作 于 ，连接 ，由正六边形的性质求出 ， 的长， 由直角三角形的性质， 等腰三角形的性质求出 的长，得到 的长，由勾股定理列出关于 半径的方程， 即可解决问题； 【规范解答】解：设 的圆心 是 ，作 于 ，连 接 ， ∵ 是圆弧最高点， ∴ 在 上， ∵两个多边形是正六边形， ∴ ， ∴， ∴ 是等边三角形， 三点共线， ∵四边形 是矩形， ∴ ∵圆弧最高点 到 的距离与线段 的长度之 比为 ， ∴ 到 的距离是 ， 设 的半径是 ， ∴ 的半径是 故答案为： 【考点评析】本题考查正多边形的性质，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，关键是由以上知识点求出正六边形的边长， 的长， 的长得到 的长，由勾股定理列出关于 半径的方程 23．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知正六边形的半径是，求正六边形的边长和面积． 【答案】，． 【思路点拨】本题考查了正多边形和圆，过点作于，先求出正多边形的中心角，再根据等腰三角形的性质和勾股定理解答即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【规范解答】解：过点作于，则， ∵是正六边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即， 在中，， ∴， ∴． 24．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）如图，小吴同学在陶艺课中为八角花盆制作“圆形托盘”，已知八角花盆底部截面是一个正八边形（如图），请根据下列信息解决问题． (1)求八角花盆底部截面正八边形一个内角的度数； (2)若八角花盆底部截面正八边形的边长是，小吴同学制作的圆形托盘半径是，问：这个托盘是否适用于此八角花盆？（图中边长的数据为近似值，供选用） 【答案】(1)； (2)这个托盘适用于此八角花盆． 【思路点拨】（1）求出正八边形的外角，可得结论； （）求出正八边形的边心距，可得结论． 【规范解答】（1）解：正八边形的外角， ∴正八边形的内角； （2）解：如图中，连接，，过点作于点． ∵，， ∴，，由题意得， ∴（， ∵， ∴这个托盘适用于此八角花盆． 【考点评析】本题考查垂径定理，正多边形与圆，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点、在轴上，顶点在轴上，若，求中心的坐标． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正多边形的性质，勾股定理，平面直角坐标系等知识，连接、，过点P作轴于Q，证明是等边三角形，求出，然后利用含的直角三角形的性质求出、，利用勾股定理求出，即可求解． 【规范解答】解：连接、，过点P作轴于Q， ∵六边形是正六边形，， ∴，，，， ∴，是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴中心的坐标为． 26．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．    (1)若，则正方形的面积为　 　； (2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16 ①求的值； ②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比． 【答案】(1)16 (2)①；② 【思路点拨】本题考查了正多边形与圆，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）连接，根据正方形和圆的性质得出，然后根据勾股定理求解即可； （2）①连接，，设，分别在、中，利用勾股定理关键关于x的方程求解即可； ②连接，，，先证明共线，然后求出，最后根据正方形面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：连接，   四边形是正方形， ， 解得：， 正方形的边长为4， 正方形的面积为16． （2）解：①连接，，   四边形是正方形，且其面积为16， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得（舍） ， ． ②连接，，，   ，且， ，， 又， ， 共线， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$