2.5 直线与圆的位置关系（知识精讲+易错点拨+十九大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学九年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第2章《对称图形—圆》】 2.5 直线与圆的位置关系 （知识精讲+易错点拨+十九大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 2 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：判断直线和圆的位置关系 4 考点讲练2：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 5 考点讲练3：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 7 考点讲练4：过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 8 考点讲练5：求圆平移到圆与直线相切时移动的距离 9 考点讲练6：求直线平移到圆与直线相切时运动的距离 10 考点讲练7：有关切线的说法解析 11 考点讲练8：判断或不全使直线为切线的条件 11 考点讲练9：证明某直线是圆的切线 13 考点讲练10：切线的性质定理 14 考点讲练11：切线的性质和判定综合应用 16 考点讲练12：应用切线长定理求解和求证 17 考点讲练13：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 18 考点讲练14：圆外切四边形模型 19 考点讲练15：三角形内心有关应用 20 考点讲练17：三角形内切圆与外切圆综合 22 考点讲练18：圆的综合问题 23 考点讲练19：过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 25 中等题真题汇编练 27 培优题真题汇编练 31 新知精讲梳理 知识点01：直线与圆的三种位置关系 相交： 定义：当直线与圆有两个公共点时，称直线与圆相交。此时，这条直线叫做圆的割线。 性质：相交时，圆心到直线的距离小于圆的半径。 相切： 定义：当直线与圆有且仅有一个公共点时，称直线与圆相切。此时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。 性质：相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。 相离： 定义：当直线与圆没有公共点时，称直线与圆相离。 性质：相离时，圆心到直线的距离大于圆的半径。 知识点02：直线与圆位置关系的判定 判定方法：通过比较圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判定直线与圆的位置关系。 若d < r，则直线与圆相交； 若d = r，则直线与圆相切； 若d > r，则直线与圆相离。 知识点03：切线长定理 定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长。 定理内容：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 推论：圆外一点到圆心的距离等于两条切线长的平方根与圆的半径之和（勾股定理的应用）。 知识点04：切线的性质 切线与半径垂直：圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线长的相等性：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 知识点05：典型例题与应用 典型例题通常会涉及直线与圆位置关系的判定、切线长定理的应用以及切线性质的证明等。 实际应用方面，直线与圆的位置关系在几何证明、三角函数计算以及圆的性质研究中都有广泛的应用。例如，在解决与圆相关的几何问题时，经常需要利用直线与圆的位置关系来构建辅助线或进行角度、长度的计算等。 高频易错知识点拨 易错知识点01：直线与圆位置关系的判定 混淆位置关系： 易错点：学生可能混淆直线与圆的相交、相切、相离三种位置关系，尤其是在面对复杂图形或实际问题时，难以准确判断。 正确理解：明确每种位置关系的定义，即相交（两个公共点）、相切（一个公共点）、相离（无公共点），并通过比较圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判定。 计算错误： 易错点：在计算圆心到直线的距离时，学生可能因计算错误而导致位置关系判断失误。 避免方法：使用正确的方法（如点到直线距离公式、垂径定理等）计算圆心到直线的距离，并仔细核对计算结果。 易错知识点02：切线长定理的理解与应用 切线长定理的误解： 易错点：学生可能将切线长与切线混淆，或者不理解切线长定理的具体内容。 正确理解：切线长是指从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线分别与圆相交于两点，这两点与圆外一点之间的线段长度相等，且这两条线段与圆心的连线平分两条切线的夹角。 应用不当： 易错点：在解决实际问题时，学生可能无法灵活运用切线长定理来构建辅助线或进行证明。 避免方法：加强切线长定理的应用练习，熟悉其在几何证明中的常见应用方式，如证明线段相等、角平分等。 易错知识点03：切线的性质掌握不牢固 切线性质混淆： 易错点：学生可能混淆切线的性质，如将“切线垂直于过切点的半径”误解为“切线垂直于半径”。 正确理解：切线只垂直于过切点的那一条半径，而不是圆上的任意一条半径。 性质应用不灵活： 易错点：在解决与切线相关的问题时，学生可能无法灵活运用切线的性质来构建证明过程或进行计算。 避免方法：加强对切线性质的理解和记忆，并通过大量练习来提高其应用能力。 易错知识点04：综合应用能力的不足 知识点串联不紧密： 易错点：学生可能无法将直线与圆的位置关系、切线长定理、切线的性质等知识点紧密地串联起来，导致在解决综合问题时出现困难。 解决方法：加强知识点之间的联系和整合，通过综合练习来提高综合应用能力。 空间想象能力不足： 易错点：在处理与直线和圆相关的几何问题时，学生可能因空间想象能力不足而无法准确构建图形或进行推理。 提升方法：通过多观察、多动手实践来培养空间想象能力，如使用几何模型进行辅助学习等。 考点讲练1：判断直线和圆的位置关系 【精讲题】（2023·湖北孝感·一模）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 【举一反三练1】（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，，点D为的中点，以2为半径作，则下列说法不正确的是（　　）    A．点A在圆外 B．点C在圆上 C．与直线相切 D．与直线相交 【举一反三练2】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，P是边上一点，过点A、B、P、作 (1)圆心O在上吗？为什么？ (2)当时，判断与的位置关系； (3)当与相切时，求被截得的弦长． 考点讲练2：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【精讲题】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ． 【举一反三练1】（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．    (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 【举一反三练2】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 考点讲练3：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【精讲题】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，圆心的坐标为，以半径在坐标平面内作圆，当满足 时，圆与坐标轴有4个交点． 【举一反三练1】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，为上一点，若点的坐标为，则线段的最小值为 ． 【举一反三练2】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）如图，已知中，是上一点．求作，使得过点，且与相切． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． （2）如图，在中，是边上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在不同的点分别和点、构成直角三角形，直接写出不同的点的个数及对应的的长的取值范围． 考点讲练4：过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 【精讲题】（21-22九年级上·新疆塔城·期末）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ． 【举一反三练1】（21-22九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【举一反三练2】（2020·辽宁盘锦·二模）如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为（  ） A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0） 考点讲练5：求圆平移到圆与直线相切时移动的距离 【精讲题】（18-19九年级上·江苏·期中）如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知AB=10，⊙O的半径为1，现将⊙O在正方形内部沿某一方向平移，当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移，设此时的平移的距离为d，则d的取值范围是 ． 【举一反三练1】（20-21九年级上·全国·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 【举一反三练2】（2019九年级·全国·专题练习）已知：直线经过点. （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围. 考点讲练6：求直线平移到圆与直线相切时运动的距离 【精讲题】（2010·四川南充·中考真题）如图，直线，与和分别相切于点和点．点和点分别是和上的动点，沿和平移．的半径为，．下列结论错误的是（    ）． A． B．若与相切，则 C．若，则与相切 D．和的距离为 【举一反三练1】（18-19九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 【举一反三练2】（18-19九年级上·全国·单元测试）如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，求l沿OC所在直线向下平移多少cm时与⊙O相切． 考点讲练7：有关切线的说法解析 【精讲题】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，点是外一点，现将直线绕点旋转，与定圈恰好只有一个交点，当时，的半径为（　　） A． B． C． D． 【举一反三练1】（19-20九年级上·内蒙古赤峰·期末）下列说法正确的是（  ） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．经过三点一定可以作圆 C．平分弦的直径垂直于弦 D．每个三角形都有一个外接圆 【举一反三练2】（2021九年级上·全国·专题练习）已知：如图，△ABC中，∠A＝60°，BC为定长，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E．连接DE、OE．下列结论中正确的结论是（　　） A．BC＝2DE B．D点到OE的距离不变 C．BD+CE＝2DE D．AE为外接圆的切线 考点讲练8：判断或不全使直线为切线的条件 【精讲题】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知（）．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由）； (2)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）． 【举一反三练1】．（2023·浙江·模拟预测）如图，在的方格中，点A，B，C为格点． (1)利用无刻度的直尺在图1中画出的中线． (2)在图2中标出的外心Q并画出外接圆的切线． 【举一反三练2】（22-23九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知：内接于，过点A作直线． (1)如图1，为直径，要使为的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： ①___________；②_____________． (2)如图2，是非直径的弦，，求证：是的切线． 考点讲练9：证明某直线是圆的切线 【精讲题】（22-23九年级上·广东湛江·期中）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【举一反三练1】（23-24九年级上·天津·期末）已知是的直径，点B是圆上除点A，C以外的点，点D是弦的中点，连接并延长交圆于点E，过点E作，交的延长线于点F． (1)如图1，求证：直线与相切； (2)如图2，连接，若的直径是10，，求的长． 【举一反三练2】（23-24九年级上·广西南宁·开学考试） 如图，为的直径，点，都在上，，交于点，点在的延长线上，且．    (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 考点讲练10：切线的性质定理 【精讲题】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（    ） A．9 B．10 C． D．12 【举一反三练1】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为 ． 【举一反三练2】（22-23九年级上·广东广州·期中）如图，是的外接圆，是的直径，点D在上，，连接，延长交过点C的切线于点E． (1)求证：； (2)求证：． 考点讲练11：切线的性质和判定综合应用 【精讲题】（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 【举一反三练1】．（23-24九年级上·山东烟台·期末） (1)尺规作图：已知及圆外一点P，过点P作圆的两条切线，切点分别是点A、点B；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接并延长，交于点D，连接，求的度数． 【举一反三练2】（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，中，，点在边上，过点且分别与边、相交于、两点，，点为垂足． (1)求证：直线是的切线； (2)当是等边三角形，且直线与相切时，直接写出长度为线段长度2倍的所有线段． 考点讲练12：应用切线长定理求解和求证 【精讲题】（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，切于点，直线切于点，交于，交于点，若，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024·湖北武汉·二模）如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（24-25九年级上·全国·假期作业）已知、分别切于、，为劣弧上一点，过点的切线交于、交于． (1)若，求的周长． (2)若求． 考点讲练13：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【精讲题】（23-24九年级上·四川泸州·期中）设一个直角三角形的两直边的长分别是的两个实数根，则这个直角三角形的内切圆的面积为（　　） A．π B． C． D． 【举一反三练1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点D，E分别在BC，上，与的内切圆O相切．若的面积是30，的周长是4，则的长为 ． 考点讲练14：圆外切四边形模型 【精讲题】（2011·陕西·中考真题）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（　　） A．3 B．4 C． D． 【举一反三练1】（18-19九年级上·浙江温州·期末）如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    【举一反三练2】（2019九年级·全国·专题练习）如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 考点讲练15：三角形内心有关应用 【精讲题】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）如图，点I为的内心，，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为 ． 【举一反三练1】（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，点是的内心，的延长线交边于点，交外接圆于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【举一反三练2】（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）下列四个命题：①垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④任意三角形是内心总是在三角形的内部；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等．其中真命题的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【精讲题】（21-22九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【举一反三练1】（21-22九年级上·山东临沂·期中）如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作的切线，与、分别交于点M、N，，，则的周长为 ． 【举一反三练2】（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，中，，，是边上的高，，分别是，的内切圆，则与的面积比为 ． 考点讲练17：三角形内切圆与外切圆综合 【精讲题】（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【举一反三练1】．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，周长为18，，圆O是的内切圆，圆O的切线与、相交于点M、N，则的周长为 ．    【举一反三练2】（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，（1）作和的垂直平分线交点O；（2）以点O为圆心，OA长为半径作圆；（3）分别与和的垂直平分线交于点；（4）连接其中与交于点P． 根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，①；②；③点O是的外心；④点是的内心．所有正确结论的序号是（） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 考点讲练18：圆的综合问题 【精讲题】（22-23九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，等腰直角与交于点B、C，，延长、与分别交于点D、E，连接、，并延长至点F，使得．    (1)求的度数； (2)求证：与相切； (3)若的半径为2，求的长． 【举一反三练1】（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，是的直径，为上一点，平分交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【举一反三练2】（22-23九年级上·山东威海·期末）如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是弧的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接，，和． 是弧的中点，，． 任务：          (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图（3），已知等腰内接于，，，点为弧上一点，，于点，的周长为，请你求出的长度． 考点讲练19：过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 【精讲题】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格纸上，以O为圆心，为半径作圆，点O、A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，①作的中点M： ②作，使得； ③取格点C，使为的一条切线．（做出符合题意的一点即可） (2)在图2中，作直径，E为外任一点，过E作的垂线垂足为F． 【举一反三练1】（23-24九年级上·江苏扬州·期中）请按下列要求作图．    (1)如图1，在方格纸中，点A在圆上，仅用无刻度直尺过点A画出圆的切线； (2)如图2，已知，点Q在外，用尺规作上所有过点Q的切线．（保留作图痕迹） 【举一反三练2】；（22-23九年级上·广东广州·阶段练习）下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及外一点；求作：过点作切线． 作法：①连接，作的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，长为半径作圆，交于点、两点； ③作直线、，则、即为的切线． 根据小芸设计的尺规作图过程： (1)用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）； (2)证明：为的切线． 中等题真题汇编练 1．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，中，，，，则的内切圆半径为（　　） A．2 B．4 C．1.5 D．2.5 2．（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为 5 ，那么 x轴与的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 3．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，点A、B、C在上，，过点C作的切线交的延长线于点D，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·河北邢台·二模）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，若与的交点为，则点是（    ） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的中心 5．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，为的切线，、分别与切于、点，若，，则的长是 ． 6．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．问题：若正方形的边长为10丈，的半径为2丈，则点到的最短距离为 丈． 7．（20-21九年级上·山东烟台·阶段练习）如图，是外一点，、分别和切于、，是弧上任意一点，过作的切线分别交、于、，若的周长为，则长为 ． 8．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，与分别切于点，连接．则的度数为 ． 9．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，点D在的直径的延长线上，点C在上，，，求证：是的切线． 10．（2024·安徽合肥·二模）已知，四边形 内接于为直径 ，与的延长线相交于点E，平分，与相交于点 F． (1)如图1，若 ，求证：； (2)如图2，若，，求的半径． 11．（23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期末）如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分． (1)证明：是的切线； (2)，，求的长． 12．（23-24九年级上·云南保山·期末）如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数的值． 培优题真题汇编练 13．（21-22九年级上·河北石家庄·期中）如图，是的一条弦，点是上一动点，且，点、分别是、的中点，直线与交于、两点，若的半径为7，则的最大值为（    ） A．9 B．10.5 C．11 D．11.5 14．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）如图，是的切线，点A为切点，交于点C，的延长线交于点D，点E在优弧上，连接，，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 15．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，已知是的直径，与相切于点，．则下列结论中不一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 16．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，正方形的边长为，点在上，若以为直径的与相切，则的长为(   ) A．1 B． C． D． 17．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，点P为的中点，点Q为边上一动点，将绕点C顺时针旋转，点Q的对应点记为点，旋转过程中的取值范围为 ． 18．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知的弦，以为一边作正方形，边与相切，切点为E，则半径为 19．（23-24九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，直线，相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，且位于点O左侧处．若以的速度由A向B的方向移动，则 后，与直线相切．    20．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，的半径为，直线与相离，过点作于点，垂足为，且，点是上一动点，过点作于点，垂足为，则的最大值是 ． 21．（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，一个圆形钢环靠在台阶直角处，已知台阶高，钢环所在的与地面相切于点A，，求钢环的半径． 22．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）如图，为的直径，为上一点，与过点的切线互相垂直，垂足为的延长线交于点． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 23．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，是半圆的直径，为弦，过点C作直线交的延长线于点E．若，． (1)求证：直线与半圆相切； (2)若，求的长． 24．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图1，的直径，和是它的两条切线，点E是圆上一点，过点E的直线与，分别相交于点D，C两点，连接并延长，交点P，． (1)求证： 是的切线； (2)若，求长． 25．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，在扇形中，，，点P在半径上，连接． (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ①如图1，当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ②如图2，点Q落在扇形内部，的延长线与弧交于点C，过点Q作，垂足为H，，求的长； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧所在的圆与的延长线交于点F，若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第2章《对称图形—圆》】 2.5 直线与圆的位置关系 （知识精讲+易错点拨+十九大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 2 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：判断直线和圆的位置关系 4 考点讲练2：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 8 考点讲练3：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 11 考点讲练4：过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 15 考点讲练5：求圆平移到圆与直线相切时移动的距离 18 考点讲练6：求直线平移到圆与直线相切时运动的距离 21 考点讲练7：有关切线的说法解析 23 考点讲练8：判断或不全使直线为切线的条件 26 考点讲练9：证明某直线是圆的切线 30 考点讲练10：切线的性质定理 34 考点讲练11：切线的性质和判定综合应用 38 考点讲练12：应用切线长定理求解和求证 43 考点讲练13：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 48 考点讲练14：圆外切四边形模型 51 考点讲练15：三角形内心有关应用 54 考点讲练16：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 57 考点讲练17：三角形内切圆与外切圆综合 60 考点讲练18：圆的综合问题 63 考点讲练19：过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 69 中等题真题汇编练 74 培优题真题汇编练 85 新知精讲梳理 知识点01：直线与圆的三种位置关系 相交： 定义：当直线与圆有两个公共点时，称直线与圆相交。此时，这条直线叫做圆的割线。 性质：相交时，圆心到直线的距离小于圆的半径。 相切： 定义：当直线与圆有且仅有一个公共点时，称直线与圆相切。此时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。 性质：相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。 相离： 定义：当直线与圆没有公共点时，称直线与圆相离。 性质：相离时，圆心到直线的距离大于圆的半径。 知识点02：直线与圆位置关系的判定 判定方法：通过比较圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判定直线与圆的位置关系。 若d < r，则直线与圆相交； 若d = r，则直线与圆相切； 若d > r，则直线与圆相离。 知识点03：切线长定理 定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长。 定理内容：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 推论：圆外一点到圆心的距离等于两条切线长的平方根与圆的半径之和（勾股定理的应用）。 知识点04：切线的性质 切线与半径垂直：圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线长的相等性：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 知识点05：典型例题与应用 典型例题通常会涉及直线与圆位置关系的判定、切线长定理的应用以及切线性质的证明等。 实际应用方面，直线与圆的位置关系在几何证明、三角函数计算以及圆的性质研究中都有广泛的应用。例如，在解决与圆相关的几何问题时，经常需要利用直线与圆的位置关系来构建辅助线或进行角度、长度的计算等。 高频易错知识点拨 易错知识点01：直线与圆位置关系的判定 混淆位置关系： 易错点：学生可能混淆直线与圆的相交、相切、相离三种位置关系，尤其是在面对复杂图形或实际问题时，难以准确判断。 正确理解：明确每种位置关系的定义，即相交（两个公共点）、相切（一个公共点）、相离（无公共点），并通过比较圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判定。 计算错误： 易错点：在计算圆心到直线的距离时，学生可能因计算错误而导致位置关系判断失误。 避免方法：使用正确的方法（如点到直线距离公式、垂径定理等）计算圆心到直线的距离，并仔细核对计算结果。 易错知识点02：切线长定理的理解与应用 切线长定理的误解： 易错点：学生可能将切线长与切线混淆，或者不理解切线长定理的具体内容。 正确理解：切线长是指从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线分别与圆相交于两点，这两点与圆外一点之间的线段长度相等，且这两条线段与圆心的连线平分两条切线的夹角。 应用不当： 易错点：在解决实际问题时，学生可能无法灵活运用切线长定理来构建辅助线或进行证明。 避免方法：加强切线长定理的应用练习，熟悉其在几何证明中的常见应用方式，如证明线段相等、角平分等。 易错知识点03：切线的性质掌握不牢固 切线性质混淆： 易错点：学生可能混淆切线的性质，如将“切线垂直于过切点的半径”误解为“切线垂直于半径”。 正确理解：切线只垂直于过切点的那一条半径，而不是圆上的任意一条半径。 性质应用不灵活： 易错点：在解决与切线相关的问题时，学生可能无法灵活运用切线的性质来构建证明过程或进行计算。 避免方法：加强对切线性质的理解和记忆，并通过大量练习来提高其应用能力。 易错知识点04：综合应用能力的不足 知识点串联不紧密： 易错点：学生可能无法将直线与圆的位置关系、切线长定理、切线的性质等知识点紧密地串联起来，导致在解决综合问题时出现困难。 解决方法：加强知识点之间的联系和整合，通过综合练习来提高综合应用能力。 空间想象能力不足： 易错点：在处理与直线和圆相关的几何问题时，学生可能因空间想象能力不足而无法准确构建图形或进行推理。 提升方法：通过多观察、多动手实践来培养空间想象能力，如使用几何模型进行辅助学习等。 考点讲练1：判断直线和圆的位置关系 【精讲题】（2023·湖北孝感·一模）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 【答案】B 【思路点拨】本题考查一元一次方程的解法，直线与圆的位置关系等知识与方法，求出一元一次方程的解并且判断圆心到直线的距离与的半径之间的大小关系是解题的关键． 设的半径为，解一元一次方程得，，则，所以，可知直线与圆相离，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：设的半径为， 解一元一次方程得，， ∵的半径是一元二次方程的一个根， ∴， ∵圆心到直线的距离， ∴， ∴直线与相离， 故选：B． 【举一反三练1】（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，，点D为的中点，以2为半径作，则下列说法不正确的是（　　）    A．点A在圆外 B．点C在圆上 C．与直线相切 D．与直线相交 【答案】B 【思路点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，三角形的中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，由直角三角形的斜边上的中线定理得，进而得，，根据三角形中位线定理即可解决问题． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵D是的中点， ∴．，故点A在圆外，点C在圆外， 故选项A正确，不符合题意；选项B不正确，符合题意， 连接，作于点E，    ∴，D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，故与直线相切； 故选项C正确，不符合题意， 过D作于F， ∴， ∴； ∴， 故与直线相交；故选项D正确，不符合题意， 故选：B． 【举一反三练2】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，P是边上一点，过点A、B、P、作 (1)圆心O在上吗？为什么？ (2)当时，判断与的位置关系； (3)当与相切时，求被截得的弦长． 【答案】(1)圆心O在上，理由见详解 (2)与相离，理由见详解 (3) 【思路点拨】此题主要考查切线的判定与性质及矩形的性质等知识点的综合运用． （1）根据是圆周角，则是圆的直径； （2）与相离，可以说明到圆心的距离大于半径． （3）因为与相切，则是梯形的中位线．在直角中根据勾股定理就可以得到． 【规范解答】（1）解：圆心O在上，理由如下： 在矩形中， 根据的圆周角所对的弦是直径，则圆心O在上； （2）过圆心作交、于点、； ， ,, ,, 四边形是矩形， ， ， ， 与相离； （3）连接，交于点， 是直径， ， 又， ， 是的中点， 是的中点， ， 又 ， 与相切，为切点，设，则， 在直角中，， ， 解得：． ，即被截得的弦长为． 考点讲练2：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【精讲题】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．如图，连接，作于，于．由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可． 【规范解答】解：如图，连接，作于，于． ， ， ， ，， ， 欲求的最大值，只要求出的最小值即可， ， 点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆， 在中，，， ， ， ， 当，，共线，且与重合时，的值最小， 的最小值为， 的最大值， 故答案为． 【举一反三练1】（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．    (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【思路点拨】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点的横坐标，再根据直线的解析式求得点的纵坐标． （2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时的取值范围． 【规范解答】（1）解：过作直线的垂线，垂足为； 当点在直线右侧时，，解得； ∴； 当点在直线左侧时，，得， ∴，    ∴当与直线相切时，点的坐标为或． （2）解：由（1）可知当时，与直线相交 当或时，与直线相离． 【考点评析】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系，根据数量关系正确求解是解题的关键． 【举一反三练2】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据题意得出点在为直径的圆，在矩形内的半圆上运动，则点到的最短距离为，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【规范解答】解：∵，点是矩形内一动点， ∴点在为直径的圆，在矩形内的半圆上运动， ∵矩形中，，， ∴， 如图所示，取的中点，则    ∴点到的最短距离为， ∴面积的最小值为， 故选：C． 考点讲练3：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【精讲题】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，圆心的坐标为，以半径在坐标平面内作圆，当满足 时，圆与坐标轴有4个交点． 【答案】且 【思路点拨】本题考查的是直线与圆的位置关系，直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离． 【规范解答】解：圆心的坐标为， ∴圆心到原点的距离为， 当且时，圆与坐标轴有4个交点． 故答案为：且． 【举一反三练1】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，为上一点，若点的坐标为，则线段的最小值为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查直线与圆的位置关系，根据N的坐标可确定其为直线上一点，进而通过直线和圆的位置关系结合图象得出的最小值． 【规范解答】解：∵点N的坐标为， ∴点N为直线上任意一点， 如图， 直线为函数的图象，则N为直线上一点，M为上一点， 由图象可知：过点P作垂线，当M、N分别是垂线与、的交点时，的长度最小， 此时：， 由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时． 故答案为：2． 【举一反三练2】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）如图，已知中，是上一点．求作，使得过点，且与相切． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． （2）如图，在中，是边上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在不同的点分别和点、构成直角三角形，直接写出不同的点的个数及对应的的长的取值范围． 【答案】（1）图见解析（2）见解析 【思路点拨】（1）根据题意，确定圆心的位置，再以为半径画圆即可； （2）当以为直径的圆与相切时，求出此时圆的半径，分四种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】解：（1）作的角平分线，交于点，过点作，交于点，以为圆心，以为半径画圆，即为所求，如图： （2）当以为直径的圆与相切时：如图 ∵， ∴， 设的半径为，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当存在1个点时，此时与相离，或B、D两点重合，， 当存在2个点时，此时与相切，， 当存在3个点时，此时与相交，， 【考点评析】本题考查复杂作图—作圆，含30度角的直角三角形的性质，切线的判定和性质，直线与圆的位置关系，掌握尺规作角平分线，作垂线的方法，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 考点讲练4：过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 【精讲题】（21-22九年级上·新疆塔城·期末）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ． 【答案】（-2,0）（-3,0）（-4,0） 【思路点拨】先分别求得与直线l相切时点P的坐标，然后再判断与直线l相交时点P的横坐标x的取值范围，即可求得坐标为整数的点P的坐标． 【规范解答】如图，与分别切AB于D、E． 由，，易得，则A点坐标为． 连接、，则、，则在中，， 同理可得，，则的横坐标为，的横坐标为， 当与直线l相交时，点P的横坐标x的取值范围为， 横坐标为整数的点P的坐标为、、． 故答案为：(-2，0)、(-3，0)、(-4，0)． 【考点评析】本题考查了直线与圆的位置关系，分别求得与直线l相切时点P的坐标是解题的关键． 【举一反三练1】（21-22九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【答案】D 【思路点拨】分圆P在轴的上方与轴相切和圆P在轴的下方与轴相切两种情况分别求解即可． 【规范解答】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为， 当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为， 综上所述，向下平移的距离为1或5． 故选：D． 【考点评析】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键． 【举一反三练2】（2020·辽宁盘锦·二模）如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为（  ） A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0） 【答案】D 【思路点拨】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线相切两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解． 【规范解答】①当圆位于直线右侧并与直线相切时，连接MA，如下图所示： ∵ ∴，，是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴⊙M与直线AB相切于点A ∵ ∴ ∴圆心M的坐标为； ②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M作于点C，如下图所示： ∵⊙M与直线AB相切， ∴ 根据直线AB的解析式：可知 ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴圆心M的坐标为， 综上所述：圆心M的坐标为或， 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方法并进行分类讨论是解决本题的关键． 考点讲练5：求圆平移到圆与直线相切时移动的距离 【精讲题】（18-19九年级上·江苏·期中）如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知AB=10，⊙O的半径为1，现将⊙O在正方形内部沿某一方向平移，当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移，设此时的平移的距离为d，则d的取值范围是 ． 【答案】4≤d≤ 【思路点拨】当圆O运动到圆P处时，运动距离最短，当圆O运动到圆E处时，运动距离最长，分别求得PO和OE的长即可得出d的取值范围． 【规范解答】解：如图， 当圆O运动到圆P处时，运动距离最短， 当圆O运动到圆E处时，运动距离最长， 由正方形的性质可知： 在Rt△BEF中，由勾股定理得： 所以 故答案为 【考点评析】本题主要考查的是正方形的性质和直线和圆的位置关系，利用正方形的性质和直线和圆相切，确定出平移后圆心的位置是解题的关键． 【举一反三练1】（20-21九年级上·全国·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 【答案】1或5． 【思路点拨】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【规范解答】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 故答案为：1或5． 【考点评析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 【举一反三练2】（2019九年级·全国·专题练习）已知：直线经过点. （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】（1）利用待定系数法解答； （2）得出平移后得到的直线，求出A、B点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答． 【规范解答】（1）因为直线经过点， 所以， 即， 故答案为 （2）由（1）及题意知，平移后得到的直线所对应的函数关系式为，设直线与轴、轴分别交于点、（如图所示）， 当时，；当时，. 所以，，即，. 在中，. 过点作于， 因为， 所以， 因为，解得. 依题意得：， 解得， 即的取值范围为. 【考点评析】此题主要考查待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识． 考点讲练6：求直线平移到圆与直线相切时运动的距离 【精讲题】（2010·四川南充·中考真题）如图，直线，与和分别相切于点和点．点和点分别是和上的动点，沿和平移．的半径为，．下列结论错误的是（    ）． A． B．若与相切，则 C．若，则与相切 D．和的距离为 【答案】B 【思路点拨】根据直线与圆的相关知识，逐一判断． 【规范解答】解：A、平移使点与重合，，，解直角三角形得，正确； B、当与圆相切时，，在左侧以及，在，右侧时，或，错误； C、若，连接并延长交于点，则，故，，故上的高为，即到的距离等于半径．正确； D、，两平行线之间的距离为线段的长，即直径，正确． 故选：B． 【考点评析】本题考查了直线与圆相切的判断方法和性质，全等三角形的判定及性质，平行线间的距离，熟练掌握直线与圆相切的判断方法和性质是解题的关键． 【举一反三练1】（18-19九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】设直线AB的解析式为y=x+b，当直线与圆相切时切点为C，连接OC，则OC=1，由于直线AB与x轴正方向夹角为45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根据勾股定理求出OA的长即可． 【规范解答】∵直线AB与x轴正方向夹角为45°， ∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC， ∴， ∵⊙O的半径为1， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴OC=PC=1， ∴OA==， ∴P（，0）， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（，0）， ∴． 故选：B． 【考点评析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键． 【举一反三练2】（18-19九年级上·全国·单元测试）如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，求l沿OC所在直线向下平移多少cm时与⊙O相切． 【答案】需要平移2cm． 【思路点拨】根据直线和圆相切，则只需满足OH=5．又由垂径定理构造直角三角形可求出此时OH的长，从而计算出平移的距离． 【规范解答】∵直线和圆相切时，OH=5， 又∵在直角三角形OHA中，，OA=5， ∴OH=3． ∴需要平移5-3=2cm． 【考点评析】考查垂径定理以及直线和圆的位置关系.注意：直线和圆相切时，应满足 考点讲练7：有关切线的说法解析 【精讲题】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，点是外一点，现将直线绕点旋转，与定圈恰好只有一个交点，当时，的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查切线的判定和性质．根据题意可得直线与切于点，再根据角的直角三角形的性质可得结论．掌握切线的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵直线绕点旋转，与定圈恰好只有一个交点，，设交点为， ∴直线与切于点，， 连接， ∴， ∴， ∴的半径为． 故选：D．    【举一反三练1】（19-20九年级上·内蒙古赤峰·期末）下列说法正确的是（  ） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．经过三点一定可以作圆 C．平分弦的直径垂直于弦 D．每个三角形都有一个外接圆 【答案】D 【思路点拨】根据圆的切线的定义、圆的定义、垂径定理、三角形外接圆的定义逐项判断即可． 【规范解答】A、垂直于半径且与圆只有一个交点的直线是圆的切线，此项说法错误 B、不在同一直线上的三点一定可以作圆，此项说法错误 C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，此项说法错误 D、每个三角形都有一个外接圆，此项说法正确 故选：D． 【考点评析】本题考查了圆的切线的定义、圆的定义、垂径定理、三角形外接圆的定义，熟记圆的相关概念和定理是解题关键． 【举一反三练2】（2021九年级上·全国·专题练习）已知：如图，△ABC中，∠A＝60°，BC为定长，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E．连接DE、OE．下列结论中正确的结论是（　　） A．BC＝2DE B．D点到OE的距离不变 C．BD+CE＝2DE D．AE为外接圆的切线 【答案】AB 【思路点拨】连接OD，可证明△ODE是等边三角形，所以A，B正确；通过举反例：当重合,时，可得：＜可得C不一定成立，根据切线的定义，可得D不正确，从而可得答案． 【规范解答】解：连接OD ， ∵∠A=60° ∴∠B+∠C=120°， 的度数为 ∵的度数为 ∴的度数为 ∴∠DOE=60°，又OD=OE ， ∴△ODE是等边三角形， 即 所以A正确，符合题意； 则D到OE的长度是等边△ODE的高，而等边的边长等于圆的半径，则高一定是一个定值，因而B正确，符合题意； 如图：当重合,时，则为的切线， 同理可得： 此时 则 为的直径， ＞ 此时＜ 所以C不符合题意； 与的外接圆有两个交点，不是外接圆的切线，所以D不符合题意； 故选：AB． 【考点评析】本题考查的是圆的基本性质，圆弧的度数与其所对的圆周角的度数之间的关系，切线的概念的理解，等边三角形的判定与性质，灵活运用以上知识解题是解题的关键. 考点讲练8：判断或不全使直线为切线的条件 【精讲题】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知（）．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由）； (2)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了综合作图、圆的切线的判定和性质以及角的平分线的性质定理，正确确定圆心O的位置是关键． （1）作出的角平分线，角平分线与的交点是圆心，以为圆心，以为半径作圆即可； （2）作的角平分线交与，过点作垂直于，交与， 以为圆心，以为半径作圆即可． 【规范解答】（1）如图所示，即为所求    ∵是的平分线，， ∴点到的距离等于到的距离， ∴与、所在直线相切 （2）如图所示，即为所求作的图形    【举一反三练1】．（2023·浙江·模拟预测）如图，在的方格中，点A，B，C为格点． (1)利用无刻度的直尺在图1中画出的中线． (2)在图2中标出的外心Q并画出外接圆的切线． 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解； 【思路点拨】本题考查作垂直平分线，作垂线： （1）根据格点作垂直平分线找到中点，连接即可得到答案； （2）根据边的垂直平分线结合（1）得到圆心，根据切线垂直即可得到答案； 【规范解答】（1）解：如图所示，根据正方形对角线互相垂直平分得到与交点，连接即为所求， ； （2）解：如图所示，点是，边垂直平分线的交点，连接根据格点垂直即为所求， ． 【举一反三练2】（22-23九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知：内接于，过点A作直线． (1)如图1，为直径，要使为的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： ①___________；②_____________． (2)如图2，是非直径的弦，，求证：是的切线． 【答案】(1)①(或)(答案不唯一) ②；(答案不唯一) (2)见解析 【思路点拨】（1）①根据切线的判断由或可判断为的切线；②当，根据圆周角定理得，所以，即，于是也可判断为的切线； （2）作直径，连接，由为直径得，则，根据圆周角定理得，而，所以，根据切线的判定定理得到为的切线； 【规范解答】（1）解：①当(或)可判断为的切线； ②当， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； 故答案为∶ ①(或)(答案不唯一)、②；(答案不唯一) （2）证明：如图，作直径，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴为的切线； 【考点评析】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理． 考点讲练9：证明某直线是圆的切线 【精讲题】（22-23九年级上·广东湛江·期中）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【思路点拨】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，证明，得出，从而得出，即可得证； （2）证明是等边三角形，得出，从而得出，求出，再证明，即可得解． 【规范解答】（1）证明：连接，则， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． （2）解：∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，   ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三练1】（23-24九年级上·天津·期末）已知是的直径，点B是圆上除点A，C以外的点，点D是弦的中点，连接并延长交圆于点E，过点E作，交的延长线于点F． (1)如图1，求证：直线与相切； (2)如图2，连接，若的直径是10，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查切线的判定，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）连接，则，由垂径定理得，，再根据，可知，进而可得结论； （2）由圆周角定理可知，，再证明，，可得，由勾股定理得，，根据即可求解． 【规范解答】（1）证明：连接，则， ∵点D是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线过半径的外端点E，并且垂直于半径， ∴直线与相切． （2）∵是的直径，且， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴． 【举一反三练2】（23-24九年级上·广西南宁·开学考试） 如图，为的直径，点，都在上，，交于点，点在的延长线上，且．    (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)6 【思路点拨】（1）连接，求出，由等腰三角形的性质得，，然后证明即可证明结论成立； （2）设的半径，则，在中，由勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）证明：如图，连接，   ， ， ， ， ，为的直径， ， ∴， ， ，即， ， 是半径， 为的切线； （2）解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得，， ， 解得，或（舍去）， 的半径为6． 【考点评析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的证明，勾股定理，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键． 考点讲练10：切线的性质定理 【精讲题】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（    ） A．9 B．10 C． D．12 【答案】B 【思路点拨】本题考查了圆的切线的判定与性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识点． 连接，延长交于点，由垂径定理可得，证明四边形为矩形，得到，设，则，由勾股定理得出，解得，则得出答案． 【规范解答】解：连接，延长交于点， 与相切， ， 在矩形中，， ， ， 矩形绕点旋转所得矩形为， ，，， 四边形为矩形， ， 设，则， ， ， 解得， ． 故选：B． 【举一反三练1】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为 ． 【答案】/105度 【思路点拨】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，连接，利用等边对等角得出，，利用切线的性质可求出，然后利用圆内接四边形的性质求解即可． 【规范解答】解∶连接， ∵，， ∴，， ∵是切线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故答案为：． 【举一反三练2】（22-23九年级上·广东广州·期中）如图，是的外接圆，是的直径，点D在上，，连接，延长交过点C的切线于点E． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【思路点拨】（1）利用等腰三角形的性质可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答； （2）利用切线的性质可得，利用圆内接四边形对角互补以及平角定义可得，再利用（1）的结论可得，然后可证，最后利用平行线的性质可得，即可解答． 【规范解答】（1）证明：连接， ， ， ， ； （2）证明：与相切于点C， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆内接四边形性质，平行线的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 考点讲练11：切线的性质和判定综合应用 【精讲题】（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【思路点拨】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明切线连半径是常作的辅助线； （1）连接，由等腰三角形的性质及互余关系即可得，即，即可得证； （2）设的半径，则可得的长度，从而得的长度，在中，由勾股定理建立方程即可求得r． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴为的切线； （2）解：设的半径，则， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴的半径为3． 【举一反三练1】．（23-24九年级上·山东烟台·期末） (1)尺规作图：已知及圆外一点P，过点P作圆的两条切线，切点分别是点A、点B；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接并延长，交于点D，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查作图—复杂作图、圆周角定理、切线的判定与性质，熟练掌握圆周角定理、切线的判定与性质是解答本题的关键． （1）连接，作线段的垂直平分线，交于点M，再以点M为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，连接即可． （2）连接，由切线的性质可得即，由圆周角定理得到，根据四边形内角和为即可得的答案． 【规范解答】（1）解：如图，连接，作线段的垂直平分线，交于点M，再以点M为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，连接 由圆周角定理可得，， ∵为的半径， ∴为的切线． 则即为所求； （2）解：连接， ∵为的两条切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三练2】（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，中，，点在边上，过点且分别与边、相交于、两点，，点为垂足． (1)求证：直线是的切线； (2)当是等边三角形，且直线与相切时，直接写出长度为线段长度2倍的所有线段． 【答案】(1)见解析 (2)长度为线段长度2倍的所有线段有：，，，． 【思路点拨】（1）利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，利用圆周角定理和含角的直角三角形的性质，得到；再利用圆的切线的性质定理，等边三角形的性质和直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：连接，如图， ， ． ， ， ， ． ， ， 为的半径， 直线是的切线； （2）解：连接，如图， 为的直径， ， 是等边三角形， ， ， ． ， ， ． 直线与相切， ， ， ， 为等边三角形， ． 在和中， ， ， ． 同理：， ． ． 由题意：， ， ， 长度为线段长度2倍的所有线段有：，，，． 【考点评析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，圆的有关性质，圆的切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 考点讲练12：应用切线长定理求解和求证 【精讲题】（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，切于点，直线切于点，交于，交于点，若，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了切线长定理，根据切线长定理得，，，然后根据周长即可求解，理解切线长定理是解题的关键． 【规范解答】解：∵与相切，直线与相切， ∴，，， ∴的周长为 ， 故选：． 【举一反三练1】（2024·湖北武汉·二模）如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据切线的性质可得，由三角形的内角和定理可得，等量代换即可判断选项B；根据切线长定理可设设，，，由，，，可列出方程组，求解即可判断选项C；过点C作于点H，根据勾股定理得到，构造方程可求出，得到，设的半径为r，即，根据即可求出的半径，从而判断选项D；由，得到，用反证法即可证得不成立，从而判断选项A． 【规范解答】解：∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故B选项正确； ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∵，，， 设，，， ∴，解得， ∴，，，故C选项正确； 过点C作于点H， ∴， 设，则， ∵在中，， 在中，， ∴，解得， ∴， ∴， 连接，，，， 设的半径为r，即， ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∴， ∴，解得：， ∴，故D选项正确； ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， 若成立， 则，这与矛盾， ∴不成立，故A选项错误． 故选：A 【考点评析】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，三角形的内角和定理，圆周角定理等，综合运用相关知识是解题的关键． 【举一反三练2】（24-25九年级上·全国·假期作业）已知、分别切于、，为劣弧上一点，过点的切线交于、交于． (1)若，求的周长． (2)若求． 【答案】(1)12 (2) 【思路点拨】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角是解题的关键． （1）根据切线长定理得到，，，根据三角形的周长公式计算即可； （2）证明，得到和，计算即可． 【规范解答】（1）连接， 、与圆相切， ， 同理可得：，， 的周长； （2）与圆相切， ， ∵， ， 在和中， ， ， ， 同理：， ． 考点讲练13：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【精讲题】（23-24九年级上·四川泸州·期中）设一个直角三角形的两直边的长分别是的两个实数根，则这个直角三角形的内切圆的面积为（　　） A．π B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】设直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a，b，由题意可得，由勾股定理得，，如图，则，即，可求，进而可求这个直角三角形的内切圆的面积． 【规范解答】解：设直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a，b， ∵直角三角形的两直角边长是方程的两个实数根， ∴， 由勾股定理得，， 如图， ∴，即， 解得，， ∴这个直角三角形的内切圆的面积为， 故选：A． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，勾股定理，三角形内切圆的半径等知识．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，勾股定理，三角形内切圆的半径是解题的关键． 【举一反三练1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：设的内切圆为，与 分别相切于点， ∵，，， ∴， ， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， 连接，则， ∵ ，且，，， ∴， 解得， 同理可得，， 解得， ∴， 故选：． 【举一反三练2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点D，E分别在BC，上，与的内切圆O相切．若的面积是30，的周长是4，则的长为 ． 【答案】13 【思路点拨】本题考查切线长定理，直角三角形的内切圆．设三角形与内切圆的三个切点分别为，连接，连接，易得四边形为正方形，设的半径为，根据切线长定理，得到，的周长为，求出的值，再根据分割法求三角形的面积，列出方程求出的长即可． 【规范解答】解：设三角形与内切圆的三个切点分别为，连接，连接，则：，， ∵， ∴四边形为正方形， 设的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与的内切圆O相切， ∴， ∴的周长是， ∴， ∵的面积， ∴； 故答案为：13． 考点讲练14：圆外切四边形模型 【精讲题】（2011·陕西·中考真题）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【思路点拨】延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长． 【规范解答】解：如图：延长FO交AB于点G，则点G是切点，OD交EF于点H，则点H是切点， ∵ABCD是正方形，点O在对角线BD上， ∴DF=DE，OF⊥DC， ∴GF⊥DC， ∴OG⊥AB， ∴OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圆的半径． 在等腰直角三角形DEH中，DE=2， ∴EH=DH==AE． ∴AD=AE+DE=+2． 故选C． 【考点评析】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长． 【举一反三练1】（18-19九年级上·浙江温州·期末）如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    【答案】 【思路点拨】连接，由题意可知过点，，且，列出方程求解即可． 【规范解答】解：如图所示，连接，过点作于，过点作于，    ∵正方形，正方形和正方形都在正方形内， ∴， ∵分别与，，，相切， ∴四边形是正方形， ∴过点，， 四边形为正方形， ，，． ． ． 设的直径为，则 ． ， ．， ， （） 解得：． 即的直径为． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了正方形的性质及正方形的内切圆，掌握相关知识是解题的关键． 【举一反三练2】（2019九年级·全国·专题练习）如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 【答案】见解析. 【思路点拨】由切线长定理可得AD+BC=AB+CD=2AB，根据梯形中位线定理可得AD+BC=2EF，进而可得EF=AB. 【规范解答】∵等腰梯形ABCD是的外切等腰梯形， ∴AD+BC=AB+CD=2AB， ∵梯形中位线为EF， ∴AD+BC=2EF， ∴EF=AB. 【考点评析】本题考查切线长定理及梯形的中位线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；熟知圆外切四边形对边和相等是解题关键. 考点讲练15：三角形内心有关应用 【精讲题】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）如图，点I为的内心，，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查三角形的内心、平移性质、等腰三角形的判定，根据三角形的内心是三角形角平分线的交点得到，再根据平移性质得到，进而证得，再利用等腰三角形的判定证得，同理证得，进而可求解即可． 【规范解答】解：连接、，如图， ∵点I为的内心， ∴， 由平移性质得， ∴，则， ∴， 同理可证， ∴图中阴影部分的周长为， 故答案为：6． 【举一反三练1】（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，点是的内心，的延长线交边于点，交外接圆于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的内心是三条角平分线的交点． （1）连接，根据内心的性质得出，，进而推出，根据三角形的外角定理得出，，则，即可求证； （2）先求出，通过证明，得出，即可求解． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵点是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：． 【举一反三练2】（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）下列四个命题：①垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④任意三角形是内心总是在三角形的内部；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等．其中真命题的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了垂径定理，圆周角，三角形的外接圆及其内心，外心等知识．根据垂径定理，圆周角，三角形的外接圆及其内心，外心性质对各选项进行判断作答即可． 【规范解答】解：由题意知，垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，①正确，故符合要求； 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，②错误，故不符合要求； 三角形有且只有一个外接圆，③正确，故符合要求； 任意三角形是内心总是在三角形的内部，④正确，故符合要求； 三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，⑤错误，故不符合要求； 故选：C． 考点讲练16：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【精讲题】（21-22九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据三角形内切圆的特点作出圆心和三条半径，分别表示出的面积，利用面积相等即可解决问题． 【规范解答】解：如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线交、、于点、、，   ， ， ， 的长为， ， ， ， ， 故选：A． 【考点评析】本题考查了三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形面积相等推出关系式是解题关键． 【举一反三练1】（21-22九年级上·山东临沂·期中）如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作的切线，与、分别交于点M、N，，，则的周长为 ． 【答案】4 【思路点拨】首先利用勾股定理求出斜边的长度，再判断四边形为正方形，然后利用切线长定理求出内切圆半径，进而求出周长． 【规范解答】如图，连接、， 在中，， 设内切圆半径为r，、为的切线， ∴，， ∵，， ∴四边形为正方形， ∴， 由切线长定理得，，，，， ∴，解得， 则的周长为 ． 故答案为：4． 【考点评析】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质定理，切线长定理，解题关键是判断四边形为正方形，再依据切线长定理把三角形的周长化为两条切线长，再转化为半径进行求解． 【举一反三练2】（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，中，，，是边上的高，，分别是，的内切圆，则与的面积比为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了勾股定理，三角形的内切圆性质，圆的面积，先用勾股定理求得得长，再利用内切圆性质求得圆的半径，继而求得面积计算即可． 【规范解答】∵，，是边上的高， ∴，， ∴，， 设与的半径分别为x，y，则 ∴，， 解得， ∴与的面积比为， 故答案为：． 考点讲练17：三角形内切圆与外切圆综合 【精讲题】（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【思路点拨】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心．利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断． 【规范解答】解：∵E是的内心， ∴平分， ∴，故①正确； 如图，连接， ∵E是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴G一定在上， ∴，故③正确； 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 若，则，显然不可能，故④错误． 故选：D． 【举一反三练1】．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，周长为18，，圆O是的内切圆，圆O的切线与、相交于点M、N，则的周长为 ．    【答案】 【思路点拨】考查了三角形的内切圆与内心及切线的性质的知识，根据切线长定理得到 ，然后利用三角形的周长和的长求得和的长，从而求得的周长，解题的关键是利用切线长定理求得和的长． 【规范解答】解：∵圆是的内切圆，圆的切线与相交于点 ∴，，，， ， ∵周长为，， ∴， ∴的周长为： ， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，（1）作和的垂直平分线交点O；（2）以点O为圆心，OA长为半径作圆；（3）分别与和的垂直平分线交于点；（4）连接其中与交于点P． 根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，①；②；③点O是的外心；④点是的内心．所有正确结论的序号是（） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【思路点拨】本题考查作图-复杂作图，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题； 根据作图信息以及线段的垂直平分线的性质，垂径定理等知识一一判断即可． 【规范解答】解：如图，设交于． ∵， ∴， ∴；故①正确， ∴，故②错误， ∵点是线段，线段的垂直平分线的交点， ∴点是的外心，故③正确， ∵， ∴， ∴， ∴点是的内心，故④正确， 故选：D． 考点讲练18：圆的综合问题 【精讲题】（22-23九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，等腰直角与交于点B、C，，延长、与分别交于点D、E，连接、，并延长至点F，使得．    (1)求的度数； (2)求证：与相切； (3)若的半径为2，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，圆的切线的判定，勾股定理等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接，得到为的直径，进而得到，再结合等腰直角三角形的性质，即可求出的度数； （2）由同弧所对的圆周角相等，得到，再根据，，得到，即可证明结论； （3）连接、，根据圆周角定理，得到，再利用勾股定理，即可求出的长． 【规范解答】（1）解：如图1，连接，   ， 过圆心O， 为的直径， ， 是等腰直角三角形， ， ． （2）证明：根据圆的性质可知， ， ， ， ， 是半径， 与相切． （3）解：如图2，连接、，   ， ． 【举一反三练1】（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，是的直径，为上一点，平分交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【思路点拨】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质，矩形的判定与性质，依据垂径定理和勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形和矩形是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出即可证得是的切线； （2）过作于，先证得四边形为矩形，即可求解； 【规范解答】（1）证明： 连接，如图： ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴是的切线． （2）解：过作于，连接，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是矩形， ∴． 【举一反三练2】（22-23九年级上·山东威海·期末）如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是弧的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接，，和． 是弧的中点，，． 任务：          (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图（3），已知等腰内接于，，，点为弧上一点，，于点，的周长为，请你求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了圆综合题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形解决问题． （1）在上截取，连接，，和，证明，得到，再根据等腰三角形的性质得到，即可证明； （2）在上取，连接，，证明，得到，结合，推出，，由的周长为，可得，在中，，可得． 【规范解答】（1）证明：在上截取，连接，，和． 是弧的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 即；    （2）在上取，连接，．    ，， ， ， ， ， ， 即， 的周长为， ， ， ， ， 在中， ， ． 考点讲练19：过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 【精讲题】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格纸上，以O为圆心，为半径作圆，点O、A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，①作的中点M： ②作，使得； ③取格点C，使为的一条切线．（做出符合题意的一点即可） (2)在图2中，作直径，E为外任一点，过E作的垂线垂足为F． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析； (2)见解析 【思路点拨】本题考查了无刻度直尺作图，涉及垂径定理、全等三角形的判定与性质、网格的特点，解本题的关键在正确画出符合题意的图形． （1）①连接，过点、格点作直线交于点，点即为所求点； ②在网格上找到点，连接，并延长交于点，则，即为所求，设点下方的格点为，点上方的格点为，连接、、，与交于点，与交于点，再根据“边角边”，得出，进而得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，，再根据对顶角相等，得出，进而得出，再根据垂线的定义，得出，再根据垂径定理，即可得出； ③根据题意作出点C，由网格的特点得，进而求解即可； （2）连接交于点F即为所求． 【规范解答】（1）①如图，点即为所求点； ②如图，在网格上找到点，连接，并延长交于点，则，即为所求． 设点下方的格点为G，点上方的格点为，连接、、，与交于点，与交于点， ∵， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③如图所示，点C即为所求； 由网格的特点可得， 又∵是的半径 ∴为的一条切线； （2）如图所示，连接交于点F即为所求； 由网格的特点可得，． 【举一反三练1】（23-24九年级上·江苏扬州·期中）请按下列要求作图．    (1)如图1，在方格纸中，点A在圆上，仅用无刻度直尺过点A画出圆的切线； (2)如图2，已知，点Q在外，用尺规作上所有过点Q的切线．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了切线的性质，过圆外一点作圆的切线（尺规作图）以及方格作图： （1）根据方格的特征，因为，，，得是直径，，即得，据此作图即可； （2）连接，再作线段的垂直平分线，交于一点，即为点，以点为圆心，为半径，相交于点A，点B，连接，，因为为直径，，即为切线，切线，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图，直线即为所求：    （2）解：所有过点Q的切线为切线，切线，如图所示：    【举一反三练2】；（22-23九年级上·广东广州·阶段练习）下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及外一点；求作：过点作切线． 作法：①连接，作的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，长为半径作圆，交于点、两点； ③作直线、，则、即为的切线． 根据小芸设计的尺规作图过程： (1)用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）； (2)证明：为的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）按照作图步骤补全图形即可； （2）连接，，则，由（1）可知，，则，得到，由三角形内角和定理得到，由切线的判定定理即可得到结论． 【规范解答】（1）解：补全图形如下： （2）证明：连接，，则， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线． 【考点评析】此题考查了作图、切线的判定定理、等腰三角形的判定和性质等知识，准确作图和熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 中等题真题汇编练 1．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，中，，，，则的内切圆半径为（　　） A．2 B．4 C．1.5 D．2.5 【答案】A 【思路点拨】此题重点考查三角形内切圆的定义、切线的性质定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法．设与、、分别相切于点、、，连接，则，由勾股定理求得，连接、、，则，求得，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：设与、、分别相切于点、、，连接，则， ，，， ， 连接、、， ，，， ，，，， ， 解得， 故选：A． 2．（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为 5 ，那么 x轴与的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 【答案】B 【思路点拨】本题考查直线与圆的位置关系．欲求与x轴的位置关系，关键是求出点A到x轴的距离d再与的半径5比较大小即可． 【规范解答】解：在直角坐标系内，以为圆心，5为半径画圆，则点P到x轴的距离为， ∵， ∴， ∴与x轴的相离． 故选：B． 3．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，点A、B、C在上，，过点C作的切线交的延长线于点D，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查圆的切线的性质，同弧所对圆周角和圆心角的关系，掌握同弧所对圆周角是圆心角的一半是解答本题的关键．连接，根据同弧所对圆周角和圆心角的关系，求出的度数，再根据为的切线，得到，再求出的大小即可． 【规范解答】解：如图，连接， ∵为的切线， ∴， ∵，是所对的圆周角和圆心角，， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2023·河北邢台·二模）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，若与的交点为，则点是（    ） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的中心 【答案】B 【思路点拨】本题考查了翻折变换以及角平分线的性质，三角形的内心的性质，根据折叠的性质可知点为角平分线的交点，根据角平分线的性质可知点到三边的距离相等． 【规范解答】解：如图：过点作，，，    由题意得：，， 为角平分线的交点， ， 点到三边的距离相等． 点是的内心． 故选：B． 5．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，为的切线，、分别与切于、点，若，，则的长是 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．根据切线长定理得出，，根据，，求出结果即可． 【规范解答】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故答案为：2． 6．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．问题：若正方形的边长为10丈，的半径为2丈，则点到的最短距离为 丈． 【答案】 【思路点拨】本题考查正方形的性质，圆的切线的定义，勾股定理等．如图，先根据正方形的性质得出在同一直线上，得到的长是点到的最短距离，利用勾股定理计算即可求解． 【规范解答】解：如图， 设与正方形的边的切点为点，连接， ∴， 由正方形的性质知，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴在同一直线上， 设与的交点，的长是点到的最短距离， 则（丈），， ∴（丈），（丈）， ∴（丈）， 故答案为：． 7．（20-21九年级上·山东烟台·阶段练习）如图，是外一点，、分别和切于、，是弧上任意一点，过作的切线分别交、于、，若的周长为，则长为 ． 【答案】/厘米 【思路点拨】本题主要考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，掌握切线长定理是解题的关键．先根据切线长定理求得，，，再由的周长为，即可求解． 【规范解答】解：、、分别切于、、， ，，； ∵的周长为， ， ． 故答案为：． 8．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，与分别切于点，连接．则的度数为 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题主要考查圆的基础知识，掌握圆的切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的运用是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理可求出的度数，根据切线的性质可得，可求出的度数，由此即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵与分别切于点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，点D在的直径的延长线上，点C在上，，，求证：是的切线． 【答案】见解析 【思路点拨】此题考查了切线的判定，三角形的内角和，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 连接，由等腰三角形的性质可得，，再利用三角形的内角和及外角性质即可求证，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用. 【规范解答】证明：连接， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． 10．（2024·安徽合肥·二模）已知，四边形 内接于为直径 ，与的延长线相交于点E，平分，与相交于点 F． (1)如图1，若 ，求证：； (2)如图2，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质、圆与三角形的综合、勾股定理： （1）利用证得，进而可求证结论； （2）利用先证得，进而可得，，设，，利用勾股定理得，，再结合，即可求解； 熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键。 【规范解答】（1）证明：为直径， ， ， ， ， 在和中， ， 。 （2）平分， ， 由（1）得：， 在和中， ， ， ， ，， 设，， 由勾股定理得：，， ，， ，即：， 解得：， 为直径， 的半径为。 11．（23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期末）如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分． (1)证明：是的切线； (2)，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【思路点拨】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）根据勾股定理求出，再根据线段的和差求解即可． 【规范解答】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ∴， ， ， ， ， 为半径， 是切线； （2）解：设， 在中，，， ， 由勾股定理，得：， 解得：， ， ． 12．（23-24九年级上·云南保山·期末）如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了切线的证明、角平分线的性质定理、切线长定理以及勾股定理等知识点，掌握圆中相关定理的内容是解题关键． （1）过点作，由角平分线的性质定理可得，即可求证； （2）在中求出，设的半径为，则，，，在中求出即可求解． 【规范解答】（1）证明：过点作，垂足为，如图， 以点为圆心，长为半径的与相切于点， ， 平分， ， 是的半径，又， 是的切线； （2）解：由（1）知 根据勾股定理得， ，均为的切线，切点分别为和 设的半径为，则，，， 在中，根据勾股定理得， 即， 解得， 即． ． 培优题真题汇编练 13．（21-22九年级上·河北石家庄·期中）如图，是的一条弦，点是上一动点，且，点、分别是、的中点，直线与交于、两点，若的半径为7，则的最大值为（    ） A．9 B．10.5 C．11 D．11.5 【答案】B 【思路点拨】本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，确定的位置是解题的关键．连接，，可证是等边三角形，由点、分别是、的中点，根据三角形中位线定理得出为定值，则，所以当取最大值时，有最大值．而直径是圆中最长的弦，故当为的直径时，有最大值． 【规范解答】解：连接，， ， ， 是等边三角形， ， 当为的直径时，有最大值． 当为直径时，点与点重合， 也是直径，． 是直径上的圆周角， ， ， ． 点、分别为、的中点， ， ． 故选：B． 14．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）如图，是的切线，点A为切点，交于点C，的延长线交于点D，点E在优弧上，连接，，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查切线的性质，圆周角定理，连接，根据圆周角定理得，再结合切线的性质进行求解是解决问题的关键． 【规范解答】解：连接，    由圆周角定理可知，， ∵是的切线， ∴， ∴， 故选：C． 15．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，已知是的直径，与相切于点，．则下列结论中不一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了切线的性质，圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，分别根据切线的性质、平行线的判定定理及圆周角定理对各选项进行逐一判断即可，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键． 【规范解答】∵是的直径，切于点， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵是所对的圆心角，是所对的圆周角， ∴，故正确； 只有当时，故本选项错误， 故选：． 16．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，正方形的边长为，点在上，若以为直径的与相切，则的长为(   ) A．1 B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】令切点，连接、相交于点，由切线的性质得，由正方形的性质得，从而得，，，于是，，在中利用勾股定理即可得解． 【规范解答】解：令切点，连接、相交于点， ∵与相切， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴即， 解得， 故选∶． 【考点评析】本题主要考查了正方形的性质、切线的性质、垂线定义、平行线分线段成比例定理以、勾股定理及三角形的中位线性质，熟练掌握切线的性质、垂线定义以及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 17．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，点P为的中点，点Q为边上一动点，将绕点C顺时针旋转，点Q的对应点记为点，旋转过程中的取值范围为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理，圆的运动轨迹，过点C作于点H，先根据勾股定理求出的长，利用三角形面积求出的长，利用由于点在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最小值，在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最大值，即可求出结果． 【规范解答】解：如图，过点C作于点H， ， ， ， ， 以点C为圆心为半径作圆， 为的中点， ， 由于点在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最小值， 的最小值为， 由于上的点B距离C点最短， 能取最大值时，在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最大值， 的最大值为， 旋转过程中的取值范围为 故答案为：． 18．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知的弦，以为一边作正方形，边与相切，切点为E，则半径为 【答案】 【思路点拨】本题主要考查正方形的性质，垂径定理和勾股定理，连接并延长，交于F，连接，设的半径为r，则，，由勾股定理列式可求出． 【规范解答】解：连接并延长，交于F，连接，如图， 设的半径为r，则， 边与相切， ， 四边形为正方形， ， ， 在中，，即 解得：， 即圆的半径为， 故答案为： 19．（23-24九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，直线，相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，且位于点O左侧处．若以的速度由A向B的方向移动，则 后，与直线相切．    【答案】3或7/7或3 【思路点拨】本题考查了直线与圆的位置关系和含角的直角三角形的性质，由圆的相切解得路程，当在直线左侧时如图，由，求得，则有即可求得时间；当在直线右侧时，同理求得即可求得时间． 【规范解答】解：当在直线左侧时，过点作交于点E，如图，      ∴，， ∵， ∴， ∴， 则向右移动了，所用时间秒； 当在直线右侧时，如图，    过点作交于点F，则， ∵ ∴， ∴， 则向右移动了，所用时间秒． 故答案为：3或7． 20．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，的半径为，直线与相离，过点作于点，垂足为，且，点是上一动点，过点作于点，垂足为，则的最大值是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，二次根式的非负性，勾股定理，矩形的性质；分和两种情况讨论，设，得出关于的函数关系式，进而即可求解． 【规范解答】解：如图所示，连接，过点作于点， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴当时，最大，最大值为； 当时，如图所示， 同理可得，则 ∴当最大时，最大 ∵ ∴当时，即时，最大 最大值为， 综上所述，的最大值为， 故答案为：． 21．（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，一个圆形钢环靠在台阶直角处，已知台阶高，钢环所在的与地面相切于点A，，求钢环的半径． 【答案】钢环的半径为． 【思路点拨】本题主要考查切线的性质、勾股定理，正确计算是解题的关键．连接，作，设钢环的半径为r，根据勾股定理得进而即可求解． 【规范解答】解：连接，作． 由题意可得，是的切线， ， 为矩形． 设钢环的半径为r，则． 在中，得． 解得． 所以钢环的半径为 22．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）如图，为的直径，为上一点，与过点的切线互相垂直，垂足为的延长线交于点． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质等知识： （1）连接，根据切线的性质得到，从而得到，根据两直线平行内错角相等可得出，进而得到，即可； （2）连接，根据直径所对的圆周角为直角可得出，从而得到，进而得到，再由直角三角形的性质可得，设，则，根据勾股定理求出x，可证明是等边三角形，即可求解． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， 是的切线，且是的切点， ， 又， ， ， ， ， ， 即平分， （2）解：如图，连接， 在中， 点在上，为的直径，， ， ∴， 由（1）知：， ， ∴， ∴， 设，则， ， ， 解得（舍），， 即， ， 即的直径为4，半径为2， ， 又点在上， ， 是一个角为的等腰三角形，即等边三角形， ． 23．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，是半圆的直径，为弦，过点C作直线交的延长线于点E．若，． (1)求证：直线与半圆相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路点拨】本题考查了切线的性质和判定，含直角三角形的性质，勾股定理，关键是根据切线的性质和判定进行解答． （1）连接，证明即可； （2）由（1）可知是直角三角形且根据，含直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【规范解答】（1）解：连接，如图： ．， ． 又． ． ． 直线与半圆相切． （2）在中， ， 又 24．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图1，的直径，和是它的两条切线，点E是圆上一点，过点E的直线与，分别相交于点D，C两点，连接并延长，交点P，． (1)求证： 是的切线； (2)若，求长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【思路点拨】（1）连接，，根据“直径所对的圆周角等于”可得，再根据“直角三角形中，斜边中线等于斜边一半”可得，进而可得，又由于，可得， ，由此可得是的切线． （2）过点D作于Q，由切线的性质可得四边形是矩形， ， ．设，则，，，在中，根据勾股定理列方程求出x的值即可． 【规范解答】（1）连接，， 是的切线， ， 是的直径， ． ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2）过点D作于Q， ，，都是的切线， ，， ， ∴四边形是矩形， ，， ． 设，则，，， ∵在中，， ， 解得    ， 即  ． 【考点评析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直径所对的圆周角是直角，切线的判定和性质，切线长定理，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键． 25．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，在扇形中，，，点P在半径上，连接． (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ①如图1，当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ②如图2，点Q落在扇形内部，的延长线与弧交于点C，过点Q作，垂足为H，，求的长； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧所在的圆与的延长线交于点F，若，求的长． 【答案】(1)①；②16 (2) 【思路点拨】（1）①连接，证明为等边三角形，得根据得，利用弧长公式即可解答；②过O作，证，即可解答； （2）将沿着翻折得，过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D，得四边形是矩形，结合（1）②的结论以及折叠的性质可得，，根据勾股定理求，设，，，由，得，解方程即可 【规范解答】（1）①连接， 由翻折得， ， 为等边三角形， ， ， ， 弧的长：； ②过O作， ， ， ， 由翻折得， 在与中 ， ， ， ； （2）如图所示，将沿着翻折得， 过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D， ∵， ∴四边形是矩形， 由折叠和 (1) 可知，，， ， ， ， 在中 ， 设，则， ， 在中 ， ， 解得： 的长为． 【考点评析】本题主要考查了弧长公式，垂径定理，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质以及垂径定理，构造合理的辅助线，是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$