2.4 圆周角（知识精讲+易错点拨+七大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学九年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第2章《对称图形—圆》】 2.4 圆周角 （知识精讲+易错点拨+七大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：圆周角的概念辨析 3 考点讲练2：圆周角定理 4 考点讲练3：同弧或等弧所对的圆周角相等 6 考点讲练4：半圆（直径）所对的圆周角是直角 8 考点讲练5：90度角的圆周角所对的弦是直径 10 考点讲练6：已知圆内接四边形形求角度 12 考点讲练7：求四边形外接圆的直径 13 中等题真题汇编练 15 培优题真题汇编练 19 新知精讲梳理 知识点01：圆周角的定义 定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。这个定义明确了圆周角的基本特征，即顶点必须在圆上，且两边都必须与圆相交。 知识点02：圆周角的性质 同弧或等弧所对的圆周角相等： 在同圆或等圆中，如果两个圆周角所对的弧是同一条弧或等弧，那么这两个圆周角是相等的。 这一性质是圆周角定理的核心内容，它揭示了圆周角与它所对的弧之间的内在联系。 圆周角等于它所对弧的圆心角的一半： 在同圆或等圆中，一个圆周角的大小等于它所对的弧所对的圆心角大小的一半。 这一性质进一步加深了圆周角与圆心角之间的关系，使得我们可以利用圆心角来求解圆周角，或者利用圆周角来求解圆心角。 直径所对的圆周角是直角： 如果一个圆周角所对的弦是圆的直径，那么这个圆周角是直角。 这一推论是圆周角性质的一个重要应用，它使得我们可以利用直角来判断一个弦是否是直径。 90°的圆周角所对的弦是直径： 如果一个圆周角是90°，那么它所对的弦一定是圆的直径。 这一推论与上一个推论是互为逆命题的，它们共同构成了圆周角与直径之间的完整关系。 知识点03：圆周角与圆心角的关系 圆周角与圆心角之间存在着密切的联系。在同圆或等圆中，一个圆周角所对的弧所对的圆心角是圆周角的两倍。这一关系使得我们可以利用圆心角来求解圆周角，或者利用圆周角来求解圆心角。 知识点04：典型例题与应用 典型例题通常会涉及圆周角的定义、性质及其与圆心角的关系的应用。例如，给定一个圆和圆上的几个点，要求求出某个圆周角的度数；或者给定一个圆周角和它所对的弧的度数，要求求出圆心角的度数等。 实际应用方面，圆周角的知识在几何证明、三角函数计算以及圆的性质研究中都有广泛的应用。例如，在解决与圆相关的几何问题时，经常需要利用圆周角的性质来构建辅助线或进行角度转换等。 高频易错知识点拨 易错知识点01：圆周角的定义与识别 定义不清： 易错点：学生可能混淆圆周角的定义，认为只要角在圆上就是圆周角。 正确理解：圆周角是顶点在圆上，两边都和圆相交的角。注意，顶点必须在圆上，且两边都必须与圆相交。 识别错误： 易错点：在复杂图形中，学生可能难以准确识别出圆周角。 解决方法：通过作图辅助，明确标出顶点、圆和两边，帮助识别圆周角。 易错知识点02：圆周角与圆心角的关系 关系理解不透彻： 易错点：学生可能只记得“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，但对其中的“同弧”概念理解不清。 正确理解：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。注意这里的“同弧”或“等弧”是关键条件。 应用错误： 易错点：学生在解决实际问题时，可能忽视题目条件，错误地应用圆周角与圆心角的关系。 解决方法：仔细阅读题目，明确题目中的条件，如“同圆或等圆”、“同弧或等弧”等，再应用关系式进行计算。 易错知识点03：圆周角的特殊性质 半圆或直径所对的圆周角： 易错点：学生可能忘记半圆（或直径）所对的圆周角是直角的性质。 正确理解：半圆（或直径）所对的圆周角是直角。这是一个重要的特殊性质，常用于证明和计算中。 90°的圆周角所对的弦： 易错点：学生可能将“90°的圆周角所对的弦是直径”与“直径所对的圆周角是直角”混淆。 正确理解：90°的圆周角所对的弦是直径，这是圆周角的另一个重要性质。注意区分两个命题的条件和结论。 易错知识点04：辅助线的添加与证明 辅助线添加不当： 易错点：在解决圆周角问题时，学生可能不知道如何添加合适的辅助线。 解决方法：根据题目条件和目标，选择合适的辅助线，如连接圆心与圆周角的顶点、连接圆周角所对的弦的中点与圆心等。 证明过程不严谨： 易错点：学生在证明过程中可能忽略某些条件或步骤，导致证明不严谨。 解决方法：在证明过程中，明确写出每一步的依据和结论，确保证明过程的完整性和严谨性。 考点讲练1：圆周角的概念辨析 【精讲题】（21-22九年级上·浙江湖州·期末）下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心 【举一反三练1】（20-21九年级上·浙江宁波·期中）下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三练2】（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则 . 【举一反三练3】（21-22九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知ABC，AB＝AC，∠A＝70°．O，D分别为BC，AB的中点，以O为圆心，OD为半径作圆，与AB的另一个交点为E，与AC交于点G，F，则∠DOE+∠FOG的度数是 ． 考点讲练2：圆周角定理 【精讲题】（23-24九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，四边形内接于，点E在的延长线上．若，则 度． 【举一反三练1】（22-23九年级上·湖南株洲·期中）（1）如图①，过上一点作两条弦、，若，则平分，为什么？ （2）如图②，若点在内，过点的两条弦，相等，则平分吗？为什么？ （3）如图③，若点在外，过点作、，分别交于点，和，，且，则平分吗？为什么？ 【举一反三练2】（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点D， (1)求的度数； (2)求的长； (3)求，的长． 【举一反三练3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．    (1)求的度数； (2)过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长． 考点讲练3：同弧或等弧所对的圆周角相等 【精讲题】（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，是的外接圆上的一点，． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【举一反三练1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，是的直径，是的中点，于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径及的长． 【举一反三练2】（2024·湖北武汉·二模）如图，在中，，连接 ，，过点 作交 延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【举一反三练3】（2024·安徽·一模）如图1，是的弦，点和点是上的点，和交于点，． (1)求证：； (2)如图2，若，点是上一点且，与交于点，求证：． 考点讲练4：半圆（直径）所对的圆周角是直角 【精讲题】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，点、都在以为直径的半圆上，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，锐角，，以为直径作交于点D，E，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点G，， ①求证：； ②如图3，连接，若，求的长． 【举一反三练2】（2024·安徽·二模）如图，为的直径，CD为的一条弦，的平分线交于点E，，的延长线交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【举一反三练3】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知，如图，为的直径，弧弧．，延长交于点D (1)求证：点P是的内心； (2)已知的直径是，．求的长． 考点讲练5：90度角的圆周角所对的弦是直径 【精讲题】（2024·浙江温州·三模）如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 【举一反三练1】（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，在矩形中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24九年级上·广东中山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是第一象限内的一个动点并且使，点，则的最小值为 ． 【举一反三练3】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在一个的正方形网格中，格点A，B，C均在圆上，请按要求画图，仅用无刻度的直尺（不能用直尺的直角），保留必要的作图痕迹． (1)在图1中作图：画出直径． (2)在图2中作图：在上找一点，使． 考点讲练6：已知圆内接四边形形求角度 【精讲题】（2024·湖南长沙·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24九年级下·河南新乡·期中）如图，的三个顶点均在上，是的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（2022·浙江温州·一模）如图，内接于，，，点为上一点，点为的中点，连接并延长与交于点，连接，． (1)求证：． (2)当经过圆心时，求的长． 【举一反三练3】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）将绕点A逆时针旋转得到，且点D落在的延长线上，连接． (1)如图1，若， ①求的度数； ②直接写出的值． (2)如图2，若点M，N分别为和的中点，连接并延长交于点G，求证：． 考点讲练7：求四边形外接圆的直径 【精讲题】（23-24九年级上·河南三门峡·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【举一反三练1】（22-23九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接．则长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【举一反三练2】（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（    ） A． B． C． D． 【举一反三练3】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ． 中等题真题汇编练 1．（22-23九年级上·吉林·期末）如图，是的直径，点C，D是圆上两点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，中，，以为直径作半圆分别与边、交于D、E，则（　　） A． B． C． D． 3．（2024·浙江温州·三模）如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·重庆大足·期末）如图，是的切线，点是切点，连接交于点，延长交于点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ． 6．（2024·安徽马鞍山·三模）如图，已知为的直径，为上两点，且平分，连接，若，则的度数为 ．    7．（2024·山东潍坊·三模）如图，的边为的直径．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交边，于点，．再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，射线与交于点．点为上一点，连接，．若，则的度数为 ． 8．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在四边形中，，，，点N在线段上运动，点M在线段上，，则线段的最小值为 ． 9．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 10．（2024·吉林长春·三模）图①、图②、图③中每个小正方形的顶点称为格点，图中点A、B、C、D、E、F、G分别是圆上的格点，仅用无刻度直尺，分别确定图①、图②、图③中的圆心O（保留适当的作图痕迹） 11．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）如图1，是的直径、C、D是上的两点，若，弧弧． 求：①的度数； ②求的度数； （2）如图2，的弦垂直平分半径，若的半径为4，求弦的长． 12．（2024·陕西咸阳·三模）如图，为的直径，为上一点，连接，过点作于点，在劣弧上取一点，连接，且满足平分，连接，分别交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径长． 培优题真题汇编练 13．（2024·重庆綦江·二模）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，，过点作，交于点．已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·山西忻州·三模）如图，四边形内接于，是的直径．若，，，则的长为（    ） A．3 B． C．5 D．4 15．（2024·山东济宁·三模）如图，已知四边形，过A，B，C的圆交于点E，连接，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 16．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，是等边三角形，为的外接圆，点D在劣弧上，连结并在上取点E，使得，连结．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 17．（2024·广东广州·三模）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ． 18．（2024·广东揭阳·三模）如图，为矩形的边的延长线上的动点，于，点在边上，若，，，则线段的最大值为 ．    19．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，矩形中，，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过F作于点G，连接，取的中点H，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②当点H和点G互相重合时，；③平分；④．正确的是 ．    20．（23-24九年级上·天津·期末）如图，由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，是的两条弦，且点A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）线段的长等于 ； （2）在如图所示的网格中，在直线的右侧找一点M，使得且，再在线段上找一点F，使，简要说明点M和F的位置是如何找到的（不要求证明） ． 21．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，为圆上位于直径两侧的点，连接、，且． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，，平分，求长度． 22．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过A，B两个格点，C是与格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)先画直径，再画圆心O； (2)在上画点M，使，在上画点F，连接，使． 23．（2023·山东济南·一模）如图1，是等腰直角三角形，，点在的内部，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、、 (1)判断线段与的数量关系并给出证明； (2)如图2，当B、D、E三点在同一条直线上时，写出线段、、的数量关系为 ． (3)如图3，若，，点为线段中点，当、、三点在同一条直线上时，连接，求的长度． 24．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，的外角的平分线与它的外接圆相交于点，连接，． (1)求证：； (2)过点作，垂足为点，判断，，之间的数量关系，并加以证明； (3)若，，满足，试求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第2章《对称图形—圆》】 2.4 圆周角 （知识精讲+易错点拨+七大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：圆周角的概念辨析 3 考点讲练2：圆周角定理 8 考点讲练3：同弧或等弧所对的圆周角相等 13 考点讲练4：半圆（直径）所对的圆周角是直角 19 考点讲练5：90度角的圆周角所对的弦是直径 25 考点讲练6：已知圆内接四边形形求角度 30 考点讲练7：求四边形外接圆的直径 36 中等题真题汇编练 40 培优题真题汇编练 52 新知精讲梳理 知识点01：圆周角的定义 定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。这个定义明确了圆周角的基本特征，即顶点必须在圆上，且两边都必须与圆相交。 知识点02：圆周角的性质 同弧或等弧所对的圆周角相等： 在同圆或等圆中，如果两个圆周角所对的弧是同一条弧或等弧，那么这两个圆周角是相等的。 这一性质是圆周角定理的核心内容，它揭示了圆周角与它所对的弧之间的内在联系。 圆周角等于它所对弧的圆心角的一半： 在同圆或等圆中，一个圆周角的大小等于它所对的弧所对的圆心角大小的一半。 这一性质进一步加深了圆周角与圆心角之间的关系，使得我们可以利用圆心角来求解圆周角，或者利用圆周角来求解圆心角。 直径所对的圆周角是直角： 如果一个圆周角所对的弦是圆的直径，那么这个圆周角是直角。 这一推论是圆周角性质的一个重要应用，它使得我们可以利用直角来判断一个弦是否是直径。 90°的圆周角所对的弦是直径： 如果一个圆周角是90°，那么它所对的弦一定是圆的直径。 这一推论与上一个推论是互为逆命题的，它们共同构成了圆周角与直径之间的完整关系。 知识点03：圆周角与圆心角的关系 圆周角与圆心角之间存在着密切的联系。在同圆或等圆中，一个圆周角所对的弧所对的圆心角是圆周角的两倍。这一关系使得我们可以利用圆心角来求解圆周角，或者利用圆周角来求解圆心角。 知识点04：典型例题与应用 典型例题通常会涉及圆周角的定义、性质及其与圆心角的关系的应用。例如，给定一个圆和圆上的几个点，要求求出某个圆周角的度数；或者给定一个圆周角和它所对的弧的度数，要求求出圆心角的度数等。 实际应用方面，圆周角的知识在几何证明、三角函数计算以及圆的性质研究中都有广泛的应用。例如，在解决与圆相关的几何问题时，经常需要利用圆周角的性质来构建辅助线或进行角度转换等。 高频易错知识点拨 易错知识点01：圆周角的定义与识别 定义不清： 易错点：学生可能混淆圆周角的定义，认为只要角在圆上就是圆周角。 正确理解：圆周角是顶点在圆上，两边都和圆相交的角。注意，顶点必须在圆上，且两边都必须与圆相交。 识别错误： 易错点：在复杂图形中，学生可能难以准确识别出圆周角。 解决方法：通过作图辅助，明确标出顶点、圆和两边，帮助识别圆周角。 易错知识点02：圆周角与圆心角的关系 关系理解不透彻： 易错点：学生可能只记得“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，但对其中的“同弧”概念理解不清。 正确理解：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。注意这里的“同弧”或“等弧”是关键条件。 应用错误： 易错点：学生在解决实际问题时，可能忽视题目条件，错误地应用圆周角与圆心角的关系。 解决方法：仔细阅读题目，明确题目中的条件，如“同圆或等圆”、“同弧或等弧”等，再应用关系式进行计算。 易错知识点03：圆周角的特殊性质 半圆或直径所对的圆周角： 易错点：学生可能忘记半圆（或直径）所对的圆周角是直角的性质。 正确理解：半圆（或直径）所对的圆周角是直角。这是一个重要的特殊性质，常用于证明和计算中。 90°的圆周角所对的弦： 易错点：学生可能将“90°的圆周角所对的弦是直径”与“直径所对的圆周角是直角”混淆。 正确理解：90°的圆周角所对的弦是直径，这是圆周角的另一个重要性质。注意区分两个命题的条件和结论。 易错知识点04：辅助线的添加与证明 辅助线添加不当： 易错点：在解决圆周角问题时，学生可能不知道如何添加合适的辅助线。 解决方法：根据题目条件和目标，选择合适的辅助线，如连接圆心与圆周角的顶点、连接圆周角所对的弦的中点与圆心等。 证明过程不严谨： 易错点：学生在证明过程中可能忽略某些条件或步骤，导致证明不严谨。 解决方法：在证明过程中，明确写出每一步的依据和结论，确保证明过程的完整性和严谨性。 考点讲练1：圆周角的概念辨析 【精讲题】（21-22九年级上·浙江湖州·期末）下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心 【答案】A 【思路点拨】根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可． 【规范解答】解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确； B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误； C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误； D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误. 故选A. 【考点评析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 【举一反三练1】（20-21九年级上·浙江宁波·期中）下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】根据确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可． 【规范解答】解：（1）任意三点确定一个圆；错误，应该是不在同一直线上的三点可以确定一个圆； （2）直径所对的圆周角是直角；正确； （3）平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，直径与直径互相平分，但不一定互相垂直； （4）相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中； （5）圆内接四边形对角互补；正确； 故选：B． 【考点评析】本题考查确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【举一反三练2】（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则 . 【答案】40°、20°、100° 【思路点拨】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段上，点P在延长线上，点P在的延长线上．分这三种情况进行讨论即可． 【规范解答】解：①根据题意，画出图1， 在中，， ∴， 在中， ∴ 又∵ ∴ 在中， 即 整理得， ∴ ． ②当P在线段的延长线上，如图2 在中， 把①②代入③得 则 ∴ ③当P在线段的反向延长线上，如图3， ①②③④联立得 故答案为：40°、20°、100°． 【考点评析】本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，画出图形，进行分类讨论是解题的关键． 【举一反三练3】（21-22九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知ABC，AB＝AC，∠A＝70°．O，D分别为BC，AB的中点，以O为圆心，OD为半径作圆，与AB的另一个交点为E，与AC交于点G，F，则∠DOE+∠FOG的度数是 ． 【答案】80°/80度 【思路点拨】先证明OD是△ABC的中位线，得到OD∥BC， 则∠ODE=∠A=70°，从而推出∠DOE =40°连接AO，分别过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，先证明OM=ON，即可证明Rt△OMD≌Rt△ONG，Rt△OME≌Rt△ONF，即可推出∠MOD=∠NOG，∠MOE=∠NOF，则∠FOG=∠DOE=40°，∠DOE+∠FOG=80°． 【规范解答】解：∵OD分别为AB和BC的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥BC， ∴∠ODE=∠A=70°， ∵OD=OE， ∴∠OED=∠ODE=70°， ∴∠DOE=180°-∠OED-∠ODE=40°， 连接AO，分别过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N， ∵AB=AC，O是BC的中点， ∴AO平分∠BAC， ∴OM=ON， 又∵OD=OE=OG=OF ∴Rt△OMD≌Rt△ONG（HL），Rt△OME≌Rt△ONF（HL）， ∴∠MOD=∠NOG，∠MOE=∠NOF， ∴∠FOG=∠DOE=40°， ∴∠DOE+∠FOG=80°， 故答案为：80°． 【考点评析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，角平分线的性质，圆的基本性质，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 考点讲练2：圆周角定理 【精讲题】（23-24九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，四边形内接于，点E在的延长线上．若，则 度． 【答案】 【思路点拨】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，由题意求得，再根据圆的内接四边形形的性质求得，再由圆周角定理求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三练1】（22-23九年级上·湖南株洲·期中）（1）如图①，过上一点作两条弦、，若，则平分，为什么？ （2）如图②，若点在内，过点的两条弦，相等，则平分吗？为什么？ （3）如图③，若点在外，过点作、，分别交于点，和，，且，则平分吗？为什么？ 【答案】（1）见解析；（2）平分，理由见解析；（3）平分，理由见解析． 【思路点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理． （1）如图①，作直径，根据圆心角、弧、弦的关系，由得到，所以，则根据圆周角定理得； （2）作于，于，连接、，如图②，根据垂径定理得到，，由于，则，根据勾股定理得，，所以，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到平分； （3）与（2）的解题方法一样可得到平分． 【规范解答】解：（1）平分， 如图，作直径， ， ， ， ， 平分； （2）平分．理由如下： 作于，于，连接、，如图， 则，， ， ， 而，， ， 平分； （3）平分．理由如下： 作于，于，连接、，如图， 则，，同理（2）可得， 平分． 【举一反三练2】（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点D， (1)求的度数； (2)求的长； (3)求，的长． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了圆的相关概念，勾股定理，角平分线的性质，熟记“直角所对的圆周角为”是解题关键． （1）直接根据圆周角定理即可求解； （2）根据勾股定理求解即可； （3）根据角平分线得出，再由同一圆内，圆周角和弦的关系确定，利用勾股定理即可求解 【规范解答】（1）解：是的直径， ，； （2）， ； （3）是的平分线， ， ， 在中，，， ， ， ． 【举一反三练3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．    (1)求的度数； (2)过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长． 【答案】(1) (2)圆的半径长是4． 【思路点拨】（1）证明，则，根据圆内接四边形的性质得到； （2）证明是等边三角形，则，得到，则，则，再利用直角三角形的性质即可到答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵平分，    ∴， ∵     ， ∴    ， ∴，， ∵四边形是圆内接四边形． ∴． ∴； （2）∵，   ∴是圆的直径， ∵，    ∴  ， ∴是等边三角形， ∴， ∴   ，    ∴ ， ∵，     ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴圆的半径是4． 【考点评析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定和性质、含角直角三角形的性质等知识，得到是解题的关键． 考点讲练3：同弧或等弧所对的圆周角相等 【精讲题】（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，是的外接圆上的一点，． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据同弧所对的圆周角相等得到，从而根据等边三角形的判定得出结论； （2）在上截取，连接，可证是等边三角形，推出，，从而得到，即可证明，得到，结合即可得证． 【规范解答】（1）证明： ，和为所对的圆周角，和为所对的圆周角 ， 是等边三角形． （2）证明：如图，在上截取，连接 ， 是等边三角形 ， 是等边三角形 在和中 ， 【举一反三练1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，是的直径，是的中点，于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径及的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)半径为，BF为 【思路点拨】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等得，根据直径所对的圆周角是直角得，再结合，可得出，即可得证； （2）根据圆心角、弧、弦之间的关系得，在中，得，得出的半径，再根据，得，继而得到，设，则，在中，根据勾股定理得出， 解得：，即可得解． 【规范解答】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 在中，， ∴的半径为， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴的半径为，的长为． 【考点评析】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，圆心角、弧、弦之间的关系，直角三角形两锐角互余，等角对等边，勾股定理，等积法等知识点．掌握圆的基本性质是解题的关键． 【举一反三练2】（2024·湖北武汉·二模）如图，在中，，连接 ，，过点 作交 延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理； （1）根据平行的性质可得，根据得出，等量代换即可得证； （2）设交于点，根据垂径定理可得，在中，勾股定理求得，设，在中，勾股定理，即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵ ∴， ∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ 设交于点， ∵ ∴， 在中，由勾股定理可得 设 在中，由勾股定理可得 即 解得： 即的半径为 【举一反三练3】（2024·安徽·一模）如图1，是的弦，点和点是上的点，和交于点，． (1)求证：； (2)如图2，若，点是上一点且，与交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【思路点拨】（1）由等弦对等弧，可得，进而得到，根据等弧所对圆周角相等，和等角对等边，即可求解， （2）由等弧所对圆周角相等，可得，结合，可得，结合同弧所对圆周角相等，可得，等角对等边，即可求解， 本题考查了，等弦对等弧，等弧所对圆周角相等，解题的关键是：熟练掌握相关定理． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， （2）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 考点讲练4：半圆（直径）所对的圆周角是直角 【精讲题】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，点、都在以为直径的半圆上，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、角平分线性质，圆内接四边形对角互补是解题的关键．因为，，，都在半圆上，根据圆内接四边形的性质：对角互补，可得的度数，再由圆周角定理可得，因为平分，，再根据三角形内角和定理，即可解答． 【规范解答】解：，，，都在半圆上， ， ， ， 为半圆的直径， ， ， 平分， ， ， 故选：C． 【举一反三练1】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，锐角，，以为直径作交于点D，E，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点G，， ①求证：； ②如图3，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【思路点拨】题目主要考查圆内接四边形及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据圆内接四边形的性质得出，结合邻补角即可证明； （2）①根据等边对等角得出，再由等量代换确定，再由等角对等边即可证明； ②作于K，交的延长线于点M，根据全等三角形的判定和性质得出，再由三角形等面积法得出，结合图形利用勾股定理及全等三角形的判定和性质即可得出结果． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是内接四边形， ∴， 又， ∴； （2）①证明：∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴； ②解：作于K，交的延长线于点M， ∴，， ∴（AAS）， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴（SAS）， ∴． 【举一反三练2】（2024·安徽·二模）如图，为的直径，CD为的一条弦，的平分线交于点E，，的延长线交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】（1）如图，连接，证明，可得，结合圆周角定理可得，从而可得答案； （2）如图，连接．证明，，可得，，从而可得结论． 【规范解答】（1）解：如图，连接． ， 平分， ． 为的直径， ∴， ， ． （2）证明：如图，连接． 平分， ，而，， ． 是的直径， ∴， ， ，， ． ，， ， ， ． 【考点评析】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【举一反三练3】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知，如图，为的直径，弧弧．，延长交于点D (1)求证：点P是的内心； (2)已知的直径是，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查圆周角定理，等腰直角三形，勾股定理，内心的定义；添加辅助线构造特殊角直角三角形是解题的关键． （1）由圆周角定理得出，由弧弧得出，再由三角形的外角性质得出，，即可得出结论； （2）连接，过点B作于H，证出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理可求的长，即可得出结果． 【规范解答】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∵弧弧， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴平分， ∴点P是的内心； （2）解：连接，过点B作于H， ∵是直径，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∵， ∴． 考点讲练5：90度角的圆周角所对的弦是直径 【精讲题】（2024·浙江温州·三模）如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】连接，由以为直径作，得，，即可得动点在以为直径的圆上运动，当，，在一直线上时，根据，即可求解． 【规范解答】解：中，，，， 连接，由以为直径作，，， ，， 动点在以为直径的圆上运动，为圆心， 当，，在一直线上时， 即的最小值为 故答案为：． 【举一反三练1】（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，在矩形中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形中位线的判定与性质、勾股定理，根据题意，正确作出辅助线，得出点G在以为直径的圆上运动，以及找到的最小值为是解题关键．延长交的延长线于M，连接，设的中点为N，过点N作，以N为圆心，为直径作圆，连接，根据，可得，再由勾股定理可得，根据，可得点G在以为直径的圆上运动，当点B，G，N三点共线时，取得最小值，最小值为，即可求解． 【规范解答】解：如图，延长交的延长线于M，连接，设的中点为N，过点N作，以N为圆心，为直径作圆，连接， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴点G在以为直径的圆上运动，当点B，G，N三点共线时，取得最小值，最小值为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B 【举一反三练2】（23-24九年级上·广东中山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是第一象限内的一个动点并且使，点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了坐标与图形、的圆周角所对的弦是直径、勾股定理等知识，找到线段长最小位置是解题的关键．由可知点是以为直径的圆上的动点，当过圆心时长度最小，画图计算即可获得答案． 【规范解答】解：∵， ∴点是以为直径的圆上的动点， 如下图，以为直径作，连接，交于点，此时长最小， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【举一反三练3】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在一个的正方形网格中，格点A，B，C均在圆上，请按要求画图，仅用无刻度的直尺（不能用直尺的直角），保留必要的作图痕迹． (1)在图1中作图：画出直径． (2)在图2中作图：在上找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）由勾股定理逆定理可得，根据圆周角定理得出为直径，取格点、，找出中点，连接并延长交于，即为所求； （2）延长交格点于，连接交于，由垂直平分线的性质可得，根据弧、弦、圆心角的关系可得点即为所求． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴为直径， 取格点、，连接交于，可得点为圆心，连接并延长交于，即为所求． （2）解：延长交格点于，连接交于，由网格可知， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查无刻度直尺作图，主要知识点有：网格特征、圆周角定理、弧、弦、圆心角的关系、勾股定理逆定理、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形“三线合一”的性质，熟练掌握圆周角定理及网格特征是解题关键． 考点讲练6：已知圆内接四边形形求角度 【精讲题】（2024·湖南长沙·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键． 根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理即可解答． 【规范解答】解：∵四边形是的内接四边形，若， ∴， ∴． 故选D． 【举一反三练1】（23-24九年级下·河南新乡·期中）如图，的三个顶点均在上，是的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理和直角三角形的两锐角互余，连接，由四边形是圆内接四边形得，然后求出，通过圆周角定理得，则，最后通过同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【举一反三练2】（2022·浙江温州·一模）如图，内接于，，，点为上一点，点为的中点，连接并延长与交于点，连接，． (1)求证：． (2)当经过圆心时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质得到，再根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质得到，然后利用等角的补角相等得到结论； （2）连接并延长交于点，如图，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，设，则，则，解得，接着利用是的中位线得到，然后证明，从而得到． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， ，， ； （2）解：连接并延长交于点，如图， ， ， ，， ， 设，则， 在中，， 解得， ，， 是的中位线， ； 点为的中点， ， 在和中， ， ， ． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了垂径定理、圆周角定理、三角形中位线定理以及勾股定理． 【举一反三练3】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）将绕点A逆时针旋转得到，且点D落在的延长线上，连接． (1)如图1，若， ①求的度数； ②直接写出的值． (2)如图2，若点M，N分别为和的中点，连接并延长交于点G，求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【思路点拨】（1）①根据等腰三角形的判定和性质以及旋转的性质求出，再由旋转的性质和三角形内角和定理即可得到答案；②先证明，再根据，得到，则，即可得到答案； （2）连接．根据三线合一得到，平分，，平分，则A，C，M，N四点共圆，得到，根据圆周角定理得到，由得到，即可证明结论． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转变换的性质可知， ∴， ∴； ②由①可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：连接． ∵， ∴，平分， ∵， ∴，平分， ∴， ∴A，C，M，N四点共圆， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】此题考查了四点共圆、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、旋转的性质、直角三角形的性质等知识，证明A，C，M，N四点共圆是解题的关键． 考点讲练7：求四边形外接圆的直径 【精讲题】（23-24九年级上·河南三门峡·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 【规范解答】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 【举一反三练1】（22-23九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接．则长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【思路点拨】取的中点K，连接，根据即可解决问题． 【规范解答】解：如图，连接，取的中点K，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的外接圆的半径为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴CF的最小值为． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定的最小值是解决本题的关键． 【举一反三练2】（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】连接、、，先根据等腰三角形的性质得到，，由于根据圆周角定理得到点A和点M都在以为直径的圆上，所以． 【规范解答】解：如图，连接、、， ∵，而为的中点， ∴，平分，即， ∵， ∴点和点都在以为直径的圆上， ∴． 【考点评析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理和等腰三角形性质，熟练掌握各个定理是解题的关键． 【举一反三练3】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ． 【答案】 【思路点拨】连接，，，证明，根据全等三角形的性质得到，进而求出，根据勾股定理求出，再根据直角三角形的性质即可得到答案． 【规范解答】解：连接，，， 在中，，， ， 点分别是和的中点， ，，，， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 是直角三角形，且， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴． ∴ 故答案为：． 【考点评析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理、等边对等角等知识，解题的关键是正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质． 中等题真题汇编练 1．（22-23九年级上·吉林·期末）如图，是的直径，点C，D是圆上两点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆心角是圆周角的一半．先求出，即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，中，，以为直径作半圆分别与边、交于D、E，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了圆周角定理的理解，直径所对的圆周角是直角，连接，得，结合直角三角形两锐角互余由，进行解决即可． 【规范解答】解：连接，    ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2024·浙江温州·三模）如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据圆周角定理可得的度数，由圆的内接四边形对角互补可得，又由可得，从而可得的度数． 本题主要考查了圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【规范解答】， ， ∵四边形内接于， ， ， ． 故选：C． 4．（23-24九年级下·重庆大足·期末）如图，是的切线，点是切点，连接交于点，延长交于点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题考查了切线的性质定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质等知识．连接，根据等腰三角形的性质及切线的性质得出，，再利用，即可求解． 【规范解答】解：连接，    ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：． 5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵内接于，是直径， ∴， ∵,， ∴ ∴， 故答案为：． 6．（2024·安徽马鞍山·三模）如图，已知为的直径，为上两点，且平分，连接，若，则的度数为 ．    【答案】/29度 【思路点拨】本题考查了圆周角定理和角平分线的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理，，，，可得，又平分，可得，由此求得． 【规范解答】解： ， ， 为的直径， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． 7．（2024·山东潍坊·三模）如图，的边为的直径．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交边，于点，．再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，射线与交于点．点为上一点，连接，．若，则的度数为 ． 【答案】/63度 【思路点拨】先根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据题意可得：平分，从而可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答．本题考查了角平分线的性质，圆周角定理，作图基本作图，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【规范解答】解：为的直径， ， 由题意得：平分， ， ， ， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在四边形中，，，，点N在线段上运动，点M在线段上，，则线段的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了圆周角定理的推论、勾股定理、三角形内角和定理等知识，根据题意分析得到点M的运动轨迹是解题的关键．设的中点为，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点在以为直径的半上运动，当点运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可． 【规范解答】解：设的中点为，以为直径画圆，连接，如下图， 设与的交点为点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的半上运动， ∴当点运动到与的交点时，线段有最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的性质得，即可得出结论； （2）连接，先由等腰三角形的性质得，再由三角形内角和定理求出，即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：连接，如图1所示： 是的直径， ， ， ， ， ． （2）解：连接，如图2所示： 是的直径， 是半径， ， ， ． 10．（2024·吉林长春·三模）图①、图②、图③中每个小正方形的顶点称为格点，图中点A、B、C、D、E、F、G分别是圆上的格点，仅用无刻度直尺，分别确定图①、图②、图③中的圆心O（保留适当的作图痕迹） 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了直角所对的弦是直径，根据圆周角定理确定两条直径，进而即可求解． 【规范解答】解：如图所示， 11．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）如图1，是的直径、C、D是上的两点，若，弧弧． 求：①的度数； ②求的度数； （2）如图2，的弦垂直平分半径，若的半径为4，求弦的长． 【答案】（1）①； ；（2） 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）①根据圆周角定理得到，可得，根据圆内接四边形的性质即可求出；②根据得到，利用等腰三角形的性质计算即可； （2）连接，根据弦垂直平分半径，可求出的长，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【规范解答】解：（1）①∵是直径， ∴， ∵， ∴． ∵四边形是的圆内接四边形， ∴， ∴， ②∵， ∴， ∴； （2）连接， ∵弦垂直平分半径，， ∴． ∵，即， 解得， ∴． 12．（2024·陕西咸阳·三模）如图，为的直径，为上一点，连接，过点作于点，在劣弧上取一点，连接，且满足平分，连接，分别交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【思路点拨】（1）平分可得，所以，在中，易得，,即证； （2）利用（1）中条件，易证，所以，求出的长，在中，利用勾股定理求得的长，即得半径长． 【规范解答】（1）证明：平分 为的直径 （2）由（1）得 即 在中，利用勾股定理得: ，即半径为5 【考点评析】题目考查了圆周角定理，直角三角形角度性质及勾股定理，三角形相似，等腰三角形判定等知识点，熟练掌握定理内容是解题的关键． 培优题真题汇编练 13．（2024·重庆綦江·二模）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，，过点作，交于点．已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】连接，利用正方形性质证明，得到，根据A，E，F，B四点共圆，以及圆周角定理得到，利用等腰三角形性质得到，，以及，最后根据求解，即可解题． 【规范解答】解：连接， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ，即， A，E，F，B四点共圆， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【考点评析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质，四点共圆，圆周角定理等知识的综合，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键． 14．（2024·山西忻州·三模）如图，四边形内接于，是的直径．若，，，则的长为（    ） A．3 B． C．5 D．4 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由圆周角定理可得，，进而可得，由此得，在中，根据勾股定理可求出的长，再在中根据勾股定理即可求出的长． 【规范解答】∵是的直径， ， 又，， ， ， ， ， ． 故选：D 15．（2024·山东济宁·三模）如图，已知四边形，过A，B，C的圆交于点E，连接，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理，以及四边形内角和，利用圆内接四边形对角互补和圆周角定理是解题的关键．设圆心为，连接，，根据圆周角定理，得，根据圆内接四边形对角互补，得到，分别在四边形、中，利用四边形内角和为，即可求解． 【规范解答】解：如图，设圆心为，连接，， 四边形内接于，， ，， 在四边形中，， 在四边形中，． 故选：B． 16．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，是等边三角形，为的外接圆，点D在劣弧上，连结并在上取点E，使得，连结．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据是等边三角形，以及圆周角定理得出，从而证明是等边三角形，求出，再证明，证出，过点作，算出，，连接，过点作，得出，再用勾股定理即可解答； 【规范解答】∵是等边三角形， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴， ， 过点作， 则， ， ， 连接，过点作， 则， ， ， 解得：． 故选：B． 【考点评析】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质判定，特殊直角三角形，圆周角定理，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 17．（2024·广东广州·三模）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ． 【答案】 4 【思路点拨】（1）根据正方形内接于，得到是，根据，解得（舍去），解得即可． （2）根据正方形的性质，得到点A与点C是对称点，连接，交于点O，连接，则，过点C作，连接，则四边形是平行四边形，继而得到，继而得到，结合，故当三点共线时，取得最小值，得到周长的最小值． 【规范解答】解：（1）∵正方形内接于， ∴是的直径， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：． （2）根据正方形的性质，得到点A与点C是对称点，， 连接，交于点O，连接，则， 过点C作， 连接，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， 故当三点共线时，取得最小值，得到周长的最小值． ∵， ∴， ∴， 故周长的最小值为4． 故答案为：4． 【考点评析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形不等式的应用，圆的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用是解题的关键． 18．（2024·广东揭阳·三模）如图，为矩形的边的延长线上的动点，于，点在边上，若，，，则线段的最大值为 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了矩形的性质，圆的性质，三角形的任意两边之和大于第三边．连接，以为直径作的外接圆，当，，三点共线时，取最大值，再过作于，根据勾股定理求出，而，即可求出线段的最大值． 【规范解答】解：连接，以为直径作的外接圆，   ， 点在上， 当，，三点共线时，取最大值， 过作于， ，， ， 为的中点， ， 在中， ，， 线段的最大值为． 故答案为：． 19．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，矩形中，，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过F作于点G，连接，取的中点H，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②当点H和点G互相重合时，；③平分；④．正确的是 ．    【答案】①②③④ 【思路点拨】本题考查了矩形中的旋转问题，涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识．由四边形是矩形，线段绕点逆时针旋转得到，可证，从而判断①；当点H和点G互相重合时，由是等腰直角三角形，是的中点，，可得，从而得到，故可判断②；由，可得共圆，有，即可得出，从而判断③；分别求出的最大值以及最小值，从而判断④． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 当点H和点G互相重合时，如图：    ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图：    ∵是等腰直角三角形，是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； 当点和重合时，最短，如图：    此时与都在上， ∵是等腰直角三角形，是的中点， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为； 当点和点重合时，最大，过点作交于点，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∴，故④正确． 综上分析可知：正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 20．（23-24九年级上·天津·期末）如图，由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，是的两条弦，且点A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）线段的长等于 ； （2）在如图所示的网格中，在直线的右侧找一点M，使得且，再在线段上找一点F，使，简要说明点M和F的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【思路点拨】本题考查了网格与勾股定理，同弧或等弧对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）在上取格点G，则，找到格点N，连接，相交于点M，取格点D，连接，则交于点F，根据圆周角定理等知识即可得到点M，F即为所求． 【规范解答】解：（1）； 故答案为：； （2），，， ， ， 为圆的直径， 在上取格点G，则，找到格点N，连接，相交于点M， 为正方形， ； 取格点D，连接，则交于点F，连接，可得， 如图，点M，F即为所求． 21．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，为圆上位于直径两侧的点，连接、，且． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，，平分，求长度． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，添加适当的辅助线． （1）由圆周角定理得出，，即可得出的度数； （2）延长至，使，连接，证明可得，从而得出，求出，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵是直径， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图2，延长至，使，连接， ∵平分，， ∴， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 22．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过A，B两个格点，C是与格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)先画直径，再画圆心O； (2)在上画点M，使，在上画点F，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查圆周角定理，垂径定理．掌握90度角所对的弦为直径，垂直于弦的半径平分弦所对的弧以及等弧所对的圆周角相等，是解题的关键． （1）根据90度角所对的弦为直径，结合网格的特点确定点，使，连接即为直径，取的中点即为点； （2）利用垂径定理，取的中点，连接圆心与的中点，并延长，与圆的交点即为点，根据，得到点为的中点，取格点，利用格点的特征，得到为的中垂线，进而得到，延长，与的交点即为点． 【规范解答】（1）如图所示，直径 ，圆心O即为所求； （2）如图所示，点，即为所求． 23．（2023·山东济南·一模）如图1，是等腰直角三角形，，点在的内部，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、、 (1)判断线段与的数量关系并给出证明； (2)如图2，当B、D、E三点在同一条直线上时，写出线段、、的数量关系为 ． (3)如图3，若，，点为线段中点，当、、三点在同一条直线上时，连接，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（1）根据旋转的性质得出，，进而推出，结合等腰直角三角形的性质利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据勾股定理求出，根据（1）中结论及线段的和差求解即可； （3）连接，根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质推出、、、四点共圆，、、、四点共圆，，结合三角形内角和定理求出，根据勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解：， 证明：根据旋转的性质得，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在中，，， ， 由（1）知，，又， ， 故答案为：； （3）解：如图3，连接， 、是等腰直角三角形， ， 、、、四点共圆， ， ， ， ， 、、、四点共圆， ， 点为线段中点， ， ， ， ， ， ，， ． 【考点评析】此题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、圆的有关性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 24．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，的外角的平分线与它的外接圆相交于点，连接，． (1)求证：； (2)过点作，垂足为点，判断，，之间的数量关系，并加以证明； (3)若，，满足，试求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【思路点拨】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，于是得到； （2）过点作于点，根据角平分线的性质可得，证明得出，证明得出，进而即可得出； （3）由可得，作，则，根据已知条件得出，进而证明是直角三角形，又，得出，根据（1）的结论，即可得出，进而即可求解． 【规范解答】（1）证明：四边形是圆内接四边形， ， 又， ， 平分， ， 又 ， ； （2）， 如图所示，过点作于点， ∵，是的角平分线， ∴， 在中， ， ∴ ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）如图所示，作，则， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴是直角三角形，又， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了圆内接四边形对角互补，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理的应用，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$