2.2 圆的对称性（知识精讲+易错点拨+八大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学九年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第2章《对称图形—圆》】 2.2 圆的对称性 （知识精讲+易错点拨+八大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：利用垂径定理求值 4 考点讲练2：利用垂径定理求平行弦问题 5 考点讲练3：利用垂径定理求同心圆问题 6 考点讲练4：利用垂径定理求解其他问题 8 考点讲练5：垂径定理的推论 10 考点讲练6：垂径定理的实际应用 11 考点讲练7：利用弧、弦、圆心角的关系求解 13 考点讲练8：利用弧、弦、圆心角的关系求证 14 中等题真题汇编练 16 培优题真题汇编练 21 新知精讲梳理 知识点01：圆的基本概念 半径：圆上一点与圆心的连线段。 直径：连接圆上两点且经过圆心的线段，直径是圆内最长的弦。 弦：连接圆上任意两点的线段（直径也是弦的一种特殊情况）。 弧：圆上两点之间的曲线部分，根据长度可分为劣弧（小于半圆）和优弧（大于半圆）。 知识点02：圆的对称性 轴对称性： 圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是它的对称轴。因此，圆有无数条对称轴。 这一性质意味着，如果沿任意一条直径对折圆，两侧的图形都会完全重合。 中心对称性： 圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 圆绕着圆心旋转任意角度后，都能与自身重合，这体现了圆的旋转不变性。 知识点03：相关定理与推论 圆心角、弧、弦的关系定理： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。 反之，如果两条弧相等或两条弦相等（且它们不是直径），那么它们所对的圆心角也相等。 这一定理及其推论是圆的重要性质，也是解决与圆相关问题的关键。 垂径定理及其推论： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 这些定理和推论在证明圆的性质、求解圆的问题时非常有用。 知识点04：应用与拓展 实际问题中的应用： 圆的对称性在日常生活和工程设计中有着广泛的应用。例如，车轮设计成圆形就是利用了圆的旋转不变性，使得车辆在行驶过程中更加平稳。 在建筑设计、艺术创作等领域，也常常利用圆的对称性来创造美观、和谐的视觉效果。 拓展知识： 除了圆的对称性外，还可以进一步学习圆与直线、圆与圆的位置关系等知识点。 这些知识点不仅丰富了圆的内容体系，也为后续学习圆锥曲线等更高级的数学知识打下了基础。 高频易错知识点拨 易错知识点01：基本概念混淆 半径与直径： 易错点：学生可能将半径与直径的概念混淆，误认为半径就是直径或直径就是半径的两倍（在特定情境下，如直径确实为半径的两倍，但概念上需区分清楚）。 解析：半径是连接圆上一点与圆心的线段，而直径是连接圆上两点且经过圆心的特殊弦，其长度是半径的两倍。 弦与直径： 易错点：学生可能认为所有弦都是直径，或直径不是弦。 解析：弦是连接圆上任意两点的线段，直径是特殊的弦（因为它经过圆心），但并非所有弦都是直径。 易错知识点02：对称性理解不透彻 轴对称性： 易错点：学生可能认为只有直径所在的直线才是圆的对称轴，忽视了圆有无数条对称轴的事实。 解析：圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是它的对称轴。因此，圆有无数条对称轴。 中心对称性： 易错点：学生可能对中心对称性的理解不够深入，不清楚圆心作为对称中心的含义。 解析：圆也是中心对称图形，圆心是其对称中心。这意味着圆绕着圆心旋转任意角度后，都能与自身重合。 易错知识点03：定理与推论应用错误 圆心角、弧、弦的关系定理： 易错点：学生可能在应用此定理时忽略条件限制（如同圆或等圆中），导致错误判断。 解析：在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，则它们所对的弧相等、所对的弦也相等。反之亦然。但这一结论仅在同圆或等圆中成立。 垂径定理及其推论： 易错点：学生可能在应用垂径定理时忽略“垂直于弦”的条件，或错误地认为平分弦的直径一定垂直于弦（实际上平分弦（不是直径）的直径才垂直于弦）。 解析：垂径定理指出，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。其推论则进一步说明平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。在应用时需注意条件限制。 易错知识点04：实际应用中的误区 车轮为什么做成圆形： 易错点：学生可能无法准确解释车轮做成圆形的原因与圆的对称性之间的关系。 解析：车轮做成圆形是因为圆具有旋转不变性和轴对称性。这使得车轮在滚动时能够保持平稳，因为车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径。如果车轮不是圆的（如椭圆或正方形等），则会导致车辆在行驶过程中上下颠簸，影响乘坐舒适性。 考点讲练1：利用垂径定理求值 【精讲题】（24-25九年级上·全国·假期作业）苏州园林中的月亮门是中国古典园林住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小明同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径为2.4米，水平木条和铅锤木条长都为0.4米，点C恰好落在上，则此月亮门的半径为（　　） A．2.1米 B．2.0米 C．1.9米 D．1.8米 【举一反三练1】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，的直径，弦，且弦在圆上滑动（的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作于点P，若M是的中点，则的最大值是 ． 【举一反三练2】（22-23九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，，弦，垂足为点，求的长度． 【举一反三练3】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图所示：残缺的圆形轮片上，弦的垂直平分线交圆形轮片于点C，垂足为D， 解答下列问题： (1)用尺规作图找出圆形轮片的圆心O的位置，并将圆形轮片所在的圆补全； （要求：保留所有的作图痕迹，不写作法） (2)若弦，，求残缺圆形轮片所在圆半径r． 考点讲练2：利用垂径定理求平行弦问题 【精讲题】（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【举一反三练1】（21-22九年级上·浙江金华·期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【举一反三练2】（2023·河南驻马店·二模）如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 【举一反三练3】（2022·黑龙江·一模）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 考点讲练3：利用垂径定理求同心圆问题 【精讲题】（17-18九年级上·浙江台州·期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 【举一反三练1】（22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【举一反三练2】（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【举一反三练3】（18-19九年级上·全国·单元测试）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米， （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，求它的跨度A′B′． 考点讲练4：利用垂径定理求解其他问题 【精讲题】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过，，三个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）    (1)在图1中，画出劣弧的中点； (2)在图2的劣弧上找一点，使． 【举一反三练1】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点是的中点，在同侧分别以为直径作半半．直线，与两个半圆依次相交于不同的四点．若，，则与之间的函数表达式为 ． 【举一反三练2】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的一段圆弧经过，，三点，则的半径是 ． 【举一反三练3】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点； (2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； (3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点； (4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 考点讲练5：垂径定理的推论 【精讲题】（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点B的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ．    【举一反三练1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、． (1)圆心的坐标为 ； (2)判断点与的位置关系． 【举一反三练2】．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，是的直径，是弦，点E是的中点，交于点D．连接，若，，求的长． 【举一反三练3】（2024·江西抚州·二模）如图，已知点，，均在上，请用无刻度的直尺作图． (1)如图1，若点是的中点，试画出的平分线； (2)如图2，若，试画出的平分线． 考点讲练6：垂径定理的实际应用 【精讲题】（22-23九年级上·重庆丰都·阶段练习）在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为6分米，如果再注入一些水后，水面上升1分米，此时水面宽度变为8分米．则该水槽截面半径为 ． 【举一反三练1】（2024·吉林白山·二模）如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深，锯道，已知，则这根圆柱形木材的半径是（    ） A．20 B．12 C．10 D．8 【举一反三练2】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，、、． (1)圆心P的坐标为______； 【举一反三练3】（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、 (1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知拱门高（优弧中点到的距离），，，求拱门的圆弧半径． 考点讲练7：利用弧、弦、圆心角的关系求解 【精讲题】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，和是弦，且，请用无刻度直尺完成下列作图． (1)如图①，在上找一点P，使点P到、所在直线的距离相等； (2)如图②，E是上一点，且，，在上找一点Q，使点到、所在直线的距离之比为． 【举一反三练1】．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是⊙的弦，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，是直径，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练3】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．    (1)若的度数为，求的度数． (2)求证：． (3)连接，若，，求的长． 考点讲练8：利用弧、弦、圆心角的关系求证 【精讲题】（2024·上海·模拟预测）如图，以为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧的中点，过点C作且．连接，分别交，于点E，F，与圆O交于点G，连接． (1)求证：； (2)连接，，求证：． 【举一反三练1】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，弦，垂足为，为的中点，连接、、，交于，过作，垂足为，以下结论：①；②：③：④，其中一定成立的是　　    A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【举一反三练2】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的弦，半径，垂足为，交延长线于点． (1)求证：是的中点； (2)若，，求的半径． 【举一反三练3】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图1，，是的弦，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，，求的半径． 中等题真题汇编练 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 3．（16-17九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离为，水面宽为，则桥拱半径为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进．这种船的桨轮下半部浸入水中上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“桨轮船”或“轮船”．如图，该桨轮船的轮子的横截面为，轮子被水面截得线段长为，轮子的吃水深度长为，则该桨轮船轮子半径为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江温州·三模）温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 米． 6．（2024·湖南永州·二模）道县西洲公园是由一座三孔石拱桥将西洲与潇水西岸连在一起的．图为石拱桥的中孔侧面图，拱是圆弧形，桥的跨径所在弦，拱高，则拱所在圆的半径为 m． 7．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽，水的最大深度，则此管件的直径为 ． 8．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，的半径是8，是的直径，M为上一动点，，则的最小值为 ． 9．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，是公园内常见的圆形“月亮门”示意图，已知门的下部宽度米，门的最高点到的距离米，求这个圆形“月亮门”的半径． 10．（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 11．（2024·河南周口·二模）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一类似问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深两寸，锯道长一尺二，问径几何?”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为寸，锯道尺（尺寸），求该圆材的直径为多少寸 12．（23-24九年级上·山西晋城·期末）如图，是内的一条弦．    (1)尺规作图（保留作图痕迹，标明字母）：作弦的垂直平分线，与交于点（垂足为），与交于点，（点在弦的上方），连接，． (2)在所作的图中，若，的半径为13，求的长． 培优题真题汇编练 13．（22-23九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，高米，则此圆的半径的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 14．（2022九年级上·全国·专题练习）如图所示，矩形与相交于，若，，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 15．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 16．（2024·河南濮阳·二模）如图()，是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图()是月亮门的示意图，其中 米，为中点，为月亮门最高点，圆心在线段上，米，月亮门所在圆半径的长为 米． 17．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度为寸，锯长为尺寸，问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为 寸． 18．（23-24九年级上·四川自贡·期末）一条排水管横截面如图所示，已知排水管半径，水面宽，若管内水面下降，则此时水面宽等于 ．    19．（16-17九年级上·北京门头沟·期末）《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系．第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长．”可求出直径的长为 寸． 20．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，边长为2的正方形中心与半径为2的的圆心重合，E、F分别是的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积是 ． 21．（2024·安徽·一模）如图1，为的直径，弦于点G，且B为弧的中点，交于点H，若，．    (1)求的长； (2)如图2，连接．求证：． 22．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为． (1)在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离． 23．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，点 和动点在直线上，点关于点的对称点为，以为边作，使，，作的外接圆，点在点右侧，，过点作直线，过点作于点，交右侧的圆弧于点，在射线上取点，使，以，为邻边作矩形，设． (1)用关于的代数式表示______，_______； (2)当点在点 右侧时，若矩形的面积等于90，求的长． 24．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】 （）如图，为的弦，在上找一点并画出，使点到的距离最大；（不需要说明理由） 【问题探究】 （）如图，在扇形中，点为扇形所在圆的圆心，点为上一动点，连接，与交于点，若，，求的最大值； 【问题解决】 （）某公园有一圆形水池（如图），是水池上的两座长度相等的小桥，且，现规划人员计划再修建两座小桥和，桥的入口在水池边上（即点在上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形面积最大，已知，修建小桥的成本为元，当四边形的面积最大时，求修建和两座小桥的总成本． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第2章《对称图形—圆》】 2.2 圆的对称性 （知识精讲+易错点拨+八大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：利用垂径定理求值 4 考点讲练2：利用垂径定理求平行弦问题 8 考点讲练3：利用垂径定理求同心圆问题 13 考点讲练4：利用垂径定理求解其他问题 17 考点讲练5：垂径定理的推论 22 考点讲练6：垂径定理的实际应用 27 考点讲练7：利用弧、弦、圆心角的关系求解 31 考点讲练8：利用弧、弦、圆心角的关系求证 36 中等题真题汇编练 42 培优题真题汇编练 52 新知精讲梳理 知识点01：圆的基本概念 半径：圆上一点与圆心的连线段。 直径：连接圆上两点且经过圆心的线段，直径是圆内最长的弦。 弦：连接圆上任意两点的线段（直径也是弦的一种特殊情况）。 弧：圆上两点之间的曲线部分，根据长度可分为劣弧（小于半圆）和优弧（大于半圆）。 知识点02：圆的对称性 轴对称性： 圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是它的对称轴。因此，圆有无数条对称轴。 这一性质意味着，如果沿任意一条直径对折圆，两侧的图形都会完全重合。 中心对称性： 圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 圆绕着圆心旋转任意角度后，都能与自身重合，这体现了圆的旋转不变性。 知识点03：相关定理与推论 圆心角、弧、弦的关系定理： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。 反之，如果两条弧相等或两条弦相等（且它们不是直径），那么它们所对的圆心角也相等。 这一定理及其推论是圆的重要性质，也是解决与圆相关问题的关键。 垂径定理及其推论： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 这些定理和推论在证明圆的性质、求解圆的问题时非常有用。 知识点04：应用与拓展 实际问题中的应用： 圆的对称性在日常生活和工程设计中有着广泛的应用。例如，车轮设计成圆形就是利用了圆的旋转不变性，使得车辆在行驶过程中更加平稳。 在建筑设计、艺术创作等领域，也常常利用圆的对称性来创造美观、和谐的视觉效果。 拓展知识： 除了圆的对称性外，还可以进一步学习圆与直线、圆与圆的位置关系等知识点。 这些知识点不仅丰富了圆的内容体系，也为后续学习圆锥曲线等更高级的数学知识打下了基础。 高频易错知识点拨 易错知识点01：基本概念混淆 半径与直径： 易错点：学生可能将半径与直径的概念混淆，误认为半径就是直径或直径就是半径的两倍（在特定情境下，如直径确实为半径的两倍，但概念上需区分清楚）。 解析：半径是连接圆上一点与圆心的线段，而直径是连接圆上两点且经过圆心的特殊弦，其长度是半径的两倍。 弦与直径： 易错点：学生可能认为所有弦都是直径，或直径不是弦。 解析：弦是连接圆上任意两点的线段，直径是特殊的弦（因为它经过圆心），但并非所有弦都是直径。 易错知识点02：对称性理解不透彻 轴对称性： 易错点：学生可能认为只有直径所在的直线才是圆的对称轴，忽视了圆有无数条对称轴的事实。 解析：圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是它的对称轴。因此，圆有无数条对称轴。 中心对称性： 易错点：学生可能对中心对称性的理解不够深入，不清楚圆心作为对称中心的含义。 解析：圆也是中心对称图形，圆心是其对称中心。这意味着圆绕着圆心旋转任意角度后，都能与自身重合。 易错知识点03：定理与推论应用错误 圆心角、弧、弦的关系定理： 易错点：学生可能在应用此定理时忽略条件限制（如同圆或等圆中），导致错误判断。 解析：在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，则它们所对的弧相等、所对的弦也相等。反之亦然。但这一结论仅在同圆或等圆中成立。 垂径定理及其推论： 易错点：学生可能在应用垂径定理时忽略“垂直于弦”的条件，或错误地认为平分弦的直径一定垂直于弦（实际上平分弦（不是直径）的直径才垂直于弦）。 解析：垂径定理指出，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。其推论则进一步说明平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。在应用时需注意条件限制。 易错知识点04：实际应用中的误区 车轮为什么做成圆形： 易错点：学生可能无法准确解释车轮做成圆形的原因与圆的对称性之间的关系。 解析：车轮做成圆形是因为圆具有旋转不变性和轴对称性。这使得车轮在滚动时能够保持平稳，因为车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径。如果车轮不是圆的（如椭圆或正方形等），则会导致车辆在行驶过程中上下颠簸，影响乘坐舒适性。 考点讲练1：利用垂径定理求值 【精讲题】（24-25九年级上·全国·假期作业）苏州园林中的月亮门是中国古典园林住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小明同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径为2.4米，水平木条和铅锤木条长都为0.4米，点C恰好落在上，则此月亮门的半径为（　　） A．2.1米 B．2.0米 C．1.9米 D．1.8米 【答案】B 【规范解答】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用等知识，掌握垂径定理的应用是解题的关键． 过O作于N，过C作于M，由垂径定理得米，再证四边形是矩形，则米，（米），设该圆的半径长为r米，然后由题意列出方程求解． 【规范解答】解：过O作于N，过C作于M，如图2所示： 则米，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，（米）， 设该圆的半径长为r米， 根据题意得，， ∴， ∴， 即此月亮门的半径为2米． 故选：B． 【举一反三练1】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，的直径，弦，且弦在圆上滑动（的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作于点P，若M是的中点，则的最大值是 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查垂径定理、三角形中位线定理，延长交于点K，连接，根据垂径定理可得，再根据三角形中位线定理可得，进而可得当最大时，的值最大，即即当为直径时，的值最大，即可求解． 【规范解答】解：延长交于点K，连接， ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最大时，的值最大， 即当为直径时，的值最大， ∵的直径， ∴， 故答案为：4． 【举一反三练2】（22-23九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，，弦，垂足为点，求的长度． 【答案】 【思路点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，添加合适辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 过O作于点E，过O作于点F，连接，，先证明四边形是矩形，得出，，然后根据垂径定理求出，，在和根据勾股定理得出，然后求解即可． 【规范解答】解∶过O作于点E，过O作于点F，连接，， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 在中，， 又， ∴，即， 解得， 在中，． 【举一反三练3】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图所示：残缺的圆形轮片上，弦的垂直平分线交圆形轮片于点C，垂足为D， 解答下列问题： (1)用尺规作图找出圆形轮片的圆心O的位置，并将圆形轮片所在的圆补全； （要求：保留所有的作图痕迹，不写作法） (2)若弦，，求残缺圆形轮片所在圆半径r． 【答案】(1)见解析 (2)13 【思路点拨】本题考查圆的垂径定理，勾股定理，熟练掌握通过垂径定理找圆心，通过勾股定理构造方程求边长是解题的关键． （1）由于是弦的垂直平分线，则圆心在上，因此连接，圆心在的垂直平分线上，故作的垂直平分线，交于点O，则点O就是所求的圆心，然后补全圆即可； （2）连接，设半径为x，即，则，根据是的垂直平分线，得到，，因此在中，根据勾股定理构造方程，即可求出x的值，即为此残片所在圆的半径． 【规范解答】（1）解：如图，点O为所求的圆心． （2）连接， 设半径为x，即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴ ∴在中，， 即， 解得：， ∴此残片所在圆的半径为13． 考点讲练2：利用垂径定理求平行弦问题 【精讲题】（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【思路点拨】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【规范解答】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【考点评析】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 【举一反三练1】（21-22九年级上·浙江金华·期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【思路点拨】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可． 【规范解答】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm； 故选D． 【考点评析】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑． 【举一反三练2】（2023·河南驻马店·二模）如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 【答案】(1)见解析 (2)10 【思路点拨】（1）由圆的对称性，连接、交于点，连接并延长交于点即可； （2）连接，如图，根据垂径定理得到，，再利用三角形面积公式计算出，设的半径，则，，利用勾股定理得到，解方程即可． 【规范解答】（1）解：连接、，它们相交于点，连接并延长交于点，如图1， 点为所作； （2）连接，如图2， 点为劣弧的中点， ，， 的面积为6， ， 解得， 设的半径，则，， 在中，， 解得， 即的半径为10． 【考点评析】本题考查了作图复杂作图，涉及垂径定理和勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【举一反三练3】（2022·黑龙江·一模）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 【答案】 【思路点拨】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算． 【规范解答】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H， 则EH=FH=EF=2， ∵GB=5， ∴OF=OB=， 在△OHF中，勾股定理，得 OH=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形OADH也是矩形， ∴AD=OH=， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 考点讲练3：利用垂径定理求同心圆问题 【精讲题】（17-18九年级上·浙江台州·期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 【答案】134 【思路点拨】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答． 【规范解答】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32， ∵OE⊥AB， ∴AE=EB=100cm， 在RT△OAE中， 在RT△OCE中，， 则 解得：r=134． 故答案为：134． 【考点评析】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【举一反三练1】（22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【思路点拨】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【规范解答】解：如图 作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【考点评析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用． 【举一反三练2】（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【规范解答】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴，即小圆的半径r为 【举一反三练3】（18-19九年级上·全国·单元测试）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米， （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，求它的跨度A′B′． 【答案】(1) r=34；(2) A′B′=32 【思路点拨】(1)连结OA,利用r表示出OD的长,在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可; (2)连结OA',在Rt△A'EO中,由勾股定理得出A'E的长,进而可得出A'B'的长. 【规范解答】（1） 连接OA， 由题意得：AD=AB=30，OD=（r﹣18） 在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2=302+（r﹣18）2， 解得，r=34； （2）连接OA′， ∵OE=OP﹣PE=30， ∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2=A′O2﹣OE2，即：A′E2=342﹣302， 解得：A′E=16． ∴A′B′=32． 【考点评析】本题主要圆的垂经定理的应用，注意与勾股定理相结合求解. 考点讲练4：利用垂径定理求解其他问题 【精讲题】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过，，三个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）    (1)在图1中，画出劣弧的中点； (2)在图2的劣弧上找一点，使． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【思路点拨】本题考查了作图—应用与设计作图，熟练应用垂径定理是解题的关键． （1）取格点，连接交于点，根据网格图可知，，由垂径定理可知，，点即为所求； （2）取格点，连接并延长交于点，根据网格图可知，，由垂径定理可知，． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所求．    （2）如图，点即为所求．      【举一反三练1】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点是的中点，在同侧分别以为直径作半半．直线，与两个半圆依次相交于不同的四点．若，，则与之间的函数表达式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查垂径定理，矩形的判定和性质，求函数表达式，过B点作，过D点作平H点，连接，得到，四边形为矩形，进而得到，推出，再根据，进行求解即可． 【规范解答】解：过B点作，过D点作平H点，连接，如图，则， ∵， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴； 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的一段圆弧经过，，三点，则的半径是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理；根据垂径定理的性质可知线段与线段的垂直平分线的交点即为圆心，然后再根据勾股定理求得半径即可；熟知垂径定理的性质是解题的关键． 【规范解答】解：如图，作线段与线段的垂直平分线，交点即为圆心 由图可知点的坐标为： 的半径是 故答案为： 【举一反三练3】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点； (2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； (3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点； (4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析； (4)作图见解析． 【思路点拨】（）找中点，连接，交与点； （）先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可； （）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点； （）根据网格特征即可； 此题考查了无刻度直尺作图，解题的关键是熟练掌握垂径定理的应用． 【规范解答】（1）如图，找中点，连接，交与点， ∴点即为所求； （2）如图，先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可， ∴点即为所求； （3）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点， ∴点即为所求； （4）如图，已知图中， 延长交于点， ∴，根据网格作高的特点，作的高， ∴，延长交于点， 根据同弧所对的圆周角相等，则， ∴， ∴， ∴ ， ∴点即为所求． 考点讲练5：垂径定理的推论 【精讲题】（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点B的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ．    【答案】 【思路点拨】直接利用垂径定理推论得出圆心位置，进而利用点A坐标得出原点位置即可得出答案．本题主要考查了垂径定理以及坐标与图形的性质，正确得出圆心位置是解题关键． 【规范解答】解：如图：分别作与的垂直平分线，相交于点O，    则点O即是该圆弧所在圆的圆心． ∵点A的坐标为，∴点O的坐标为． 【举一反三练1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、． (1)圆心的坐标为 ； (2)判断点与的位置关系． 【答案】(1) (2)点在内 【思路点拨】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． （1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． （2）求出的半径，的长即可判断； 【规范解答】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是 故答案为：． （2）圆的半径， 线段， 所以点在内． 【举一反三练2】．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，是的直径，是弦，点E是的中点，交于点D．连接，若，，求的长． 【答案】8 【思路点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理；熟练掌握垂径定理的推论：：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦是解题的关键． 连接，根据垂径定理得出，；求出的值；设的半径为r，表示出的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出，；再根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可得的长． 【规范解答】解：连接，如图： ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 设的半径为r， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【举一反三练3】（2024·江西抚州·二模）如图，已知点，，均在上，请用无刻度的直尺作图． (1)如图1，若点是的中点，试画出的平分线； (2)如图2，若，试画出的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了垂径定理，角平分线的定义； （1）连接并延长，交于点，连接，即可求解； （2）连接交于点，连接并延长交于点，连接，则即即为所求． 【规范解答】（1）如图所示，连接并延长，交于点，连接，则即为所求； ∵点是的中点， ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，连接，则即即为所求 ∵ ∴ ∴ ∴， 连接， ∴垂直平分 ∴ ∴ 考点讲练6：垂径定理的实际应用 【精讲题】（22-23九年级上·重庆丰都·阶段练习）在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为6分米，如果再注入一些水后，水面上升1分米，此时水面宽度变为8分米．则该水槽截面半径为 ． 【答案】分米 【思路点拨】本题考查了垂径定理的运用．如图，水面上升分米得到水面，依题意得分米，分米，过点作的垂线，垂足为，交于点，连接，，由垂径定理，得分米，分米，设分米，则分米，在中和中，根据勾股定理求得、的长度，然后由，列方程求即可求半径． 【规范解答】解：如图，依题意得，，过点作的垂线，垂足为，交于点，连接，， 由垂径定理，得分米，分米，设分米，则分米， 在中，， 在中，， ， ， 解得， 半径分米． 故答案为：分米． 【举一反三练1】（2024·吉林白山·二模）如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深，锯道，已知，则这根圆柱形木材的半径是（    ） A．20 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 连接，由垂径定理得，设圆的半径为x，再利用勾股定理即可求解． 【规范解答】解：连接，如图， ∵ ∴ 设圆的半径为x，则 ∴由勾股定理得， 即 解得： 故选：C． 【举一反三练2】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，、、． (1)圆心P的坐标为______； (2)判断点与的位置关系． 【答案】(1) (2)点Q在上 【思路点拨】本题主要考查确定圆的条件、坐标与图形性质、点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． （1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． （2）求出的半径，的长即可判断 【规范解答】（1）解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心P 的坐标为， 故答案为：； （2）∵圆的半径，线段， ∴ ∴点Q在上． 【举一反三练3】（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、 (1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知拱门高（优弧中点到的距离），，，求拱门的圆弧半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了垂径定理，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质及勾股定理是解题的关键， （1）在拱门上找任意一点，分别与相连，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置； （2）先证四边形是矩形，设，再根据勾股定理求得的值，即可得到拱门的圆弧半径． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 过点 作于， 交优弧于点， 交于， 则 ，，， 设， 则， ， 在中，， ∴， ， 解得， ∴拱门的圆弧半径为． 考点讲练7：利用弧、弦、圆心角的关系求解 【精讲题】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，和是弦，且，请用无刻度直尺完成下列作图． (1)如图①，在上找一点P，使点P到、所在直线的距离相等； (2)如图②，E是上一点，且，，在上找一点Q，使点到、所在直线的距离之比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）根据角平分线的性质即可在图①的上找一点P，使点P到、所在直线的距离相等； （2）根据平行线对应线段成比例定理即可在图②的弧上找一点Q，使点到、所在直线的距离之比为． 本题考查了作图﹣复杂作图、角平分线的性质、圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是综合运用以上知识画图． 【规范解答】（1）如图，延长，交于点M，连接交弧于点P， 则点P即为所求． （2）根据题意，画图如下： 则点Q即为所求． 【举一反三练1】．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是⊙的弦，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据圆心角、弧、弦的关系求出，再根据等腰三角形的性质求解即可．此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D 【举一反三练2】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，是直径，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，由在同圆中等弧对的圆心角相等得，即可求解，解题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 【规范解答】∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【举一反三练3】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．    (1)若的度数为，求的度数． (2)求证：． (3)连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【思路点拨】本题主要考查了圆心角、弦、弧之间的关系，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，根据弧的度数求出，再利用等边对等角结合三角形内角和定理即可得出的度数； （2）利用平行线的性质可得，，结合从而得出，即可得证； （3）连接，交于点，先根据勾股定理得出，再利用勾股定理求出，最后再利用勾股定理进行计算即可得出答案． 【规范解答】（1）解：连接，   ， 的度数为， ， ， ； （2）证明：， ，， 又∵， ， ； （3）解：连接，交于点，   ， 弦是直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 考点讲练8：利用弧、弦、圆心角的关系求证 【精讲题】（2024·上海·模拟预测）如图，以为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧的中点，过点C作且．连接，分别交，于点E，F，与圆O交于点G，连接． (1)求证：； (2)连接，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）根据平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，根据为半圆的中点可得，根据矩形的判定可得平行四边形为矩形，即可证明； （2）连接，，交于，结合（1）易知四边形为正方形，可证，得，再证垂直平分，进而证明，再根据角度之间的互余关系可得，即可则证明． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵为半圆的中点， ∴，即， ∴平行四边形为矩形． ∴， ∴． （2）证明：连接，，交于， 由（1）可知平行四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查圆的基本性质，矩形、正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【举一反三练1】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，弦，垂足为，为的中点，连接、、，交于，过作，垂足为，以下结论：①；②：③：④，其中一定成立的是　　    A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【思路点拨】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，先根据题意得到，则，即可判断①；推出，进而证明，即可判断③；证明，得到，即可判断②，证明的度数的度数，得到的度数的度数，则，即可判断④． 【规范解答】解：为的中点， ， ∴，故①正确， ， ，， ， ，故③错误， ，， ， ，， ， ，故②正确， ， ， 的度数的度数， 的度数的度数， ，故④正确， 故选：B． 【举一反三练2】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的弦，半径，垂足为，交延长线于点． (1)求证：是的中点； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查垂径定理，弧，弦，角之间的关系，勾股定理．掌握相关知识点，是解题的关键． （1）垂径定理，得到，进而得到，根据等边对等角结合等角的余角相等，得到，进而得到，即可得到，即可； （2）勾股定理求出，设，再利用勾股定理进行求解即可． 【规范解答】（1）证明：如图，连接． 是的弦，半径， 是的中点． ． ． ． ， ． ，． ． ． ． 即为的中点． （2）如图，连接． 半径，垂足为，， ． 是的中点，， ． ． 在中，． 设，则， ． ，即的半径为． 【举一反三练3】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图1，，是的弦，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)13 【思路点拨】本题考查了圆心角，弧，弦之间的关系以及垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关基本知识． （1）欲证明，只要证明即可； （2）过点O作于点E，交于点F，连接，根据 得出，在中利用勾股定理求出，设的半径为r，则，利用勾股定理求出r即可． 【规范解答】（1）证明：， ， ，即， ； （也可通过证明三角形全等解决） （2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，， ，， 又，， ， ， 在中，， 设的半径为，中，， ， 解得，即的半径为13． 中等题真题汇编练 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键．先根据垂径定理得出的长，再利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【规范解答】解：是的直径，且， ． 在中， ， ． 故选：B． 2．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了垂径定理的应用，找到线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点即可得到圆心坐标． 【规范解答】解：如图线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点M，即为弧的圆心， ∴圆心的坐标是， 故选：B． 3．（16-17九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离为，水面宽为，则桥拱半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查垂径定理，勾股定理．在圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键．连接，由题意可知，，设桥拱半径，则，，在中，根据勾股定理求出r的值即可． 【规范解答】解：如图，连接． 由题意可知，且过圆心， ∴． 设桥拱半径，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴桥拱半径为． 故选B． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进．这种船的桨轮下半部浸入水中上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“桨轮船”或“轮船”．如图，该桨轮船的轮子的横截面为，轮子被水面截得线段长为，轮子的吃水深度长为，则该桨轮船轮子半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理可得，设该桨轮船轮子的半径为，则，，在中，根据勾股定理即可列出方程，求解即可． 【规范解答】解：如图所示，连接， 题意可得， ∵过圆心，且， ∴， 设该桨轮船轮子的半径为，则，， ∵在中，， 即， 解得， ∴该桨轮船轮子半径为. 故选：C． 5．（2024·浙江温州·三模）温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 米． 【答案】20 【思路点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接，设半径为米，则米，由垂径定理可得米，再由勾股定理计算即可得出答案． 【规范解答】解：如图，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接， ， 设半径为米，则米， ∵跨度为24米，， ∴米， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴这个弧形石拱桥设计的半径为米， 故答案为：． 6．（2024·湖南永州·二模）道县西洲公园是由一座三孔石拱桥将西洲与潇水西岸连在一起的．图为石拱桥的中孔侧面图，拱是圆弧形，桥的跨径所在弦，拱高，则拱所在圆的半径为 m． 【答案】 【思路点拨】将拱形图进行补充，构造直角三角形，利用勾股定理和垂径定理解答．本题考查了垂径定理和勾股定理；这两大定理是在圆有关运算中经常用到的． 【规范解答】解：依题意，拱桥的跨度，拱高， ， 利用勾股定理可得： ， 即 解得． 即圆弧半径为． 故答案为： 7．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽，水的最大深度，则此管件的直径为 ． 【答案】10 【思路点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可得到答案． 【规范解答】解：连接，如图所示：    由题意知，， ∵， ∴， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴此管件的直径为， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，的半径是8，是的直径，M为上一动点，，则的最小值为 ． 【答案】16 【思路点拨】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理．作点关于的对称点，连接与相交于点，根据轴对称确定最短路线问题，点为的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出为直径，从而得解． 【规范解答】解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点， 此时，点为的最小值时的位置， 由垂径定理，， ∴， ∵，为直径， ∴为直径．则． 故答案为：16． 9．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，是公园内常见的圆形“月亮门”示意图，已知门的下部宽度米，门的最高点到的距离米，求这个圆形“月亮门”的半径． 【答案】这个圆形“月亮门”的半径是1米 【思路点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理．设这个圆形“月亮门”的半径为米，则米，由勾股定理得，，解得得值，即为这个圆形“月亮门”的半径． 【规范解答】解：连接， 设这个圆形“月亮门”的半径为米，则米， 由勾股定理得，， 解得：， 答：这个圆形“月亮门”的半径是1米． 10．（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【思路点拨】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，则； （2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴ ∴， 即． ∴． （2）证明：连接    ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴E、O都在的垂直平分线上． ∴ 11．（2024·河南周口·二模）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一类似问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深两寸，锯道长一尺二，问径几何?”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为寸，锯道尺（尺寸），求该圆材的直径为多少寸 【答案】该圆材的直径为20寸 【思路点拨】本题考查垂径定理和勾股定理，过点作 于点，交于点，连接，设半径为，则，由勾股定理建立方程即可求得，从而求得圆的直径． 【规范解答】解：设该圆材的半径为寸． 如图所示，过点作 于点，交于点，连接， 则寸， 设寸，尺寸， 所以 寸． 在中， 即 解得， 则，即该圆材的直径为寸． 12．（23-24九年级上·山西晋城·期末）如图，是内的一条弦．    (1)尺规作图（保留作图痕迹，标明字母）：作弦的垂直平分线，与交于点（垂足为），与交于点，（点在弦的上方），连接，． (2)在所作的图中，若，的半径为13，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查作图复杂作图，垂径定理，解直角三角形等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）根据勾股定理解三角形可得结论； 【规范解答】（1）解：如图，即为所求．    （2）解：， ． 在中，根据勾股定理，得， ． 培优题真题汇编练 13．（22-23九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，高米，则此圆的半径的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【思路点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，先根据垂径定理得出的长，设米，则米，由勾股定理得到，解方程即可求解，由勾股定理得到方程是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴米，， 设米，则米， 在中，， ∴， 解得， ∴圆的半径的长度为米， 故选：． 14．（2022九年级上·全国·专题练习）如图所示，矩形与相交于，若，，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了矩形的判定与性质、垂径定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键．过作并延长，交于，求出的长，再根据矩形的性质求出的长，再由垂径定理解答即可． 【规范解答】解：如下图，过作并延长，交于， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 15．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了圆的对称性，垂径定理，勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，连接，利用垂径定理可得是的垂直平分线，则；利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得不等式（当D，P，F在一条直线上时取等号），结合图形即可得出结论． 【规范解答】解：如图，连接， ∵为的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵P是直径上的动点，， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∵（当D，P，F在一条直线上时取等号），点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合， ∴直径， ∴． 故选：C． 16．（2024·河南濮阳·二模）如图()，是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图()是月亮门的示意图，其中 米，为中点，为月亮门最高点，圆心在线段上，米，月亮门所在圆半径的长为 米． 【答案】 【思路点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，由为中点，为月亮门最高点，圆心在线段上可得，米，设圆的半径长为米，则米，米，在中，由勾股定理得，即得，解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：连接， ∵为中点，为月亮门最高点，圆心在线段上， ∴，米， ∴， 设圆的半径长为米，则米，米， 在中，， ∴， 解得， ∴圆的半径为米， 故答案为：． 17．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度为寸，锯长为尺寸，问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为 寸． 【答案】 【思路点拨】 本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 设圆材的圆心为，延长，交于点，连接，由题意知过点，且，，设圆形木材半径为，可知寸，寸，根据列方程求解可得． 【规范解答】 解：设圆材的圆心为，延长，交于点，连接，如图所示： 由题意知：过点，且， 则， 设圆形木材半径为寸， 则寸，寸， ， ， 解得：， 即的半径为寸， 的直径为寸， 故答案为：． 18．（23-24九年级上·四川自贡·期末）一条排水管横截面如图所示，已知排水管半径，水面宽，若管内水面下降，则此时水面宽等于 ．    【答案】// 【思路点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 如图，连接，作于，交于，则，，，由勾股定理得，，则，由勾股定理求，进而可求． 【规范解答】解：如图，连接，作于，交于，则，    由垂径定理得，，， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 19．（16-17九年级上·北京门头沟·期末）《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系．第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长．”可求出直径的长为 寸． 【答案】26 【思路点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．连接，设寸，则寸，寸，先根据垂径定理求出寸，再在中，利用勾股定理求解即可得． 【规范解答】解：如图，连接， 则， 设寸，则寸，寸， ∵是的直径，弦于点，寸， 寸， 在中，，即， 解得， 则寸， 故答案为：26． 20．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，边长为2的正方形中心与半径为2的的圆心重合，E、F分别是的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了圆面积的计算、正方形的性质、全等形的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等图形成为解题的关键． 如图：延长交⊙O于M，N，连接，过点O作于H，再根据垂径定理、勾股定理、三角形的面积公式可得，然后再根据阴影部分的面积即可解答． 【规范解答】解：如图：延长交⊙O于M，N，连接，过点O作于H． 在中，, ∵， ∴ ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为． 21．（2024·安徽·一模）如图1，为的直径，弦于点G，且B为弧的中点，交于点H，若，．    (1)求的长； (2)如图2，连接．求证：． 【答案】(1)4 (2)见详解 【思路点拨】（1）由于垂径定理，得，结合三角形的外角性质，得，即可通过证明，则，即可作答． （2）结合半径相等，得点O在的垂直平分线上，由（1）知，则，得到，点H在的垂直平分线上，即可作答． 【规范解答】（1）解：连接，交于一点，如图所示：    ∵B为弧的中点 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解： 连接，交于一点，如图所示：    ∵ ∴，点O在的垂直平分线上 由（1）知， ∴ ∴，点H在的垂直平分线上 ∴所在的直线是的垂直平分线上 ∴ 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，垂直平分线的判定、垂直平分线的性质，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为． (1)在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据直角三角形是解决问题的关键． （1）在拱门上找任意一点C，连接、，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置； （2）连接，设点E为的中点，根据垂径定理，构造直角三角形，然后根据勾股定理解答即可； 【规范解答】（1）解：如图，点O即为所求， （2）连接， ， 设点E为的中点， 点O为圆心，连接并延长交圆于点D， 点D即为拱门为最高点， ， ，， ，， 在中， ， 点D到地面的距离为． 23．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，点 和动点在直线上，点关于点的对称点为，以为边作，使，，作的外接圆，点在点右侧，，过点作直线，过点作于点，交右侧的圆弧于点，在射线上取点，使，以，为邻边作矩形，设． (1)用关于的代数式表示______，_______； (2)当点在点 右侧时，若矩形的面积等于90，求的长． 【答案】(1)，， (2) 【思路点拨】（1）在中，，，应用勾股定理，即可求出，由垂径定理，和矩形，即可求出，结合，即可求出， （2）先求出中位线，进而求出和，根据矩形面积公式，列出关于的一元二次方程，解出的值，即可求出， 本题考查了，勾股定理，垂径定理，矩形的性质，中位线的性质，解题的关键是：结合图形，逐一求出线段长度． 【规范解答】（1）解：在中， ，， ， ， ，，， ，四边形是矩形， ，，， ， 故答案为：，， （2）解：，，， ， 是中点，是中点， ， ， 又， ， 矩形的面积， 解得：，（舍）， ， 故答案为：的长是． 24．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】 （）如图，为的弦，在上找一点并画出，使点到的距离最大；（不需要说明理由） 【问题探究】 （）如图，在扇形中，点为扇形所在圆的圆心，点为上一动点，连接，与交于点，若，，求的最大值； 【问题解决】 （）某公园有一圆形水池（如图），是水池上的两座长度相等的小桥，且，现规划人员计划再修建两座小桥和，桥的入口在水池边上（即点在上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形面积最大，已知，修建小桥的成本为元，当四边形的面积最大时，求修建和两座小桥的总成本． 【答案】（）作图见解析（）的最大值为（）修建和两座小桥的总成本为元 【思路点拨】（）过点作的垂线，交优弧于点，点即为所求； （）由知，当最小时， 最大，求出此时的，即可求解； （）当经过圆心时，四边形的面积最大，求出此时的和即可解答； 本题考查了垂径定理定理，勾股定理，的直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【规范解答】解：（）过点作的垂线，交优弧于点，点即为所求； （）过点作交于点， ∵，是半径，不会随着点的运动而改变， ∴当有最小值时，有最大值， 即当时，最小，此时最大， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为； （）当经过圆心时，四边形面积最大，则， 根据垂径定理可得，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴修建和两座小桥的总成本为：元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$