2.1 圆（知识精讲+易错点拨+十大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学九年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第2章《对称图形—圆》】 2.1 圆 （知识精讲+易错点拨+十大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：圆的基本概念辨析 3 考点讲练2：求圆中弦的条数 4 考点讲练3：求过圆内一点的最长弦 5 考点讲练4：求一点到圆上点距离的最值 7 考点讲练5：圆的周长和面积问题 9 考点讲练6：圆心角概念辨析 9 考点讲练7：求圆弧的度数 10 考点讲练8：判断点与圆的位置关系 11 考点讲练9：利用点与圆的位置关系求半径 13 考点讲练10：已知半径和圆上两点作圆 15 中等题真题汇编练 16 培优题真题汇编练 19 新知精讲梳理 知识点01：圆的认识 1. 圆的概念 定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。具体来说，一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A运动所形成的图形叫做圆。其中，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 集合定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，此定点为圆心，定长为半径。 重要元素：圆心和半径是构成圆的两个重要元素。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 2. 圆的性质 对称性：圆是轴对称图形，任意经过圆心的直线都是它的对称轴。同时，圆也是中心对称图形，对称中心为圆心。 直径和半径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径，一般用字母d表示。连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径，一般用字母r表示。在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即d=2r。 弦和弧：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。圆上两点之间的部分叫做弧。 知识点02：点与圆的位置关系 1. 位置分类 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆内的点、圆上的点和圆外的点。 圆内的点：到圆心的距离小于半径的点的集合。 圆上的点：到圆心的距离等于半径的点的集合。 圆外的点：到圆心的距离大于半径的点的集合。 2. 判定方法 设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则： 如果d<r，则点P在⊙O内。 如果d=r，则点P在⊙O上。 如果d>r，则点P在⊙O外。 高频易错知识点拨 易错知识点01：圆的认识易错点 圆的定义理解不清 易错表现：学生可能只记住了圆的一种定义方式（如“平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形”），而忽略了其他定义方式（如“平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆”），或者对定义中的“定点”（圆心）和“定长”（半径）理解不深刻。 应对策略：通过多种形式的讲解和练习，加深学生对圆定义的理解，明确圆心和半径在圆中的关键作用。 圆的对称性理解错误 易错表现：学生可能误将圆的任意直径都视为对称轴，而忽略了对称轴必须是经过圆心的直线。此外，对于圆是中心对称图形的性质也可能理解不足。 应对策略：通过直观演示（如对折圆形纸片）和理论讲解相结合的方式，帮助学生理解圆的对称性和对称轴的概念。 直径和半径的关系混淆 易错表现：学生可能在解题时忘记“在同圆或等圆中”这一前提条件，直接得出“所有圆的半径都是直径的一半”或“所有圆的直径都是半径的两倍”的结论。 应对策略：强调“在同圆或等圆中”这一前提条件的重要性，并通过例题和练习帮助学生巩固直径和半径之间的关系。 易错知识点02：点与圆的位置关系易错点 判定方法掌握不牢 易错表现：学生在判断点与圆的位置关系时，可能忘记使用“圆心到点的距离与半径进行比较”的方法，或者计算圆心到点的距离时出现错误。 应对策略：通过大量的例题和练习，帮助学生熟练掌握判断点与圆位置关系的方法，并学会准确计算圆心到点的距离。 对特殊位置关系的忽视 易错表现：学生可能只关注到点在圆内、圆上或圆外的三种基本位置关系，而忽略了特殊位置关系（如切点）的存在。 应对策略：在讲解点与圆的位置关系时，适当引入特殊位置关系的概念，并通过实例帮助学生理解和记忆。 实际应用中的错误 易错表现：在解决实际问题时，学生可能无法将问题抽象为点与圆的位置关系模型，或者在建立模型后出现计算错误。 应对策略：加强学生对实际问题的分析能力，引导他们将实际问题抽象为数学问题，并学会运用圆的性质进行求解。同时，通过错题分析和订正，帮助学生避免在计算过程中出现错误。 考点讲练1：圆的基本概念辨析 【精讲题】（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，点A在上，弦，垂足为点D且，连接、，则的度数为 ． 【举一反三练1】（2024·江苏盐城·二模）如图，点A，B，C在上．若，则的度数为 【举一反三练2】（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）如图，是的直径，，交于点 B ，且，求的度数． 考点讲练2：求圆中弦的条数 【精讲题】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【举一反三练1】（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【举一反三练2】（21-22九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 考点讲练3：求过圆内一点的最长弦 【精讲题】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    【举一反三练1】（23-24九年级上·江西九江·期末）小明将两个形状相同，大小不同的三角板AOB和三角板DEB放置在平面直角坐标系中， 点O（0，0），A（0，3），∠ABO＝30°，BE＝3．    (1)如图①，求点D的坐标； (2)如图②，小明同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转一周． ①若点O，E，D在同一条直线上，求点D到x轴的距离； ②连接DO，取DO的中点G，在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是 （直接写出结果即可）． 【举一反三练2】（20-21九年级上·湖南长沙·期中）如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 考点讲练4：求一点到圆上点距离的最值 【精讲题】（2024·山东淄博·一模）如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于两点．若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（    ） A．12 B．24 C．14 D．28 【举一反三练1】（2024·河北唐山·二模）如图，在正方形中，，点分别是边上的动点，且，连接交于点． （1）当时，连接，取的中点，则的长为 ． （2）点之间的距离的最小值为 ． 【举一反三练2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与实践 利用正方形纸片的折叠开展数学活动，探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法． 如图①，E 为正方形的 边上的一个动点，，将正方形对折，使点与 点重合，点与 点重合，折痕为 ． 思考探索 （1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为 ， 连接 ， 如图②，请根据以上条件填空． ①点 在以点 为圆心， 的长为半径的圆上（填线段）； ②的长为 ； 拓展延伸 （2）当时，正方形 沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形 的内部或边上． ① 求 面积的最大值； ② 连 接，为的中点，点 在上，连接求的最小值． 考点讲练5：圆的周长和面积问题 【精讲题】（23-24六年级上·黑龙江绥化·期中）甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（　　） A． B． C． 【举一反三练1】（23-24九年级上·河南·期末）如图，周长为16的正方形中，E、F分别为、的中点，连接，以和为直径的两个半圆分别与相切，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【举一反三练2】（23-24六年级上·黑龙江大庆·阶段练习）一个圆形花坛的半径是米，直径是 米，它的面积是 平方米，绕花坛走一圈，走了 米． 考点讲练6：圆心角概念辨析 【精讲题】（23-24九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（    ） A．    B．   B． C．   D．   【举一反三练1】（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为 ． 【举一反三练2】（22-23六年级下·山东淄博·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 考点讲练7：求圆弧的度数 【精讲题】（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，一把三角尺，，．将其放置在量角器上，点O与圆心重合，若三角尺的直角边和量角器所在圆的半径相等，点C是斜边与量角器边缘的交点，若B点的对应刻度为，则C点的对应刻度为 ． 【举一反三练1】（23-24九年级上·江苏·周测）如图， 是的直径，弦，若，则的度数是 ． 【举一反三练2】（21-22七年级上·贵州毕节·阶段练习）如图所示，若扇形DOE与扇形AOE的圆心角的度数之比为1：2．求这五个圆心角的度数． 考点讲练8：判断点与圆的位置关系 【精讲题】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，圆M的半径为4，圆心M的坐标为，点P是圆M上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为 . 【举一反三练1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知矩形的边，． (1)以点A为圆心，为半径作，则点B，C，D与的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则的半径r的取值范围是什么？ 【举一反三练2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点为的中点．    (1)以点为圆心，6为半径作圆，试判断点与的位置关系； (2)当的半径为多少时，点在上？ 考点讲练9：利用点与圆的位置关系求半径 【精讲题】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图所给的方格纸中，每个小正方形边长都是，是格点三角形（顶点在方格顶点上的三角形叫做格点三角形）．    (1)在图1中画出将以点为旋转中心，逆时针旋转得到的图形． (2)在图2中画出，使与全等，且顶点在同一个圆上． 【举一反三练1】（22-23九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系 中， 对于点 和图形，给出如下定义：若图形 上存在点 ，使点 绕点 顺时针旋转 后得到点 ，称点 为点 关于图形 的“旋转点”．特别地，若点 与点 重合，则 点 也是点 关于图形 的 “旋转点”． 如图 1 ，点 ． (1)在点 中， 是点关于 轴的“旋转点”的是 ； (2)若上存在点 关于 轴的“旋转点”，求 的半径 的取值范围． (3)如图 2 ， 的半径为 时， 已知点， 以线段 为边在 x 轴上方作正方形．  若正方形 上存在点 关于的“旋转点”，直接写出符合题意的 的取值范围． 【举一反三练2】（21-22九年级上·四川自贡·期末）对于平面直角坐标系中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，若，则称为点P的最大距离；若，则称为点P的最大距离．例如：点到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为，所以点P的最大距离为4． (1)①点的最大距离为______； ②若点的最大距离为3，则a的值为______； ③若点的最大距离为2，则a的值为______； (2)若点C在直线上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标； (3)若上存在点M，使点M的最大距离为，直接写出的半径r的取值范围． 考点讲练10：已知半径和圆上两点作圆 【精讲题】（20-21九年级上·浙江温州·期中）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 【举一反三练1】（2020·陕西·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝4，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为 ． 【举一反三练2】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 中等题真题汇编练 1．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知的直径为点P到圆心O的距离为，则点P和的位置关系为（    ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 3．（2024·河北邯郸·二模）如图，直线，相交于点，则在直线，上到点的距离为的点有（    ） A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个 4．（2024·辽宁大连·三模）已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点，交于一点，则当取得最大值时，的值为（    ）    A． B． C． D． B． 5．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知和射线，动点在上，动点在射线上，．若的最小值为，最大值为，则的半径为 ． 6．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，那么 ． 7．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，半径为5的内有一点A，，点P在上，当最大时，的长等于 ． 8．（23-24九年级上·湖北随州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点P在矩形的边上沿运动．当点P不与点A、B重合时，将沿对折，得到，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为 ．    9．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是以为圆心，1为半径的上的一个动点，已知，，连接，，则的最小值是 ． 10．（21-22九年级上·广东广州·期中）如图，在中，是直径，是弦，延长相交于点P，且，，连接，求的度数．    12．（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，已知矩形的边经过圆心O，点E，F 分别是边，与的交点，，，，求的直径长．    13．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图①、图②都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上．图①、图②中的点A在上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，所画图形的顶点均在格点上，并保留作图痕迹．    (1)在图①中画一个的内接正方形. (2)在图②中画一个的内接四边形，使该四边形是轴对称图形但不是中心对称图形，且点在该四边形内部. 培优题真题汇编练 14．（2024·山东日照·二模）直线与x，y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一点，连接，则面积的最大值为（　　） A．27 B．10 C．23 D．32 15．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交边于点P，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 16．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，半径为5，P为上任意一点，E是的中点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 17．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）若所在平面内有一点，点到上点的最大距离为，最小距离为，则的半径为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 18．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，点A，B，C在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为 ． 19．（2024·陕西西安·三模）如图，四边形为矩形，，．点E是线段上一动点，连接，点F为线段上一点，连接，若，则的最小值为 ． 20．（2024·甘肃武威·三模）如图，矩形中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点F，交的延长线于点E，若点F是弧的中点，则图中阴影部分的面积为 ． 21．（22-23九年级上·黑龙江七台河·期末）如图，是的直径，C、D是上两点，，若，则 ． 22．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，点在的延长线上，点在直线上，连接，若，则的最大值为 ． 23．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 24．（2024·江西吉安·模拟预测）【课本再现】（1）如图1，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数为______． 【变式探究】（2）如图2，将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点F，若，求的长． 【延伸拓展】（3）如图3，当（2）中的点E在射线上运动时，连接，与交于点P．探究：当点E在运动的过程中，存在D，P两点间的距离最短．请求出的最短距离． 25．（2024·贵州黔东南·一模）如图，在边长为2的正方形中，点E在边上，点F在边上，连接，，与相交于点 P．    (1)【动手操作】在图1中画出线段，； (2)【问题探究】若． ①利用图2 探究的值； ②过点P作，垂足分别为M，N，连接，试求的最小值． 26．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在中，，，给出如下定义：作直线l分别交、边于点M、N，点A关于直线l的对称点为，则称为等腰直角关于直线l的“直角对称点”．（点M可与点B重合，点N可与点C重合） (1)在平面直角坐标系中，点，直线，O'为等腰直角关于直线l的“直角对称点”． ①当时，写出点的坐标______； ②连接，求 长度的取值范围； (2)⊙O的半径为8，点M是上一点，以点M为直角顶点作等腰直角，其中，直线l与、分别交于E、F两点，同时为等腰直角关于直线l的“直角对称点”，连接；当点M在上运动时，直接写出长度的最大值与最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第2章《对称图形—圆》】 2.1 圆 （知识精讲+易错点拨+十大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：圆的基本概念辨析 3 考点讲练2：求圆中弦的条数 6 考点讲练3：求过圆内一点的最长弦 9 考点讲练4：求一点到圆上点距离的最值 13 考点讲练5：圆的周长和面积问题 18 考点讲练6：圆心角概念辨析 20 考点讲练7：求圆弧的度数 22 考点讲练8：判断点与圆的位置关系 24 考点讲练9：利用点与圆的位置关系求半径 28 考点讲练10：已知半径和圆上两点作圆 35 中等题真题汇编练 39 培优题真题汇编练 51 新知精讲梳理 知识点01：圆的认识 1. 圆的概念 定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。具体来说，一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A运动所形成的图形叫做圆。其中，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 集合定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，此定点为圆心，定长为半径。 重要元素：圆心和半径是构成圆的两个重要元素。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 2. 圆的性质 对称性：圆是轴对称图形，任意经过圆心的直线都是它的对称轴。同时，圆也是中心对称图形，对称中心为圆心。 直径和半径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径，一般用字母d表示。连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径，一般用字母r表示。在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即d=2r。 弦和弧：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。圆上两点之间的部分叫做弧。 知识点02：点与圆的位置关系 1. 位置分类 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆内的点、圆上的点和圆外的点。 圆内的点：到圆心的距离小于半径的点的集合。 圆上的点：到圆心的距离等于半径的点的集合。 圆外的点：到圆心的距离大于半径的点的集合。 2. 判定方法 设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则： 如果d<r，则点P在⊙O内。 如果d=r，则点P在⊙O上。 如果d>r，则点P在⊙O外。 高频易错知识点拨 易错知识点01：圆的认识易错点 圆的定义理解不清 易错表现：学生可能只记住了圆的一种定义方式（如“平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形”），而忽略了其他定义方式（如“平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆”），或者对定义中的“定点”（圆心）和“定长”（半径）理解不深刻。 应对策略：通过多种形式的讲解和练习，加深学生对圆定义的理解，明确圆心和半径在圆中的关键作用。 圆的对称性理解错误 易错表现：学生可能误将圆的任意直径都视为对称轴，而忽略了对称轴必须是经过圆心的直线。此外，对于圆是中心对称图形的性质也可能理解不足。 应对策略：通过直观演示（如对折圆形纸片）和理论讲解相结合的方式，帮助学生理解圆的对称性和对称轴的概念。 直径和半径的关系混淆 易错表现：学生可能在解题时忘记“在同圆或等圆中”这一前提条件，直接得出“所有圆的半径都是直径的一半”或“所有圆的直径都是半径的两倍”的结论。 应对策略：强调“在同圆或等圆中”这一前提条件的重要性，并通过例题和练习帮助学生巩固直径和半径之间的关系。 易错知识点02：点与圆的位置关系易错点 判定方法掌握不牢 易错表现：学生在判断点与圆的位置关系时，可能忘记使用“圆心到点的距离与半径进行比较”的方法，或者计算圆心到点的距离时出现错误。 应对策略：通过大量的例题和练习，帮助学生熟练掌握判断点与圆位置关系的方法，并学会准确计算圆心到点的距离。 对特殊位置关系的忽视 易错表现：学生可能只关注到点在圆内、圆上或圆外的三种基本位置关系，而忽略了特殊位置关系（如切点）的存在。 应对策略：在讲解点与圆的位置关系时，适当引入特殊位置关系的概念，并通过实例帮助学生理解和记忆。 实际应用中的错误 易错表现：在解决实际问题时，学生可能无法将问题抽象为点与圆的位置关系模型，或者在建立模型后出现计算错误。 应对策略：加强学生对实际问题的分析能力，引导他们将实际问题抽象为数学问题，并学会运用圆的性质进行求解。同时，通过错题分析和订正，帮助学生避免在计算过程中出现错误。 考点讲练1：圆的基本概念辨析 【精讲题】（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，点A在上，弦，垂足为点D且，连接、，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆的基本概念，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质等知识，利用圆的基本概念，线段垂直平分线的性质可得出，，然后利用等边三角形的判定与性质求解即可． 【规范解答】解：连接，， ∵，， ∴，， 又， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，， ∴， 故答案为：． 【举一反三练1】（2024·江苏盐城·二模）如图，点A，B，C在上．若，则的度数为 【答案】 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用等腰直角三角形的性质可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质，即可解答． 【规范解答】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）如图，是的直径，，交于点 B ，且，求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形外角的性质．首先设，由，可得，然后利用等腰三角形的性质与三角形外角的性质，求得，继而求得答案． 【规范解答】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点讲练2：求圆中弦的条数 【精讲题】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【规范解答】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 【举一反三练1】（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【答案】 三/3 ，， 【思路点拨】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【规范解答】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【考点评析】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 【举一反三练2】（21-22九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路点拨】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE； （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【规范解答】解：（1）如图1，DE为所作； 连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED， ∵OB=OD=OE=OC， 在△BOC和△DOE中， ， ∴△BOC≌△DOE（SAS）， ∴BC=DE； （2）如图2，△A′B′C′为所作． 连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′， 在△BOC和△B′OC′中， ， ∴△BOC≌△B′OC′（SAS）， ∴BC=B′C′； 同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS）， ∴AB=A′B′， 同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS）， ∴AC=A′C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【考点评析】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键． 考点讲练3：求过圆内一点的最长弦 【精讲题】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    【答案】2 【思路点拨】如图，连接并延长，交圆于点D，连接，由中位线定理，得，点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长．于是的最大值为． 【规范解答】解：如图，连接并延长，交圆于点D，连接， ∵点M，N分别是AB，BC中点， ∴． 点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长． ∵是直径， ∴． ∴的最大值为． 故答案为：2    【考点评析】本题考查中位线定理，圆的基本概念弦与直径；掌握中位线定理是解题的关键． 【举一反三练1】（23-24九年级上·江西九江·期末）小明将两个形状相同，大小不同的三角板AOB和三角板DEB放置在平面直角坐标系中， 点O（0，0），A（0，3），∠ABO＝30°，BE＝3．    (1)如图①，求点D的坐标； (2)如图②，小明同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转一周． ①若点O，E，D在同一条直线上，求点D到x轴的距离； ②连接DO，取DO的中点G，在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是 （直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①或；② 【思路点拨】（1）由直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，得到，再运用勾股定理求出，从而得到点D的坐标． （2）①分点E在上方和下方，利用面积法求解即可； ②取的中点M，连接，过点M作于点N，可得为的中位线，可判断点G在以M为圆心以为半径的圆上，进一步可求出点G到直线的距离的最大值． 【规范解答】（1）解：， ． 在中，， ， ． 在中，， ． 又， ， 解得，（负值舍去）． 又， ， ∴点D的坐标为； （2）①分两种情况：当点E在上方时，如图，过点D作轴于点F， ， ， ， ． ， ， 解得； 当点E在下方时，如图，过点D作轴于点G， 在中，，， ， ． ， ， 解得， 综上，点D到x轴的距离为或； ②如图，取的中点M，连接过点M作于点N， ∵M为的中点，G为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点G在以M为圆心，以为半径的圆上， ∵M为的中点， ∴， 在中，， ． 当点G运动到点时，此时、M、N三点共线，点G到的距离最大，最大值为 ， ∴点G到的最大距离为， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、面积法、三角形中位线定理以及圆的有关知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 【举一反三练2】（20-21九年级上·湖南长沙·期中）如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】（1）作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）连接，线段即为所求； （3）连接，线段即为所求（答案不唯一）． 【规范解答】（1）如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）如图所示，连接，线段即为所求； （3）如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）． 【考点评析】本题考查了圆的基本概念，连接圆上任意两点是圆的弦，直径是经过圆心的弦，半径是圆上一点与圆心的连线，掌握以上知识是解题的关键． 考点讲练4：求一点到圆上点距离的最值 【精讲题】（2024·山东淄博·一模）如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于两点．若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（    ） A．12 B．24 C．14 D．28 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取得最大值的位置． 连接，根据直角三角形的性质得出，说明要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点P位于位置时，取得最大值，过点M作轴于点Q，根据勾股定理求出，得出答案即可． 【规范解答】解：连接，如图所示： ， ， 点A、点B关于原点O对称， ， ， 若要使取得最大值，则需取得最大值， 连接，并延长交于点，当点P位于位置时，取得最大值， 过点M作轴于点Q， 则， ， 又， ， ． 故选：D． 【举一反三练1】（2024·河北唐山·二模）如图，在正方形中，，点分别是边上的动点，且，连接交于点． （1）当时，连接，取的中点，则的长为 ． （2）点之间的距离的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】（1）根据正方形性质，由三角形全等的判定与性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可得到答案； （2）由（1）中，，可知点在以中点为圆心、为半径的圆弧上运动，如图所示，由动点最值问题-圆弧型解法，结合勾股定理求解即可得到答案． 【规范解答】解：（1）在正方形中，，， ， ， ， 在中，， ，即， 在中，是斜边上的中线，则， 在中，，，则由勾股定理可得， ； （2）由（1）知，且， 点在以中点为圆心、为半径的圆弧上运动，如图所示： 由三角形三边关系可知，在中，， 当三点共线时，点之间的距离的最小值为， 在中，，，则由勾股定理得到， ； 故答案为：；． 【考点评析】本题考查几何综合，涉及正方形性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半、动点最值问题-圆弧型、勾股定理等知识，熟练掌握正方形性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形性质及动点最值问题-圆弧型解法是解问题的关键． 【举一反三练2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与实践 利用正方形纸片的折叠开展数学活动，探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法． 如图①，E 为正方形的 边上的一个动点，，将正方形对折，使点与 点重合，点与 点重合，折痕为 ． 思考探索 （1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为 ， 连接 ， 如图②，请根据以上条件填空． ①点 在以点 为圆心， 的长为半径的圆上（填线段）； ②的长为 ； 拓展延伸 （2）当时，正方形 沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形 的内部或边上． ① 求 面积的最大值； ② 连 接，为的中点，点 在上，连接求的最小值． 【答案】（1）①；② （2）①；② 【思路点拨】本题考查了圆的性质，矩形的性质、图形的折叠、等腰三角形的性质等， （1）①利用圆的基本性质，即可求解； ②根据折叠的性质，利用勾股定理，即可求解； （）①由题意知点在以点为圆心，半径长为的圆上，的面积要最大，只要以为底的高最长即可，此时当时，的面积最大； ②当、、三点共线时，取得最小值，即取得最小值，且最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【规范解答】解：（1）根据折叠的性质知：，，， ， ①点在以点为圆心，的长为半径的圆上； ② ； 故答案为：①，②， （）①，， ， 故点在以点为圆心，半径长为的圆上， 的面积要最大，只要以为底的高最长即可， 当时，的面积最大，如图： 的面积最大值； ②， ， 为的中点， 为的中点， 为的中位线， ，即， ， 当三点共线时，取得最小值，即取得最小值， 且最小值为的长， ， 的最小值为． 考点讲练5：圆的周长和面积问题 【精讲题】（23-24六年级上·黑龙江绥化·期中）甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（　　） A． B． C． 【答案】A 【思路点拨】圆的面积和周长公式分别求出甲乙的半径，再求二者之比，即可求解． 【规范解答】解：由题意得 解得：， 解得：， 所以， 故选：A． 【考点评析】本题考查了圆的面积和周长公式，掌握公式是解题的关键． 【举一反三练1】（23-24九年级上·河南·期末）如图，周长为16的正方形中，E、F分别为、的中点，连接，以和为直径的两个半圆分别与相切，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【思路点拨】根据图形可知，阴影部分的面积是正方形的面积减去圆形的面积，再乘以，据此即可求解．本题考查了不规则图形的面积的计算，计算不规则图形的面积一般是将不规则图形的面积转化为通过对多个规则图形面积的加减来解答． 【规范解答】∵周长为16的正方形， ∴正方形的边长4， ∴图中两个半圆的直径为4， 则其半径为2， 根据图形可知，阴影部分的面积是正方形的面积减去圆形的面积，再乘以， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24六年级上·黑龙江大庆·阶段练习）一个圆形花坛的半径是米，直径是 米，它的面积是 平方米，绕花坛走一圈，走了 米． 【答案】 【思路点拨】根据圆的基础知识即可求解． 【规范解答】解：圆形花坛的半径是米， ∴直径是（米）， ∴面积为（平方米），周长为（米）， 故答案为：，，． 【考点评析】本题主要考查圆的基础知识，掌握圆的半径与直径的数量关系，圆面积的计算公式，圆周长的计算公式是解题的关键． 考点讲练6：圆心角概念辨析 【精讲题】（23-24九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（    ） A．    B．   B． C．   D．   【答案】B 【思路点拨】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答． 【规范解答】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 【举一反三练1】（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为 ． 【答案】/60度 【思路点拨】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质， 连接、，证明为等边三角形得到即可，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接、，    直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 【举一反三练2】（22-23六年级下·山东淄博·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【规范解答】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【考点评析】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 考点讲练7：求圆弧的度数 【精讲题】（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，一把三角尺，，．将其放置在量角器上，点O与圆心重合，若三角尺的直角边和量角器所在圆的半径相等，点C是斜边与量角器边缘的交点，若B点的对应刻度为，则C点的对应刻度为 ． 【答案】/82度 【思路点拨】本题考查圆心角与它所对弧关系，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理．关键是由等边三角形的性质得到． 连接，由，，推出是等边三角形，得到，由B点的对应刻度为，即可求出D点的对应刻度． 【规范解答】解：连接，如图， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵B点的对应刻度为， ∴D点的对应刻度是． 故答案为：． 【举一反三练1】（23-24九年级上·江苏·周测）如图， 是的直径，弦，若，则的度数是 ． 【答案】/30度 【思路点拨】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数． 【规范解答】 连接， ， ． ， ， ， ∴的度数是． 故答案为： 【考点评析】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键． 【举一反三练2】（21-22七年级上·贵州毕节·阶段练习）如图所示，若扇形DOE与扇形AOE的圆心角的度数之比为1：2．求这五个圆心角的度数． 【答案】54°，90°，108°，36°，72° 【思路点拨】求出每个扇形所占的百分比，再根据所有扇形所对应的圆心角的和为360°，按比例进行计算即可． 【规范解答】解：由题意得，扇形DOE所占的百分比为：（1﹣30%﹣25%﹣15%）×＝10%， 扇形AOE所占的百分比为：（1﹣30%﹣25%﹣15%）×＝20%， ∴∠AOB＝360°×15%＝54°， ∠BOC＝360°×25%＝90°， ∠COD＝360°×30%＝108°， ∠DOE＝360°×10%＝36°， ∠AOE＝360°×20%＝72°， 答：这五个圆心角的度数依次为54°，90°，108°，36°，72°． 【考点评析】本题考查求圆心角度数，求出各个扇形所占的百分比是正确解答的关键． 考点讲练8：判断点与圆的位置关系 【精讲题】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，圆M的半径为4，圆心M的坐标为，点P是圆M上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为 . 【答案】28 【思路点拨】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最大值时点P的位置．连接，由中知若要使取最大值，则需取最大值，连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，当点P在的延长线与的交点上时，取最大值，据此可得出取最大值时点P的位置，求解可得结果． 【规范解答】解：连接， ∵， ∴， ∵点A、点B关于原点O对称， ∴，即点为中点， ∴， 若要使取最大值，则需取最大值， 连接，交于点， 当点P位于点时，取得最小值， 过点M作轴于点Q，圆心M的坐标为， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴当点P在的延长线与的交点上时，取最大值， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为：． 【举一反三练1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知矩形的边，． (1)以点A为圆心，为半径作，则点B，C，D与的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则的半径r的取值范围是什么？ 【答案】(1)点在内，点在上，点在外 (2) 【思路点拨】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【规范解答】（1）解：连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）解：∵以点A为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径的取值范围是：． 【举一反三练2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点为的中点．    (1)以点为圆心，6为半径作圆，试判断点与的位置关系； (2)当的半径为多少时，点在上？ 【答案】(1)点A在上，点在内，点在外 (2)5 【思路点拨】 （1）各点到的距离与半径6作对比，大于半径的在圆外，等于半径的在圆上，小于半径的在圆内； （2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得，所以当半径为5时，在上． 【规范解答】（1） 如图，在中，，，， ， 在上， ， ， ， ， 在内， ， 在外； （2） 在中，， 为的中点， ， 当的半径为5时，点在上； 【考点评析】此题主要考查了点与圆的位置关系、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． 考点讲练9：利用点与圆的位置关系求半径 【精讲题】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图所给的方格纸中，每个小正方形边长都是，是格点三角形（顶点在方格顶点上的三角形叫做格点三角形）．    (1)在图1中画出将以点为旋转中心，逆时针旋转得到的图形． (2)在图2中画出，使与全等，且顶点在同一个圆上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）取格点，使，延长至点，延长至点，延长至点，使得，连接，，即可． 【规范解答】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求（答案不唯一）．    【考点评析】本题考查作图﹣旋转变换、全等三角形的判定、点与圆的位置关系，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定、点与圆的位置关系是解答本题的关键． 【举一反三练1】（22-23九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系 中， 对于点 和图形，给出如下定义：若图形 上存在点 ，使点 绕点 顺时针旋转 后得到点 ，称点 为点 关于图形 的“旋转点”．特别地，若点 与点 重合，则 点 也是点 关于图形 的 “旋转点”． 如图 1 ，点 ． (1)在点 中， 是点关于 轴的“旋转点”的是 ； (2)若上存在点 关于 轴的“旋转点”，求 的半径 的取值范围． (3)如图 2 ， 的半径为 时， 已知点， 以线段 为边在 x 轴上方作正方形．  若正方形 上存在点 关于的“旋转点”，直接写出符合题意的 的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】（1）根据坐标求得，根据新定义得出，满足题意； （2）由新定义可知，是等边三角形，则当与直线相切时，求得半径的最小值即可求解； （3）根据定义，证明，得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，进而求得在圆上时，同理可得左侧情形，求得的值，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，∵， ∴, ∴是等边三角形， ∴， 又重合， ∴是点 P 关于y 轴的“旋转点”， 故答案为： （2）解：如图所示， 过点作于点， ∵是轴上的点，，， ∴是等边三角形， 又由（1）可知，是等边三角形， ∴在直线上， ∵是等边三角形， ∴, ∴若⊙O 上存在点 P 关于y 轴的“旋转点”，⊙O 的半径 r 的取值范围为； （3）解：如图，连接， 根据新定义，是等边三角形，是等边三角形， ∴，， ∴ ∴ ∴， 即点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵，四边形是正方形 ∴， 如图，当在上时， 如图，当点在上时， ∵， 则 同理可得，当点在上时，，则 ∴，则， 解得： 当在上时，， 解得：， ∴， 综上所述，t 的取值范围为或． 【考点评析】本题考查了几何新定义，旋转的性质，切线的性质，点与圆的位置关系，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，坐标与图形，勾股定理，理解新定义是解题的关键． 【举一反三练2】（21-22九年级上·四川自贡·期末）对于平面直角坐标系中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，若，则称为点P的最大距离；若，则称为点P的最大距离．例如：点到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为，所以点P的最大距离为4． (1)①点的最大距离为______； ②若点的最大距离为3，则a的值为______； ③若点的最大距离为2，则a的值为______； (2)若点C在直线上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标； (3)若上存在点M，使点M的最大距离为，直接写出的半径r的取值范围． 【答案】(1)①5；②；③ (2)点或 (3) 【思路点拨】（1）①直接根据最大距离的定义，其最小距离为最大距离； ②由点的最大距离为3，可得a为最大距离，即可打得答案； ③由的最大距离为2可得，2或者为最大距离，故，求解即可； （2）由C的最大距离为5，可得或，代入可得结果； （3）当与直线有交点时，上存在点M，使点M的最大距离为． 【规范解答】（1）①点 到x轴的距离为5，到y轴的距离为2， ， 点A的最大距离5 ②点的最大距离为3 ③点 到x轴的距离为2，到y轴的距离为a， 若，则， 此时，最大距离为2 若，则 此时，最大距离为 点的最大距离为2 （2）∵点C的最大距离为5， ∴当时，，或者当时，． 分别把，代入得： 当时，，当时，， 当时，，当时，， ∴点或 （3） 如图，观察图象可知： 当与直线有交点时，上存在点M，使点M的最大距离为， 【考点评析】本题考查了一次函数的综合题目，圆的相关知识、及新定义最大距离，解题的关键是正确理解题意，灵活引用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于压轴题型． 考点讲练10：已知半径和圆上两点作圆 【精讲题】（20-21九年级上·浙江温州·期中）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据点与圆的位置关系计算即可； 【规范解答】∵B在外， ∴AB＞2， ∴＞2， ∴b＞或b＜， ∴b可能是-1. 故选A． 【考点评析】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析计算是解题的关键． 【举一反三练1】（2020·陕西·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝4，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为 ． 【答案】2﹣2 【思路点拨】根据正方形的性质得到AD=CD=BC=4，∠ADC=∠BCD=90°，求得CE=DF，根据全等三角形的性质得到∠DAF=∠CDE，推出∠APD=90°，得到点P在以AD为直径的圆上，设AD的中点为G，由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】解：在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC＝4，∠ADC＝∠BCD＝90°， ∵CE+CF＝4，CF+DF＝4， ∴CE＝DF， 在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴∠DAF＝∠CDE， ∵∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠DAP+∠FDP＝90°， ∴∠APD＝90°， ∴点P在以AD为直径的圆上， 设AD的中点为G， 由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，如图所示： ∵CD＝4，DG＝2， ∴CG＝＝2 ∴CP＝CG﹣PG＝2﹣2， 故答案为：2﹣2． 【考点评析】本题考查了点与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，确定出CG最小时点G的位置是解题关键，也是本题的难点． 【举一反三练2】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【规范解答】如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 中等题真题汇编练 1．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解题的关键 连接交于，根据勾股定理求出的长，从而求出的长，再根据相交两圆的位置关系得出的范围即可． 【规范解答】解：连接交于，如图，    在中，由勾股定理得：， 则， ， ， 与相交，且点在外，必须， 即只有选项B符合题意， 故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知的直径为点P到圆心O的距离为，则点P和的位置关系为（    ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离是解答此题的关键． 直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【规范解答】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点P到圆心O的距离为， ∴， ∴点P与的位置关系是：点P在外， 故选C． 3．（2024·河北邯郸·二模）如图，直线，相交于点，则在直线，上到点的距离为的点有（    ） A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了圆的定义．以点为圆心，以为半径作圆，该圆与两直线的交点即为所求的点． 【规范解答】如图，以点为圆心，以为半径作圆，该圆与两直线有个交点，则满足条件的点有个， 故选C． 4．（2024·辽宁大连·三模）已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点，交于一点，则当取得最大值时，的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了直线上点的坐标特征，圆外一点到圆上点距离的最大值；由题意知，当圆心I在线段上，取得最大值，把点I的坐标代入中，即可求得k的值． 【规范解答】解：由题意知，当圆心I在线段上，取得最大值， 此时直线过点I， 把点I坐标代入中，得：， 解得：； 故选：D． 5．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知和射线，动点在上，动点在射线上，．若的最小值为，最大值为，则的半径为 ． 【答案】7 【思路点拨】本题考查圆外一点到圆上一点的距离，勾股定理，根据，得到当时，最长，当时，最短，利用的长为定值，结合勾股定理进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴当，最长，此时最长， 当，最短，此时最短，如图： 设半径为， 当，即：， 由勾股定理，得：， 当，即：， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：； 故答案为：7． 6．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，那么 ． 【答案】/15度 【思路点拨】本题考查圆的认识，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键． 连接，利用半径相等和等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质证明，即可解决问题． 【规范解答】解：连接， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，半径为5的内有一点A，，点P在上，当最大时，的长等于 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查与圆有关的计算，勾股定理．当时，取得最大值，然后在直角三角形中利用勾股定理求的值即可． 【规范解答】解：如图所示： 是定值， ∴时，最大， 在直角三角形中，，， ． 故答案为：． 8．（23-24九年级上·湖北随州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点P在矩形的边上沿运动．当点P不与点A、B重合时，将沿对折，得到，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为 ．    【答案】/ 【思路点拨】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，解题的关键是：根据折叠的性质得出在为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点在上时，当点在上时，当在上时，即可求解． 【规范解答】解：在矩形中，，， ，， 如图所示，当点在上时，    ， 在为圆心，2为半径的弧上运动， 当，，三点共线时，最短， 此时， 当点在上时，如图所示，    此时， 当在上时，如图所示，此时，    综上所述，的最小值为， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是以为圆心，1为半径的上的一个动点，已知，，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，两点间的距离．连接，设，可求出，从而得到，再由当点P位于与圆的交点上时，取得最小值，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， 设， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当点P位于与圆的交点上时，取得最小值， ∴的最小值为， ∴的最小值为．    故答案为： 10．（21-22九年级上·广东广州·期中）如图，在中，是直径，是弦，延长相交于点P，且，，连接，求的度数．    【答案】 【思路点拨】本题考查的是圆的认识，根据半径出等腰，得到等腰三角形，利用等腰三角形及三角形外角的性质求解是解答此题的关键．由可得出故可得出的度数，根据三角形外角的性质求出的度数，由等边对等角求出的度数，即可得出结论． 【规范解答】解：    ∵， ∴ ∴． ∵是的外角， ∴． ∵， ∴． 11．（23-24九年级上·广东茂名·期末）综合与实践 【问题背景】“夏至”过后，越来越多的市民喜欢去海边游玩，小明同学发现沙滩上有很多的遮阳伞为游客带来一丝清凉，如图1是沙滩上的圆形遮阳伞支架张开的状态，为了了解遮阳伞下方的遮阴面积，小明进行了如下操作调研． 【测量与整理】通过操作发现，小明发现：如图2，当伞完全折叠时，伞顶与伞柄顶端点重合，两边主骨架的端点与重合；如图3，在撑开过程中，骨架的中点到点的距离始终等于的一半，；如图4，当伞完全张开时，． 【计算与分析】         图1   图2       图3           图4 (1)当伞完全张开后，求的长度； (2)当太阳光垂直照到遮阳伞上时，求伞完全张开时，遮挡住的阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查矩形的判定和性质，勾股定理，圆的面积的计算，掌握矩形的判定，勾股定理的实际运用是解题的关键． （1）根据题意，连结，过点作于，可证四边形是矩形，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解； （2）根据圆的面积的计算方法即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示，连结，过点作于， ， ， 又如图3，连接， 伞在撑开过程中，点是中点，等于一半， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ∴的长度为． （2）解：， 所以遮挡住的阴影部分的面积是． 12．（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，已知矩形的边经过圆心O，点E，F 分别是边，与的交点，，，，求的直径长．    【答案】的直径长为5 【思路点拨】本题考查了勾股定理和矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，作于点G，则，设的半径是R，在中利用勾股定理即可得到一个关于R的方程，解方程求得半径，则圆的直径即可求解． 【规范解答】解：连接，作于点G， 矩形， ， 四边形是矩形， ， 设的半径是R， 则，， 在中，， 即， 解得：， 则的直径是5．    13．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图①、图②都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上．图①、图②中的点A在上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，所画图形的顶点均在格点上，并保留作图痕迹．    (1)在图①中画一个的内接正方形. (2)在图②中画一个的内接四边形，使该四边形是轴对称图形但不是中心对称图形，且点在该四边形内部. 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【思路点拨】此题主要考查了利用轴对称设计图案、正方形及圆的性质，正确掌握轴对称图形及圆的性质是解题关键． （1）直接利用正方形及圆的性质，作出图形即可； （2）直接利用轴对称图形的性质，作出图形即可． 【规范解答】（1）如图所示，正方形即为所作；    （2）如图所示，四边形即为所作；    培优题真题汇编练 14．（2024·山东日照·二模）直线与x，y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一点，连接，则面积的最大值为（　　） A．27 B．10 C．23 D．32 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数与几何的综合应用，三角形的面积，点和圆的位置关系，解此题的关键是求出圆上的点到直线的最大距离． 求出A、B的坐标，根据勾股定理求出，求出点C到的距离，即可求出圆C上点到的最大距离，根据面积公式求出即可． 【规范解答】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∵点P是以为圆心，1为半径的圆上一点， 过C作于M，连接， ∴， ∴， 当P，C，M在一条直线时，最大，即的面积最大， 即， ∴面积的最大值， 故选：D． 15．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交边于点P，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【思路点拨】本题考查了勾股定理，圆的基本性质，由勾股定理得到，由题意得到，即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∵以点B为圆心，为半径画弧交边于点P， ∴， ∴， 故选：D． 16．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，半径为5，P为上任意一点，E是的中点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题． 如图，连接，取的中点H，连接，利用三角形的中位线定理可得，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2.5的圆，进而求解即可． 【规范解答】解：如图，连接，，取的中点H，连接，． ∵点E是的中点，点H是的中点， ， 点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2.5的圆， ，， ， ， 的最小值． 故选B． 17．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）若所在平面内有一点，点到上点的最大距离为，最小距离为，则的半径为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【思路点拨】本题考查了点和圆的位置关系，分点在圆外和圆内两种情况解答即可求解，运用分类讨论解答是解题的关键． 【规范解答】解：设的半径为， 当点在圆外时，； 当点在圆内时，； ∴的半径为或， 故选：． 18．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，点A，B，C在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】证明四边形是菱形，连接，得到是等边三角形，过点作交于点，利用等边三角形的性质和勾股定理，求出，利用菱形的面积公式进行求解即可． 【规范解答】解：∵点A，B，C在上， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴， 连接，过点作交于点， 则， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：； 故答案为：． 【考点评析】本题考查菱形了圆的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握菱形的判定方法以及等边三角形的判定方法是解题的关键． 19．（2024·陕西西安·三模）如图，四边形为矩形，，．点E是线段上一动点，连接，点F为线段上一点，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了圆外一点到圆上各点的最小距离，勾股定理，矩形的性质，关键是构造圆．由可得，，点在以为直径的圆弧上，点在圆外，可求的最小值． 【规范解答】解：作的中点，连接． 矩形中，， ， ， ， ， 当点移动时，点在以为直径的圆弧上移动，当点在上时，有最小值． ，，， ， ， 有最小值为4． 故答案为：4． 20．（2024·甘肃武威·三模）如图，矩形中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点F，交的延长线于点E，若点F是弧的中点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【思路点拨】结合矩形的性质、圆的有关性质求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出再根据，，列式计算即可得解， 本题考查了矩形的性质，扇形的面积计算，熟记扇形面积公式是解题的关键． 【规范解答】解：如图， 连接， 在矩形中， ∵点是弧的中点， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 则图中阴影部分的面积为 故答案为：． 21．（22-23九年级上·黑龙江七台河·期末）如图，是的直径，C、D是上两点，，若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质；连接，由等腰三角形的性质得，由角的和差得，由圆的基本性质得，即可求解；理解圆的基本性质是解题的关键. 【规范解答】解：如图，连接， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 22．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，点在的延长线上，点在直线上，连接，若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查动点最值-点圆模型，涉及矩形性质、圆周角定理推论、圆外一定点与圆周上一动点距离最值、勾股定理等知识，根据题意，先确定动点轨迹，再由动点最值-点圆模型的解法转化为求线段长，最后勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握动点最值问题-点圆模型的解法是解决问题的关键． 【规范解答】解：在矩形中，，， ，即， ， 点在以中点为圆心、长为半径的圆上运动，如图所示： 由动点最值点圆模型（圆外一定点与圆周上一动点距离最值问题）可知，的最大值为连接并延长交于的线段长， 在中，，则， ， 故答案为：． 23．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 【答案】见解析 【思路点拨】求证，，，四点在同一个圆上，是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明到得中点的距离等于的一半就可以．此题主要考查了确定圆的条件，求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等． 【规范解答】证明：如图所示，取的中点，连接，． ，是的高， 和都是直角三角形． ，分别为和斜边上的中线， ． ，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上． 24．（2024·江西吉安·模拟预测）【课本再现】（1）如图1，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数为______． 【变式探究】（2）如图2，将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点F，若，求的长． 【延伸拓展】（3）如图3，当（2）中的点E在射线上运动时，连接，与交于点P．探究：当点E在运动的过程中，存在D，P两点间的距离最短．请求出的最短距离． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路点拨】（1）根据正方形的性质，得到，推出，由，得到，推出即可得出结果； （2）根据正方形的性质，得到，求出，进而得到，由折叠的性质得到，，再根据（1）中，得到，进而得到，利用勾股定理求出，由即可求解； （3）由折叠的性质，得到，即点P在以为直径的圆上运动，设的中点为Q，连接，则当点P在上时，D，P两点间的距离最短，设交于点G，如图，求出，进而得到求出的最短距离． 【规范解答】解：（1）四边形是正方形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）四边形是正方形， ， ， ， ， 由折叠的性质得到，， 由（1）知， ， ， ， ； （3）由折叠知， ， 点P在以为直径的圆上运动， 设的中点为Q，连接，则当点P在上时，D，P两点间的距离最短，设交于点G，如图， ， ， 即D，P两点间的最短距离为． 【考点评析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，点到圆上的最短距离，灵活运用点到圆上的最短距离，折叠的性质，是解题的关键． 25．（2024·贵州黔东南·一模）如图，在边长为2的正方形中，点E在边上，点F在边上，连接，，与相交于点 P．    (1)【动手操作】在图1中画出线段，； (2)【问题探究】若． ①利用图2 探究的值； ②过点P作，垂足分别为M，N，连接，试求的最小值． 【答案】(1)图见解析 (2)①2；② 【思路点拨】（1）根据题意作线段即可； （2）①如图2，证明，则，，求解作答即可；②如图2，则四边形是矩形，取的中点，连接，则，，即点在以为直径的上，当三点共线时，最小，最小值为：，由勾股定理计算求解，进而可得的最小值． 【规范解答】（1）解：如图1， （2）①解：如图2， 四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为2； ②解：如图2，则四边形是矩形，取的中点，连接， ∴， ∵，点是的中点， ∴， 点在以为直径的上， 当三点共线时，最小，最小值为：， ∴的最小值为． 【考点评析】本题考查了画线段，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，圆，勾股定理等知识．熟练掌握画线段，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，圆，勾股定理是解题的关键． 26．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在中，，，给出如下定义：作直线l分别交、边于点M、N，点A关于直线l的对称点为，则称为等腰直角关于直线l的“直角对称点”．（点M可与点B重合，点N可与点C重合） (1)在平面直角坐标系中，点，直线，O'为等腰直角关于直线l的“直角对称点”． ①当时，写出点的坐标______； ②连接，求 长度的取值范围； (2)⊙O的半径为8，点M是上一点，以点M为直角顶点作等腰直角，其中，直线l与、分别交于E、F两点，同时为等腰直角关于直线l的“直角对称点”，连接；当点M在上运动时，直接写出长度的最大值与最小值． 【答案】(1)①；② (2)的最大值为，的最小值为 【思路点拨】（1）①根据直角对称点的定义求解即可；②如图中，设直线交y轴于E，则，连接，如图，由题意知，，点在以点E为圆心，以为半径的一段圆弧上；当直线经过点B时，最长，即，当点为与的交点时，最短，； （2）如图，由对称知，,可求，当点三点共线，且在圆外时，最长，当点三点共线，且在圆内时，最短，的最大值为，OM′的最小值为． 【规范解答】（1）解：（1）①如图2中，当时， 设直线交y轴于点E，交x轴于点F．则，， 是的中位线， ，都是等腰直角三角形， 点O关于的对称点O′在线段上，， ． 故答案为：； ②如图中，设直线交y轴于E，则，连接，    在中，，， ， 如图，由题意知，，点在以点E为圆心，以为半径的一段圆弧上； 设直线经过点B时，点O关于的对称点为点D，由对称知，， 此时，最长，即 当点为与的交点时，最短， 此时，； ∴， （2）如图，连接，作点M关于的对称点，连接，，．    如图，是等腰直角三角形，，由对称知，,, ， 由图，， 当点三点共线，且在圆外时，最长，此时; 当点三点共线，且在圆内时，最短，此时; ， 的最大值为，OM′的最小值为 【考点评析】本题属于圆综合题，轴对称，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆外一点到圆上点的距离等知识，解题的关键是对于动态问题确定临界状态，从而确定极值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$