第1章《一元二次方程》章节复习讲义（知识精讲+易错点拨+十三大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学九年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练 第1章《一元二次方程》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+十三考点讲练+难度分层真题练） 导图指引 2 新知精讲梳理 2 高频易错知识点拨 4 考点讲练1：一元二次方程的定义 5 考点讲练2：一元二次方程的一般形式 6 考点讲练3：一元二次方程的解 7 考点讲练4：解一元二次方程-直接开平方法 8 考点讲练5：解一元二次方程-配方法 8 考点讲练6：解一元二次方程-公式法 9 考点讲练7：解一元二次方程-因式分解法 10 考点讲练8：换元法解一元二次方程 11 考点讲练9：根的判别式 12 考点讲练10：根与系数的关系 13 考点讲练11：一元二次方程的应用 15 考点讲练12：配方法的应用 16 考点讲练13：一元二次方程的整数根与有理根 18 中等题真题汇编练 18 培优题真题汇编练 21 导图指引 新知精讲梳理 知识点1：一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只 ，并且未知数的 的 ，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 　 3.一元二次方程的解： 　　使 叫做一元二次方程的解，也叫做 细节剖析： 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是 ，否则一定 一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的 ，看是否具备另两个条件：①一个 ；②未知数的最高次数为 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 知识点2：一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程 2．基本解法 细节剖析： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用 知识点3：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有 的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有 的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程 实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 细节剖析： 1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： 　　(1)不解方程判定方程根的情况； 　　(2)根据参系数的性质确定根的范围； 　　(3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： 　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； 　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； 　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 知识点4：列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是 审题； 　　二是把握问题中的 　　三是 的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清 等)； 　　　设 (设 ，有时会用 )； 　　　列 (根据题目中的 ， )； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 细节剖析： 　　列方程解应用题就是先把实际问题抽象为 ，然后由数学问题的解决而获得对 的解决. 高频易错知识点拨 易错知识点01：一元二次方程的定义与识别 定义理解不清：学生可能无法准确理解一元二次方程必须同时满足的三个条件：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2。 识别错误：在将方程化为一般形式（ax² + bx + c = 0）时，容易忽略某些项或合并错误，导致方程形式不正确。 应对策略： 强调一元二次方程的定义和三个条件，通过实例练习帮助学生准确识别。 在化简和整理方程时，要特别注意各项的符号和系数，确保方程的一般形式正确。 易错知识点02：一元二次方程的解法 配方法使用不当：在配方过程中，容易出现常数项移动错误、二次项系数未化为1或配方不完全等问题。 公式法计算失误：在使用求根公式时，容易在计算判别式（b²-4ac）或代入公式时出错。 因式分解法不熟练：对于可以通过因式分解法求解的方程，学生可能无法准确找到公因式或进行十字相乘法分解。 应对策略： 加强配方法、公式法和因式分解法的练习，特别是配方法中的常数项移动、二次项系数化为1和配方完成等步骤。 在使用公式法时，要仔细计算判别式并正确代入公式求解。 对于因式分解法，要熟练掌握提取公因式、公式法和十字相乘法等技巧，并通过大量练习提高解题速度和准确性。 易错知识点03：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 记忆混淆：学生容易混淆根与系数的关系公式（x₁+x₂=-b/a, x₁x₂=c/a）中的符号和系数。 应用不当：在利用根与系数的关系解决问题时，容易忽略方程的实际情况（如方程是否有实数根）或计算错误。 应对策略： 通过实例讲解和练习帮助学生准确记忆和理解根与系数的关系公式。 在应用根与系数的关系时，要特别注意方程的实际情况和计算过程的准确性。 易错知识点04：一元二次方程的实际应用 题意理解不清：在解决实际问题时，学生容易对题目中的条件理解不清或忽略某些关键信息。 模型建立错误：无法根据题意正确建立一元二次方程模型或建立的模型不符合实际情况。 应对策略： 加强审题训练，帮助学生准确理解题目中的条件和要求。 通过实例讲解和练习帮助学生掌握如何根据题意建立一元二次方程模型，并注意模型的合理性和实际情况的符合性。 考点讲练1：一元二次方程的定义 【精讲题】（2023秋•东台市月考）下列方程中，属于一元二次方程是　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2023秋•滨海县月考）下列方程是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【举一反三练2】（2023秋•邗江区校级期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 　　． 【举一反三练3】（2022秋•合江县期中）若关于的方程是一元二次方程，求不等式：的解集． 考点讲练2：一元二次方程的一般形式 【精讲题】（2023秋•常州期中）已知关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为　　 A．1 B． C．1或 D． 【举一反三练1】（2022秋•鼓楼区校级月考）把一元二次方程化成一般形式，正确的是　　 A． B． C． D． 【举一反三练2】（2023秋•赣榆区校级月考）将方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为　　 A．2，1，3 B．2，，3 C．2，， D．2，，1 【举一反三练3】（2023秋•宝应县期中）把方程化为的形式为 　　． 考点讲练3：一元二次方程的解 【精讲题】（2024•工业园区模拟）如果是一元二次方程的一个根，则的值是　　 A．2 B． C．3 D． 【举一反三练1】（2023秋•大丰区校级月考）先化简，再求值：，其中是方程的根． 【举一反三练2】（2023秋•江阴市校级月考）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于的一元二次方程与为“友好方程”，求的值． 【举一反三练3】（2022秋•姜堰区校级月考）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． （1）判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． （2）已知是关于的凤凰方程，求的值． 考点讲练4：解一元二次方程-直接开平方法 【精讲题】（2023秋•金坛区校级月考）关于的方程的解是，，，均为常数，，则方程的解是　　 A．， B．， C．， D．无法求解 【举一反三练1】（2022•锡山区校级二模）解方程（组 （1） ； （2）． 【举一反三练2】（2020秋•灌云县期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，，例如：，． （1），则　　； （2）小明在计算随取了一个的值进行计算，得到的结果是40，小华说小明计算错了，请你说明小华是如何判断的． 考点讲练5：解一元二次方程-配方法 【精讲题】（2021秋•秦淮区期中）用配方法解方程时，配方后所得的方程　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024•鼓楼区二模）（1）解方程； （2）解不等式组． 【举一反三练2】（2024•梁溪区一模）（1）解方程：； （2） 解方程组：． 【举一反三练3】（2023秋•姑苏区校级月考）用适当的方法解下列方程： （1） （2）． 考点讲练6：解一元二次方程-公式法 【精讲题】（2022秋•连云港期末）解方程： （1）； （2）． 【举一反三练1】（2024•滨湖区校级二模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【举一反三练2】（2024•滨湖区校级模拟）（1）解方程：； （2）解不等式组． 【举一反三练3】（2023秋•工业园区校级期中）对于两个不相等的实数、，我们规定符号，表示、中的较大值，如：，，按照这个规定，方程，的解为 　　． 考点讲练7：解一元二次方程-因式分解法 【精讲题】（2023秋•宿城区月考）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是　　 A． B．13 C．11或8 D．11和13 【举一反三练1】（2022秋•镇江期中）我们在学习一元二次方程的解法时用了降次的方法，有时用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程进行求解，对于一元二次不等式也可以用相类似的方法求解，那么一元二次不等式的解集是 　 ． 【举一反三练2】（2024•滨湖区校级一模）（1）解方程：； （3） 解不等式组：． 【举一反三练3】（2024•沛县校级二模）（1）解方程：； （2） 解不等式组：． 考点讲练8：换元法解一元二次方程 【精讲题】（2022秋•玄武区校级月考）已知、实数且满足，则的值为　 　． 【举一反三练1】（2023秋•宿城区期中）若，则的值为　　 A．2或 B．或6 C．6 D．2 【举一反三练2】．（2023秋•润州区校级月考）若，则　 　． 【举一反三练3】（2023秋•泗阳县期中）我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是　，　 ． 考点讲练9：根的判别式 【精讲题】（2017秋•淮安区期末）一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【举一反三练1】（2017秋•江阴市校级月考）关于的一元二次方程有两个实根，则实数的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【举一反三练2】（2023秋•梁溪区校级月考）已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于，求的取值范围． 【举一反三练3】（2021秋•锡山区期中）已知关于的方程． （1）当该方程的一个根为1时，求的值及该方程的另一根； （2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 考点讲练10：根与系数的关系 【精讲题】（2022秋•东台市月考）已知关于的方程的一根为0，另一根不为0，则的值为　　 A．1 B． C．1或 D．以上均不对 【举一反三练1】（2024•海门区校级模拟）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　　个． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若、满足，则关于的方程是倍根方程； ④若方程是倍根方程，则必有． A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三练2】（2023秋•亭湖区校级期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”； （2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于的一元二次方程是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值． 【举一反三练3】（2024•广陵区一模）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，保． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法“求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． 解决问题： （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：　　； （2）方程，，的两个根与方程 　　的两个根互为倒数． （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 考点讲练11：一元二次方程的应用 【精讲题】（2019秋•丹阳市月考）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有　　 A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 【举一反三练1】（2021秋•沭阳县期中）某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则九年级班级的个数为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【举一反三练2】（2024•无锡二模）如图，在一块长为，宽为的矩形地面上，要修建两条同样宽且互相垂直的平行四边形道路，平行四边形道路与矩形边所夹锐角，剩余部分（图中①②③④部分）种上草坪，使草坪面积为，求图中的值． 【举一反三练3】（2024•无锡校级二模）某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价（元箱）与销售量（箱有如表关系： 每箱售价（元 68 67 66 65 40 每天销量（箱 40 45 50 55 180 已知与之间的函数关系是一次函数． （1）求与的函数解析式； （2）水蜜桃的进价是40元箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？ （3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在（2）的条件下，下降了，同时水蜜桃的进货成本下降了，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了，7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7120元，求的值． 考点讲练12：配方法的应用 【精讲题】（2024•海门区一模）已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是　　 A． B．2 C． D． 【举一反三练1】（2024•通州区二模）已知实数，满足，若，则的最小值为 　　． 【举一反三练2】（2023春•东海县期末）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式、的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空） ①　　； ②若，则　　； （2）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （3）图（1）是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（2）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（3）所示的大正方形，此正方形的面积为；则与的大小关系为：　　； （4）已知，，试运用上述方法比较、的大小，并说明理由． 【举一反三练3】（2022秋•宜兴市月考）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知29是“完美数”，请将它写成、是整数）的形式 　　； （2）若可配方成、为常数），则　　； 探究问题： （1）已知，则　　； （2）已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 拓展结论： 已知实数、满足，求的最值． 考点讲练13：一元二次方程的整数根与有理根 【精讲题】（2021•栖霞区二模）已知关于的方程根都是整数；若为整数，则的值为　 　． 【举一反三练1】（2022•湖南自主招生）若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同．如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕．现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的．问： （1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？ （2）参加装卸的有多少名工人？ 【举一反三练2】（2022秋•连云港期末）一元二次方程的两实数根都是整数，则下列选项中可以取的值是　　 A．12 B．16 C．20 D．24 【举一反三练3】（2020•南通模拟）已知数满足，如果关于的一元二次方程 有有理根，求的值　　 A．11 B．12 C．有无数个解 D．13 中等题真题汇编练 1．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）一元二次方程的一次项系数是（    ） A．3 B．8 C． D． 2．（23-24八年级下·浙江·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（　　　）． A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·湖南株洲·期中）将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项之和为（     ） A．0 B．10 C．4 D． 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）金沙湖大剧院以形似水袖、飘飘而立，势如水形、绝美的颜值，成为金沙湖畔最具魅力的城市地标．如图，某摄影爱好者拍摄了一副长为，宽为的金沙湖大剧院风景照，现在风景画四周镶一条等宽的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设纸边的宽为，则x满足的方程是(   )        A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）将方程化为一元二次方程的一般形式： ． 6．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最大整数值为 ． 7．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）一元二次方程，当 时，它的求根公式为： 8．（2024·四川乐山·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 的两个实数根分别为，且，则常数 ． 9．（2024·江苏南京·模拟预测）方程的解是 ． 10．（23-24九年级上·浙江台州·开学考试）如图，学校准备修建一个面积为的矩形花园，它的一边靠墙，其余三边利用长的围栏，已知墙长，则围成矩形的长为 ． 11．（2024·四川泸州·模拟预测）设、是方程的两个实数根，且，则k的值是 ． 12．（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 13．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程的一个根为，求实数m的值； (2)若该方程没有实数根，求实数m的取值范围． 14．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一个月生产80万个，第三个月生产96．8万个． (1)已知每个月生产量的增长率相等，求前三个月生产量的月增长率； (2)经调查发现，1条生产线最大产能是150万个/月，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少6万个/月，现该公司要保证每月生产内存芯片528万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 15．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）国庆节期间，两位同学参加社会实践，到某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是他们的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题∶超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？这样每天可销售水果多少千克 培优题真题汇编练 16．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B．或 C． D． 17．（23-24八年级下·广西梧州·期中）关于的一元二次方程的根情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 18．（2024·黑龙江佳木斯·三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 19．（23-24八年级下·江苏南通·期末）某企业2021年职工人均收入10万元，2023年职工人均收入12.1万元，则人均收入的年平均增长率为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ． 21．（23-24八年级下·广西崇左·期末）如图，矩形中，，点E是上的动点，把沿向矩形内部折叠，当点A的对应点F恰好落在的平分线上时的长为 . 22．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ． 23．（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，，，，是等腰直角三角形，点，，，在函数的图象上，斜边，，，都在x轴上，则点 的坐标是 ． 24．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）解方程 (1) (2) 25．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 (1)若是方程的一个根，求m的值和方程的另一根； (2)证明∶对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根． 26．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由． 27．（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）手机下载一个，缴纳一定数额的押金， 就能以每小时 0.5 到 1 元的价格解锁一辆自行车任意骑行最近的网红非“共享单车”莫属 ． 共享单车为解决市民出行的“最后一公里”难题帮了大忙， 人们在享受科技进步、 共享经济带来的便利的同时， 随意停放、 加装私锁、 大卸八块等毁坏单车的行为也层出不穷 ． 某共享单车公司一月投入部分自行车进入市场， 一月底发现损坏率不低于，二月初又投入 1200 辆进入市场， 使可使用的自行车达到 7500 辆 ． (1)一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆？ (2)二月份的损坏率达到，进入三月份， 该公司新投入市场的自行车比二月份增长，由于媒体的关注， 毁坏共享单车的行为引起了一场国民素质的大讨论， 三月份的损坏率下降为，三月底可使用的自行车达到 7752 辆， 求的值 28．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是B矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全N倍体． 【概念辨析】 （1）若矩形A是边长为1的正方形，是否存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体？ ．（填“存在”或“不存在”）． 【深入探究】 长为4，宽为3的矩形C是否存在完全2倍体？ 小鸣和小棋分别有以下思路： 【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意，， 联立由①得③， 将③代入②，得，再探究根的情况； 【小棋函数流】如图，也可用反比例函数与一次函数来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体． （2）那么长为4，宽为3的矩形C是否存在完全倍体？请你利用上述其中一种思路，若存在，请求出新矩形的长和宽；若不存在，请说明理由． （3）静静认为对于任意长为m，宽为n的矩形都存在完全2倍体；小兰认为有些矩形不存在完全2倍体．你支持谁的观点？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练 第1章《一元二次方程》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+十三考点讲练+难度分层真题练） 导图指引 2 新知精讲梳理 2 高频易错知识点拨 4 考点讲练1：一元二次方程的定义 6 考点讲练2：一元二次方程的一般形式 7 考点讲练3：一元二次方程的解 9 考点讲练4：解一元二次方程-直接开平方法 11 考点讲练5：解一元二次方程-配方法 13 考点讲练6：解一元二次方程-公式法 15 考点讲练7：解一元二次方程-因式分解法 17 考点讲练8：换元法解一元二次方程 20 考点讲练9：根的判别式 21 考点讲练10：根与系数的关系 23 考点讲练11：一元二次方程的应用 29 考点讲练12：配方法的应用 31 考点讲练13：一元二次方程的整数根与有理根 37 中等题真题汇编练 39 培优题真题汇编练 47 导图指引 新知精讲梳理 知识点1：一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 　 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 细节剖析： 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 知识点2：一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 细节剖析： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 　 法，再考虑用公式法． 知识点3：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 细节剖析： 1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： 　　(1)不解方程判定方程根的情况； 　　(2)根据参系数的性质确定根的范围； 　　(3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： 　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； 　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； 　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 知识点4：列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是整体地、系统地审题； 　　二是把握问题中的等量关系； 　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 细节剖析： 　　列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决. 高频易错知识点拨 易错知识点01：一元二次方程的定义与识别 定义理解不清：学生可能无法准确理解一元二次方程必须同时满足的三个条件：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2。 识别错误：在将方程化为一般形式（ax² + bx + c = 0）时，容易忽略某些项或合并错误，导致方程形式不正确。 应对策略： 强调一元二次方程的定义和三个条件，通过实例练习帮助学生准确识别。 在化简和整理方程时，要特别注意各项的符号和系数，确保方程的一般形式正确。 易错知识点02：一元二次方程的解法 配方法使用不当：在配方过程中，容易出现常数项移动错误、二次项系数未化为1或配方不完全等问题。 公式法计算失误：在使用求根公式时，容易在计算判别式（b²-4ac）或代入公式时出错。 因式分解法不熟练：对于可以通过因式分解法求解的方程，学生可能无法准确找到公因式或进行十字相乘法分解。 应对策略： 加强配方法、公式法和因式分解法的练习，特别是配方法中的常数项移动、二次项系数化为1和配方完成等步骤。 在使用公式法时，要仔细计算判别式并正确代入公式求解。 对于因式分解法，要熟练掌握提取公因式、公式法和十字相乘法等技巧，并通过大量练习提高解题速度和准确性。 易错知识点03：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 记忆混淆：学生容易混淆根与系数的关系公式（x₁+x₂=-b/a, x₁x₂=c/a）中的符号和系数。 应用不当：在利用根与系数的关系解决问题时，容易忽略方程的实际情况（如方程是否有实数根）或计算错误。 应对策略： 通过实例讲解和练习帮助学生准确记忆和理解根与系数的关系公式。 在应用根与系数的关系时，要特别注意方程的实际情况和计算过程的准确性。 易错知识点04：一元二次方程的实际应用 题意理解不清：在解决实际问题时，学生容易对题目中的条件理解不清或忽略某些关键信息。 模型建立错误：无法根据题意正确建立一元二次方程模型或建立的模型不符合实际情况。 应对策略： 加强审题训练，帮助学生准确理解题目中的条件和要求。 通过实例讲解和练习帮助学生掌握如何根据题意建立一元二次方程模型，并注意模型的合理性和实际情况的符合性。 考点讲练1：一元二次方程的定义 【精讲题】（2023秋•东台市月考）下列方程中，属于一元二次方程是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程判断． 【规范解答】解：．，次数不是2次，不符合题意； ．，不是整式方程，不符合题意； ．，有两个未知数，不符合题意； ．，符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【举一反三练1】（2023秋•滨海县月考）下列方程是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【规范解答】解：、当时不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意； 、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意； 、该方程符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故本选项正确，符合题意； 故选：． 【考点评析】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【举一反三练2】（2023秋•邗江区校级期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 　　． 【思路点拨】方程是一元二次方程，二次项系数不能为零，由此即可求解． 【规范解答】解：根据题意得，， ， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【举一反三练3】（2022秋•合江县期中）若关于的方程是一元二次方程，求不等式：的解集． 【思路点拨】先根据一元二次方程的定义求得的值，进而代入不等式中求解即可． 【规范解答】解：是一元二次方程， ，， 解得，， ， 原不等式变为， ， ． 【考点评析】考查一元二次方程的概念及解一元一次不等式，用到的知识点为：一元二次方程的未知数的最高指数为2，系数不等于0；不等式两边都除以一个负数，不等号的方向改变． 考点讲练2：一元二次方程的一般形式 【精讲题】（2023秋•常州期中）已知关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为　　 A．1 B． C．1或 D． 【思路点拨】根据一元二次方程的定义和题意列出满足的条件求解即可． 【规范解答】解：由题意，， 解得：， 故选：． 【考点评析】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键． 【举一反三练1】（2022秋•鼓楼区校级月考）把一元二次方程化成一般形式，正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先根据平方差公式进行计算，再移项，最后得出选项即可． 【规范解答】解：， ， 即， 故选：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程一般形式的特点是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是、、为常数，． 【举一反三练2】（2023秋•赣榆区校级月考）将方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为　　 A．2，1，3 B．2，，3 C．2，， D．2，，1 【思路点拨】把一元二次方程化为一般式，然后问题可求解． 【规范解答】解：由方程可得： ，则有，，； 故选：． 【考点评析】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【举一反三练3】（2023秋•宝应县期中）把方程化为的形式为 　　． 【思路点拨】展开移项合并同类项，化为的形式即可． 【规范解答】解：， ， ． 故答案为：． 【考点评析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为．其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 考点讲练3：一元二次方程的解 【精讲题】（2024•工业园区模拟）如果是一元二次方程的一个根，则的值是　　 A．2 B． C．3 D． 【思路点拨】把代入方程的出新方程，解方程即可． 【规范解答】解：把是一元二次方程得： ， 解得：， 故选：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的解，解此题的关键是能否得出一个关于的方程， 【举一反三练1】（2023秋•大丰区校级月考）先化简，再求值：，其中是方程的根． 【思路点拨】先将括号内的部分通分，再将除法转化为乘法，因式分解后约分即可，然后整体代入求值即可． 【规范解答】解：原式 ． 是方程的根， ． ， 原式． 【考点评析】本题考查了分式的化简求值，在代入求值时，要注意整体思想的应用． 【举一反三练2】（2023秋•江阴市校级月考）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于的一元二次方程与为“友好方程”，求的值． 【思路点拨】通过解方程，可得出方程的根，分为两方程相同的实数根或为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若是两个方程相同的实数根，将代入方程中求出的值，将的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出符合题意；②若是两个方程相同的实数根，将代入方程中求出的值，将的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出符合题意．综上此题得解． 【规范解答】解：解方程，得：，． ①若是两个方程相同的实数根． 将代入方程，得：， ，此时原方程为， 解得：，，符合题意， ； ②若是两个方程相同的实数根． 将代入方程，得：， ，此时原方程为， 解得：，，符合题意， ． 综上所述：的值为1或． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的解，代入求出的值是解题的关键． 【举一反三练3】（2022秋•姜堰区校级月考）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． （1）判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． （2）已知是关于的凤凰方程，求的值． 【思路点拨】根据题意先理解“凤凰方程”． （1）根据凤凰方程的意义，把代入方程判断即可； （2）根据凤凰方程的意义，把代入方程求出即可． 【规范解答】解：一元二次方程，当时，得， 当一元二次方程的解为时，该方程为“凤凰方程”． （1）一元二次方程是凤凰方程． 理由：当时，一元二次方程满足， 所以一元二次方程是凤凰方程． （2）是关于的凤凰方程， ． ． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的解，理解题意，掌握凤凰方程的意义是解决本题的关键． 考点讲练4：解一元二次方程-直接开平方法 【精讲题】（2023秋•金坛区校级月考）关于的方程的解是，，，均为常数，，则方程的解是　　 A．， B．， C．， D．无法求解 【思路点拨】把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解． 【规范解答】解：关于的方程的解是，，，均为常数，， 方程变形为，即此方程中或， 解得或． 故方程的解为，． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了解一元二次方程，注意由两个方程的特点进行简便计算． 【举一反三练1】（2022•锡山区校级二模）解方程（组 （1）； （2）． 【思路点拨】（1）先移项，再开平方求解； （2）方程组利用代入消元法求出解即可． 【规范解答】解：（1）， ， ， 解得：，； （2）， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：． 故方程组的解为． 【考点评析】此题考查了解一元二次方程直接开平方法，以及解二元一次方程组，熟练掌握方程及方程组的解法是解本题的关键． 【举一反三练2】（2020秋•灌云县期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，，例如：，． （1），则　　； （2）小明在计算随取了一个的值进行计算，得到的结果是40，小华说小明计算错了，请你说明小华是如何判断的． 【思路点拨】（1）根据知，解之可得答案； （2）由知，据此得，从而得出答案． 【规范解答】解：（1）， ， 解得， 故答案为：． （2） ， ， ， 化简后的结果与取值无关， 不论取何值，结果都应该等于，不可能等于40， 小华说小明计算错误． 【考点评析】本题主要考查解一元二次方程的能力和新定义的应用，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 考点讲练5：解一元二次方程-配方法 【精讲题】（2021秋•秦淮区期中）用配方法解方程时，配方后所得的方程　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据配方法即可求出答案． 【规范解答】解：， ， 故选：． 【考点评析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 【举一反三练1】（2024•鼓楼区二模）（1）解方程； （2）解不等式组． 【思路点拨】（1）先移项，再把方程左边化为完全平方公式的形式，求出的值即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【规范解答】解：（1）， ， ， ， ， ，； （2）， 由①得，， 由②得，， 故不等式组的解集为：． 【考点评析】本题考查的是解一元一次方程及解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【举一反三练2】（2024•梁溪区一模）（1）解方程：； （2）解方程组：． 【思路点拨】（1）先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，接着利用完全平方公式得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）利用加减消元法解方程组． 【规范解答】解：（1）， ， ， ， ， 所以，； （2）， ①②得， 解得， 把代入①得， 解得， 所以方程组的解为． 【考点评析】本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．也考查了解二元一次方程组． 【举一反三练3】（2023秋•姑苏区校级月考）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）方程两边都除以2，再开方，即可得出两个一元一次方程，最后求出方程的解即可； （2）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【规范解答】解：（1）， ， 开方得：， 解得：，； （2）， 移项，得， 配方，得， ， 开方，得， 解得：，． 【考点评析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 考点讲练6：解一元二次方程-公式法 【精讲题】（2022秋•连云港期末）解方程： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）直接开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项，再因式分解，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【规范解答】解：（1）， ， 即；． （2）， ， ， 即． 【考点评析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． 【举一反三练1】（2024•滨湖区校级二模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【思路点拨】（1）利用公式法求解； （2）分别求出各个不等式的解集，再寻找解集的公共部分即可． 【规范解答】解：（1）， ，，， △， ， ，； （2）， 由①得， 由②得， ． 【考点评析】本题考查解一元二次方程公式法，解不等式组等知识，解题的关键是掌握一元二次方程的解法，掌握不等式组的解法． 【举一反三练2】（2024•滨湖区校级模拟）（1）解方程：； （2）解不等式组． 【思路点拨】（1）利用公式法求解即可； （2）分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集． 【规范解答】解：（1），，， △， 则， ，； （2）由得：， 由得：， 则不等式组的解集为． 【考点评析】本题主要考查解一元二次方程和一元一次不等式组，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 【举一反三练3】（2023秋•工业园区校级期中）对于两个不相等的实数、，我们规定符号，表示、中的较大值，如：，，按照这个规定，方程，的解为 　或　． 【思路点拨】分类讨论的范围，利用题中的新定义，列出方程，解方程即可． 【规范解答】解：当时，方程为：， 即， 解得：（舍去），； 此时， 当时，方程为：， 解得：（舍去），， ． 故答案为：或． 【考点评析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义实数运算，解题的关键是理解题意，列出方程求解． 考点讲练7：解一元二次方程-因式分解法 【精讲题】（2023秋•宿城区月考）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是　　 A． B．13 C．11或8 D．11和13 【思路点拨】先用因式分解求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长，计算出三角形的周长． 【规范解答】解：， ， 或， ，． 因为三角形两边的长分别为3和6，所以第三边的长必须大于3， 故周长． 故选：． 【考点评析】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，先求出方程的根，再根据三角形三边的关系确定第三边的长，然后求出三角形的周长． 【举一反三练1】（2022秋•镇江期中）我们在学习一元二次方程的解法时用了降次的方法，有时用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程进行求解，对于一元二次不等式也可以用相类似的方法求解，那么一元二次不等式的解集是 　或　． 【思路点拨】根据“两数相乘，同号得正”列出不等式组，再分别求解可得． 【规范解答】解：可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①或②， 解不等式组①，得：， 解不等式组②，得， 故一元二次不等式的解集为或． 故答案为：或． 【考点评析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【举一反三练2】（2024•滨湖区校级一模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【思路点拨】（1）先因式分解，把方程化为两个一元一次方程即可求解； （2）解出每个不等式的解集，再求公共解集即可． 【规范解答】解：（1）， ， 或， ，； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 【考点评析】本题考查解一元二次方程和一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法和求公共解解集的方法． 【举一反三练3】（2024•沛县校级二模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【思路点拨】（1）因式分解法解方程即可； （2）先求出每一个不等式，找到它们的公共部分即为不等式组的解． 【规范解答】解：（1）， ， ，； （2）， 由①，得：； 由②，得：； 不等式组的解集为：． 【考点评析】本题考查解一元二次方程因式分解法，不等式组的解集等知识，解题的关键是掌握因式分解法解方程，掌握不等式组的解法． 考点讲练8：换元法解一元二次方程 【精讲题】（2022秋•玄武区校级月考）已知、实数且满足，则的值为　4　． 【思路点拨】设．由原方程得到求得的值即可． 【规范解答】解：设．由原方程得到． 整理，得． 所以或（舍去）． 即的值为4． 故答案为：4． 【考点评析】考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 【举一反三练1】（2023秋•宿城区期中）若，则的值为　　 A．2或 B．或6 C．6 D．2 【思路点拨】先设，则方程即可变形为，解方程即可求得即的值． 【规范解答】解：设，则原方程可化为：， 分解因式得：， 解得：，． 是非负数， ． 故选：． 【考点评析】本题考查了换元法解一元二次方程．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【举一反三练2】．（2023秋•润州区校级月考）若，则　3　． 【思路点拨】把看成是一个整体，用十字相乘法因式分解，解关于的一元二次方程，求出它的值，对小于0的值要舍去． 【规范解答】解：， ， ， ， ． 故答案为：3． 【考点评析】本题考查了用换元法解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，在解题过程中，体现整体思想，对没意义的值要舍去． 【举一反三练3】（2023秋•泗阳县期中）我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是　，　． 【思路点拨】把看成一个整体，另一个方程和已知方程的结构形式完全相同，所以与已知方程的解也相同． 【规范解答】解：，是已知方程的解， 由于另一个方程与已知方程的形式完全相同 或 解得，． 故答案为：，． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解决本题即可用换元法，也可直接转化． 考点讲练9：根的判别式 【精讲题】（2017秋•淮安区期末）一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【思路点拨】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【规范解答】解：△， 方程有两个不相等的两个实数根． 故选：． 【考点评析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的两个实数根；当△时，方程有两个相等的两个实数根；当△时，方程无实数根． 【举一反三练1】（2017秋•江阴市校级月考）关于的一元二次方程有两个实根，则实数的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【思路点拨】由二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【规范解答】解：关于的一元二次方程有两个实根， ， 解得：且． 故选：． 【考点评析】本题考查了根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式△，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•梁溪区校级月考）已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于，求的取值范围． 【思路点拨】（1）计算根的判别式得到△，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解方程得到，，则，然后解不等式即可． 【规范解答】（1）证明：△ ， 此方程总有两个实数根； （2）， ，， 此方程恰有一个根小于， ， 解得， 即的取值范围为． 【考点评析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 【举一反三练3】（2021秋•锡山区期中）已知关于的方程． （1）当该方程的一个根为1时，求的值及该方程的另一根； （2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【思路点拨】（1）设方程的另一个根为，则由根与系数的关系得：，，求出即可； （2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答． 【规范解答】解：（1）设方程的另一个根为， 则由根与系数的关系得：，， 解得：，， 即，方程的另一个根为； （2）△， 不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【考点评析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果，是一元二次方程、、为常数，的两个根，则，，要记牢公式，灵活运用． 考点讲练10：根与系数的关系 【精讲题】（2022秋•东台市月考）已知关于的方程的一根为0，另一根不为0，则的值为　　 A．1 B． C．1或 D．以上均不对 【思路点拨】首先将根为0代入方程解得的值，然后利用根的判别式进行判断的范围，再根据二次项系数不能为0，从而得到所求的的值． 【规范解答】解：关于的方程的一根为0， ， 即， 解得：或． 又关于的方程的另一根不为0， 所以△， 即， 解得：，当时，，此方程不可能有两根， 故选：． 【考点评析】本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解和根的判别式的综合运用，关键是求到的取值范围． 【举一反三练1】（2024•海门区校级模拟）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　　个． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若、满足，则关于的方程是倍根方程； ④若方程是倍根方程，则必有． A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程， ②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到、之间的关系，而、之间的关系正好适合， ③当，满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程， ④用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【规范解答】解：①解方程得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故②正确； ③，则， ，， ， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程的根为：，， 若，则， 即， ， ， ， ， ． 若时，则， 则， ， ， ， ， ． 故④正确， 正确的有：②③④共3个． 故选：． 【考点评析】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•亭湖区校级期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”； （2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于的一元二次方程是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值． 【思路点拨】（1）利用因式分解法解方程得到，，然后根据新定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到，，再根据新定义或，然后把或代入所求的代数式中进行分式的运算即可； （3）设方程的根的两根分别为、，根据根与系数的关系得，，然后求出，再计算对应的的值． 【规范解答】解：（1），，或， 所以，， 则方程是“倍根方程”； （2），或， 解得，， 是“倍根方程”， 或， 当时，； 当时，， 综上所述，代数式的值为26或5； （3）根据题意，设方程的根的两根分别为、， 根据根与系数的关系得，， 解得，或，， 的值为13或． 【考点评析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了阅读理解能力． 【举一反三练3】（2024•广陵区一模）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，保． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法“求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． 解决问题： （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：　　； （2）方程，，的两个根与方程 　　的两个根互为倒数． （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【思路点拨】（1）根据题意可得，所求方程的根与原方程的根的关系，用所求方程的根的代数式表示原方程的根，代入原方程即可得所求的方程； （2）方法同（1）； （3）由化简，得，即可根据（2）可知关于的一元二次方程的根与关于的二元一次方程的根互为倒数，即，据此即可求得的值即可． 【规范解答】解（1）设所求的方程的根为，则， ． 把代入已知方程，得， 化简，得， 即所求方程为． 故答案为：； （2）设所求方程的根为，则， ． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故答案为：； （3）， 化简，得， 由（2）知，关于的一元二次方程的根与关于的二元一次方程的根互为倒数， 即， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和， 或， 或， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为2025和2022． 【考点评析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，换元法解一元二次方程，解题的关键是明确材料中的换根法，根据实际的问题进行换根； 考点讲练11：一元二次方程的应用 【精讲题】（2019秋•丹阳市月考）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有　　 A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 【思路点拨】设该群的人数是人，则每个人要发其他张红包，则共有张红包，等于90个，由此可列方程． 【规范解答】解：设该群共有人， 依题意有， 解得：（舍去）或， 答：这个群共有10人． 故选：． 【考点评析】本题考查的是一元二次方程在实际生活中的应用，正确找准等量关系列方程即可，比较简单． 【举一反三练1】（2021秋•沭阳县期中）某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则九年级班级的个数为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【思路点拨】设九年级共有个班，根据“赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出九年级的班级数． 【规范解答】解：设九年级共有个班， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），． 故选：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【举一反三练2】（2024•无锡二模）如图，在一块长为，宽为的矩形地面上，要修建两条同样宽且互相垂直的平行四边形道路，平行四边形道路与矩形边所夹锐角，剩余部分（图中①②③④部分）种上草坪，使草坪面积为，求图中的值． 【思路点拨】利用草坪面积矩形地面的面积两条平行四边形道路面积两条道路重叠部分的面积，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：图中的值为2． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用以及平行四边形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【举一反三练3】（2024•无锡校级二模）某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价（元箱）与销售量（箱有如表关系： 每箱售价（元 68 67 66 65 40 每天销量（箱 40 45 50 55 180 已知与之间的函数关系是一次函数． （1）求与的函数解析式； （2）水蜜桃的进价是40元箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？ （3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在（2）的条件下，下降了，同时水蜜桃的进货成本下降了，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了，7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7120元，求的值． 【思路点拨】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案； （2）直接根据题意表示每箱的利润进而得出总利润等式求出答案； （3）根据题意分别表示出降价前后的利润进而得出等式求出答案． 【规范解答】解：（1）设与之间的函数关系是：， 根据题意可得：， 解得：， 故与之间的函数关系是：； （2）由题意可得：， 解得：，， 顾客要得到实惠，售价低，所以舍去，所以， 答：要使顾客获得实惠，每箱售价是56元； （3）在（2）的条件下，时，，由题意得到方程： ， 解得：，（舍去）， 答：的值为20． 【考点评析】此题主要考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据已知7月份各量之间的变化得出等量关系进而求出是解题关键． 考点讲练12：配方法的应用 【精讲题】（2024•海门区一模）已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是　　 A． B．2 C． D． 【思路点拨】先将代入多项式中得：，则，计算所求式并配方与平方的非负性相结合即可求解． 【规范解答】解：把代入多项式中得：， ， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值是， 当时，， ， 本题多项式的值可以是． 故选：． 【考点评析】本题考查了配方法及偶次方的非负性在代数式求值中的应用，根据已知条件正确配方是解题的关键． 【举一反三练1】（2024•通州区二模）已知实数，满足，若，则的最小值为 　　． 【思路点拨】根据完全平方公式求解． 【规范解答】解：， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键． 【举一反三练2】（2023春•东海县期末）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式、的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空） ①　　； ②若，则　　； （2）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （3）图（1）是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（2）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（3）所示的大正方形，此正方形的面积为；则与的大小关系为：　　； （4）已知，，试运用上述方法比较、的大小，并说明理由． 【思路点拨】（1）先求出两数的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可； （2）先求出两数的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可； （3）先求出和的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可； （4）先求出的值，再比较大小即可． 【规范解答】解：（1）① ， ； ②， ，， ， ； 故答案为：，； （2）， 理由如下： ， ， ， ； （3），， ， ， 故答案为：； （4）． 理由如下：，， ， ． 【考点评析】本题考查了整式混合运算和实数的混合运算，能根据整式的运算法则和实数的运算法则求出两数的差是解此题的关键． 【举一反三练3】（2022秋•宜兴市月考）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知29是“完美数”，请将它写成、是整数）的形式 　　； （2）若可配方成、为常数），则　　； 探究问题： （1）已知，则　　； （2）已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 拓展结论： 已知实数、满足，求的最值． 【思路点拨】解决问题： （1）把29分为两个整数的平方即可； （2）原式利用完全平方公式配方后，确定出与的值，即可求出的值； 探究问题： （1）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； （2）根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； 拓展结论： 由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【规范解答】解：解决问题： （1）根据题意得：； 故答案为：； （2）根据题意得：， ，， 则； 故答案为：； 探究问题： （1）已知等式变形得：， 即， ，， ，， 解得：，， 则； 故答案为：； （2）当时，为“完美数”，理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； 拓展结论： ， ，即， ， 当时，最大，最大值为． 【考点评析】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 考点讲练13：一元二次方程的整数根与有理根 【精讲题】（2021•栖霞区二模）已知关于的方程根都是整数；若为整数，则的值为　0或　． 【思路点拨】①当时，此方程为一元一次方程，求解判断即可得出结论； ②当时，此方程为一元二次方程，先用判别式判断出为非0实数，然后利用根与系数的关系，即可得出结论． 【规范解答】解：①当时，原方程可化为， ，此种情况符合题意； ②当时，原方程为一元二次方程， 关于的方程有根， △， 为非0实数， 设关于的方程的两根为，， 根据根与系数的关系得，，， 关于的方程根都是整数， ，也是整数， 和也是整数， 为整数， ， 即满足条件的为0或， 故答案为0或． 【考点评析】此题主要考查了一元一次方程的解法，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，用分类讨论的思想是解本题的关键． 【举一反三练1】（2013•湖南自主招生）若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同．如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕．现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的．问： （1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？ （2）参加装卸的有多少名工人？ 【思路点拨】（1）假设出装卸工作需要小时数，表示出第一人与最后一人所用时间，再由10小时装卸完毕，列出方程； （2）从装卸时间入手列出方程． 【规范解答】解：（1）设装卸工作需小时完成，则第一人干了小时，最后一个人干了小时，两人共干活小时，平均每人干活小时， 由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人，平均每人干活的时间也是小时． 根据题得， 解得（小时）； （2）共有人参加装卸工作，由于每隔小时增加一人，因此最后一人比第一人少干小时，按题意，得，即． 解此不定方程得，，，，， 即参加的人数或3或4或5或7或13． 【考点评析】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及不定方程的解法，综合性较强． 【举一反三练2】（2022秋•连云港期末）一元二次方程的两实数根都是整数，则下列选项中可以取的值是　　 A．12 B．16 C．20 D．24 【思路点拨】分别代入数值解方程，逐一判断即可解题． 【规范解答】解：当时，方程为，解得不是整数，故选项不符合题意； 当时，方程为，解得不是整数，故选项不符合题意； 当时，方程为，解得或是整数，故选项符合题意； 当时，方程为，解得不是整数，故选项不符合题意；解法二： 故选：． 【考点评析】本题考查一元二次方程的整数根与有理根，解题的关键是利用特殊值法解决问题． 【举一反三练3】（2020•南通模拟）已知数满足，如果关于的一元二次方程 有有理根，求的值　　 A．11 B．12 C．有无数个解 D．13 【思路点拨】由题意得，若关于的一元二次方程有理根，则△，并且△为有理数的平方．而△，再由满足，确定出△的范围，即可得出结论． 【规范解答】解：关于的方程是一元二次方程， ， △， 又， ， 如果关于的一元二次方程有有理根， △为有理数的平方， 有无数个有理数，使是有理数的平方，（如△或7或8或30.25或36或37.21或42.25等）， 故选：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程有理根的判断方法，掌握判别式是有理数的平方，此一元二次方程的根是有理数是解本题的关键 中等题真题汇编练 1．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）一元二次方程的一次项系数是（    ） A．3 B．8 C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般式．根据一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且），在一般形式中叫一次项，系数是，可直接得到答案． 【规范解答】解：一元二次方程， ∵一次项是， ∴一次项系数是8， 故选：B． 2．（23-24八年级下·浙江·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（　　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了解一元二次方程，根据配方法即可求解，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【规范解答】方程移项得：， 配方得：， 即． 故选：． 3．（23-24九年级上·湖南株洲·期中）将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项之和为（     ） A．0 B．10 C．4 D． 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，b一次项系数；叫做常数项． 根据一元二次方程的定义判断即可． 【规范解答】解：将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为1、、， 二次项系数、一次项系数、常数项之和为：． 故选：D． 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）金沙湖大剧院以形似水袖、飘飘而立，势如水形、绝美的颜值，成为金沙湖畔最具魅力的城市地标．如图，某摄影爱好者拍摄了一副长为，宽为的金沙湖大剧院风景照，现在风景画四周镶一条等宽的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设纸边的宽为，则x满足的方程是(   )        A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的运用，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系． 如果设纸边的宽为，那么挂图的长和宽应该为和，根据总面积即可列出方程． 【规范解答】解：设纸边的宽为，那么挂图的长和宽应该为和， 根据题意可得出方程为：， 故选：C． 5．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）将方程化为一元二次方程的一般形式： ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．先运用多项式乘以多项式法则展开，再移项合并即可． 【规范解答】解：， ， ， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最大整数值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根之间的关系，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式与根之间的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两个不等式解集的公共部分即可． 【规范解答】解：根据题意得且， 解得且， 的取值范围为且， 的最大整数值为， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）一元二次方程，当 时，它的求根公式为： 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，然后写出求根公式即可． 【规范解答】解：当 时，它的求根公式为， 故答案为：． 8．（2024·四川乐山·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 的两个实数根分别为，且，则常数 ． 【答案】2 【思路点拨】先利用根与系数的关系得，，再利用可求出，，然后计算的值．本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 【规范解答】解：根据根与系数的关系得，， ， ， 解得， ， ． 故答案为：2． 9．（2024·江苏南京·模拟预测）方程的解是 ． 【答案】， 【思路点拨】此题考查了因式分解法解一元二次方程，把原方程左边因式分解得到，则或，即可得到答案． 【规范解答】解：∵ ∴， 则或， 解得， 故答案为：， 10．（23-24九年级上·浙江台州·开学考试）如图，学校准备修建一个面积为的矩形花园，它的一边靠墙，其余三边利用长的围栏，已知墙长，则围成矩形的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用；设宽为，则长为，然后根据面积为平方米的长方形即可列出方程，解方程即可解决问题． 【规范解答】解：设宽为，则长为． 由题意，得， 解得，． 当时，舍去， 当时，． 即：围成矩形的长为． 故答案为：． 11．（2024·四川泸州·模拟预测）设、是方程的两个实数根，且，则k的值是 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式以及根与系数的关系； 首先根据根的判别式求出k的取值范围，然后利用根与系数的关系求出满足条件的k值即可解答． 【规范解答】方程的两个实数根， ，，， 解得：， ， ， ， 解得：，， ， ． 故答案为：1． 12．（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【思路点拨】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【规范解答】（1） ，， ∴ 解得； （2） ∴或 解得，． 13．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程的一个根为，求实数m的值； (2)若该方程没有实数根，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了方程的根，一元二次方程根的判别式； （1）将代入方程，即可求解； （2）由根的判别式得，即可求解； 掌握根的判别式：“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意得 ， 解得：； （2）解：该方程没有实数根， ， 解得：． 14．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一个月生产80万个，第三个月生产96．8万个． (1)已知每个月生产量的增长率相等，求前三个月生产量的月增长率； (2)经调查发现，1条生产线最大产能是150万个/月，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少6万个/月，现该公司要保证每月生产内存芯片528万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】(1)前三个月生产量的平均增长率为 (2)应该再增加3条生产线 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设前三个月生产量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）设应该再增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/月，根据题意，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：设前三个月生产量的月增长率为x， 依题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：前三个月生产量的平均增长率为； （2）设应该再增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/月， 依题意得：， ， 解得：， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ． 答：应该再增加3条生产线． 15．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）国庆节期间，两位同学参加社会实践，到某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是他们的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题∶超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？这样每天可销售水果多少千克 【答案】水果的销售价为每千克29元，超市每天可获得销售利润3640元． 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每千克降低元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案． 【规范解答】解：设每千克降低元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得， ， 整理得， 或． 要尽可能让顾客得到实惠， ， 售价为元千克． 答：水果的销售价为每千克29元，超市每天可获得销售利润3640元． 培优题真题汇编练 16．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可． 【规范解答】解：设矩形场地垂直于墙一边长为， 则平行于墙的一边的长为， 由题意得， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长为； 当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意； ∴该矩形场地长为米， 故选C． 17．（23-24八年级下·广西梧州·期中）关于的一元二次方程的根情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法，熟记判别式并灵活应用是解题关键．先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解． 【规范解答】由题意可知：，，， 方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 18．（2024·黑龙江佳木斯·三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每件售价应定为x元，依据按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件列出等式解答即可． 【规范解答】解：设设每件售价应定为x元，根据题意，得 解得：，， ∵商家想尽快销售完该款商品， ∴， ∴商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元． 故选：B． 19．（23-24八年级下·江苏南通·期末）某企业2021年职工人均收入10万元，2023年职工人均收入12.1万元，则人均收入的年平均增长率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，设人均收入的年平均增长率为，根据“某企业2021年职工人均收入10万元，2023年职工人均收入12.1万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【规范解答】解：设人均收入的年平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴人均收入的年平均增长率为， 故选：B． 20．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了根的判别式、一元二次方程根系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程的知识解答．根据关于x的方程有两个不相等的实数根，，可以得到a的取值范围，再根据得出，利用根与系数的关系得出，，再利用分类讨论的方法求出a的取值范围，本题得以解决． 【规范解答】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 当时，解不等式得：， ∴； 当时，解不等式得：， ∴此时无解； 综上分析可知：． 故答案为：． 21．（23-24八年级下·广西崇左·期末）如图，矩形中，，点E是上的动点，把沿向矩形内部折叠，当点A的对应点F恰好落在的平分线上时的长为 . 【答案】或 【思路点拨】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定及性质和解一元二次方程是解决此题的关键．过点F作于H，根据等腰直角三角形的判定可得为等腰直角三角形，设，从而得出，，然后根据折叠的性质可得，再利用勾股定理求出x，即可求出结论． 【规范解答】解：过点F作于H， ∵四边形为矩形，平分 ∴ ∴为等腰直角三角形，设， 则，， 由折叠的性质可得， 在中， 即 解得：， ∴或 故答案为：或． 22．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到，，，再根据，推出，据此求解即可． 【规范解答】解：∵、是关于x的方程的实数根， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得，， 经检验或为原方程的解， ∵， ∴， ∴k的值为4． 故答案为：4． 23．（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，，，，是等腰直角三角形，点，，，在函数的图象上，斜边，，，都在x轴上，则点 的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，用数形结合的方法解答反比例函数的综合性问题是解答本题的关键．分别过点，，作x轴的垂线段，，，垂足分别为点B，C，D，设，可得点的坐标为，代入求得a的值，从而得到点的坐标，再设，可求得点的坐标为，同样可求得b的值，得到点的坐标，同理可进一步求得点的坐标，最后根据点，，的坐标变化规律，即得点的坐标． 【规范解答】分别过点，，作轴，轴，轴，垂足分别为点B，C，D， 设， 是等腰直角三角形， ， 点的坐标为，则， 解得， ， ， 点的坐标为， 设，可求得点的坐标为， 则， 解得， ， 即点的坐标为， 同理可求得点的坐标为， 点的坐标为． 24．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1)；； (2) 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的解法，分式方程的解法，熟练选择正确的解法是解题的关键． （1）利用配方法求方程的根． （2）化成整式方程，计算，注意验根． 【规范解答】（1）解：， 移项得， 配方得，即， 开方得， 解得；； （2）解：， 去分母，得 ， 解得， 经检验，是原方程的根． 25．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 (1)若是方程的一个根，求m的值和方程的另一根； (2)证明∶对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1)，方程的另一根为 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，． （1）设方程的另一根为，根据根与系数的关系得到，，然后解两个方程即可； （2）计算判别式的值得到，则利用非负数的性质可判断，然后根据判别式的意义可判断对于任意实数，这个一元二次方程都有两个不相等的实数根． 【规范解答】（1）解：设方程的另一根为， 根据题意得，， 解得，， 即，方程的另一根为； （2）证明：， 因为对于任意实数，， 所以， 所以对于任意的实数，这个方程有两个不相等的实数根． 26．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由． 【答案】(1)， (2)每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元； (3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见解析 【思路点拨】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件列出代数式即可解答； （2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客即可解答； （3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再根据根与系数的关系即可解答． 【规范解答】（1）解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元． 故答案为：，． （2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵需要让利于顾客， ∴． 答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元． （3）解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下： 设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴此方程无解，即不可能每天盈利1800元． 27．（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）手机下载一个，缴纳一定数额的押金， 就能以每小时 0.5 到 1 元的价格解锁一辆自行车任意骑行最近的网红非“共享单车”莫属 ． 共享单车为解决市民出行的“最后一公里”难题帮了大忙， 人们在享受科技进步、 共享经济带来的便利的同时， 随意停放、 加装私锁、 大卸八块等毁坏单车的行为也层出不穷 ． 某共享单车公司一月投入部分自行车进入市场， 一月底发现损坏率不低于，二月初又投入 1200 辆进入市场， 使可使用的自行车达到 7500 辆 ． (1)一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆？ (2)二月份的损坏率达到，进入三月份， 该公司新投入市场的自行车比二月份增长，由于媒体的关注， 毁坏共享单车的行为引起了一场国民素质的大讨论， 三月份的损坏率下降为，三月底可使用的自行车达到 7752 辆， 求的值 【答案】(1)一月份该公司投入市场的自行车至少有7000辆 (2)a的值是20 【思路点拨】本题考查一元二次方程、 一元一次不等式的应用， 解答本题的关键是明确题意， 找出所求问题需要的条件， 利用方程的思想和不等式的性质解答 ． （1） 根据题意可以列出相应的不等式， 从而可以求得一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆； （2） 根据题意可以列出相应的方程， 从而可以求得的值 ． 【规范解答】（1）设一月份该公司投入市场的自行车辆， ， 解得，， 答： 一月份该公司投入市场的自行车至少有 7000 辆； （2）由题意可得， ， 化简， 得 ， 解得：，， ， 解得，， ， 答：的值是 20 ． 28．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是B矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全N倍体． 【概念辨析】 （1）若矩形A是边长为1的正方形，是否存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体？ ．（填“存在”或“不存在”）． 【深入探究】 长为4，宽为3的矩形C是否存在完全2倍体？ 小鸣和小棋分别有以下思路： 【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意，， 联立由①得③， 将③代入②，得，再探究根的情况； 【小棋函数流】如图，也可用反比例函数与一次函数来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体． （2）那么长为4，宽为3的矩形C是否存在完全倍体？请你利用上述其中一种思路，若存在，请求出新矩形的长和宽；若不存在，请说明理由． （3）静静认为对于任意长为m，宽为n的矩形都存在完全2倍体；小兰认为有些矩形不存在完全2倍体．你支持谁的观点？请说明理由． 【答案】（1）不存在；（2）不存在，见解析；（3）支持静静的观点 【思路点拨】（1）根据“完全N倍体”的定义及题干示例解答即可； （2）运用新定义“完全N倍体”及【小鸣方程流】和【小棋函数流】的方法分别解答即可； （3）设新矩形长和宽为x、y，则依题意得，，可得，再运用根的判别式即可求得答案． 【规范解答】解：（1）假设存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体，则正方形B的周长是正方形A周长的2倍， ∵正方形A的边长为1， ∴正方形B的边长是2， ∴正方形B的面积是4，这与“完全2倍体”矛盾，所以不存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体． 故答案为：不存在； 深入探究：长为4，宽为3的矩形C存在完全2倍体矩形， 理由：∵矩形的长为4，宽为3， ∴矩形的周长为14，面积为12， 小鸣方程流： 设新矩形长和宽为、，则依题意，， 联立， 整理得：， 解得：，， ∴新矩形的长为12，宽为2时，周长为28，面积为24， ∴长为4，宽为3的矩形C存在完全2倍体矩形； 小棋函数流：如图，设新矩形长和宽为、，则依题意，， 即，，利用反比例函数：与一次函数：来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体，如图： 故长为4，宽为3的矩形存在完全倍体； （2）方法1：设新矩形长和宽为x、y，则依题意得，， 联立，得， ∴， ∴方程无解， ∴长为4，宽为3的矩形C不存在完全倍体． 方法2：如图， 反比例函数：与一次函数：没有交点，所以不存在完全倍体； （3）设新矩形长和宽为x、y，则依题意得，， ∴， ∴， ∴对于任意长为m，宽为n的矩形都存在完全2倍体， ∴静静的说法是正确的． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式．需要认真阅读理解新定义“矩形A是矩形B的完全N倍体”，根据题干过程模仿解题．第（3）题应用一元二次方程根的判别式求k的范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$