1.4 用一元二次方程解决问题（知识精讲+易错点拨+十大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学九年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第1章《一元二次方程》】 1.4 用一元二次方程解决问题 （知识精讲+易错点拨+十大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：传播问题 5 考点讲练2：增长率问题 6 考点讲练3：与图形有关的问题 7 考点讲练4：数字问题 9 考点讲练5：营销问题 10 考点讲练6：动态几何问题 12 考点讲练7：工程问题 14 考点讲练8：行程问题 15 考点讲练9：图表信息题 17 考点讲练10：其他问题 19 中等题真题汇编练 21 培优题真题汇编练 24 新知精讲梳理 应用1：传播问题 传播问题通常涉及某种疾病、信息或病毒在人群中的传播。这类问题往往通过一元二次方程来建模，以了解传播的速度和范围。例如，题目可能给出经过几轮传播后感染的总人数，然后求解每轮传播中平均每个人传染的人数。解决这类问题时，需要建立模型 应用2：增长率问题 增长率问题涉及量的增长，如生产、销售、人口等。这类问题通常使用增长率公式 a(1+x)n = b，其中 (a) 是初始量，(x) 是增长率，(n) 是增长次数，(b) 是增长后的量。通过解这个方程，可以找出增长率 (x) 或增长后的量 (b)。例如，某厂一月份产钢50吨，二、三月份的增长率都是 (x)， 则该厂三月分产钢 (50(1+x)²) 吨。 应用3：与图形有关的问题 与图形有关的问题通常涉及面积、周长、边长等几何量的计算。这类问题可能需要利用一元二次方程来求解。例如，已知矩形的面积和一边长，求另一边长；或者知道三角形的两边长和第三边的方程，求三角形的周长等。 应用4： 数字问题 数字问题涉及数字的排列、组合和性质。这类问题可能需要通过一元二次方程来找出符合特定条件的数字。例如，有一个两位数，其个位数字比十位数字大2，且这个两位数的平方等于1300减去这个两位数本身。 应用5：营销问题 营销问题涉及商品的销售、定价、利润等。这类问题可能需要利用一元二次方程来找出最优的定价策略或预测销售趋势。例如，某商品降价销售，降价后的售价为原价的某个百分比，通过销售量和降价幅度的关系，可以建立一元二次方程来求解。 应用6：动态几何问题 动态几何问题涉及图形在运动或变化过程中的性质。这类问题可能需要通过一元二次方程来描述图形的运动轨迹或变化规律。例如，一个点在一个圆上运动，其到圆心的距离与运动时间的关系可能符合一元二次方程。 应用7：工程问题 工程问题涉及工程项目的进度、成本、效率等。这类问题可能需要利用一元二次方程来建模，以求解最优的工程进度安排或成本控制策略。例如，某工程队需要完成一段道路建设，每天完成的工程量与天数的关系可能符合一元二次方程。 应用8：行程问题 行程问题涉及物体的运动速度、时间、距离等。这类问题通常需要利用速度、时间和距离的关系来建立一元二次方程。例如，一辆汽车从甲地开往乙地，先以一定速度行驶一段时间后减速行驶，通过总时间和总距离的关系可以建立一元二次方程来求解。 应用9：图表信息题 图表信息题涉及从图表中提取数据并建立数学模型。这类问题可能需要先根据图表中的数据建立一元二次方程，然后求解方程以获取更多信息。例如，从某地区人口增长趋势图中提取数据，建立一元二次方程来预测未来人口数量。 应用10： 其他问题 除了上述几类问题外，还有一些其他问题也可能涉及一元二次方程的实际应用。例如，物理学中的某些问题（如抛体运动）、经济学中的某些模型（如供需关系）等都可能通过一元二次方程来描述和求解。 高频易错知识点拨 易错知识点01：传播问题 混淆增长率与增长量：在传播问题中，如病毒传播、信息传播等，学生容易混淆增长率与增长量的概念。增长率是变化的比率，而增长量是增长的绝对数量。 忽视初始条件：在建立方程时，学生可能忽视初始的传播量或基数，导致方程设置错误。 易错知识点02： 增长率问题 错误理解增长率公式：增长率公式通常为：m=（n2-n1）÷n1×100%，其中 n1 是原始数量，n2是增长后的数量，(m) 是增长率。学生容易在计算时忽略分母n1或错误地将其替换为其他值。 时间间隔问题：在涉及多年增长率的问题中，学生可能未正确考虑时间间隔对最终数量的影响。 易错知识点03： 与图形有关的问题 图形性质理解不透彻：在解决与图形（如三角形、四边形、圆等）有关的问题时，学生可能对图形的性质理解不够深入，导致无法准确建立方程。 忽视图形的几何约束：如三角形的三边关系、四边形的对角线性质等，这些几何约束在建立方程时必须考虑。 易错知识点04：数字问题 数字提取不准确：在处理涉及大量数字的问题时，学生可能因粗心而提取错误或遗漏关键数字。 忽略数字的实际意义：数字往往代表实际物体或情境中的数量，学生需要准确理解其含义才能建立正确的方程。 易错知识点05：营销问题 混淆成本与售价：在营销问题中，学生容易混淆产品的成本和售价，导致利润计算错误。 未考虑折扣和优惠：如果问题中涉及折扣或优惠活动，学生可能未正确考虑这些因素对最终售价和利润的影响。 易错知识点06：动态几何问题 动态变化理解不足：动态几何问题涉及图形的动态变化（如旋转、平移、翻折等），学生可能对这些变化的理解不够深入，导致无法准确建立方程。 忽视图形的连续性和变化性：在动态几何问题中，图形的形状和大小可能随时间的推移而发生变化，学生需要充分考虑这种连续性和变化性。 易错知识点07：工程问题 工作量与效率关系不清：在工程问题中，学生可能未正确理解工作量、工作时间和工作效率之间的关系，导致方程设置错误。 忽视多阶段工程：如果工程问题涉及多个阶段或多种工种协作，学生可能未充分考虑这些因素对总工作量和时间的影响。 易错知识点08：行程问题 速度、时间和距离关系混淆：行程问题中速度、时间和距离之间的关系是解题的关键，学生容易混淆这些概念或错误地应用它们。 忽视相对运动：在涉及相对运动的行程问题中（如两车相向而行、同向而行等），学生可能未正确考虑相对速度对行程时间的影响。 易错知识点09： 图表信息题 数据提取错误：从图表中提取数据时，学生可能因粗心而提取错误或遗漏关键数据。 图表理解不透彻：不同类型的图表（如折线图、柱状图、饼图等）具有不同的信息呈现方式，学生需要准确理解图表的含义才能提取有用信息并建立正确的方程。 易错知识点10：其他问题 除了上述具体问题外，还有一些普遍性的易错点需要注意： 方程设立不准确：在将实际问题转化为数学问题时，学生可能未准确设立方程或设立的方程不符合题意。 解方程方法不当：在解方程时，学生可能未根据方程的特点选择合适的解法（如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等），导致计算过程复杂或结果错误。 未进行验证：在得出解后，学生应验证解是否符合原问题的实际情况和约束条件，但部分学生可能忽视了这一步。 考点讲练1：传播问题 【精讲题】（23-24九年级上·四川广元·期中）近日“知感冒，防流感——全民科普公益行”活动在某市拉开帷幕，经调研，有个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染人，则的值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【举一反三练2】（17-18九年级上·全国·课后作业）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。 (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？ 【举一反三练3】（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？ 考点讲练2：增长率问题 【精讲题】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．经统计，某商店4月份的销售量为件，6月份的销售量为件．求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率． 【举一反三练1】（23-24八年级下·山东德州·期末）“绿色电力，与你同行”，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2022年新能源汽车年销售量为700万辆，预计2024年新能源汽车年销售量将达到1537万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，根据题意可列方程为 ． 【举一反三练2】（23-24八年级下·云南昆明·期末）云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同． (1)求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． (2)某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 【举一反三练3】（2024八年级下·全国·专题练习）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 考点讲练3：与图形有关的问题 【精讲题】（23-24九年级上·云南保山·阶段练习）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用总长为20米的护栏围成．若计划建造车棚的面积为50平方米，则这个车棚垂直于墙的长度应为多少米？ 【举一反三练1】（23-24八年级下·山东泰安·期末）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如下图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．则道路的宽是 ． 【举一反三练2】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，利用一面墙（墙的最大可利用长度为25米），用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示位置留两个1米宽的小门，若所用栅栏的总长度为52米，设栅栏的长为x米，解答下列问题： (1)______米（用含x的代数式表示）； (2)若矩形场地面积为240平方米，求栅栏的长． 【举一反三练3】（23-24八年级下·浙江衢州·期末）实验基地有一长为10米的墙，研究小组想利用墙和长37米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门．    (1)小徐按图1的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边 的长． (2)小祝按照图2的方案围成矩形种植园（墙为边 的一部分），能否围成面积为 的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由． 考点讲练4：数字问题 【精讲题】（23-24九年级下·湖南岳阳·开学考试）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为 岁． 【举一反三练1】（2024八年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【举一反三练3】（2023·山东枣庄·模拟预测）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)请把八进制数换算成十进制数； (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）． 考点讲练5：营销问题 【精讲题】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）国庆节期间，两位同学参加社会实践，到某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是他们的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题∶超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？这样每天可销售水果多少千克 【举一反三练1】（22-23九年级上·广东东莞·阶段练习）今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，若想让顾客得到实惠的同时每天利润为480元，则每个口罩应该涨价 元． 【举一反三练2】（23-24九年级上·云南保山·阶段练习）某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克；若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，并且尽快减少库存，则每千克核桃的售价应为多少元？ 【举一反三练3】（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由． 考点讲练6：动态几何问题 【精讲题】（23-24八年级下·安徽池州·期末）如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时P，Q两点同时停止运动，设运动时间为． (1)_________；_________；（用含的代数式表示） (2)若是的中点，连接、、，当为何值时的面积为？ 【举一反三练1】（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【举一反三练2】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，，，，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． (1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？ (2)点移动多少秒时，的面积为？ (3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？ 【举一反三练3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2) 如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 考点讲练7：工程问题 【精讲题】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【举一反三练1】（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【举一反三练2】（22-23八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【举一反三练3】（22-23九年级上·重庆合川·期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． (1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ (2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 考点讲练8：行程问题 【精讲题】（23-24九年级上·重庆·阶段练习）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 【举一反三练1】（2024九年级·全国·竞赛）望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为 ． 【举一反三练2】．（22-23九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 【举一反三练3】（2023·浙江台州·一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离） (1)当时，求关于t的函数关系式； (2)求图中a的值； (3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由． 考点讲练9：图表信息题 【精讲题】（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【举一反三练1】（2020·内蒙古·二模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量a的值； （2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 【举一反三练2】（19-20九年级下·上海静安·课后作业）小王某月手机话费中的各项费用统计情况见下列图所示，其中月功能费为5元，请你根据统计图的信息完成下列各题： （1）该月小王手机话费共有________元． （2）扇形统计图中，表示短信费的扇形的圆心角______度． （3）请将条形统计图补充完整． （4）电信公司为让利给用户，从下月起每月将对长途话费进行打折优惠，如果小王每月长途电话的通话时间不变，那么两个月后，月长途花费将降至28.8元，那么长途话费的月平均折扣为多少？ 【举一反三练3】（18-19九年级上·湖北·单元测试）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． （3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 考点讲练10：其他问题 【精讲题】（2024八年级下·浙江·专题练习）某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：    某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问： (1)该单位这次去旅游，员工有没有超过人？ (2)该单位这次共有多少员工去旅游？ 【举一反三练1】（2024·广西南宁·二模）2024年汤姆斯杯羽毛球赛于4月27日至5月5日在成都举行，根据赛制规定，所有参赛队伍先通过抽签分成若干小组进行小组赛，小组赛阶段每队都要与小组内其他队进行一场比赛，已知中国队所在的小组有n支队伍，共安排了6场小组赛．根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（22-23八年级上·陕西汉中·期末）如图，一艘船以的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由南向北移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过多少小时它就会进入台风影响区域． 【举一反三练3】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某人把元存入银行，定期一年，到期他取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期仍为一年，利率不变，到期后全部取出，正好是元，求这种存款的年利率（不计利息税） 中等题真题汇编练 1．（22-23九年级上·广东广州·期中）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（　　） A．9人 B．10人 C．11人 2．（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）某城市2019年年底已有绿化面积300公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，到2021年年底该城市绿化面积达到432公顷，如果设绿化面积平均每年的增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）金沙湖大剧院以形似水袖、飘飘而立，势如水形、绝美的颜值，成为金沙湖畔最具魅力的城市地标．如图，某摄影爱好者拍摄了一副长为，宽为的金沙湖大剧院风景照，现在风景画四周镶一条等宽的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设纸边的宽为，则x满足的方程是(   )        A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点在上以的速度向点移动，点在上以的速度向点移动．当点移动到点后停止，点也随之停止移动．下列时刻中，能使的面积为的是（　　）    A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·福建莆田·开学考试）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆600人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆864人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为 ． 6．（23-24九年级上·广西·开学考试）某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元，若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为 ． 7．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图所示，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为 ．    8．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，则道路的宽为 ． 9．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以等为代表的战略性新兴产业，据统计，2019年全广东省基站数共6万座，到2021年，全省基站数量将达到8.64万座． (1)求2019年到2021年，全省基站数量的年平均增长率． (2)按照（1）中增长率，到2022年，全省基站数量希望达到10万座，请通过计算说明这一目标能否实现． 10．（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）某菜农每年的种植成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为5万元，可变成本逐年增长．已知该菜农第1年的可变成本为万元，如果该菜农第3年的种植成本为万元，求可变成本每年平均增长的百分率． 11．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一个月生产80万个，第三个月生产96．8万个． (1)已知每个月生产量的增长率相等，求前三个月生产量的月增长率； (2)经调查发现，1条生产线最大产能是150万个/月，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少6万个/月，现该公司要保证每月生产内存芯片528万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 12． （2024·安徽滁州·三模）2024年3月中国新能源汽车在国家积极政策的鼓励下，居民环保意识日渐增强，新能源汽车的市场非常火爆．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆.若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价？ 培优题真题汇编练 13．（23-24九年级下·甘肃定西·阶段练习）如图①，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 14．（2024·浙江杭州·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽，另有一竹竿，也不知竹竿的长短，竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长、若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 16．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（  ） A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 17．（2024·河北邯郸·三模）某中学计划在一块长，宽的矩形空地上修建三块全等的矩形草坪，如图所示，余下空地修建成同样宽为a的小路． （1）若，则草坪总面积为 平方米． （2）若草坪总面积恰好等于小路总面积，那么，此时的路宽a是 米． 18．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点A以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 19．（2024·山西朔州·一模）为了喜迎元旦，某区筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块正方形的广场空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为6米，中间空白的面积为216平方米，若设正方形空地的边长为x米，则可列方程 ．    20．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上，且．连接，将沿折叠，若点B的对应点落在矩形的边上，则m的值为 ． 21．（23-24九年级上·广东清远·期末）某商场销售一批名牌衬衫，其进价为每件160元，每件以200元售出，平均每天可售出20件，经过市场调查发现，这种衬衫的单价每降价一元，商场平均每天可多售出2件．若商场销售这种名牌衬衫要想平均每天赢利1200元，请回答： (1)每件衬衫应降价多少元？ (2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该名牌衬衫应按原售价的几折出售？ 22．（22-23八年级上·上海·阶段练习）在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示正方形，已知图2中阴影部分的面积和为．该方程的正数解为 ． 23．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，在中，，，点、点同时由、两点出发分别沿、向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为的面积的？ 24．（2024九年级上·全国·专题练习）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元． (1)求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？ (2)今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加和．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加，求a的值． 25．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，矩形纸片，，，动点，分别从点同时出发，均以的速度，点沿方向，到终点停止运动：点沿方向，到终点停止运动，连接，将矩形在左下方的部分纸片沿折叠得到如图，设点运动的时间为，重叠部分图形的面积为． (1)当点落到边上时，求的值； (2)求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当时，若以为腰的等腰三角形，直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第1章《一元二次方程》】 1.4 用一元二次方程解决问题 （知识精讲+易错点拨+十大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：传播问题 5 考点讲练2：增长率问题 7 考点讲练3：与图形有关的问题 9 考点讲练4：数字问题 13 考点讲练5：营销问题 16 考点讲练6：动态几何问题 20 考点讲练7：工程问题 25 考点讲练8：行程问题 29 考点讲练9：图表信息题 34 考点讲练10：其他问题 38 中等题真题汇编练 41 培优题真题汇编练 48 新知精讲梳理 应用1：传播问题 传播问题通常涉及某种疾病、信息或病毒在人群中的传播。这类问题往往通过一元二次方程来建模，以了解传播的速度和范围。例如，题目可能给出经过几轮传播后感染的总人数，然后求解每轮传播中平均每个人传染的人数。解决这类问题时，需要建立模型 应用2：增长率问题 增长率问题涉及量的增长，如生产、销售、人口等。这类问题通常使用增长率公式 a(1+x)n = b，其中 (a) 是初始量，(x) 是增长率，(n) 是增长次数，(b) 是增长后的量。通过解这个方程，可以找出增长率 (x) 或增长后的量 (b)。例如，某厂一月份产钢50吨，二、三月份的增长率都是 (x)， 则该厂三月分产钢 (50(1+x)²) 吨。 应用3：与图形有关的问题 与图形有关的问题通常涉及面积、周长、边长等几何量的计算。这类问题可能需要利用一元二次方程来求解。例如，已知矩形的面积和一边长，求另一边长；或者知道三角形的两边长和第三边的方程，求三角形的周长等。 应用4： 数字问题 数字问题涉及数字的排列、组合和性质。这类问题可能需要通过一元二次方程来找出符合特定条件的数字。例如，有一个两位数，其个位数字比十位数字大2，且这个两位数的平方等于1300减去这个两位数本身。 应用5：营销问题 营销问题涉及商品的销售、定价、利润等。这类问题可能需要利用一元二次方程来找出最优的定价策略或预测销售趋势。例如，某商品降价销售，降价后的售价为原价的某个百分比，通过销售量和降价幅度的关系，可以建立一元二次方程来求解。 应用6：动态几何问题 动态几何问题涉及图形在运动或变化过程中的性质。这类问题可能需要通过一元二次方程来描述图形的运动轨迹或变化规律。例如，一个点在一个圆上运动，其到圆心的距离与运动时间的关系可能符合一元二次方程。 应用7：工程问题 工程问题涉及工程项目的进度、成本、效率等。这类问题可能需要利用一元二次方程来建模，以求解最优的工程进度安排或成本控制策略。例如，某工程队需要完成一段道路建设，每天完成的工程量与天数的关系可能符合一元二次方程。 应用8：行程问题 行程问题涉及物体的运动速度、时间、距离等。这类问题通常需要利用速度、时间和距离的关系来建立一元二次方程。例如，一辆汽车从甲地开往乙地，先以一定速度行驶一段时间后减速行驶，通过总时间和总距离的关系可以建立一元二次方程来求解。 应用9：图表信息题 图表信息题涉及从图表中提取数据并建立数学模型。这类问题可能需要先根据图表中的数据建立一元二次方程，然后求解方程以获取更多信息。例如，从某地区人口增长趋势图中提取数据，建立一元二次方程来预测未来人口数量。 应用10： 其他问题 除了上述几类问题外，还有一些其他问题也可能涉及一元二次方程的实际应用。例如，物理学中的某些问题（如抛体运动）、经济学中的某些模型（如供需关系）等都可能通过一元二次方程来描述和求解。 高频易错知识点拨 易错知识点01：传播问题 混淆增长率与增长量：在传播问题中，如病毒传播、信息传播等，学生容易混淆增长率与增长量的概念。增长率是变化的比率，而增长量是增长的绝对数量。 忽视初始条件：在建立方程时，学生可能忽视初始的传播量或基数，导致方程设置错误。 易错知识点02： 增长率问题 错误理解增长率公式：增长率公式通常为：m=（n2-n1）÷n1×100%，其中 n1 是原始数量，n2是增长后的数量，(m) 是增长率。学生容易在计算时忽略分母n1或错误地将其替换为其他值。 时间间隔问题：在涉及多年增长率的问题中，学生可能未正确考虑时间间隔对最终数量的影响。 易错知识点03： 与图形有关的问题 图形性质理解不透彻：在解决与图形（如三角形、四边形、圆等）有关的问题时，学生可能对图形的性质理解不够深入，导致无法准确建立方程。 忽视图形的几何约束：如三角形的三边关系、四边形的对角线性质等，这些几何约束在建立方程时必须考虑。 易错知识点04：数字问题 数字提取不准确：在处理涉及大量数字的问题时，学生可能因粗心而提取错误或遗漏关键数字。 忽略数字的实际意义：数字往往代表实际物体或情境中的数量，学生需要准确理解其含义才能建立正确的方程。 易错知识点05：营销问题 混淆成本与售价：在营销问题中，学生容易混淆产品的成本和售价，导致利润计算错误。 未考虑折扣和优惠：如果问题中涉及折扣或优惠活动，学生可能未正确考虑这些因素对最终售价和利润的影响。 易错知识点06：动态几何问题 动态变化理解不足：动态几何问题涉及图形的动态变化（如旋转、平移、翻折等），学生可能对这些变化的理解不够深入，导致无法准确建立方程。 忽视图形的连续性和变化性：在动态几何问题中，图形的形状和大小可能随时间的推移而发生变化，学生需要充分考虑这种连续性和变化性。 易错知识点07：工程问题 工作量与效率关系不清：在工程问题中，学生可能未正确理解工作量、工作时间和工作效率之间的关系，导致方程设置错误。 忽视多阶段工程：如果工程问题涉及多个阶段或多种工种协作，学生可能未充分考虑这些因素对总工作量和时间的影响。 易错知识点08：行程问题 速度、时间和距离关系混淆：行程问题中速度、时间和距离之间的关系是解题的关键，学生容易混淆这些概念或错误地应用它们。 忽视相对运动：在涉及相对运动的行程问题中（如两车相向而行、同向而行等），学生可能未正确考虑相对速度对行程时间的影响。 易错知识点09： 图表信息题 数据提取错误：从图表中提取数据时，学生可能因粗心而提取错误或遗漏关键数据。 图表理解不透彻：不同类型的图表（如折线图、柱状图、饼图等）具有不同的信息呈现方式，学生需要准确理解图表的含义才能提取有用信息并建立正确的方程。 易错知识点10：其他问题 除了上述具体问题外，还有一些普遍性的易错点需要注意： 方程设立不准确：在将实际问题转化为数学问题时，学生可能未准确设立方程或设立的方程不符合题意。 解方程方法不当：在解方程时，学生可能未根据方程的特点选择合适的解法（如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等），导致计算过程复杂或结果错误。 未进行验证：在得出解后，学生应验证解是否符合原问题的实际情况和约束条件，但部分学生可能忽视了这一步。 考点讲练1：传播问题 【精讲题】（23-24九年级上·四川广元·期中）近日“知感冒，防流感——全民科普公益行”活动在某市拉开帷幕，经调研，有个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染人，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，由两轮后传染的人数为人，由等量关系建立方程求出其解即可，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键． 【规范解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 由题意，得：，即， 解得：（舍去），， 故选：． 【举一反三练1】（23-24八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人 (2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【规范解答】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【举一反三练2】（17-18九年级上·全国·课后作业）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。 (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染个人． (2)． 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有人患了流感；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数． 【规范解答】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 由题意得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 答：每轮传染中平均一个人传染个人． （2）则第三轮的患病人数为：． 故答案为：． 【举一反三练3】（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？ 【答案】8 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是73，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【规范解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这种植物每个支干长出的小分支个数是8． 考点讲练2：增长率问题 【精讲题】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．经统计，某商店4月份的销售量为件，6月份的销售量为件．求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设销售量的月平均增长率为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【规范解答】解：设销售量的月平均增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴销售量的月平均增长率为． 【举一反三练1】（23-24八年级下·山东德州·期末）“绿色电力，与你同行”，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2022年新能源汽车年销售量为700万辆，预计2024年新能源汽车年销售量将达到1537万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，能够根据题意列出方程是解题的关键． 设这款新能源汽车销售量的年平均增长率为，利用这款新能源汽车2024年的销售量这款新能源汽车2022年的销售量这款新能源汽车销售量的年平均增长率），即可得出关于的一元二次方程． 【规范解答】解：设这款新能源汽车销售量的年平均增长率为， 依题意得：． 故答案为： 【举一反三练2】（23-24八年级下·云南昆明·期末）云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同． (1)求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． (2)某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)6元 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用-增长率，最大利润问题， （1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，由题意得：，求解即可； （2）设降价y元，则每千克橙子盈利元，每天可售出千克，利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造方程，解之即可． 【规范解答】（1）解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为； （2）解：设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：售价应降低6元． 【举一反三练3】（2024八年级下·全国·专题练习）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】(1) (2)5元 【思路点拨】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均增长率为，由题意列出一元二次方程求解即可； （2）设降价元，由题意列出一元二次方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设平均增长率为，由题意得： ， 解得：或（舍）； ∴四、五这两个月的月平均增长百分率为； （2）解：设降价元，由题意得： ， 整理得：， 解得：或（舍）； ∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 考点讲练3：与图形有关的问题 【精讲题】（23-24九年级上·云南保山·阶段练习）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用总长为20米的护栏围成．若计划建造车棚的面积为50平方米，则这个车棚垂直于墙的长度应为多少米？ 【答案】这个车棚垂直于墙的长度应为米． 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键．设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米，根据车棚的面积为50平方米列方程，求解即可． 【规范解答】解：设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：， ∴， ∴， 答：这个车棚垂直于墙的长度应为米． 【举一反三练1】（23-24八年级下·山东泰安·期末）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如下图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．则道路的宽是 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查的是一元二次方程的应用，平移的性质，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键． 设通道的宽为x米，利用平移的性质可得铺花砖部分组成一个边长为米，宽为米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程，解答检验即可． 【规范解答】解：设通道的宽为x米， 根据题意结合平移的性质可得： ， 解得：（舍去）或， 通道的宽为6米； 故答案为：6． 【举一反三练2】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，利用一面墙（墙的最大可利用长度为25米），用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示位置留两个1米宽的小门，若所用栅栏的总长度为52米，设栅栏的长为x米，解答下列问题： (1)______米（用含x的代数式表示）； (2)若矩形场地面积为240平方米，求栅栏的长． (3)矩形场地面积能不能等于280平方米，为什么？ 【答案】(1) (2)栏的长为10米 (3)矩形场地面积不能等于280平方米，理由见解析 【思路点拨】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，根据题意，正确列出一元二次方程并正确求解是解答的关键，注意要检验解符合题意． （1）直接根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元二次方程并解方程即可解答； （3）根据题意列出一元二次方程并解方程即可解答． 【规范解答】（1）根据题意，米， 故答案为：； （2）依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：栅栏的长为10米． （3）依题意得：， 整理得：， ∴方程无实数根 ∴矩形场地面积不能等于280平方米． 【举一反三练3】（23-24八年级下·浙江衢州·期末）实验基地有一长为10米的墙，研究小组想利用墙和长37米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门．    (1)小徐按图1的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边 的长． (2)小祝按照图2的方案围成矩形种植园（墙为边 的一部分），能否围成面积为 的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)矩形种植园一边的长15米 (2)不能围成面积为的矩形种植园 【思路点拨】本题主要考查了一元一次不等式组的应用和一元二次方程的应用，根据题意，列出等量关系式，然后再求解即可得出结果，理解题意是解题关键． （1）方案1：设的长为x米，根据题意得出面积的等量关系式，然后求解即可； （2）方案2：设的长为x米，然后确定相应面积关系式求解即可； 【规范解答】（1）解：设的长为x米， 则， 解得： ． ∵ ，      ∴， ∴舍去， ．                      答：矩形种植园一边的长15米． （2）解：设的长为x米， 则 ， 化简得， ，          ∴不能围成 ， 答：不能围成面积为的矩形种植园． 考点讲练4：数字问题 【精讲题】（23-24九年级下·湖南岳阳·开学考试）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为 岁． 【答案】 【思路点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【规范解答】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴这位风流人物去世的年龄为岁， 故答案为：． 【举一反三练1】（2024八年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案． 【规范解答】解：依题意得：十位数字为：，这个数为： 这两个数的平方和为：， 两数相差4， ． 故选：C． 【举一反三练2】（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)10 (3)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见解析 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据日历的特点先求出b、c、d，再根据当a越大时，b也越大，求出a的最大值即可求出的最大值； （2）根据方框中最大数与最小数的乘积为180，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，根据方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和为124，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【规范解答】（1）解：由题意得，； ∵a是正整数， ∴也是正整数， ∴当a越大时，b也越大， 根据日历的特点可知a的最大值为23，此时b的值为24， ∴的最大值为； 故答案为：；；；； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． ∴最小数是10； （3）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵时，在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【举一反三练3】（2023·山东枣庄·模拟预测）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)请把八进制数换算成十进制数； (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算，解题关键是根据题意找到进制转化的方法． （1）根据题意，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以，，，，再把所得的结果相加即可； （2）根据进制数和十进制数的计算方法得到关于的方程，解方程即可． 【规范解答】（1） ． 故答案为：； （2）依题意有：， 解得，负值舍去． 故的值是． 考点讲练5：营销问题 【精讲题】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）国庆节期间，两位同学参加社会实践，到某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是他们的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题∶超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？这样每天可销售水果多少千克 【答案】水果的销售价为每千克29元，超市每天可获得销售利润3640元． 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每千克降低元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案． 【规范解答】解：设每千克降低元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得， ， 整理得， 或． 要尽可能让顾客得到实惠， ， 售价为元千克． 答：水果的销售价为每千克29元，超市每天可获得销售利润3640元． 【举一反三练1】（22-23九年级上·广东东莞·阶段练习）今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，若想让顾客得到实惠的同时每天利润为480元，则每个口罩应该涨价 元． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每个口罩应该涨价x元，则每天可售出个，利用每天销售口罩获得的总利润每个的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合想让顾客得到实惠，即可确定结论． 【规范解答】解：设每个口罩应该涨价x元，则每天可售出个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵想让顾客得到实惠， ∴， ∴每个口罩应该涨价2元． 故答案为：2． 【举一反三练2】（23-24九年级上·云南保山·阶段练习）某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克；若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，并且尽快减少库存，则每千克核桃的售价应为多少元？ 【答案】54元 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的实际应用；为尽快减少库存，设每千克核桃的售价应为x元，根据每千克核桃的利润与销售数量的积等于总利润列出方程，并求解即可． 【规范解答】解：为尽快减少库存，设每千克核桃的售价应为x元，现在每千克的利润为元，每天销售的数量为：千克， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 为了尽快减少库存，取； 答：该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，并且尽快减少库存，则每千克核桃的售价应为54元． 【举一反三练3】（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由． 【答案】(1)， (2)每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元； (3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见解析 【思路点拨】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件列出代数式即可解答； （2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客即可解答； （3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再根据根与系数的关系即可解答． 【规范解答】（1）解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元． 故答案为：，． （2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵需要让利于顾客， ∴． 答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元． （3）解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下： 设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴此方程无解，即不可能每天盈利1800元． 考点讲练6：动态几何问题 【精讲题】（23-24八年级下·安徽池州·期末）如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时P，Q两点同时停止运动，设运动时间为． (1)_________；_________；（用含的代数式表示） (2)若是的中点，连接、、，当为何值时的面积为？ 【答案】(1)， (2)或 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系． （1）根据速度时间路程，列出代数式即可； （2）如图，过点D作于H，利用三角形中位线定理求得的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可． 【规范解答】（1）根据题意得：，， 所以； （2）如图，过点D作于H， ∵，即， ∴， ∴ ∴ 又∵D是的中点， ∴ ∴，， ∴ ∵的面积为 ∴ ∴ ∴ 整理得， 解得：，， ∴当或4时，的面积是． 【举一反三练1】（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，； (3)当时，四边形的面积等于． 【思路点拨】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用，再解答时要注意所求的解使实际问题有意义． （1）根据路程速度时间就可以表示出，．再用就可以求出的值； （2）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值； （3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值． 【规范解答】（1）解：由题意，得，． 故答案为：，； （2）解：在中，由勾股定理，得， 解得：，； （3）解：由题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，的面积等于． 四边形的面积． 答：当时，四边形的面积等于． 【举一反三练2】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，，，，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． (1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？ (2)点移动多少秒时，的面积为？ (3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)不会达到，理由见解析 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由三角形的面积公式可求解； 设点移动经过秒，的面积为，列出方程可求解； 列出方程，由，可得的面积不会达到． 【规范解答】（1）解：当点移动时间为秒时，，， ∴， ∴的面积； （2）解：设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶ ， ∴或， 答∶点移动经过秒或秒，的面积为； （3）解：的面积不会达到．理由如下∶ 设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶ ， ， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不会达到． 【举一反三练3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 【答案】(1)①秒或秒；②秒 (2)秒或秒或秒 【思路点拨】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积， （1）①由三角形的面积公式可求解； ②分两种情况讨论，由题意列出方程可求出答案； （2）分三种情况：①点在线段上，点在线段上，②点在线段上，点在线段的延长线上时，③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，由三角形面积公式可得出答案； 运用分类讨论的思想是解题的关键． 【规范解答】（1）解：①设经过秒钟，的面积等于， 由题意，，， ∴， ∴， 解得：，， ∴经过秒或秒钟，的面积等于； ②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得： 1），即：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），； 2），即：， ∴， ∵， 此方程无实数根，即这种情况不存在； 综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分； （2）设经过秒，的面积为，可分三种情况： ①点在线段上，点在线段上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：（舍去），； ②点在线段上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：； ③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）； 综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为． 考点讲练7：工程问题 【精讲题】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【思路点拨】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【规范解答】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【考点评析】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【举一反三练1】（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【思路点拨】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【考点评析】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【举一反三练2】（22-23八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【思路点拨】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【考点评析】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【举一反三练3】（22-23九年级上·重庆合川·期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． (1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ (2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 【答案】(1)原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵 (2)物业管理公司实际购买两种树共56棵 【思路点拨】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵，根据题意列出方程即可得出答案． （2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为元每棵，元每棵，再列出实际购买棵树的表达式，得到方程式求出满足条件的值，即可得出答案． 【规范解答】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵， 根据题意，可得， 解得，． 答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵． （2）根据题意，可得， 整理得，， 解得：，， ∵，∴， ∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟， 答：物业管理公司实际购买两种树共56棵． 【考点评析】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中的等量关系列出正确的方程解决本题的关键． 考点讲练8：行程问题 【精讲题】（23-24九年级上·重庆·阶段练习）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟； (2)小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【思路点拨】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分．根据小鸣的跑步时间小凤的跑步时间列分式方程求解即可； （2）设小凤从地到地用时分钟，根据前30分钟消耗的热量分钟后的热量列方程解答即可． 【规范解答】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为， ∴小凤的跑步速度为每分钟， 答：小凤的跑步速度为每分钟； （2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分， 则小凤从地到地所用时间为（分钟）． 设小凤从地到地用时分钟， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 则（分钟）． 答：小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【考点评析】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键． 【举一反三练1】（2024九年级·全国·竞赛）望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是有关环形跑道的问题，解决本题的关键是设环形跑道周长为，根据甲、乙两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系．设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，根据望望和王老师两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系，然后将方程恒等变形后解方程就可解决问题． 【规范解答】解：设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，则 ， 整理得， 解得（舍去）或． 则王老师的速度与望望的速度之比为， 故答案为： 【举一反三练2】．（22-23九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 【答案】(1)张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米 (2)的值为 【思路点拨】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟米，则张大伯每分钟走米，根据两人共走了米列方程，解得的值代入中计算即可； （2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走米，由已知条件可得张大伯走了分钟，李大伯走了分钟，根据两人又共走了米列方程，解方程并根据实际意义确定值即可． 【规范解答】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟米，得 解得 ∴（米） 所以，张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米； （2）解：依题意，得 整理得 解得（舍）， 答：的值为． 【考点评析】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题的关键． 【举一反三练3】（2023·浙江台州·一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离） (1)当时，求关于t的函数关系式； (2)求图中a的值； (3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由． 【答案】(1) (2) (3)7，理由见解析 【思路点拨】（1）设关于t的函数关系式为，根据经过点利用待定系数法即可得到答案； （2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度为，利用小明在4s时第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意找到速度、时间、路程的变化规律，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设关于t的函数关系式为，把点代入得， ， 解得， ∴关于t的函数关系式为； （2）解：对于球来说，， 小明前a秒的平均速度为，a秒后速度为， 由小明在4s时第一次追上球可得，， 解得， 即图中a的值为； （3）小明第一次踢球已经带球跑了16米，还需要跑米，由（1）知，，假设每次踢球t从0开始计算，因为球在草地上滚动时，速度变化情况相同，则第二次踢球后变化规律为， ，，则， ， 第二次踢后，则，（舍去），，此时又经过了米， ， 第三次踢后，变化规律为， ，，则， ， 第三次追上，则，（舍去），，此时又经过了米， ， 又开始下一个循环， 故第四次踢球所需时间为，经过24米， 故第五次踢球所需时间为，经过48米， 故第六次踢球所需时间为，经过24米， 故第七次踢球所需时间为，经过48米， ∵，， ∴带球走过200米，在第七次踢球时实现，故小明小明踢球次数共有七次， 故答案为：7 【考点评析】此题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、一元一次方程的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键． 考点讲练9：图表信息题 【精讲题】（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】(1)10% (2)2500000张 【思路点拨】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量=总结单价，即可求出结论； 【规范解答】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【举一反三练1】（2020·内蒙古·二模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量a的值； （2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 【答案】（1）a＝100；（2），当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【思路点拨】（1）由于七月份用水量为140吨，每吨1.6元计算，应缴费224元，而实际缴费264，则七月份用水量超过了标准，超过标准的部分每吨需加收元的附加费用；然后列出关于a的方程求得a值，最后结合8月份的用水量对答案进行取舍即可； （2）根据（1）中求得的a值进行分段，然后根据规定分别建立函数关系式；并将x=150吨代入合适的解析式求解即可． 【规范解答】解：（1）因七月份用水量为140吨， 1．6×140＝224＜264， 所以需加收:(元)， 即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40， 又8月份用水量为95吨，1．6×95＝152，不超标 故答案为a＝100； （2）当0≤x≤100时，则y＝1．6x； 当x＞100时，则y＝1．6x+（x﹣100）＝2.6x﹣100． 即y 用水量为150吨时，应交水费：y=2.6×150－100=290（元）． 答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【考点评析】本题考查了一元二次方程和一次函数在实际中的运用，从表格中获取所需信息以及结合表格建立分段函数关系式是解答本题的关键． 【举一反三练2】（19-20九年级下·上海静安·课后作业）小王某月手机话费中的各项费用统计情况见下列图所示，其中月功能费为5元，请你根据统计图的信息完成下列各题： （1）该月小王手机话费共有________元． （2）扇形统计图中，表示短信费的扇形的圆心角______度． （3）请将条形统计图补充完整． （4）电信公司为让利给用户，从下月起每月将对长途话费进行打折优惠，如果小王每月长途电话的通话时间不变，那么两个月后，月长途花费将降至28.8元，那么长途话费的月平均折扣为多少？ 【答案】（1）125元；（2）72°；（3）见解析；（4）长途话费的月平均折扣为八折 【思路点拨】（1）根据月功能费在扇形统计图中所占比例计算即可. （2）用短信费所占比例乘以即可. （3）用第（1）问中求出的总话费，分别乘以基本话费和长途话费所占比例，求出两者具体金额后填图. （4）可设长途话费的月平均减少率为，根据题意“两个月后，月长途花费将降至28.8元”可得，解一元二次方程即可. 【规范解答】（1）元 （2）. （3）如图， （4）解：设平均减少率为，据题意得     解得 答：长途话费的月平均折扣为八折. 【考点评析】本题综合考查了条形统计图与扇形统计图中的数据关系，和一元二次方程解决问题中的增长率问题，熟练掌握相关知识点，找到其中的数量关系并列式计算是解答关键. 【举一反三练3】（18-19九年级上·湖北·单元测试）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． （3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3吨；（3）见解析; 【思路点拨】（1）根据总费用=10+超出费用列出代数式即可；（2）根据题意分别列出5a（7-a）+10=70，5a（5-a）+10=40，取满足两个方程的a的值即为本题答案；（3）结合当地水资源状况，叙述合理即可； 【规范解答】（1）3月份应交水费10+5a（8-a）=10+40a-5a2元； （2）由题意得：5a（7-a）+10=70， 解得：a=3或a=4 5a（5-a）+10=40 解得：a=3或a=2， 综上，规定用水量为3吨； （3）既然我们的水资源比较缺乏，就要提高节水技术、防治水污染、植树造林． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 考点讲练10：其他问题 【精讲题】（2024八年级下·浙江·专题练习）某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：    某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问： (1)该单位这次去旅游，员工有没有超过人？ (2)该单位这次共有多少员工去旅游？ 【答案】(1)超过人 (2)该单位这次共有名员工去旅游 【思路点拨】本题考查了有理数的乘法和一元二次方程的应用，解题关键根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． （1）先根据共支付给旅行社旅游费用元，确定旅游的人数的范围； （2）根据每人的旅游费用人数总费用，设该单位这次共有名员工去旅游列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵人数不超过人，人均费用为元， ∴， ∴员工人数一定超过人， ∴该单位这次去旅游，员工超过了20人； （2）解：设该单位这次共有名员工去旅游，根据题意列方程得： ， 整理得， 即， 解得，， 当时，，故舍去； 当时，，符合题意． 答：该单位这次共有35名员工去旅游． 【举一反三练1】（2024·广西南宁·二模）2024年汤姆斯杯羽毛球赛于4月27日至5月5日在成都举行，根据赛制规定，所有参赛队伍先通过抽签分成若干小组进行小组赛，小组赛阶段每队都要与小组内其他队进行一场比赛，已知中国队所在的小组有n支队伍，共安排了6场小组赛．根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．每一支队伍都要和另外的支队伍进行比赛，于是比赛总场数每支队的比赛场数参赛队伍重复的场数，即可解答． 【规范解答】解：共有n支队伍参加比赛，根据题意， 可列方程为； 故选：B． 【举一反三练2】（22-23八年级上·陕西汉中·期末）如图，一艘船以的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由南向北移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过多少小时它就会进入台风影响区域． 【答案】7小时 【思路点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于的等式是解题关键．首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可． 【规范解答】解：由题意，作图如下： 设小时后，就进入台风影响区，根据题意得出，，， ，， ， ，， ， ， ， 解得：，不符合题意，舍去． 答：从接到警报开始，经过小时它就会进入台风影响区． 【举一反三练3】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某人把元存入银行，定期一年，到期他取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期仍为一年，利率不变，到期后全部取出，正好是元，求这种存款的年利率（不计利息税） 【答案】定期一年的利率是 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，设定期一年的利率是，则存入一年后的利息和本金是，取出300后为，再根据再存一年得出方程，解方程即可得出答案，理解题意，正确得出方程是解此题的关键． 【规范解答】解：设定期一年的利率是， 根据题意得：一年时：， 取出300后剩：， 同理两年后是， 即方程为， 解得：，（不符合题意，故舍去）． 答：定期一年的利率是． 中等题真题汇编练 1．（22-23九年级上·广东广州·期中）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（　　） A．9人 B．10人 C．11人 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设共x人参加酒会，利用碰杯的总次数＝参加酒会人数×（参加酒会人数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论． 【规范解答】解：设共x人参加酒会， 根据题意得，， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴共11人参加酒会． 故选：C． 2．（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）某城市2019年年底已有绿化面积300公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，到2021年年底该城市绿化面积达到432公顷，如果设绿化面积平均每年的增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找出相等关系是解题的关键．根据题意列出一元二次方程即可． 【规范解答】解：设绿化面积的年平均增长率是x， 由题意得：， 故选：C． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）金沙湖大剧院以形似水袖、飘飘而立，势如水形、绝美的颜值，成为金沙湖畔最具魅力的城市地标．如图，某摄影爱好者拍摄了一副长为，宽为的金沙湖大剧院风景照，现在风景画四周镶一条等宽的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设纸边的宽为，则x满足的方程是(   )        A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的运用，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系． 如果设纸边的宽为，那么挂图的长和宽应该为和，根据总面积即可列出方程． 【规范解答】解：设纸边的宽为，那么挂图的长和宽应该为和， 根据题意可得出方程为：， 故选：C． 4．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点在上以的速度向点移动，点在上以的速度向点移动．当点移动到点后停止，点也随之停止移动．下列时刻中，能使的面积为的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当运动时间为秒时，的面积为，利用三角形面积的计算公式，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合当点移动到点后停止点也随之停止移动，即可确定值． 【规范解答】解：设当运动时间为秒时，的面积为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又， ， ． 故选：B 5．（23-24九年级上·福建莆田·开学考试）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆600人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆864人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查一元二次方程的应用，根据平均增长率的等量关系：，列出方程即可． 【规范解答】解：若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为； 故答案为：． 6．（23-24九年级上·广西·开学考试）某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元，若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为元，每星期可卖出件，利用每星期的销售总利润＝每件的销售利润×每星期的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【规范解答】解：当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为元， 根据题意得：． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图所示，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查一元二次方程的实际应用．正确理解题意是解题的关键． 确定平行于墙的一边与★的关系即可求解． 【规范解答】解：由题意可得：平行于墙的一边为：， 由可得，★表示的为平行于墙的一边的长度， 即为：★表示的代数式为， 故答案为． 8．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，则道路的宽为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的运用，理解题目中的数量关系，设道路的宽为，由此列式求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【规范解答】解：设道路的宽为， ∴，整理得，， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴道路的宽为， 故答案为：2 ． 9．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以等为代表的战略性新兴产业，据统计，2019年全广东省基站数共6万座，到2021年，全省基站数量将达到8.64万座． (1)求2019年到2021年，全省基站数量的年平均增长率． (2)按照（1）中增长率，到2022年，全省基站数量希望达到10万座，请通过计算说明这一目标能否实现． 【答案】(1)全省5G基站数量的年平均增长率为； (2)这一目标能实现． 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设全省基站数量的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意列式求解比较即可． 【规范解答】（1）解：设全省基站数量的年平均增长率为， 有：． 解得：，（舍）． ∴全省基站数量的年平均增长率为； （2）解：（万座）． ∵． ∴这一目标能实现． 10．（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）某菜农每年的种植成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为5万元，可变成本逐年增长．已知该菜农第1年的可变成本为万元，如果该菜农第3年的种植成本为万元，求可变成本每年平均增长的百分率． 【答案】可变成本平均每年增长的百分率为20% 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，设可变成本平均每年增长的百分率为x，根据该菜农第3年的种植成本为万元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【规范解答】解：设可变成本平均每年增长的百分率为x， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：可变成本平均每年增长的百分率为． 11．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一个月生产80万个，第三个月生产96．8万个． (1)已知每个月生产量的增长率相等，求前三个月生产量的月增长率； (2)经调查发现，1条生产线最大产能是150万个/月，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少6万个/月，现该公司要保证每月生产内存芯片528万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】(1)前三个月生产量的平均增长率为 (2)应该再增加3条生产线 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设前三个月生产量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）设应该再增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/月，根据题意，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：设前三个月生产量的月增长率为x， 依题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：前三个月生产量的平均增长率为； （2）设应该再增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/月， 依题意得：， ， 解得：， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ． 答：应该再增加3条生产线． 12．（2024·安徽滁州·三模）2024年3月中国新能源汽车在国家积极政策的鼓励下，居民环保意识日渐增强，新能源汽车的市场非常火爆．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆.若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价？ 【答案】下调后每辆汽车的售价为21万元． 【思路点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设下调后每辆汽车的售价万元，售价降低万元，则平均每周多售出辆，根据总利润=每辆汽车的销售利润×销售量建立方程，求解即可 【规范解答】解：设下调后每辆汽车的售价万元，每辆汽车的销售利润为万元时， ， 整理可得：，解得：，， 因为要尽量让利顾客，所以． 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 培优题真题汇编练 13．（23-24九年级下·甘肃定西·阶段练习）如图①，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为3，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解． 【规范解答】解：当P点在上运动时，面积逐渐增大，当P点到达B点时，面积最大为3． ∴，即． 当P点在上运动时，面积逐渐减小，当P点到达C点时，面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7， ∴． 则，代入，得，解得或3， 因为，即， 所以． 故选：B． 14．（2024·浙江杭州·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽，另有一竹竿，也不知竹竿的长短，竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长、若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程、数学常识以及勾股定理的应用，由题意得出门的高为尺，宽为尺，再利用勾股定理，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【规范解答】解：若设门的对角线长为x尺，则门的高为尺，宽为尺， 根据题意得：． 故选：B． 15．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程． 【规范解答】解：甲种药品成本的年平均下降率为， 根据题意可得， 故选：B． 16．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（  ） A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 【答案】A 【思路点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，列出方程解出即可； 【规范解答】解：设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，由题意得： ， 解得：x=5, 所以一套驱蚊器的售价为：5×6=30（元），一套驱蚊器的利润元 设每套驱蚊器降价a元，由题意得： ， 解得： , （舍去）， 故选：A. 17．（2024·河北邯郸·三模）某中学计划在一块长，宽的矩形空地上修建三块全等的矩形草坪，如图所示，余下空地修建成同样宽为a的小路． （1）若，则草坪总面积为 平方米． （2）若草坪总面积恰好等于小路总面积，那么，此时的路宽a是 米． 【答案】 30 1 【思路点拨】本题考查全等图形、代数式求值，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式和方程． （1）根据题意和图形中的数据，可以用的代数式表示出草坪的面积，然后将的值代入计算即可； （2）根据草坪总面积恰好等于小路总面积，可以得到关于的一元二次方程，从而可以求得此时的路宽． 【规范解答】解：（1）由图可得， 草坪的总面积是， 当时， ， 即时，草坪总面积为30平方米， 故答案为：30； （2）由图可得， 草坪的总面积是， 路的总面积是， ∵草坪总面积恰好等于小路总面积， ， 解得(舍去)， 即此时的路宽为1米， 故答案为：1． 18．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点A以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 【答案】1 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键 设t秒后的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可． 【规范解答】解：设t秒后的面积等于4， 由题意得：，则， ∵， ∴，整理得：， 解得：，， ∵点从点C到点A的时间为， ∴，不合题意，舍去， ∴1秒后，的面积等于4． 故答案为：1． 19．（2024·山西朔州·一模）为了喜迎元旦，某区筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块正方形的广场空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为6米，中间空白的面积为216平方米，若设正方形空地的边长为x米，则可列方程 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查一元二次方程的应用．若设正方形空地的边长为x米，则中间空白的长为米，宽为米，根据长方形面积公式即可列出方程． 【规范解答】解：根据题意，得， 故答案为：． 20．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上，且．连接，将沿折叠，若点B的对应点落在矩形的边上，则m的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程；设， 由已知得，，由勾股定理得及，即可求解；掌握性质，能将已知条件转化到直角三角形中用勾股定理求解是解题的关键． 【规范解答】解：如图， 设， ， ，， 由折叠得：， ， 四边形是矩形， ， ， 在中， ， ， 在中 ， 解得：，（舍去）， ； 故答案：． 21．（23-24九年级上·广东清远·期末）某商场销售一批名牌衬衫，其进价为每件160元，每件以200元售出，平均每天可售出20件，经过市场调查发现，这种衬衫的单价每降价一元，商场平均每天可多售出2件．若商场销售这种名牌衬衫要想平均每天赢利1200元，请回答： (1)每件衬衫应降价多少元？ (2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该名牌衬衫应按原售价的几折出售？ 【答案】(1)每件衬衫应降价20元 (2)每件衬衫应降价20元，该名牌衬衫应按原售价的九折出售 【思路点拨】题目主要考查一元二次方程的应用，打折销售问题，理解题意，列出方程求解是解题关键． （1）设每件衬衫应降价元，根据题意列出方程求解即可； （2）根据题意得出每件衬衫应降价20元，然后计算打折数即可． 【规范解答】（1）解：设每件衬衫应降价元， 则依题意，得：， 整理，得， 解得：， ∴每件衬衫应降价20元或10元； （2）解：由（1）可知每件衬衫可降价10元或20元． ∵要尽可能让利于顾客， ∴每件衬衫应降价20元， 此时，售价为：（元）， ， 答：每件衬衫应降价20元，该名牌衬衫应按原售价的九折出售． 22．（22-23八年级上·上海·阶段练习）在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示正方形，已知图2中阴影部分的面积和为．该方程的正数解为 ． 【答案】 【思路点拨】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积加四个小正方形的面积，从而可求得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可求解 【规范解答】如图2所示： 先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为． 故答案为： 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并数形结合是解决问题的关键 23．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，在中，，，点、点同时由、两点出发分别沿、向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为的面积的？ 【答案】秒 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，找到等量关系列出方程求解是解题的关键．设秒后，，而此时，，，，，进而可列出方程，求出答案． 【规范解答】解：设秒后，， 此时，，； 由题意得，即， 解之，得，， 米， ， 不合题意，舍去， 即； 答：当秒后，． 24．（2024九年级上·全国·专题练习）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元． (1)求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？ (2)今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加和．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加，求a的值． 【答案】(1)A品种去年平均亩产量是400、B品种去年平均亩产量是500千克 (2)10 【思路点拨】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，掌握列方程或方程组解应用题的方法与步骤是解题的关键． （1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据题意分别表示A品种、B品种今年的收入，利用总收入等于A品种、B品种今年的收入之和，列出一元二次方程求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，由题意得 ， 解得． 答：A．B两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克； （2）解：根据题意得：． 令，则方程化为：． 整理得， 解得：（不合题意，舍去）， ， ， 答：a的值为10． 25．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，矩形纸片，，，动点，分别从点同时出发，均以的速度，点沿方向，到终点停止运动：点沿方向，到终点停止运动，连接，将矩形在左下方的部分纸片沿折叠得到如图，设点运动的时间为，重叠部分图形的面积为． (1)当点落到边上时，求的值； (2)求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当时，若以为腰的等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【思路点拨】（）当点落到边上时，则点与点重合，从而有，即可求出得值； （）分当时，当时，当时情况讨论即可求解； （）当时（）时，（）时（）时，（），讨论即可求解； 此题考查了矩形的折叠与动点，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）当点落到边上时， 则点与点重合， ∴， ∴； （2）当时，如图， ， 当时，如图， ， 当时，如图， ， 综上可知：； （3）如图，， （）时，即， 整理得：， 解得：（舍去），， （），即， 无解， 如图，当，延长交于点， （）时，即， 解得：，， 以上解均不符合题意， （），即， 整理得：， 解得：（舍去），， 综上可知：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$