2.2.2 向量的减法课 课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第二章　平面向量及其应用 2.2　向量的减法 高中同步学案优化设计 GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.理解相反向量的概念. 2.理解向量减法的意义,掌握向量减法的运算法则及其几何意义. 3.能运用向量的加法与减法解决相关问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　相反向量 名师点睛 相反向量类似于实数中的相反数,它们的性质有相似之处. 定义 若两个向量的长度　　　　,方向　　　　,则称它们互为相反向量  性质 ①a+(-a)=(-a)+a=0 ②若a,b互为相反向量,则a=　　　,a+b=0  ③零向量的相反向量仍是零向量 相等 相反 -b 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两个相等向量之差等于0.(　　) (2)互为相反向量的两个向量的长度可以不相等.(　　) (3)向量a与b的差和b与a的差互为相反向量.(　　) × × √ 知识点二　向量的减法 定义 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量,即a-b=a+(-b) 作法  　　　　　　　　 同起点 　　 几何 意义 如果把向量a与b的起点放在点O,那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A,得到的向量 就是a-b 名师点睛 1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,就可以把减法化为加法.在用三角形法则作向量减法时,只要记住“连接两向量的终点,箭头指向被减向量”即可. 过关自诊 ABC 2.在代数运算中的移项法则,在向量中是否仍然成立? 提示 含有向量的等式称为向量等式,在向量等式的两边同时加上或减去同一个向量仍得到向量等式,移项法则对向量等式也是适用的. 3.若a,b是不共线向量,则|a+b|与|a-b|的几何意义分别是什么? 重难探究·能力素养全提升 探究点一　向量减法的运算法则 【例1】 如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c. 规律方法　求两个向量的差,关键是把两向量平移到首首相接的位置,然后利用向量减法的三角形法则来运算. 平移作两个向量的差的步骤: 此步骤可以简记为“作平移,共起点,两尾连,指被减”. 变式训练1如图,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c. 探究点二　向量的减法运算 【例2】 化简下列各式: 规律方法　1.向量减法运算的常用方法 2.向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连则为和;(2)起点相同则为差. 变式训练2化简: 探究点三　向量减法运算的几何意义 (2)当向量a,b满足什么条件时,四边形ABCD是矩形? (3)当向量a,b满足什么条件时,四边形ABCD是菱形? 规律方法　要熟练掌握在三角形、平行四边形等常见图形中,各边对应向量以及对角线对应向量之间的关系,能够运用向量的加法与减法进行正确的表示,同时还要熟悉常见平面图形的几何性质,能够从向量的角度,运用向量语言进行表示. A.点P在△ABC的内部 B.点P在△ABC的边AB上 C.点P在AB边所在直线上 D.点P在△ABC的外部 D 探究点四　向量加减法的综合应用 规律方法　1.关于向量的加法和减法,一种就是依据三角形法则通过作图来解决,另一种就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决. 2.用几个向量表示某个向量问题的解题步骤是:第一步,观察向量位置;第二步,寻找(或作)有关的平行四边形或三角形;第三步,利用三角形或平行四边形法则找关系;第四步,化简结果. 变式训练4(1)如图,解答下列各题: 本节要点归纳 1.知识清单: (1)向量的减法运算; (2)向量减法的几何意义. 2.方法归纳:数形结合、转化. 3.常见误区:忽略向量共起点时才可用向量的减法. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 级 必备知识基础练 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.(多选)化简以下各式,结果为0的有( 　　) ABCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(多选)[2023江苏淮安]对于菱形ABCD,给出下列各式,其中结论正确的 为(　　) BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 等边 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [3,17] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 级 关键能力提升练 A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C.四边形ABCD是矩形 D.四边形ABCD是正方形 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.若a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b所在直线的夹角是　　　　　.  30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 级 学科素养创新练 12.(多选)在菱形ABCD中,给出下列各式,其中正确的是(　　) BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.[人教A版教材习题]填空:=　　　;=　　　　　; =　　　　　;=　　　　　;=　　　　　.  2.以向量=a,=b为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线的向量为=a+b,=b-a,=a-b. 1.(多选)下列四式可以化简为的是(　　) A.+() B.()+() C. D. 解析 A项中,+()=()-,A正确; B项中,()+()=()+()=,B正确; C项中,=-,C正确; D项中,,D错误. 故选ABC. 提示 如图所示,设=a,=b,根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义,有=a+b,=a-b.因为四边形OACB是平行四边形,所以|a+b|=||,|a-b|=||,故|a+b|与|a-b|分别是以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线的长. 解 (方法一)如图①,在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,连接BC,则=b-c. 过点A作AD BC,连接OD,则=b-c, 所以=a+b-c. (方法二)如图②,在平面内任取一点O,作=a,=b,连接OB,则=a+b, 再作=c,连接CB,则=a+b-c. (方法三)如图③,在平面内任取一点O,作=a,=b,连接OB,则=a+b,再作=c,连接OC,则=a+b-c. 解 在平面内任取一点O,作向量=a,=b,则向量a-b=,再作向量=c,则向量=a-b-c. (1)()+(-); (2). 解 (1)原式==()+()=. (2)原式=-()=. (1); (2). 解 (1)=0. (2) =()+()+ ==0+. 【例3】 如图, 四边形ABCD是平行四边形,设=a,=b. (1)试用a,b表示. 解 (1)由向量加、减法运算法则可得=a+b, =b-a. (2)因为对角线相等的平行四边形是矩形, 所以要使四边形ABCD是矩形,应满足||=||, 即|a+b|=|b-a|. (3)因为邻边相等的平行四边形是菱形,所以要使四边形ABCD是菱形,应满足||=||,即|a|=|b|. 变式训练3已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足,则下列结论正确的是(　　) 解析 由,可得, 所以四边形PBCA为平行四边形.可知点P在△ABC的外部. 故选D. 【例4】 (1)已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,试用a,b,c表示. 解 (方法一)如图所示: =a+=a+()=a+c-b. (方法二)+() =+0=+()=a+(-b+c)=a-b+c. (2)已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,求|a+b|的值. 解 设=a,=b,则||=|a-b|.以OA,OB为邻边作平行四边形OACB(图略),则||=|a+b|. ∵(+1)2+(-1)2=42,∴||2+||2=||2, ∴OA⊥OB. ∴平行四边形OACB是矩形. ∵矩形的对角线相等, ∴||=||=4,即|a+b|=4. ①用a,d,e表示; ②用b,c表示; ③用a,b,e表示; ④用d,c表示. 解 ①因为=a,=b,=c,=d,=e,所以=d+e+a. ②=-=-b-c. ③=e+a+b. ④=-=-=-c-d. (2)设平面内四边形ABCD及任一点O,=a,=b,=c,=d,若a+c=b+d且|a-b|=|a-d|,试判断四边形ABCD的形状. 解 由a+c=b+d得a-b=d-c, 即, ∴,于是ABCD, ∴四边形ABCD为平行四边形. 又|a-b|=|a-d|,从而||=||, ∴||=||, ∴四边形ABCD为菱形. 1.化简=(　　) A. B. C. D. 解析 由平面向量减法的三角形法则可知.故选C. 2.在边长为1的正三角形ABC中,||的值为(　　) A.1 B.2 C. D. 解析 如图,作菱形ABCD,则||=||=||=. A. B. C. D. 解析 =0; =0; =0; =0.故选ABCD. A. B.||=|| C.||=|| D.||=|| 解析 菱形中向量的方向是不同的,但它们的模是相等的, 所以B结论正确,A结论错误; 因为||=||=2||,||=2||,且||=||, 所以||=||,即C结论正确; 因为||=||=||, ||=||=||,所以D结论正确. 故选BCD. 5.在△ABC中,=a,=b,若|a|=|b|=|a-b|,则△ABC为　　　　三角形.  解析 在△ABC中,因为=a,=b,则a-b=,又|a|=|b|=|a-b|,于是有||=||=||,即△ABC的三边长相等,所以△ABC是等边三角形. 6.已知||=10,||=7,则||的取值范围为　　　　　.  解析 因为,所以||=||, 又|||-|||≤||≤||+||, 即3≤||≤17,即3≤||≤17. 7.化简: (1); (2)()+(). 解(1). (2)()+()= +()=+0=. 8.若||=5,||=8,则||的取值范围是(　　) 解析 ∵||=||且|||-|||≤||≤|A|+||, ∴3≤||≤13,∴3≤||≤13. 9.在平行四边形ABCD中,若||=||,则必有(　　) A.=0 B.=0 解析 因为||=||,所以||=||,所以平行四边形的对角线长度相等,所以四边形ABCD为矩形,故选C. 解析 如图,设=a,=b,则a-b=. ∵|a|=|b|=|a-b|,∴||=||=||, ∴△OAB是等边三角形, ∴∠BOA=60°. 又∵=a+b,且在菱形OACB中,对角线OC平分∠BOA, ∴a与a+b所在直线的夹角为30°. 11.如图所示,=a,=b,=c. (1)用a,b表示; (2)用b,c表示. 解已知:=a,=b,=c. (1)=-=-a-b. (2)=-=-()=-b-c. A.=0 B. C.||=|| D.||=|| 解析 A中,∵≠0,∴=0不正确; B中,∵菱形的对角线互相垂直,故正确; C中,∵||=||=2||,||=2||,且||=||,故正确; D中,∵||=||=||,||=||,故正确.故选BCD. $$