2.3 从速度的倍数到向量的数乘 课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第二章　平面向量及其应用 3　从速度的倍数到向量的数乘 高中同步学案优化设计 GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.理解向量数乘运算的定义及几何意义. 2.掌握向量数乘的运算律,能够用已知向量表示未知向量. 3.掌握共线(平行)向量基本定理,会判断或证明两个向量共线. 4.了解直线的向量表示,会证明三点共线. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　向量的数乘运算 1.向量的数乘的概念 实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa,满足以下条件: (1)当λ>0时,向量λa与向量a的方向相同; 当λ<0时,向量λa与向量a的方向相反; 当λ=0时,λa=0.  能使λa=0的情况还有λ∈R,a=0 (2)|λa|=|λ||a|. 这种运算称为向量的数乘. 2.向量的数乘的几何意义 如图,由实数与向量数乘λa的定义可以看出,它的几何意义是:当λ>0时,表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍;当λ<0时,表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍. 3.单位向量 由向量的数乘定义容易推出,在非零向量a方向上的单位向量是 . 名师点睛 1.实数与向量可以进行数乘运算,其结果是一个向量,不是实数;但实数与向量不能进行加、减法运算,如λ+a,λ-a是错误的. 2.对于任意非零向量a,向量 是与向量a方向相同的单位向量.向量- 是与向量a方向相反的单位向量. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)已知实数λ与向量a,则λ+a与λ-a的和是向量.(　　) (2)对于非零向量a,向量-3a与向量a方向相反.(　　) (3)对于非零向量a,向量-6a的模是向量3a的模的2倍.(　　) 2.已知向量a=-2e,b= e(e为单位向量),则向量a与向量b(　　) A.不共线　　　　　　B.方向相反 C.方向相同 D.|a|>|b| × √ √ 故向量a与向量b共线反向.故选B. B 知识点二　数乘运算的运算律 1.数乘运算的运算律 设λ,μ为实数,a,b为向量,那么根据向量的数乘定义,可以得到以下运算律: (1)(λ+μ)a=λa+μa; (2)λ(μa)=(λμ)a; (3)λ(a+b)=λa+λb. 2.向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘的综合运算,通常称为向量的线性运算(或线性组合). 若一个向量c由向量a,b的线性运算得到,如c=2a+3b,则称向量c可以用向量a,b线性表示. 名师点睛 1.(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb. 2.对于任意向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)向量的数乘运算不是线性运算.(　　) (2)若x是未知向量,且3x-2(x-a)=0,则x=-2a.(　　) (3)若λb=λa,则定有b=a.(　　) (4)若λa-μa=0,则λ=μ.(　　) × √ × × 2.将 [2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简式为(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.2a-b B.2b-a C.a-b D.b-a B 3.(多选)已知实数m,n和向量a,b,下列结论中正确的是(　　) A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na(a≠0),则m=n ABD 解析 对于A选项,m(a-b)=ma-mb,A对; 对于B选项,(m-n)a=ma-na,B对; 对于C选项,若ma=mb,则m(a-b)=0,所以,m=0或a=b,C错; 对于D选项,若ma=na(a≠0),则(m-n)a=0,所以,m-n=0,即m=n,D对. 故选ABD. 知识点三　共线(平行)向量基本定理  此条件不可缺少 给定一个非零向量b,则对于任意向量a,a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ,使a=λb. 名师点睛 1.向量共线的条件:当向量b=0时,b与任意向量a共线.当b≠0时,对于任意向量a,如果存在一个实数λ,使a=λb,那么由向量数乘的定义知,a与b共线.反之,已知向量a与b共线,b≠0,且向量a的长度是向量b的长度的λ倍,即|a|=λ|b|,则当a与b同方向时,a=λb;当a与b反方向时,有a=-λb. 2.已知A,B,C三点共线,O是平面内任意一点,则有 ,其中λ+μ=1. 3.如果非零向量a与b不共线,且λa=μb,那么λ=μ=0. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)|λa|=λ|a|.(　　) (2)若a=λb,则a与b共线.(　　) (3)若向量a与b共线,则存在唯一的实数λ,使a=λb.(　　) (4)若a=e1-e2,b=-2e1+2e2,则向量a与b是共线向量.(　　) × √ × √ 2.[人教A版教材例题改编]已知任意两个非零向量a,b,试作 .求证:A,B,C三点共线. 3.共线(平行)向量基本定理中为什么规定b≠0? 提示 当b=0时,显然b与a共线. (1)若a≠0,则不存在实数λ,使a=λb; (2)若a=0,则对任意实数λ,都有a=λb. 知识点四　直线的向量表示 名师点睛 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)直线的方向向量不唯一.(　　) √ √ × 重难探究·能力素养全提升 探究点一　数乘向量的定义及几何意义 【例1】 (1)设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.a与-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a| C.a与λ2a的方向相同 D.|-λa|=|λ|a C (2)点C是线段AB靠近点A的一个三等分点,则下列不正确的是(　　) B 规律方法　对向量数乘运算的三点说明 (1)λa中的实数λ叫作向量a的系数. (2)向量数乘的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小. (3)当λ=0或a=0时,λa=0.注意是0,而不是0. 探究点二　向量的线性运算 【例2】 (1)计算下列各式: ①3(a-2b+c)-(2c+b-a); (2)设x,y是未知向量. ①解方程5(x+a)+3(x-b)=0; 规律方法　1.向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. 2.向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算. 变式训练2已知2a-b=m,a+3b=n,则a,b用m,n可以表示为a=　　　　　,b=　　　　　.  探究点三　共线向量定理及其应用 角度1.向量共线的判定 【例3】 判断下列各小题中的向量a,b是否共线(其中e1,e2是两非零不共线向量). (1)a=5e1,b=-10e1; (3)a=e1+e2,b=3e1-3e2. 解 (1)因为b=-2a,所以a与b共线. (2)因为a= b,所以a与b共线. (3)设a=λb,则e1+e2=λ(3e1-3e2), 所以(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0. 因为e1与e2是两个非零不共线向量, 所以1-3λ=0,1+3λ=0. 这样的λ不存在,因此a与b不共线. 规律方法　向量共线的判定一般是用其判定定理,即给定一个非零向量b,若存在唯一一个实数λ,使得a=λb,则任意向量a与非零向量b共线.解题过程中,需要把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,由此判断共线. 变式训练3已知向量e1,e2是两个共线向量,若a=e1-e2,b=2e1+2e2,求证:a∥b. 证明 若e1=e2=0,则a=b=0, 所以a与b共线,即a∥b; 若e1,e2中至少有一个不为零向量,不妨设e1≠0,则e2=λe1(λ∈R), 且a=(1-λ)e1,b=2(1+λ)e1,所以a∥e1,b∥e1. 因为e1≠0,所以a∥b.综上可知,a∥b. 角度2.用已知向量表示未知向量 C 规律方法　用已知向量表示未知向量的方法 变式训练4 角度3.证明三点共线问题 规律方法　1.证明三点共线,通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线.两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题的依据. 2.若A,B,C三点共线,则向量 在同一直线上,因此必定存在实数,使得其中两个向量之间存在线性关系,而共线(平行)向量基本定理是实现线性关系的依据. (1)求证:A,B,M三点共线; (2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围. 角度4.求参问题 A C 探究点四　向量线性运算的综合应用 角度1.求解三角形的面积比 D 则C,O,D三点共线且点A,B到OC的距离相等, 又因为OC边为公共边, 所以△AOC与△BOC的面积相等.故选D. C 角度2.解决三角形的四心问题 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 B A.外心 B.重心 C.垂心 D.内心 B 规律方法　1.三角形的内心:三角形内切圆的圆心、三角形三条角平分线的交点,内心到三角形三边的距离相等. 3.三角形的垂心:三角形三条高线的交点. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)向量的数乘及运算律; (2)共线(平行)向量基本定理; (3)三点共线的常用结论. 2.方法归纳:数形结合、分类讨论. 3.常见误区:(1)忽视零向量这一个特殊向量;(2)忽视共线向量基本定理中非零向量b这一必要条件. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 级 必备知识基础练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.(多选)已知实数m,n和向量a,b,下列说法中正确的是(　　) A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na(a≠0),则m=n ABD 解析 根据向量数乘的运算可知A和B正确;当m=0时,ma=mb=0,但a与b不一定相等,故C错误;由ma=na,得(m-n)a=0,因为a≠0,所以m=n,故D正确.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.下列各组向量中,一定能推出a∥b的是(　　) ①a=-3e,b=2e; A.① B.①② C.②③ D.①②③ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 级 关键能力提升练 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.已知a,b是不共线的向量, =a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则实数λ的值为(　　) A.-1 B.2 C.-2或1 D.-1或2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.在四边形ABCD中, =-5a-3b,则四边形ABCD的形状是　　　.  梯形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.已知两个非零向量a,b不共线. (2)求实数k使ka+b与2a+kb共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)解因为ka+b与2a+kb共线, 所以存在实数λ,使ka+b=λ(2a+kb). 所以(k-2λ)a+(1-λk)b=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 级 学科素养创新练 14.过△ABC的重心G任作一直线分别交AB,AC于点D,E,若 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析 因为a=-2e,b=e,所以a=-b, 解析 原式=(4a+16b-16a+8b)=(-12a+24b)=2b-a. =λ+μ =a+b,=a+2b,=a+3b 证明 因为=a+2b-(a+b)=b, =a+3b-(a+b)=2b, 所以=2. 因此,A,B,C三点共线. 通常可以用=t表示过点A,B的直线l,其中称为直线l的方向向量. 已知A,B是直线l上的两个定点,点O是直线l外的一个定点,若存在唯一的实数t,满足+t,则A,B,P三点共线. 若点P是AB的中点,则),这是线段AB中点的向量表达式. (2)若a≠0,则-表示与a方向相反的单位向量.(　　) (3)O为直线AB外一点,若),则P是线段AB的三等分点.(　　) 2.式子+t中,当t取何值时,P是AB的中点? 提示 在式子+t中,若P是AB的中点,则,而,即, 所以t=. A.　　　B. C.||=2|| D.||=3|| 变式训练1已知A,B,C三点共线,且,分别用表示. 如图②,当B,C两点在点A的异侧时,有,解得AB=BC.又因为向量的方向相反,所以=-. 解 因为A,B,C三点共线,且,所以B,C两点可能在点A的同侧,也可能在点A的异侧.如图①,当B,C两点在点A的同侧时,有,得AB=BC,又因为向量的方向相同,所以=-. ②(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b). 解 ①原式=3a-6b+3c-2c-b+a=4a-7b+c. ②原式=a-b-a-b+a+b=a+b=0×a+0×b=0. ②解方程组 解 ①原方程可变形为5x+5a+3x-3b=0,即8x=-5a+3b,则x=-a+b. ②把第一个方程的左、右两边同乘以-2,然后与第二个方程相加, 得y=-2a+b,从而y=-a+b. 代入原来第二个方程得x=-a+b. 即 m+n -m+n　 解析 由解得 (2)a=e1-e2,b=3e1-2e2; 【例4】 如图,在△ABC中,BD=2DC.若=a,=b,则=(　　) A.a+b B.a-b C.a+b D.a-b 解析 由题意可得,) =a+b. 如图, 四边形OADB是以向量=a,=b所在线段为邻边的平行四边形,对角线交于点C,,试用向量a,b表示. 解 因为=a-b, 所以(a-b), 所以=b+(a-b)=a+b. 因为, 所以)=(a+b)=a+b. 所以a-b. 【例5】 已知e1,e2是两个不共线的非零向量,若=2e1-8e2,=e1+3e2, =2e1-e2,求证:A,B,D三点共线. 证明 因为=e1+3e2,=2e1-e2, 所以=e1-4e2. 又=2e1-8e2=2(e1-4e2), 所以=2,所以. 因为有公共点B, 所以A,B,D三点共线. 变式训练5已知O,A,M,B为平面上四点,且=λ+(1-λ)(λ∈R,λ≠0,且λ≠1). (1)证明 因为=λ+(1-λ), 所以=λ-λ=λ-λ, 所以=λ(λ∈R,λ≠0,且λ≠1). 又因为有公共点A,所以A,B,M三点共线. (2)解由(1)知=λ, 若点B在线段AM上,则同向,且||>||>0,所以λ>1,即λ的取值范围为(1,+∞). 【例6】 在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2+λ,则λ=(　　) A.　　 B.　　 C.-　　 D.- 解析 由=2=2(),即,所以λ=. 变式训练6在△ABC中,点D在BC边上,且=4=r+s,则3r+s的值为(　　) A. B. C. D. 解析 因为=4, 所以,即, 所以r=,s=-,所以3r+s=. 【例7】 设O为△ABC内部的一点,且+2=0,则△AOC的面积与△BOC的面积之比为(　　) A.　　　B.　　　C.2　　　D.1 解析 如图所示,取AB的中点D,连接OD. 因为+2=0, 所以=2=2, 变式训练7在△ABC所在的平面上有一点P,满足,则△PBC与△ABC的面积之比是(　　) A. B. C. D. 解析 因为,所以 =2,所以点P在边CA上,且是靠近点A一侧的三等分点,所以△PBC和 △ABC的面积之比为2∶3. 【例8】 O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足+λ(),λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) 解析 因为, 所以=λ.令,则是以A为起点,向量为邻边的菱形对角线对应的向量,即在∠BAC的平分线上. 因为=λ,所以共线. 所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心. 变式探究若本例中的条件“+λ(),λ∈[0,+∞)”改为“+λ(),λ∈[0,+∞)”,则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) 解析 由+λ(),λ∈[0,+∞),得=λ(),λ∈[0,+∞),则与△ABC中边BC的中线共线,又由λ∈[0,+∞),知点P的轨迹通过△ABC的重心. 2.三角形的外心:三角形外接圆的圆心、三角形三条边的中垂线的交点,外心到三角形三个顶点的距离相等.若M是△ABC内一点,满足||,则点M为△ABC的外心. 4.三角形的重心:三角形三条中线的交点.若G是△ABC内一点,且满足=0,则点G是△ABC的重心. 1.已知=-,且=k,则k=(　　) A.- B. C. D.- 解析 =-=-)=-,所以,所以,故k=.故选B. 2.(多选)在△ABC中,,记=a,=b,则下列结论中正确的是(　　) A.(-a-b) B.=-b C.(b-a) D.=a+b 解析 因为=a,=b, 所以=-b-a,=-b, 所以(-a-b),b-(a+b)=(b-a). 故选AC. ②a=e1-e2,b=-e1; ③a=e1-e2,b=e1+e2+. 解析 ①中,a=-b,所以a∥b; ②中,b=-e1==-a,所以a∥b; ③中,b=(e1+e2),若e1与e2共线, 则a与b共线,若e1与e2不共线,则a与b不共线. 故选B. 5.在△ABC中,点P是AB上一点,且,又=t,则t的值 为(　　) A. B. C. D. 解析 ∵=t, ∴=t(), ∴=(1-t)+t,∴t=. 6.化简:(2a-b)-3a+b+2(a-2b)=　　　　　.  2a-b 解析 (2a-b)-3(a+b)+2(a-2b) =a-b-a-3b+2a-4b =2a-b. 7.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=a,=b,则=　　　　　.(用a,b表示)  -a+b 解析)=- =-a+b. 8.在△ABC中,4=3,且=λ,则λ=　　　　.  解析 由题意得3()=⇒3,如简图,所以=4,即λ=4. 9.如图,已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线与AB,AD所在直线分别交于点M,N,满足=m=n(m>0,n>0),若mn=,则的值为(　　) A. B. C. D. 解析 因为, 又因为=m=n(m>0,n>0), 故, 又因为O,M,N三点共线,所以=1,即m+=2. 由解得.故选D. 10.(多选)若点D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,则下列结论正确的是(　　) A.=-a-b B.=a+b C.=-a+b D.a 解析 如图,在△ABC中,=-=-b-a,故A正确;=a+b,故B正确;=-b-a, =b+×(-b-a)=-a+b,故C正确;=-a,故D不正确.故选ABC. =λa+2b, 解析 因为A,B,C三点共线, 所以存在唯一一个实数k使=k. 因为=λa+2b,=a+(λ-1)b, 所以λa+2b=k[a+(λ-1)b]. 因为a与b不共线, 所以 解得λ=2或λ=-1. =a+2b,=-4a-b, 解析 因为=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2, 所以AD∥BC,且AD=2BC.所以四边形ABCD是梯形. (1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线; (1)证明 因为=a+b,=2a+8b+3a-3b=5a+5b=5(a+b)=5,所以共线,且有公共点B,所以A,B,D三点共线. 所以 解得k=±. =x=y,且xy≠0,试求的值. 解 如图,设=a,=b,则(a+b)]=(a+b). ∴a-b,=xa-yb. ∵共线,∴存在实数λ,使=λ, ∴a-b=xλa-yλb,∴ 消去λ得,即=3. $$