第二章 平面向量及其应用 章末总结提升课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第二章　平面向量及其应用 章末总结提升 高中同步学案优化设计 GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 网络构建·归纳整合 专题突破·素养提升 专题一　向量的线性运算 1.向量的线性运算包括平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算,以及平面向量基本定理、共线(平行)向量基本定理,主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参数问题. 2.向量是一个有“形”的几何量,因此在研究向量的有关问题时,一定要结合图形进行分析判断求解,特别是平行四边形法则和三角形法则的应用. 【例1】 (1)已知向量a=(2,1),b=(-3,4),则2a-b等于(　　) A.(7,-2) B.(1,-2) C.(1,-3) D.(7,2) A 解析 ∵a=(2,1),b=(-3,4), ∴2a-b=2(2,1)-(-3,4)=(4,2)-(-3,4)=(7,-2). 规律方法　向量线性运算的基本方法 (1)类比法:向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”是指向量,实数看作是向量的系数. (2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中多注意观察,恰当地运用运算律,简化运算. B 专题二　向量的数量积运算 1.平面向量的数量积是向量的核心内容,重点是数量积的运算,利用向量的数量积判断两向量平行、垂直,求两向量的夹角,计算向量的长度等. 2.通过向量的数量积运算,有助于提升逻辑推理和数学运算能力. 【例2】 已知向量a=(3,-1),|b|= ,a·b=-5,c=xa+(1-x)b. (1)若a⊥c,求实数x的值; (2)当|c|取最小值时,求b与c的夹角的余弦值. ∴b=(-1,2)或b=(-2,-1). 当b=(-1,2)时,c=x(3,-1)+(1-x)(-1,2)=(4x-1,2-3x). ∵a⊥c,∴3(4x-1)-(2-3x)=0,解得x= . 当b=(-2,-1)时, c=x(3,-1)+(1-x)(-2,-1)=(5x-2,-1). ∵a⊥c,∴3(5x-2)+1=0, 解得x= .综上,实数x的值为 . (2)设b与c的夹角为θ, 由(1)可知,当b=(-1,2)时,c=(4x-1,2-3x), 规律方法　(1)向量数量积的两种计算方法 ①当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos θ; ②当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. (2)利用向量数量积可以解决以下问题: ①设a=(x1,y1),b=(x2,y2), a∥b⇔x1y2-x2y1=0, a⊥b⇔x1x2+y1y2=0(a,b均为非零向量); ②求向量的夹角和模的问题, 变式训练2已知平面向量a,b满足|a|= ,|b|=1. (1)若|a-b|=2,试求a与b的夹角的余弦值; (2)若对一切实数x,|a+xb|≥|a+b|恒成立,求a与b的夹角. (2)设a与b的夹角为φ,φ∈[0,π]. 由|a+xb|≥|a+b|,得(a+xb)2≥(a+b)2, 即x2b2+2xa·b-2a·b-b2≥0, 专题三　数形结合思想的应用 “数形结合”就是借助图形、符号和文字所作的示意图,它能促进形象思维和抽象思维的协调发展,沟通数学知识之间的联系,从复杂的数量关系中凸显最本质的特征,它是解决问题时常用的方法.在解决平面向量的实际问题时,结合题目情景,可将问题抽象出一个几何图形(一般利用三角形、平行四边形、矩形为主),可以直观形象地反映问题中的元素和量的关系,有助于提升学生的直观想象的思维能力. 【例3】 已知向量a与b不共线,且|a|=|b|≠0,则下列结论一定正确的是(　) A.向量a+b与a-b垂直 B.向量a-b与a垂直 C.向量a+b与a垂直 D.向量a+b与a-b共线 A 规律方法　通过本题可以得出:模相等且不共线的两向量的和与两向量的差垂直.以上可以作为结论记住. 变式训练3已知非零向量a,b,且|a|=|b|=|a+b|.求: (1)a与b的夹角; (2)b与a-b的夹角. 专题四　平面向量在几何、物理中的应用 1.向量方法解决平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.(3)把运算结果“翻译”成几何关系. 2.用向量方法讨论物理学中的相关问题,一般来说分为四个步骤: (1)问题转化,即把物理问题转化为数学问题.(2)建立模型,即建立以向量为载体的数学模型.(3)求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等.(4)回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题. 【例4】 在某海滨城市O附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θ(θ∈(0, ))方向300 km的P处,并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风当前半径为60 km,并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭? 规律方法　用向量观点解题,关键在于找到好的切入点,如果题中的速度(既有大小,又有方向)、距离都可以用向量表达.本题可根据台风中心与城市间的距离不超过台风侵袭的半径来建立向量不等式,再根据模长公式,求出时间. 变式训练4一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,该船实际航行方向与水流方向成30°角.求水流速度与船的实际速度. 专题五　余弦定理、正弦定理与解三角形 1.主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形,判断三角形的形状、求三角形的面积以及余弦定理、正弦定理简单的综合应用. 2.借助解三角形,有助于提升逻辑推理和数学运算能力. 【例5】 在△ABC中,A=60°,c= a. (1)求sin C的值; (2)若a=7,求△ABC的面积. 规律方法　(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角(如a=2Rsin A,a2+b2-c2 =2abcos C等),利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系,如在△ABC中,sin A=sin B ⇔A=B;sin(A-B)=0⇔A=B;sin 2A=sin 2B⇔A=B或A+B= 等. 变式训练5[人教A版教材习题]已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+ asin C-b-c=0. (1)求A; (2)若a=2,则△ABC的面积为 ,求b,c. 专题六　余弦定理、正弦定理的实际应用 1.余弦定理和正弦定理在实际生活中,有着非常广泛的应用,常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解此类问题,关键是根据题意画出示意图,将问题抽象为三角形的模型,然后利用定理求解.注意隐含条件和最后的还原检验. 2.将生活中的实际问题转化为三角形模型,有助于提升逻辑推理和数学建模能力. 规律方法　正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题 (1)分析题意,弄清已知元素和未知元素,根据题意画出示意图. (2)明确题目中的一些名词、术语的意义,如仰角、俯角、方向角、方位角等. (3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题,利用学过的几何知识,作出辅助线,将已知与未知元素归结到同一个三角形中,然后解此三角形. (4)在选择关系时,一是力求简便,二是要尽可能使用题目中的原有数据,尽量减少计算中误差的积累. 变式训练6某大厦是某市最高的标志性建筑.某学习小组要完成两个实习作业:验证某地图软件测距的正确性及测算该大厦的高度.如图1,在一水平路面上有两点A,B,其中 指向正西方向,首先利用地图测距功能测出AB长度为2 km,接着在另一水平路面上选定可直接测距的C,D两点,测得∠BCA=30°,∠ACD=45°,∠BDC=60°,∠ADB=30°,学习小组根据上述条件计算出CD长度,并将其与CD的实际长度2.84 km进行比较,若误差介于-20米~20米之间,则认为地图测距是正确的. 图1 图2 (2)如图所示,△ABC中,F为BC边上一点,3,设=a,=b. ①用向量a,b表示; ②已知2,连接DF并延长,交AC于点E,若=λ,=μ,求λ和μ的值. 解①因为3,所以3()=,即4=3, 所以a+b. ②若=λ,=μ,则=μ=λ, 所以=λ(),又2, 所以=(1-λ)+λ=3(1-λ)+λμ=3(1-λ)a+λμb,由于a+b, 所以3(1-λ)=,λμ=,解得λ=,μ=. 变式训练1(1)如图所示,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ等于(　　) A. B. C. D.2 解析 因为=λ+μ=λ()+μ() =λ()+μ(-)=(λ-μ)+(+μ), 且,所以解得 所以λ+μ=,故选B. (2)如图所示,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,M,N分别是DE,BC的中点,已知=a,=b,试用a,b分别表示. 解由三角形中位线定理,知DE=BC,DE∥BC, 故,即a. =-a+b+a=-a+b. =-a-b+a=a-b. 解 (1)设b=(m,n),∴ 解得 则|c|2=(4x-1)2+(2-3x)2=25x2-20x+5=25x-2+1, 当x=时,|c|取最小值,则|c|=1,c=, ∴b·c=-=1,∴cos θ=. 当b=(-2,-1)时,c=(5x-2,-1),则|c|2=(5x-2)2+(-1)2=25x-2+1, 当x=时,|c|取最小值,则|c|=1,c=(0,-1), ∴b·c=1,∴cos θ=.综上,b与c夹角的余弦值为. 设a=(x1,y1),则|a|=. 两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π,a,b为非零向量)cos θ=. 解 (1)因为|a|=,|b|=1,|a-b|=2, 所以|a-b|2=4,即a2-2a·b+b2=4, 即2-2a·b+1=4,所以a·b=-. 设a与b的夹角为θ, 则cos θ==-. 因为|a|=,|b|=1, 所以x2+2xcos φ-2cos φ-1≥0对一切实数x恒成立,所以Δ=8cos2φ+8cos φ+4≤0, 即(cos φ+1)2≤0,故cos φ=-. 因为φ∈[0,π],所以φ=. 解析 如图所示,作=a,=b,以OA和OC为邻边作▱OABC. 由于|a|=|b|≠0, 则四边形OABC是菱形, 所以必有AC⊥OB. 又因为a+b=,a-b=, 所以(a+b)⊥(a-b). 解 (1)设=a,=b,以OA与OB为邻边作平行四边形OACB,如图, 由|a|=|b|=|a+b|知,▱OACB是菱形,且△OAC与△OBC都是正三角形, 则∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°, 所以a与b的夹角为120°. (2)因为∠AOB=120°, 所以∠OAB=∠OBA=30°. 又因为=a-b, 所以的夹角为180°-30°=150°, 所以b与a-b的夹角为150°. 注:cosθ-=,cos θ= 解 设t小时后,台风中心移动到Q处,此时城市O开始受到台风的侵袭, ∠OPQ=θ-, 因为,所以=()2=+2, 所以+2||||cos[180°-(θ-)]=||2+||2-2||||cos(θ-)=3002+(20t)2-2×300×20t×=100(4t2-96t+900). 依题意得≤(60+10t)2,解得12≤t≤24,从而12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 解 如图,表示水流速度,表示船向垂直于对岸行驶的速度,表示船的实际速度, 则∠AOC=30°,||=5 km/h. 因为四边形OACB为矩形, 所以||=||·tan 60°=||·tan 60°=5(km/h), 所以||==10(km/h). 所以水流速度为5 km/h,船的实际速度为10 km/h. 解 (1)在△ABC中,因为A=60°,c=a, 所以由正弦定理得sin C=. (2)因为a=7,所以c=×7=3. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A, 得72=b2+32-2b×3×, 解得b=8或b=-5(舍去). 所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×=6. (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,如sin A=等,进行代数变换. 解 (1)因为acos C+asin C-b-c=0, 所以sin Acos C+sin Asin C-sin B-sin C=0, 所以sin Acos C+sin Asin C-sin(A+C)-sin C=0,sin Acos C+sin Asin C-sin Acos C-cos Asin C-sin C=0,sin C(sin A-cos A-1)=0. 因为sin C>0,所以sin A-cos A-1=0, 所以2sinA-=1,即sinA-=. 因为-<A-,所以A-,所以A=. (2)因为S△ABC=bcsin A=, 所以bcsin,所以bc=4.① 又a2=b2+c2-2bccos, 所以22=b2+c2-2bc×,② 由①②解得c=b=2. 【例6】 已知海岛A周围8海里内有暗礁,有一货轮由西向东航行,望见岛A在北偏东75°方向,航行20 海里后,见此岛在北偏东30°方向,若货轮不改变航向继续前进,有无触礁危险?(注:sin 15°=) 解 如图所示,在△ABC中, 依题意得BC=20(海里), ∠ABC=90°-75°=15°,∠BAC=60°-∠ABC=45°. 由正弦定理,得, 所以AC==10()(海里). 过点A作AD⊥BC于点D. 故A到航线的距离为AD=ACsin 60°=10()×=(15-5)(海里). 因为15-5>8,所以货轮无触礁危险. (1)通过计算说明地图测距是否正确?(≈1.414) (2)如图2,小组在A处测得该大厦楼顶M在西偏北θ方向上,且仰角 ∠MAN=4.8°,在B处测得楼顶M在西偏北φ方向上,通过计算得 ,tan 4.8°≈0.084 0.若地图测出的AB=2 km是准确的,请根据以上数据测算出该大厦的高度.(精确到1米) 解 (1)设CD=a km,等腰直角△ACD中,AC=a km, 在△BCD中,∠BCA=30°,∠ACD=45°,∠BDC=60°,可得∠CBD=45°,由正弦定理得, 解得BC=a,在△ABC中,由余弦定理得 AB=a, ∵AB=2 km,∴a=2 km≈2 828 m. ∵|2 828-2 840|<20 m,∴地图测距是准确的. (2)在△ABN中,由正弦定理可得,设BN=3x,AN=4x, 在△ABN中,由余弦定理可得cos θ=, cos∠ABN=, cos φ=cos(π-∠ABN)=-cos∠ABN=, 由,解得x=1,∴BN=3,AN=4, 在Rt△AMN中,MN=AN·tan∠MAN=4×tan 4.8°≈4×0.084 0=0.336(km).故测算出该大厦高度约为336米. $$