2.2.1 向量的加法 课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第二章　平面向量及其应用 2.1　向量的加法 高中同步学案优化设计 GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义. 2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,会进行向量的加法运算. 3.掌握向量加法的交换律和结合律,会用它们进行计算. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　向量的加法及其运算法则 1.向量加法的概念 求两个向量和的运算,称为向量的加法. 2.向量加法的平行四边形法则  　　　 　能利用平行四边形法则求和的必要条件 已知两个不共线的向量a,b,如图,在平面内任取一点A,作有向线段 向量即为向量a与b的和,记作a+b.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则. 3.向量加法的三角形法则 适用于任意两个向量 4.互为相反向量的两个向量的和为零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0. 名师点睛 1.向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义. 2.规定a+0=0+a=a. 3.非零向量a,b与向量a+b的模及方向的关系 (1)当向量a与b不共线时,a+b的方向与a,b都不相同,且|a+b|<|a|+|b|. (2)当a与b同向时,a+b,a,b的方向相同,且|a+b|=|a|+|b|. (3)当a与b反向时,若|a|>|b|,则a+b与a的方向相同,且|a+b|=|a|-|b|.若|a|<|b|,则a+b与b的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)任何两个向量的和仍然是一个向量.(　　) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加.(　　)  (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.(　　) √ × × 2.[人教A版教材习题]  如图,四边形ABCD是平行四边形,点P在CD上,判断下列各式是否正确(正确的在括号内打“√”,错误的打“×”). × √ × 3.任意两个非零向量相加,是否都可以用向量的平行四边形法则进行? 提示 不一定,当两向量共线时不能用平行四边形法则,只能用三角形法则. 知识点二　向量加法的运算律 1.向量的加法满足结合律和交换律,即(a+b)+c=a+(b+c),a+b=b+a.  　　　　　　首尾相接 2.向量加法的多边形法则:由于向量的加法满足结合律与交换律,因此求n个向量α1,α2,…,αn的和可以按以下步骤进行:任取一点O,依次作有向线段 名师点睛 向量加法与实数加法的异同 (1)运算结果:向量的和还是向量,实数的和还是实数. (2)运算律:向量的加法与实数的加法都满足交换律与结合律. (3)运算的意义:向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和平行四边形法则;实数加法的意义是实数的加法法则. 由此可见,向量的加法与实数的加法不相同,其根本原因是向量不仅有大小而且有方向,而实数仅有大小,是数量,所以向量的运算不能按实数的运算法则来进行. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)m+n=n+m.(　　) (2)(a+b)+(c+d)=a+(b+c+d).(　　) (4)当向量a与b不共线时,a+b的方向与a,b的方向不同,且|a+b|<|a|+|b|.(　　) (5)当a与b反向时,若|a|>|b|,则a+b的方向与b的方向相同,且|a+b|=|a|-|b|.(　) √ √ √ √ × 3.向量加法的交换律与结合律是否只对两个和三个向量成立?它们的作用是什么? 提示 向量加法的交换律与结合律对多个向量仍然成立,它们的作用是对向量加法进行化简. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　向量加法的运算法则 【例1】 如图,已知向量a,b,c不共线,作向量a+b+c. 规律方法　向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 向量的加法 三角形法则 平行四边形法则 区别 (1)首尾相接; (2)适用于任何两个非零向量求和 (1)共起点; (2)仅适用于不共线的两个向量求和 变式训练1如图, 探究点二　向量的加法运算 【例2】 如图,已知O为正六边形ABCDEF的中心,化简下列向量: 规律方法　进行向量的加法运算一般有两种方法:(1)利用几何方法通过作图实现化简;(2)利用代数方法,先通过向量加法的交换律,使各向量首尾相接,再用向量加法的结合律求和,有时还需将一个向量拆分成两个或多个向量. 变式训练2在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是(　　) C 探究点三　向量的加法运算律及应用 【例3】 化简下列各式: 规律方法　1.向量的加法运算律的意义. 向量的加法运算律为向量加法提供了变形的依据,实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 2.应用原则. 利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 变式训练3下列等式错误的是(　　) A.a+0=0+a=a B 探究点四　向量加法的实际应用 【例4】 在长江某渡口上,江水以2 km/h的速度向东流,长江南岸的一艘渡船的速度为2 km/h,要使渡船渡江的时间最短,求渡船实际航行的速度的大小和方向. 解 要使渡江的时间最短,渡船应向垂直于对岸的方向行驶,设渡船速度为v1,水流速度为v2,船实际航行的速度为v,则v=v1+v2,依题意作出平行四边形,如图. 规律方法　应用向量加法解决实际问题的基本步骤 (1)表示:用向量表示相关的量,将所有解决的问题转化为向量的加法问题. (2)运算:应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则,进行相关运算. (3)还原:根据向量运算的结果,结合向量共线、相等概念回答原问题. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)向量加法的三角形法则; (2)向量加法的平行四边形法则; (3)向量加法的运算律. 2.方法归纳:数形结合. 3.常见误区:向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接;平行四边形法则要注意把向量移到共同起点. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 级 必备知识基础练 1.若向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,则向量a+b表示(　　) A.向东北方向航行2 km B.向北偏东30°方向航行2 km C.向北偏东60°方向航行2 km D.向东北方向航行(1+ )km B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2.(多选)下列运算正确的是(　　) AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.化简: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5.化简: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B 级 关键能力提升练 6.(多选)下列说法中正确的是(　　) ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 b6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 级 学科素养创新练 120° =a,=b,以有向线段为邻边作▱ABCD,则有向线段表示的 如图,作有向线段=a,以有向线段的终点为起点,作有向线段=b,连接A,C得到有向线段,也可以表示向量a与b的和.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则. (1). (　　) (2). (　　) (3). (　　) =α1,=α2,…,=αn,即为这n个向量之和. (3).(　　) (5). 解 (1); (2); (3)=0; (4)=0; 2.化简:(1); (5). (2); (3); (4); 解 如图,在平面内任取一点O作=a,=b,则=a+b;再作=c,则=a+b+c. 联系与 推广 (1)若A1,A2,A3,…,An为平面n边形的顶点,则+…+; (2)若三角形ABC的边BC的中点为D,则) 已知正方形ABCD,=a,=b,=c,试作向量a+b+c. 解 由已知得a+b=,又=c,所以延长AC至E,使||=||, 则a+b+c=即所求,如图. (1); (2); (3). 解 (1)因为六边形ABCDEF是正六边形,O是中心,所以四边形OABC是平行四边形,于是. (2)因为六边形ABCDEF是正六边形, 所以, 所以, 即. (3)=0. A.　　　　B. C. D.=0 解析 在平行四边形ABCD中,应有,故C项错误. (1); (2). 解 (1)=()+=0+. (2)=()+()=. B.=0 C.=0 D. 在Rt△ABC中,||=|v1|=2. ||=|v2|=2, ∴||=|v|==4, tan θ=, ∴θ=60°,∴渡船实际航行的速度大小为4 km/h,方向为北偏东30°. 变式训练4已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且.求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明 , 又∵,∴. ∴AB=CD且AB∥DC. ∴四边形ABCD为平行四边形. 解析 如图,易知tan α=,所以α=30°. 故a+b的方向是北偏东30°.|a+b|==2(km). 故选B. A.=0 B. C. D.0+=0 解析 因为=0,故A正确;,故B正确;,不满足向量的加法运算法则,故C错误;0+,故D错误.故选AB. 3.[2023甘肃天水高一阶段练习]在矩形ABCD中,||=2,||=4,则向量的模为 (　　) A.2 B.4 C.12 D.6 解析 因为, 所以的模为的模的2倍. 又||==2, 所以向量的长度为4. 故选B. (1)()+=　　　　　;  (2)=　　　　　.  解析 (1)()+; (2)=0. (1); (2); (3). 解(1); (2)=0; (3)=0. A.△ABC中,必有=0 B.若=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点 C. D.|a|=5,|b|=3且c=a+b,则2≤|c|≤8 解析 在△ABC中,=0,反之不成立,故A正确,B错误;C中,,故正确; D中,∵c=a+b,∴|a|-|b|≤|c|≤|a|+|b|,∴5-3≤|c|≤5+3,即2≤|c|≤8,故正确.故选ACD. 7.如图所示,中心为O的正八边形A1A2…A7A8中,向量ai=(i=1,2,…,7), bj=(j=1,2,…,8),则a2+a5+b2+b5+b7=　　　　　.(结果用ai,bj表示)  解析 a2+a5+b2+b5+b7==b6. 8.已知||=|a|=3,||=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|. 解 如图所示,因为||=||=3,∠AOB=60°, 所以四边形OACB为菱形,连接OC,AB,则OC⊥AB,设垂足为D.因为 ∠AOB=60°,所以AB=||=3.所以在Rt△AOD中,OD=. 所以|a+b|=||=×2=3. 9.若P为△ABC的外心,且,则∠ACB=　　　　　.  解析 由知,四边形ACBP为平行四边形.又因为P为外心,所以PA=PB=PC,所以四边形ACBP为菱形,所以PA=PC=AC,所以∠ACP=60°,∠ACB=120°. $$