3.4 实数运算（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版2024新教材）

3.4 实数运算 【考点1 实数运算】 【考点2 程序设计与实数的运算】 【考点3新定义下的实数运算】 【考点4 实数中的实际应用题】 【考点5与实数运算相关的规律题】 知识点1：实数运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 【考点1 实数运算】 【典例1】（2023秋•盐田区期末）计算： （1）； （2）． 【变式1-1】（2023秋•白银期末）计算：． 【变式1-2】（2023秋•沈丘县期末）计算： （1）×﹣； （2）﹣+|﹣3|+． 【变式1-3】（2023秋•二道区期末）计算：． 【考点2 程序设计与实数的运算】 【典例2】（2023春•庐阳区校级期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是 　 　． 【变式2-1】（2023春•滑县期中）如图是一个简单的数值运算程序．当输入x的值为64时，输出的数值为 　　． 【变式2-2】（2022秋•温州期末）按如图所示的程序计算，若输入的a＝3，b＝4，则输出的结果为 　　． 【变式2-3】（2022秋•商水县月考）如图，小明设计了一个计算程序，当输入x的值为﹣5时，则输出的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．3 【考点3新定义下的实数运算】 【典例3】（2022春•沙依巴克区期中）新定义一种运算@，其运算法则是x@，则2@（6@8）＝　 　． 【变式3-1】（2023秋•渝北区期末）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程x☆（﹣2）＝48，则x＝　　． 【变式3-2】（2023秋•金华期中）在实数范围内定义运算“⊗”：a⊗b＝2a﹣b，例如：3⊗2＝2×3﹣2＝4．若代数式1﹣4b+2a的值是17，则b⊗a的值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．﹣8 【变式3-3】（2023秋•金华期中）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：ab＝ab﹣2a．如：15＝1×5﹣2×1＝3，则不等式3x≥x﹣2的解集为是（　　） A．x＞2 B．x≥2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2 【变式3-4】（2022秋•金塔县期末）若a※b＝|﹣b|﹣（+b），则3※2的值为（　　） A．4 B． C．﹣4 D． 【考点4 实数中的实际应用题】 【典例4】（2023秋•市中区校级期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为6和9． （1）小正方形的边长为 　　，它在 　　和 　　这两个连续整数之间； （2）请求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【变式4-1】（2023•丰南区一模）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8． （1）求出这个魔方的棱长； （2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长． （3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为　 　． 【变式4-2】（2023春•无为市期末）（1）在数学活动课上，老师要求同学利用手中纸片剪出一块面积为25cm2的正方形，试求出这个正方形的边长； （2）小强的手中有两块边长都为4cm的正方形纸片，他想将这两块正方形纸片沿对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形，请求出这个大正方形的面积．它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间． 【变式4-3】（2023春•鄂城区期中）观察：∵4＜7＜9，∴2＜＜3∴的整数部分为2，小数部分为﹣2． （1）的整数部分是 　　，10﹣的小数部分是 　　； （2）小明将一个长为10cm，宽为8cm的长方形纸片按与边平行的方向进行裁剪，裁剪出两个大小不一的正方形，使它们的边长之比为4：3，面积之和为75cm2，小明能否裁剪出这两个正方形？若能，请说明理由并求出这两个正方形的面积；若不能，也说明理由． 【考点5与实数运算相关的规律题】 【典例5】先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据、、的规律，直接写出的值：______； (2)猜想____________； (3)计算的值． 【变式5-1】按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 【变式5-3】先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 一、单选题 1．在，0，，这四个数中，与的和为有理数的是（   ） A． B．0 C． D． 2．的值是（　　） A．2 B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列运算中， 正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知A，B，C是数轴上三点，点B是线段的中点，点A，B对应的实数分别为1和，则点C对应的实数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．计算： ． 7．对于实数，定义一种运算“☆”为：，若，则 8．在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 三、解答题 9．计算： (1)； (2)． 10．计算：． 11．计算下列各题： (1)， (2)． 12．计算： (1) (2) 13．新规定的一种运算法则：，例如： ． (1)求的值； (2)若，求x的值． 14．若整数，，满足，则称为，的平方和数．例如：，则5为3，4的平方和数．请你根据以上材料，回答下列问题： (1)数3，4的另一个平方和数为________； (2)若数与的平方和数是0，则________，________； (3)已知13是数与12的平方和数，求的值． 15．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为和的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，请问最多能截出几块这样的木条？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4 实数运算 【考点1 实数运算】 【考点2 程序设计与实数的运算】 【考点3新定义下的实数运算】 【考点4 实数中的实际应用题】 【考点5与实数运算相关的规律题】 知识点1：实数运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 【考点1 实数运算】 【典例1】（2023秋•盐田区期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0； （2）﹣2． 【解答】解：（1）原式＝4﹣2﹣4× ＝2﹣2 ＝0； （2）原式＝﹣1﹣1 ＝﹣2． 【变式1-1】（2023秋•白银期末）计算：． 【答案】1． 【解答】解： ＝7﹣4﹣2 ＝1． 【变式1-2】（2023秋•沈丘县期末）计算： （1）×﹣； （2）﹣+|﹣3|+． 【答案】（1）﹣2；（2）﹣． 【解答】解：（1）×﹣ ＝﹣×﹣2 ＝﹣2； （2）﹣+|﹣3|+ ＝﹣5+3﹣+ ＝﹣． 【变式1-3】（2023秋•二道区期末）计算：． 【答案】6． 【解答】解：原式＝﹣1+4+（﹣6）÷（﹣2） ＝﹣1+4+3 ＝6． 【考点2 程序设计与实数的运算】 【典例2】（2023春•庐阳区校级期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是 　　． 【答案】． 【解答】解：∵9＜10＜16， ∴，即， 输入，则， 输入，则， 输入，则， 故输出． 故答案为：． 【变式2-1】（2023春•滑县期中）如图是一个简单的数值运算程序．当输入x的值为64时，输出的数值为 　5　． 【答案】5． 【解答】解：÷2+1 ＝8÷2+1 ＝4+1 ＝5． 故答案为：5． 【变式2-2】（2022秋•温州期末）按如图所示的程序计算，若输入的a＝3，b＝4，则输出的结果为 　5　． 【答案】5． 【解答】解：当a＝3，b＝4时， ＝＝＝5， 所以输出的结果为5． 故答案为：5． 【变式2-3】（2022秋•商水县月考）如图，小明设计了一个计算程序，当输入x的值为﹣5时，则输出的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．3 【答案】C 【解答】解：由题意可得：（﹣5+9）×（﹣2）＝﹣8， ﹣8的立方根为﹣2， 故﹣2﹣1＝﹣3． 故选：C． 【考点3新定义下的实数运算】 【典例3】（2022春•沙依巴克区期中）新定义一种运算@，其运算法则是x@，则2@（6@8）＝　　． 【答案】． 【解答】解：由题意得：， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】（2023秋•渝北区期末）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程x☆（﹣2）＝48，则x＝　8　． 【答案】8． 【解答】解：由题意可得：x☆（﹣2）＝x×（﹣2）2﹣x×（﹣2）＝48， 则4x+2x＝48， 故6x＝48， 解得：x＝8． 故答案为：8． 【变式3-2】（2023秋•金华期中）在实数范围内定义运算“⊗”：a⊗b＝2a﹣b，例如：3⊗2＝2×3﹣2＝4．若代数式1﹣4b+2a的值是17，则b⊗a的值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．﹣8 【答案】D 【解答】解：∵a⊗b＝2a﹣b， ∴b⊗a＝2b﹣a， ∵代数式1﹣4b+2a的值是17， ∴1﹣4b+2a＝17， ∴4b﹣2a＝1﹣17＝﹣16， ∴2b﹣a＝﹣8， ∴b⊗a＝2b﹣a＝﹣8． 故选：D． 【变式3-3】（2023秋•金华期中）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：ab＝ab﹣2a．如：15＝1×5﹣2×1＝3，则不等式3x≥x﹣2的解集为是（　　） A．x＞2 B．x≥2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2 【答案】B 【解答】解：由题意得，3x﹣2×3≥x﹣2， 解得x≥2， 故选：B． 【变式3-4】（2022秋•金塔县期末）若a※b＝|﹣b|﹣（+b），则3※2的值为（　　） A．4 B． C．﹣4 D． 【答案】D 【解答】解：由a※b＝|﹣b|﹣（+b）可得： 3※2＝|﹣2|﹣（+2） ＝2﹣﹣﹣2 ＝﹣2． 故选：D． 【考点4 实数中的实际应用题】 【典例4】（2023秋•市中区校级期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为6和9． （1）小正方形的边长为 　　，它在 　2　和 　3　这两个连续整数之间； （2）请求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】（1）；2；3；（2）． 【解答】解：（1）∵小正方形的面积为6， ∴小正方形的边长为， ∵4＜6＜9， ∴， ∴它在2和3这两个连续整数之间． 故答案为：；2；3． （2）阴影部分的面积为：． 【变式4-1】（2023•丰南区一模）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8． （1）求出这个魔方的棱长； （2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长． （3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为　﹣1﹣　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设魔方的棱长为x， 则x3＝8，解得：x＝2； （2）∵棱长为2， ∴每个小立方体的边长都是1， ∴正方形ABCD的边长为：， ∴S正方形ABCD＝＝2； （3）∵正方形ABCD的边长为，点A与﹣1重合， ∴点D在数轴上表示的数为：﹣1﹣， 故答案为：﹣1﹣． 【变式4-2】（2023春•无为市期末）（1）在数学活动课上，老师要求同学利用手中纸片剪出一块面积为25cm2的正方形，试求出这个正方形的边长； （2）小强的手中有两块边长都为4cm的正方形纸片，他想将这两块正方形纸片沿对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形，请求出这个大正方形的面积．它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间． 【答案】（1）5cm； （2）面积为32cm2，边长为cm，不是整数，5＜＜6． 【解答】解：（1）面积为25cm2的正方形，其的边长为＝5cm， 答：面积为25cm2的正方形，这个正方形的边长为5cm； （2）由拼图可知，大正方形的面积为32cm2， 所以边长为cm， ∵52＝25，62＝36，而25＜32＜36， ∴5＜＜6， 答：这个大正方形的面积为32cm2，边长为cm，不是整数，5＜＜6． 【变式4-3】（2023春•鄂城区期中）观察：∵4＜7＜9，∴2＜＜3∴的整数部分为2，小数部分为﹣2． （1）的整数部分是 　6　，10﹣的小数部分是 　7﹣　； （2）小明将一个长为10cm，宽为8cm的长方形纸片按与边平行的方向进行裁剪，裁剪出两个大小不一的正方形，使它们的边长之比为4：3，面积之和为75cm2，小明能否裁剪出这两个正方形？若能，请说明理由并求出这两个正方形的面积；若不能，也说明理由． 【答案】（1）6，7﹣；（2）小明无法裁剪这两个正方形． 【解答】解：（1）∵36＜47＜49， ∴6＜＜7， ∴的整数部分是6， ∴10﹣的整数部分是3，10﹣的小数部分是7﹣， 故答案为：6，7﹣； （2）设小正方形的边长为3x cm，则大正方形的边长为4x cm， 根据题意得：（4x）2+（3x）2＝75， 解得：x＝或x＝﹣（舍）， ∴小正方形的边长为3cm，大正方形的边长为4cm， ∵3+4＝7＝＞＝10， ∴小明无法裁剪这两个正方形． 【考点5与实数运算相关的规律题】 【典例5】先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据、、的规律，直接写出的值：______； (2)猜想____________； (3)计算的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查与实数运算相关的规律题，观察出等式的变化规律是解答的关键． （1）根据前几个等式的变化规律解答即可； （2）根据前几个等式的左右式子变化与序号n的关系求解即可； （3）灵活运用（2）中变化规律求解即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：，； （3）解： ． 【变式5-1】按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数据，得到第个数为，进而求出第8个数即可． 【详解】解：，，， ， ∴第个数为， ∴第8个数为； 故选C． 【变式5-2】观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与实数规律有关的计算，根据已知等式，得到，进而求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：∵，…， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是； 故选D． 【变式5-3】先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)6 (2) (3)52 【分析】本题主要考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于． （1）由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案； （2）利用以上所得规律可得； （3）将被开方数提取公因数4，再利用所得规律求解可得 【详解】（1）解：， 故答案为：6； （2） ， 故答案为：； （3） ． 一、单选题 1．在，0，，这四个数中，与的和为有理数的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是实数的运算，熟练掌握加法法则是解题关键，根据互为相反数的两个数和为0直接解决即可． 【详解】解：， 这四个数中，与的和为有理数的是， 故选：D． 2．的值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了实数的混合运算，计算算术平方根后再计算减法即可． 【详解】解： 故选：B． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，根据加法法则计算即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能计算，故不正确； B．，故不正确； C．，正确；     D．与不是同类项，不能计算，故不正确； 故选：C． 4．下列运算中， 正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、实数的运算 ，根据算术平方根、立方根、实数的运算法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 5．已知A，B，C是数轴上三点，点B是线段的中点，点A，B对应的实数分别为1和，则点C对应的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，实数的混合运算，根据中点定义，得到，根据两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：∵点A，B对应的实数分别为1和， ∴， ∵点B是线段的中点， ∴， ∴点表示的数为：； 故选D． 二、填空题 6．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算乘方和算术平方根，再计算减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．对于实数，定义一种运算“☆”为：，若，则 【答案】5 【分析】本题考查了新定义，求代数式的值，由新定义求出，然后代入所给代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴可变为， ∴， ∴． 故答案为：5． 8．在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了实数的运算，理解程序的运算步骤是解题的关键． 按照程序的运算步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：若1次运算输出的值是时， ， ， 解得：或； 若2次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； 若3次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； ，且取负整数， 或， 故答案为：或． 三、解答题 9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算， （1）根据算术平方根，有理数的乘方将原式化简，再进行加减运算即可； （2）先计算小括号内的减法，再进行乘除运算即可； 掌握相应的运算法则，性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 10．计算：． 【答案】6 【分析】本题考查了实数的运算，解决本题的关键是熟练掌握实数的运算法则，先计算乘方及算术平方根，再计算除法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 11．计算下列各题： (1)， (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根与立方根、实数的加减运算、化简绝对值，熟练掌握算术平方根与立方根是解题关键． （1）先计算算术平方根与立方根，再计算有理数的加减法即可得； （2）先化简绝对值、算术平方根，再计算实数的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 12．计算： (1) (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算． （1）先计算乘方和立方根，再计算除法，最后计算加减法即可； （2）先计算算术平方根和立方根，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．新规定的一种运算法则：，例如： ． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了定义新运算以及解一元一次方程，读懂题意，理解题目中的新定义是解本题的关键． （1）根据题目所给新定义代入数值求值即可； （2）根据题目所给新定义代入数值得出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵ ∴， 解得． 14．若整数，，满足，则称为，的平方和数．例如：，则5为3，4的平方和数．请你根据以上材料，回答下列问题： (1)数3，4的另一个平方和数为________； (2)若数与的平方和数是0，则________，________； (3)已知13是数与12的平方和数，求的值． 【答案】(1) (2)；2； (3)， 【分析】（1）根据定义列式计算即可求得答案； （2）根据定义列得等式，然后利用偶次幂的非负性即可求得，的值； （3）根据定义列得出相应的方程，运用平方根解方程并确定的值即可． 本题考查新定义及偶次幂的非负性，运用平方根解方程，根据定义列得相应的等式是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意， 数3，4的另一个平方和数为：， 故答案为：； （2）解：数与的平方和数是0， ， ，， 解得：，， 故答案为：；2； （3）解：∵13是数与12的平方和数， ， 整理得：， 解得：，． 15．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为和的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，请问最多能截出几块这样的木条？ 【答案】2块 【分析】利用算术平方根的性质求出矩形的长和宽，再求出剩余的木料的长与宽，即可得到截出长方形木条数. 【详解】解：∵， ∴矩形的长为7和宽为4， 剩余的木料的长为3与宽， ∵2＞＞1，4.5＞3＞3 ∴可以截出2块这样的木条. 【点睛】此题主要考查算术平方根的应用，解题的关键是熟知实数的估算. 1 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