3.3 立方根（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版2024新教材）

3.3 立方根 【考点1 立方根的概念】 【考点2 立方根的性质】 【考点3 立方根的实际应用】 【考点4 算术平方根和立方根的综合应用】 【考点5 立方根的小数点移动的规律】 知识点1：立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【考点1 立方根的概念】 【典例1】（2023秋•秦安县期末）的立方根是（　　） A．2 B．±2 C．8 D．﹣8 【变式1-1】（2023秋•榆树市期末）﹣8的立方根是（　　） A．4 B．2 C．﹣2 D．±2 【变式1-2】（2023秋•新民市期末）已知x没有平方根，且|x|＝64，则x的立方根为（　　） A．8 B．﹣8 C．±4 D．﹣4 【变式1-3】（2023秋•青岛期中）若，则的值为（　　） A．﹣5 B．15 C．25 D．5 知识点2：立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【考点2 立方根的性质】 【典例2】（2022秋•东海县期末）计算＝　　． 【变式2-1】（2023秋•永安市期中）计算：＝　　． 【变式2-2】（2023•雁塔区校级开学）若，则k的值为 　　． 【变式2-3】（2023春•浦东新区校级期末）如果，那么x＝　　． 【考点3 立方根的实际应用】 【典例3】（2023春•仓山区校级期中）已知一个正方体的体积是1000cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是488cm3，问截得的每个小正方体的棱长是多少？ 【变式3-1】（2023春•庐阳区校级期中）如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高2cm，如果容器的底面直径是12cm，求正方体铁块的棱长（π取3）． 【变式3-2】（2022春•山阳县期末）在一个长，宽，高分别为9cm，8cm，3cm的长方体容器中装满水，然后将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长． 【变式3-3】（2022春•嘉祥县月考）如图，把两个底面直径分别为12cm和16cm，高为20cm的圆柱形钢锭熔化后做成一个正方体的钢锭，求这个正方体钢锭的棱长．（精确到1cm，π取3.14，≈18.45，≈14.64） 【考点4 算术平方根和立方根的综合应用】 【典例4】（2023秋•哈尔滨期末）已知一个正数x的两个平方根分别是a+1和2a﹣7． （1）求x的值； （2）若b为x+7的算术平方根，c为a+25的立方根，求代数式c﹣b的值． 【变式4-1】（2023秋•兰州期末）已知2a+1的一个平方根是3，1﹣b的立方根为﹣1． （1）求a与b的值； （2）求a+2b的立方根． 【变式4-2】（2023春•寻乌县期末）正数x的两个平方根分别为3﹣a和2a+7． （1）求a的值； （2）求44﹣x这个数的立方根． 【变式4-3】（2022秋•让胡路区校级期末）已知2a﹣7和a+4是某正数的两个不同的平方根，b﹣11的立方根是﹣2． （1）求a、b的值． （2）求a+b的平方根． 知识点3： 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【考点5 立方根的小数点移动的规律】 【典例5】（2023春•武威期末）已知＝4.098，＝1.902，则＝　　． 【变式5-1】（2023春•惠城区校级期中）观察：观察，，，；填空： ①则≈　　 ． ②若，则x≈　 　． 【变式5-2】（2023•凉州区开学）已知＝4.098，＝1.902，则＝　 　． 【变式5-3】（2023春•吉林期中）如果1.687，3.634，那么 　 　． 一、单选题 1．下列说法错误的是（　） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 2．若一个正方体水晶砖的体积为100，则它的棱长约在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 3．，则的值是（    ） A．8 B．2 C．9 D． 4．的立方根是（  ） A．2 B．4 C．2 D．4 5．下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是 D． 6．如果，，那么约等于（    ） A．32.96 B．329.6 C．15.29 D．152.9 二、填空题 7．的算术平方根是 ，的平方根是 ，的立方根是 ． 8．的立方根是 ． 9．一个数的立方根是，则这个数是 ． 10．，则 11．已知实数，满足，则的立方根为 ． 12．的绝对值是 ；16的算术平方根是 ；的立方根是 ． 三、解答题 13．计算：． 14．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 15．已知的立方根是2，的算术平方根是3，的整数部分为c． (1)分别求出a，b，c的值； (2)求的平方根． 16．如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高，如果容器的底面半径是，求正方体铁块的棱长取，精确到． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3 立方根 【考点1 立方根的概念】 【考点2 立方根的性质】 【考点3 立方根的实际应用】 【考点4 算术平方根和立方根的综合应用】 【考点5 立方根的小数点移动的规律】 知识点1：立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【考点1 立方根的概念】 【典例1】（2023秋•秦安县期末）的立方根是（　　） A．2 B．±2 C．8 D．﹣8 【答案】A 【解答】解：， ， ∴的立方根是2． 故选：A． 【变式1-1】（2023秋•榆树市期末）﹣8的立方根是（　　） A．4 B．2 C．﹣2 D．±2 【答案】C 【解答】解：﹣8的立方根是﹣2． 故选：C． 【变式1-2】（2023秋•新民市期末）已知x没有平方根，且|x|＝64，则x的立方根为（　　） A．8 B．﹣8 C．±4 D．﹣4 【答案】D 【解答】解：由题意得，x为负数， 又∵|x|＝64， ∴x＝﹣64， 故可得：x的立方根为：﹣4． 故选：D． 【变式1-3】（2023秋•青岛期中）若，则的值为（　　） A．﹣5 B．15 C．25 D．5 【答案】A 【解答】解：由题意得， x﹣5＝0，y+25＝0， 解得x＝5，y＝﹣25， ∴ ＝ ＝ ＝﹣5， 故选：A． 知识点2：立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【考点2 立方根的性质】 【典例2】（2022秋•东海县期末）计算＝　5　． 【答案】5． 【解答】解：∵， ∴． 故答案为：5． 【变式2-1】（2023秋•永安市期中）计算：＝　﹣1　． 【答案】﹣1． 【解答】解：＝＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【变式2-2】（2023•雁塔区校级开学）若，则k的值为 　5　． 【答案】5． 【解答】解：∵＝5﹣k＝k﹣5， ∴k＝5， 故答案为：5． 【变式2-3】（2023春•浦东新区校级期末）如果，那么x＝　±8　． 【答案】±8． 【解答】解：∵， ∴x2＝43＝64， ∴x＝±8． 故答案为：±8． 【考点3 立方根的实际应用】 【典例3】（2023春•仓山区校级期中）已知一个正方体的体积是1000cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是488cm3，问截得的每个小正方体的棱长是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设截得的每个小正方体的棱长xcm， 依题意得 1000﹣8x3＝488， ∴8x3＝512， ∴x＝4， 答：截得的每个小正方体的棱长是4cm． 【变式3-1】（2023春•庐阳区校级期中）如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高2cm，如果容器的底面直径是12cm，求正方体铁块的棱长（π取3）． 【答案】6cm． 【解答】解：设正方体的棱长为x cm，由题意得， π×62×2＝x3， 解得x＝6， 答：正方体的棱长约为6cm． 【变式3-2】（2022春•山阳县期末）在一个长，宽，高分别为9cm，8cm，3cm的长方体容器中装满水，然后将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长． 【答案】6cm． 【解答】解：设正方体容器的棱长为xcm，得， x3＝8×9×3 x3＝216 ∴x＝6 答：正方体容器的棱长为6cm． 【变式3-3】（2022春•嘉祥县月考）如图，把两个底面直径分别为12cm和16cm，高为20cm的圆柱形钢锭熔化后做成一个正方体的钢锭，求这个正方体钢锭的棱长．（精确到1cm，π取3.14，≈18.45，≈14.64） 【答案】18cm． 【解答】解：设这个正方体钢锭的棱长为x cm． 由题意得，． ∴x3＝2000π． ∴x＝≈≈18（cm）． ∴这个正方体钢锭的棱长为18cm． 【考点4 算术平方根和立方根的综合应用】 【典例4】（2023秋•哈尔滨期末）已知一个正数x的两个平方根分别是a+1和2a﹣7． （1）求x的值； （2）若b为x+7的算术平方根，c为a+25的立方根，求代数式c﹣b的值． 【答案】（1）9； （2）﹣1． 【解答】解：（1）∵一个正数x的两个平方根分别是a+1和2a﹣7， ∴a+1+2a﹣7＝0， 解得：a＝2， 则a+1＝2+1＝3， 那么x＝32＝9； （2）∵b为x+7的算术平方根，c为a+25的立方根，x+7＝9+7＝16，a+25＝2+25＝27， ∴b＝4，c＝3， 则c﹣b＝3﹣4＝﹣1． 【变式4-1】（2023秋•兰州期末）已知2a+1的一个平方根是3，1﹣b的立方根为﹣1． （1）求a与b的值； （2）求a+2b的立方根． 【答案】（1）a＝4，b＝2； （2）a+2b的立方根是2． 【解答】解：（1）∵2a+1的一个平方根是3， ∴2a+1＝9， 解得a＝4； ∵1﹣b的立方根为﹣1， ∴b﹣1＝1， 解得b＝2； （2）∵a＝4，b＝2， ∴a+2b＝4+2×2＝8， ∴a+2b的立方根是2． 【变式4-2】（2023春•寻乌县期末）正数x的两个平方根分别为3﹣a和2a+7． （1）求a的值； （2）求44﹣x这个数的立方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵正数x的两个平方根是3﹣a和2a+7， ∴3﹣a+（2a+7）＝0， 解得：a＝﹣10 （2）∵a＝﹣10， ∴3﹣a＝13，2a+7＝﹣13． ∴这个正数的两个平方根是±13， ∴这个正数是169． 44﹣x＝44﹣169＝﹣125， ﹣125的立方根是﹣5． 【变式4-3】（2022秋•让胡路区校级期末）已知2a﹣7和a+4是某正数的两个不同的平方根，b﹣11的立方根是﹣2． （1）求a、b的值． （2）求a+b的平方根． 【答案】（1）a＝1，b＝3； （2）±2． 【解答】解：（1）由题意得：2a﹣7+a+4＝0， 解得：a＝1， ∵b﹣11的立方根是﹣2， ∴bb﹣11＝﹣8， ∴b＝3； （2）∵a＝1，b＝3， ∴a+b＝4， ∵4的平方根为±2， ∴a+b的平方根为±2． 知识点3： 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【考点5 立方根的小数点移动的规律】 【典例5】（2023春•武威期末）已知＝4.098，＝1.902，则＝　19.02　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵＝1.902， ∴＝19.02， 故答案为：19.02． 【变式5-1】（2023春•惠城区校级期中）观察：观察，，，；填空： ①则≈　0.7071　． ②若，则x≈　﹣0.006137　． 【答案】0.7071；﹣0.006137． 【解答】解：∵， ∴， ∵，； ∴x≈﹣0.006137． 故答案为：0.7071；﹣0.006137． 【变式5-2】（2023•凉州区开学）已知＝4.098，＝1.902，则＝　19.02　． 【答案】19.02． 【解答】解：∵＝1.902， ∴＝19.02， 故答案为：19.02． 【变式5-3】（2023春•吉林期中）如果1.687，3.634，那么 　16.87　． 【答案】16.87． 【解答】解：， 故答案为：16.87． 一、单选题 1．下列说法错误的是（　） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 【答案】B 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A. 是的立方根，说法正确，不符合题意； B. 是的立方根，原说法错误，符合题意； C. 是的立方根，说法正确，不符合题意； D. 是的立方根，说法正确，不符合题意； 故选B． 2．若一个正方体水晶砖的体积为100，则它的棱长约在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 由题意可得正方体的棱长为，然后进行估算即可． 【详解】解：∵一个正方体的水晶砖的体积为100， 其棱长为， ， ， ， ， 即它的棱长大约在之间， 故选：D． 3．，则的值是（    ） A．8 B．2 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，先根据立方根的定义得出关于a的方程，然后解方程即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， 故选∶C． 4．的立方根是（  ） A．2 B．4 C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查立方根的计算，注意看清题目是关键．，所以计算8的立方根即可． 【详解】∵，8的立方根是2， ∴的立方根是2． 选A． 5．下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是 D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，利用立方根的定义及求法逐项判断即可确定正确的选项，解题的关键是掌握立方根的定义的运用，理解：一个正数有一个正的立方根、的立方根是，一个负数有一个负的立方根． 【详解】、的立方根是，原选项错误，不符合题意； 、有立方根为，原选项错误，不符合题意； 、立方根等于本身的数是和，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 6．如果，，那么约等于（    ） A．32.96 B．329.6 C．15.29 D．152.9 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据被开方数的小数点每向右移动3位，开立方的结果的小数点向右移动一位进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 二、填空题 7．的算术平方根是 ，的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的定义．熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 【详解】解：的算术平方根是； ，它的平方根是； ，它的立方根是； 故答案为：；；． 8．的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义计算即可解题． 【详解】解：的立方根是， 故答案为：． 9．一个数的立方根是，则这个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了已知一个数的立方根求这个数，根据立方根定义求出这个数即可． 【详解】解：∵一个数的立方根是， ∴这个数为：． 故答案为：． 10．，则 【答案】1 【分析】本题考查了立方根的意义，根据立方根的意义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 11．已知实数，满足，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根和偶次方的非负性，根据绝对值和偶次方的非负数的性质列出方程求出，的值，再求的立方根即可，解题的关键是正确理解几个非负数的和为时，则这几个非负数都为． 【详解】∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．的绝对值是 ；16的算术平方根是 ；的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根和立方根的计算、实数的绝对值，掌握算术平方根和立方根的计算方法是解题的关键． 【详解】解：的绝对值是， 16的算术平方根是， 的立方根是， 故答案为：；；． 三、解答题 13．计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，涉及算术平方根、立方根的运算，正确求解是解答的关键．先计算算术平方根和立方根，再加减运算即可． 【详解】解： ． 14．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根与立方根解方程， （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求立方根的方法解方程即可； 理解和掌握平方根与立方根的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．已知的立方根是2，的算术平方根是3，的整数部分为c． (1)分别求出a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义、估算无理数的大小等知识点，能够根据已知中的定义准确求出各个字母的值是解题的关键． （1）根据立方根、算术平方根的定义以及估算无理数大小的方法可得a，b，c的值； （2）先根据（1）求出的值，再由平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴，解得：， ∵的算术平方根是3， ∴，解得：， ∵， ∴的整数部分， ∴，，． （2）解：∵， ∴， ∵9的平方根是， ∴的平方根是． 16．如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高，如果容器的底面半径是，求正方体铁块的棱长取，精确到． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的立方根、圆柱体、正方体的体积的计算方法，掌握体积计算公式是正确解答的前提． 根据题意可得底面半径，高为 的圆柱体的体积等于正方体的体积，可利用方程求出棱长． 【详解】解：设正方体的棱长为，由题意得， ， 解得， ， 答：正方体的棱长约为． 1 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