7 数学广角——《植树问题》（教案）-2024-2025学年五年级上册数学人教版

7 数学广角——《植树问题》 【学情分析】五年级学生已经具有了一定的解决问题的能力和基础，能用不同策略解决问题，但这里的关键是渗透简单的化归思想，经历抽取数学模型的过程。建立植树模型对于学生来说还是比较抽象。 【教学目标】 1、 经历探索植树问题规律的过程，渗透一一对应和模型等基本思想，积累“分门别类地分析问题、解决问题，发现不同问题背后相同的规律”等活动经验。 2、 在解决问题的过程中，渗透“数形结合”“化曲为直”等解决问题的策略。 3、 感受数学在日常生活中的广泛存在，体会数学的价值，激发热爱数学的情感。 【教学重难点】 运用一一对应思想发现并理解“两端都栽”时棵数与间隔数的规律，建构植树问题的数学模型。 【教学过程】 1、 出示课题，生成问题 师：首先，请同学们随我一起走进我的校园。我们学校有这样一个正三角形的花坛，为了美化校园环境PPT:我们学校要在一个正三角形花坛一边栽树，每条边长 20m，每隔 5m 栽一棵。（顶点处栽一棵）这项活动由三个小组合作完成，每组各栽一条边。一组先栽下面 20m 的一条边；二组接着再栽另一条 20m；三组栽剩下的 20m。每组各栽多少棵树呢？ 2、 探索交流，解决问题 1、 建构“间隔”概念，出示植树要求 师：看懂了吗，每隔 5m 栽一棵，是什么意思？生：师：这里的 5m，两棵树之间产生的这个空，在数学上我们又称为“间隔”。 师：每个组栽了多少米啊？（20m）板书师：对啊，到底每组栽多少棵树呢？ 师：下面咱们一起看活动要求，谁来给大家读一读？活动要求：在学习单上量一量，用竖线代表小树画一画，看自己所负责的小组栽多少棵树。 师：看清楚要求了吗？（看清楚了）下面就拿出你的学习单，画一画，看看你们负责的小组各栽多少棵树？ 2、 交流栽法 师：同学们，栽好了吗？来，坐端正，看这里。咱们一起看看这几位同学刚才栽的。师：咱们先看一组栽的，一组同学汇报。生：师：二组的同学能说说你的想法吗，你是怎么栽的？生：师：哦，原来栽 4 棵是这种情况。3 组同学呢，你们又是怎么栽的？生：师：老师就不明白了，同样 20m 长的花坛小路，都是每隔 5m 栽一棵，为什么栽的棵树却不一样呢？这是为什么，都是在哪栽的？ 师：像这样两端都栽的起一个名字--两端都栽头栽尾不栽，尾栽头不栽--只栽一端两端都没有--两端都不栽。 3、 探索规律两端都栽 师：咱们同学们可真了不起，通过画一画，摆一摆很快就研究出 20m小路一边植树，每隔 5m 栽一棵就有这三种情况。但是研究问题要深入，咱们三种情况一起研究好研究吗？那咱们先研究一组的两端都栽的情况。研究之前咱们先来回顾一下刚才一组栽树的情况。（出示）师：一起看，在这条 20m 的小路上，先在头上栽一棵，每隔 5m 栽一棵，每隔 5m 栽一棵。现在咱们用线段代表 20m 的花坛小路，用小竖线代表小树，原来的示意图就变成了现在的线段图。一共栽了几棵？(5 棵）师：你能用算式表示所栽树的棵树吗？生：师：20÷5 表示什么意思？（4 个间隔）师：这里每 5m 一个间隔每 5m 一个间隔，20 里面一共有几个这样的5m？（4 个）所以就产生了 4 个间隔。 师：这两个 4 虽然数字相同，但是表示的涵义相同吗？生：师：我们一起对应看一下。（结合图）刚才栽树都是 1 棵树对应 1 个间隔，正好 4 棵树 4 个间隔，后面这一棵还有对应的间隔吗？（没有了） 师：几个间隔几棵树？生：师：棵数比间隔数？（多 1）所以这里要+1. 师：好，现在你明白为什么两端都栽的时候栽 5 棵树了吗？（明白了）现在花坛的小路延长了，延长到 50m，还是每隔 5m 栽一棵，能栽多少棵？怎么列算式。50÷5=10（个） 10+1=11（棵） 师：50÷5 算出来的是什么，为什么+1？师：我们一起一一对应一下，从头开始，一棵树对应一个间隔，一棵树对应一个间隔......最后多了一棵树，没有对应的间隔了，所以，棵数比间隔数？（多 1）师：现在这条小路变成 100m，能栽多少棵？生： 师：现在这条小路又延长了，延长到 1000m，并且是每隔 20m 栽一棵，能栽多少棵树？生：师：同学们，这条小路还能再长吗，还能解决吗，现在我们看这里，刚才研究了 20m，50m，100m，1000m 的小路一边栽树，同学们认真观察一下几道算式，什么变了，什么没有变？生： 师：不管这条小路多么长，不管是 100m，还是 1000m，甚至更多，只要是两端都栽，棵数始终比间隔数多 1.师：所以棵数=间隔数+1（板贴）师：是的，我们借助于一一对应的方法，就容易找到树的棵数与间隔数之间的关系。 4、 知识迁移探索只栽一端 师：那两端都不栽，只栽一端时候棵数和间隔数是不是也有关系呢，这次两个人一小组讨论一下。师：好，哪个小组能说一下你们的答案。只栽一端时棵数与间隔数有什么关系？生：两端都不栽，师：谁能说一下两端都不栽的时候又有怎样的规律？生：师：你能大家说一说为什么减 1 吗？生：师：棵数与间隔的关系是？（棵数比间隔数少 1）生： 5、 归纳总结，得出规律。 师：好，同学们真棒，通过帮这 3 个小组植树我们发现了植树问题的三种情况。师：同学们看这三个等式，要想算棵数必须得先算出来什么？生：师：间隔数怎么求啊（全长÷间隔长=间隔数）师：不同的地方呢？生： 师：是的要具体情况具体分析，看他属于植树问题的哪种类型。如果是两端都栽+1，两端都不栽-1,只栽一端不加不减。 6、 现实生活中只栽一端或两端都不栽情境 师：我们再回到现实生活中，同学们看看这里一端有房子能栽树吗？另一端有大象馆可以栽树吗？ 7、 化曲为直 师：那同学们看下面这道题又是属于哪种情况呢？在一个周长为 200m 的圆形广场四周，每隔 20m 种一棵树，一共要种多少棵？（先算再验证）分析要点：棵数=间隔数； 8、 回到三角形植树，揭示封闭图形植树规律咱们回到咱们的三角形花坛，原来是一条边一条边分开栽的，现在放在一起让一个组去植树，属于哪种情况？生：师：像圆、三角形，四边形多边形等等这样首尾相接的封闭图形，只要是封闭图形都属于哪种情况？生： 3、 建构模型 师：同学们，植树问题只能栽树吗？这里有没有树？植树问题并不仅仅是栽树，还有一些“看的见的假的树”比如说这里，（队列问题，纽扣问题、锯木问题）还有“看不见却能听得见的树”（钟声问题）师：生活中还有类似的植树问题吗？像刚才的队列问题，纽扣问题、锯木问题等统称为植树问题，而植树问题只是用来解决这类问题的一个模型。 【设计意图】几乎每个学生在生活中都遇到过植树问题，但是大多数学生都没有研究过。通过：“看得见的假的树”、“看不见却能听得见的树”巧妙的设计了队列问题、纽扣问题、锯木问题、钟声问题，并且每一个问题都让学生想象什么看作树，属于植树问题哪种类型，如此深刻的体悟。建模思想体现得一览无遗。 4、 全课总结，凸显思想 师：好了，同学们通过这节课的探索学习，你有哪些收获？（学习的内容，解决问题的方法）师：这节课一通过具体情境植树问题开始，咱们知道了植树有三种情况。然后运用一一对应思想在变与不变中知道了两端都栽的时候，棵数等于间隔树+1。接着知识类比迁移探究出另外两种情况的数量关系。后来我们知道了原来生活中还有许多类似的植树问题。把我们收获的这几颗宝石穿起来就是白雪公主的这串宝石项链，这串项链你得到了吗？好，我们这节课上到这里。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$