精品解析：江苏省南京市南京师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期5月模拟考试数学试卷

2023-2024学年江苏省南京市南师附中 高二下学期5月数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则的模为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算化简复数，然后代入模的运算公式求解即可. 【详解】，则的模为. 故选：C 2. 下列命题的否定是假命题的为（ ） A. B. 所有可以被5整除的整数，个位数字都是0； C. ，且 D. 存在一个四边形，它的对角线互相垂直． 【答案】D 【解析】 【分析】利用原命题与其否定命题真假相反一一判定选项即可. 【详解】对于A，的否定为，即， 显然恒成立，为真命题，故A错误； 对于B，所有可以被5整除的整数，个位数字为0或者5， 显然原命题为假命题，则其否定为真命题，故B错误； 对于C，显然当时，， 即原命题为假命题，则其否定为真命题，故C错误； 对于D，显然菱形的对角线互相互相垂直，即原命题为真命题，则其否定为假命题， 故D正确. 故选：D 3. 已知函数在处取得极值，则（ ）. A. B. 2 C. D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，利用和列式求解即可，注意要进行检验. 【详解】由得，所以， 又，解得或2； 当时，，此时， 此时不是函数的极值点，不合题意，故. 故选：B 4. 如图，半径为1的圆与直线相切于点A，圆沿着直线滚动．当圆滚动到圆时，圆与直线相切于点，点A运动到点，线段的长度为，则点到直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意确定A在圆上运动了，从而得出，利用特殊三角形计算距离即可. 【详解】根据条件可知圆周长为， 点A在圆上顺时针转动了，则， 所以， 点到直线的距离为 故选：D 5. 已知数列满足，，则该数列的前22项和为（ ） A. 69 B. 88 C. 89 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件分奇偶讨论的关系，利用分组求和法计算即可. 【详解】当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以 故选：C 6. 已知钝角，，则的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得出，进而得出，根据诱导公式及二倍角公式计算即可． 【详解】因为为钝角，所以，所以， 因为， 所以，所以， 则， 故选：C． 7. 在正四棱锥中，是线段上的动点．设直线与直线所成的角为，二面角为，直线与平面所成的角为，这三个角的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线角，线面角以及二面角的定义，可得，，，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】解：如图，取中心中点连接，使得， 由题可知，，，且，，均为锐角， 由于平面，平面，所以, 又,平面， 所以平面，平面，故, 因此，， 因为，所以， 因为，所以， 所以 故选：D 8. 过点的动直线与圆于两点，在线段上取一点，使得，已知线段的最小值为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先设切点再由得出，根据点到直线距离计算求参. 【详解】圆的圆心，半径为2， 所以圆与轴相切，切点坐标为，所以， 故， 设的中点为，连接，则， 设圆心到直线的距离为，则， 所以， 由于， 故， 由于，所以， 故，解得． 故选： 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是边长为2的正六边形内一点（不含边界），且，则下列结论正确的是（ ） A. 的面积为定值 B. 使得 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题中向量等式，可推得，所以在正六边形的对角线上运动，，由此判断A选项，根据正六边形的轴对称性，可判断B，观察图形，结合解三角形的知识加以计算，可判断C、D. 【详解】由可得，即， 所以在正六边形的对角线上运动， 对于A，因为，即点到的距离为定值， 所以的面积为定值，A正确； 对于B，因为正六边形关于直线对称，所以不论在何处，总有， 即不存在，使得，B错误； 对于C，根据图形的对称性，当为中点时，达到最大值， 当与或重合时，达到最小值， 故的取值范围是，C正确； 对于D，因为正六边形边长为2，所以平行线，的距离， 当与点在上的射影重合时，有最小值， 可见的取值范围不是，D错误； 故选：AC 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0 B. 若随机变量满足，则 C. 随机变量，且，若，则的最小值为 D. 已知一组样本数据中关于的非线性回归方程为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据相关性性质判断A,根据期望及方差性质计算判断B,应用常值代换结合基本不等式判断C,应用样本中心点求出参数判断D. 【详解】两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，错误； 若，则，正确； 由正态分布的对称性知，则， 所以时，等号成立，正确； 代入得，解得，正确． 故选： 11. 已知一组函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 恒成立 C. 在上单调递增，在 上单调递减 D. 在上单调递减，在 上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于项，利用不同的的取值，利用三角函数关系式的恒等变换即可判断；对于项，，可确定与，三角函数关系式的恒等变换即可判断；对于项，利用三角函数关系式的恒等变换，二倍角公式，周期性即可判断；对于项，利用三角函数关系式的恒等变换，二倍角公式，周期性即可判断. 【详解】对于项，，故项正确； 对于项，因为， 故项正确； 对于项， 当，因此在上单调递减， 当，因此在上单调递增， 故错误； 对于项， 当，因此在上单调递减， 当，因此在上单调递增， 故正确． 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知动圆与圆，圆均相切，则动圆圆心的轨迹方程是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】相切分两种情况讨论，再由动圆圆心到两个定圆圆心的距离之和为常数，且大于两个定点的距离，故轨迹为椭圆，根据条件计算得到答案． 【详解】由题意可知，共有两种情况，设动圆半径为，， 动圆与圆内切，与圆内切，所以 所以，此时动圆圆心的轨迹是椭圆，， 所以动圆圆心的轨迹方程为； 动圆与圆外切，与圆内切，所以， 所以，此时动圆圆心的轨迹为椭圆，， 动圆圆心的轨迹方程为， 故答案为：或． 13. 设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式是____________． 【答案】 【解析】 【分析】分解因式化简条件式得，利用与的关系计算即可. 【详解】由可得， 所以（舍），， 当时，， 当时，， 将代入得， 所以的通项公式是 故答案为：． 14. 已知，且，若，且，则正整数的值为__________. 【答案】109 【解析】 【分析】利用指数式与对数式互化关系，结合已知可得，构造函数，借助函数在上的图象、以点点为端点的线段，进行“割线放缩”求出值. 【详解】依题意，， 设，显然是增函数，从而是方程的唯一解， 由，且当时，， 得， 从而应略小于11，需要判断与10.9的大小关系，先估算的近似值. 考虑函数图象上两个点之间的线段，然后进行“割线放缩”， ， ，所以. 故答案为：109 【点睛】关键点点睛：考虑函数图象上两个点之间的线段，然后进行“割线放缩”是解决问题的关键. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，，底面为正方形，，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】（1） 因为分别为的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定证明即可； （2）首先由已知证明出，，再建立空间直角坐标系，根据面面夹角的向量公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 在中，由余弦定理得，，即， 所以，即，同理可得， 因为，，平面，， 所以平面，又平面， 所以，同理，又平面，， 所以平面，又平面， 所以，，又， 则以点为原点，以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 在中，， 则，， 所以，， 设平面的法向量， 则，取，得， 由图可知，平面的法向量为， 则， 所以平面与平面所成二面角的正弦值． 16. 某学校为提高学生身体素质，号召全校学生参加体育锻炼，结合每日统计的运动情况，对每日平均运动10000步或以上的学生授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，统计了200名学生在某月的运动数据，结果如下： 运动达人 参与者 合计 男生 70 女生 80 合计 80 200 （1）完善列联表并说明：是否有的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关？ （2）从全校“运动达人”中按性别分层抽取8人，再从8人中选取3人参加特训，将特训的人中男生人数记为，求的分布列与均值. 参考公式： 10.828 【答案】（1）列联表如下； 运动达人 参与者 合计 男生 50 70 120 女生 30 50 80 合计 80 120 200 没有的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关； （2）分布列为： 0 1 2 3 均值为【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算卡方，与临界值比较即可求解. （2）根据超几何分布列的概率公式求解概率和分布列，再由期望公式求解即可. 【小问1详解】 根据题意可得列联表如下； 运动达人 参与者 合计 男生 50 70 120 女生 30 50 80 合计 80 120 200 零假设为：性别与锻炼情况独立，即获得“运动达人”称号与性别无关， 根据列联表的数据计算可得 ， 根据小概率值的独立性检验，推断成立， 即没有的把握认为获得 “运动达人”称号与性别有关； 【小问2详解】 选取的8人运动达人中男生5人，女生3人， 则服从超几何分布，的所有可能情况为：0、1、2、3， ，， ，. 故所求分布列为： 0 1 2 3 所以. 17. 已知数列满足，其中且，为常数. （1）若求数列的通项公式； （2）在（1）的条件下记，且数列前项和为，若存在，使得对任意的都成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用题目数据求得，再根据等比中项判断数列为等比数列，然后求解等比数列通项公式即可. （2）先利用错位相减法求和，然后利用有解和恒成立法则列不等式求解即可. 【小问1详解】 将，代入，解得， 所以，即， 所以为等比数列，首项为，公比为， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， ， ， 可得， 所以， 存在，使得， 即，所以，即，所以的取值范围为. 18. 已知函数. （1）讨论函数在区间上的单调性； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解， （2）将问题转化为存在，成立，构造函数，求导得函数的最值即可求解． 【小问1详解】 ， 解得， 因为，所以， 当，当， 所以在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 ， 当时，由可得不成立， 当时，， 令恒成立， 故在单调递减， 所以， 所以的取值范围为. 19. 在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线，关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比. （1）已知曲线的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的方程； （2）射线的方程，如果椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆，分别交于两点，，且，求椭圆的方程； （3）对抛物线，作变换，得抛物线；对作变换，得抛物线；如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，…若，，求数列的通项公式. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由伸缩变换的定义计算即可； （2）先由伸缩变换求得方程，分别与射线方程联立求、坐标，根据两点距离公式解方程即可； （3）由伸缩变换的定义计算，结合条件及累乘法，等差数列求和公式计算即可． 【小问1详解】 由条件得，整理得， 所以的方程为； 【小问2详解】 因为，关于原点“伸缩变换”， 对作变换，得， 联立，解得点的坐标为， 联立，解得点的坐标为， 所以，所以或， 所以或； 因此椭圆的方程为或； 【小问3详解】 对作变换， 得抛物线，得， 又因为，所以，即， 当时，， 得，适用上式， 所以数列的通项公式. 【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年江苏省南京市南师附中 高二下学期5月数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则的模为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 下列命题的否定是假命题的为（ ） A. B. 所有可以被5整除的整数，个位数字都是0； C. ，且 D. 存在一个四边形，它的对角线互相垂直． 3. 已知函数在处取得极值，则（ ）. A. B. 2 C. D. 或2 4. 如图，半径为1的圆与直线相切于点A，圆沿着直线滚动．当圆滚动到圆时，圆与直线相切于点，点A运动到点，线段的长度为，则点到直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知数列满足，，则该数列的前22项和为（ ） A. 69 B. 88 C. 89 D. 96 6. 已知钝角，，则的值为 （ ） A. B. C. D. 7. 在正四棱锥中，是线段上的动点．设直线与直线所成的角为，二面角为，直线与平面所成的角为，这三个角的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 过点的动直线与圆于两点，在线段上取一点，使得，已知线段的最小值为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是边长为2的正六边形内一点（不含边界），且，则下列结论正确的是（ ） A. 的面积为定值 B. 使得 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0 B. 若随机变量满足，则 C. 随机变量，且，若，则的最小值为 D. 已知一组样本数据中关于的非线性回归方程为，则 11. 已知一组函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 恒成立 C. 在上单调递增，在 上单调递减 D. 在上单调递减，在 上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知动圆与圆，圆均相切，则动圆圆心的轨迹方程是_________． 13. 设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式是____________． 14. 已知，且，若，且，则正整数的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，，底面为正方形，，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 16. 某学校为提高学生身体素质，号召全校学生参加体育锻炼，结合每日统计的运动情况，对每日平均运动10000步或以上的学生授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，统计了200名学生在某月的运动数据，结果如下： 运动达人 参与者 合计 男生 70 女生 80 合计 80 200 （1）完善列联表并说明：是否有的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关？ （2）从全校“运动达人”中按性别分层抽取8人，再从8人中选取3人参加特训，将特训的人中男生人数记为，求的分布列与均值. 参考公式： 10.828 17. 已知数列满足，其中且，为常数. （1）若求数列的通项公式； （2）在（1）的条件下记，且数列前项和为，若存在，使得对任意的都成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）讨论函数在区间上的单调性； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线，关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比. （1）已知曲线的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的方程； （2）射线的方程，如果椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆，分别交于两点，，且，求椭圆的方程； （3）对抛物线，作变换，得抛物线；对作变换，得抛物线；如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，…若，，求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $