3.2.2 奇偶性（第1课时）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

观察下列图片，看看这些图片有什么共同特点？ 课题引入 我国的建筑，无论宫殿、庙宇、亭台、园林，无不有着对称之美，能给人以稳重、博大、端庄的感觉，对称美在生活中无处不在。而对称美在数学中更是体现的淋漓尽致，今天我们来探究数学中的对称美. 　 3.2.2　函数的奇偶性 第1课时　奇偶性的概念 1.了解函数奇偶性的定义. 2.掌握判断和证明函数奇偶性的方法. 3.应用函数的奇偶性解决简单的求值问题. 问题1　观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 提示　这两个函数图象都关于y轴对称. 一、函数奇偶性的概念 学习环节一【自学质疑】 认真阅读教材第82-84页，回答下列问题： 问题2　如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况. 提示　可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等. x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f(x)＝x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … g(x)＝2－|x| … －1 0 1 2 1 0 －1 … 学习环节一【自学质疑】 f(-x)=f(x) 问题3　观察函数f(x)＝x和g(x)＝ 的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？并自主探究结果. 提示　可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形. f(-x)=-f(x) 学习环节一【自学质疑】 偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈ I，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数. 奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈ I，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数. f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 奇偶函数的定义： 学习环节一【自学质疑】 偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称. (1)函数的单调性是函数的局部性质，函数的奇偶性是函数的局部性质还是整体性质？ (2)如果∀x∈I，都有－x∈I，说明定义域I有怎样的特性？ (3)若奇函数在原点处有意义，则f(0)＝？. (4)若f(x)是偶函数，则f(－x)＝f(x)=f(|x|)成立吗？ 学习环节二【讨论领悟】 分组讨论完成下列问题： 函数的奇偶性是函数的整体性质 定义域I关于原点对称。 奇函数在原点处有意义，则f(0)＝0. 若f(x)是偶函数，则f(－x)＝f(x)=f(|x|)。 学习环节三【展示分享】 　　判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)＝－|x|； 例1 解：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝－|－x|＝－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数. 解：函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数. 二.函数奇偶性的判断 学习环节三【展示分享】 解：函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数. 解：函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，∵∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}， ∴f(x)是奇函数. 学习环节三【展示分享】 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： 反思感悟 学习环节三【展示分享】 (2)图象法： 反思感悟 学习环节三【展示分享】 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a ＝____，b＝____. 例2 0 3、利用函数的奇偶性求值 解： 学习环节三【展示分享】 (2)已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝_____. 令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数， ∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2， 又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5. 又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7. 7 学习环节三【展示分享】 利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数. (2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 反思感悟 学习环节三【展示分享】 (1)已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是 A.4 　　　 B.3 　　　 C.2 　　　D.1 √ 因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1. －1 学习环节三【展示分享】 练习 1.函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于 A.－1 B.0 C.1 D.无法确定 学习环节四【检测巩固】 2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是 3.(多选)下列函数是奇函数的是 A.y＝x(x∈[0,1]) B.y＝3x2 C.y＝ D.y＝x|x| 你在本节课有什么收获？你认为本节课的重点是什么？难点是什么？易错点在哪儿？ 学习环节五【评价提升】 1.重点： (1)函数奇偶性的概念. (2)奇函数、偶函数的图象特征. 2.方法归纳：特值法、数形结合法. 3.易错点：忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称. 作业布置： 学习环节五【评价提升】 $$