3.2.2 奇偶性 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

情书 数形结合 3.2.2 函数的奇偶性 生活中的“对称美” x y 0 0 x y 奇偶函数的图象特征 从图形上，我们把 （1）图象关于y轴对称的函数称为偶函数； （2）图象关于原点对称的函数称为奇函数。 注：如果一个函数是奇函数或是偶函数，则称 这个函数具有奇偶性 练一练 [例1](1)下列图象表示的函数中，奇函数有______， 偶函数有________(填序号)． ②④ ①③ (2)下列图象中，表示具有奇偶性的函数是（　　） A. B. C. D. B 定义域关于原点对称 探究函数的奇偶性 问题：判断下列函数的奇偶性 （1） （2） （3） （4） 根据已知定义， 我们需要画出 函数图像判断 奇偶性 分组画图： ① 与 x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... ... -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ... ... 4 3 2 1 2 3 4 ... ② 与 x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... ... -1 1 ... 偶函数 思考： 从数的角度，类比函数的单调性，你能用数学符号语言 精确地描述出奇偶函数吗？ 奇函数 对于偶函数 ，有 f(-3)= 4 = f(3)； f(-2)= 3 = f(2)； f(-1)= 2 = f(1)； 即 f(-x)= f(x). 当自变量互为相反数时，相应的两个函数值相等。 是否对任意的x, 都成立？ 偶函数 是偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 偶函数 思考：若只对定义域内个别的x,有f(-x)= f(x)， 可以判断该函数为偶函数吗？ 对于奇函数 ，有 f(-3)= -3 = -f(3)； f(-2)= -2 = -f(2)； f(-1)= -1 = -f(1)； 即 f(-x)= -f(x). 当自变量互为相反数时， 相应的两个函数值互为 相反数。 奇函数 是否对任意的x, 都成立？ 是奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 奇函数 思考：若只对定义域内个别的x,有f(-x)=-f(x)， 可以判断该函数为奇函数吗？ 奇偶函数的特点 奇偶函数的定义域关于原点对称。 注：1.若一个函数的定义域不关于原点对称，则该函数 不具有奇偶性，我们把这样的函数称为非奇非偶函数； 2.一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，既有 f(－x)=－f(x)，又有 f(－x)=f(x)，则称该函数 既是奇函数又是偶函数 定义域关于原点对称，且f（x）=0的函数 判断下列函数的奇偶性 练一练 [例2] (1)若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则 f(－3)＝________，f(0)＝______. (2)下列说法正确的是________(填序号)． ①偶函数的图象一定与y轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数； ④若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0. -2 0 若f(x)是定义在R上的奇函数，则必有 f(0)=0. ④ 题型（一）证明函数的奇偶性 提示： 判断函数的奇偶性，必须先判断 函数定义域是否 关于原点对称 练习 判断下列函数的奇偶性 例：判断下列函数的奇偶性： 判断函数奇偶性的步骤： （2）证明下列函数的奇偶性 ① ② ③ 小结 题型（二）利用奇偶性求参数 [例4] (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数， 定义域为[a－1,2a]，a＝_______，b＝_______； (2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实a＝______.　 课堂小结 判断函数奇偶性 1.定义法 2.图象法 3.解题技巧：（利用奇偶性求参数） （1）定义域含参数：奇偶函数的定义域为[a,b],则根据 定义域关于原点对称，即a+b=0求参； （2）奇偶函数求参可利用特殊值法， 若是奇函数则利用f(0)=0,或f(1)+f(-1)=0等， 若是偶函数则利用f(1)-f(-1)=0等求参. 谢谢观赏！ $$