2.3 二次函数与一元二次方程、不等式7题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式7题型分类 一、一元二次不等式 1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集． 二、二次函数图象、方程及不等式的关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 得等的集不式解 y＞0 {x|x＜x1_或x＞x2} {x|x1＜x＜x2} R y＜0 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 三、常用数集及表示符号 1.不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？ 此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． 2.类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？ 不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立． 3.若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？ 结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R. 四、不等式解法 1．分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式 类型 同解不等式 ＞0(＜0) (其中a，b，c，d为常数) 法一：或 法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0) ≥0(≤0) 法一：或 法二： ＞k(其中k为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式 2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 (2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数 y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k （一） 一元二次不等式的解法 1、一元二次不等式的求解可以通过函数图象，方程的解等结合求解.通过开口向上，大于零取两边，小于零取中间；开口向下，大于零取中间，小于零取两边. 2、解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. （2）判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. （3）求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. （4）画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. （5）写解集.根据图象写出不等式的解集. 3、解含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)讨论二次项系数:二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式. (2)判断方程根的个数:讨论判别式△与0的关系. (3)写出解集:确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. 题型1：解不含参数的一元二次不等式 1-1．（2024高一下·内蒙古呼伦贝尔·开学考试）解不等式： (1)； (2). 1-2．（2024高二上·天津静海·阶段练习）不等式的解集为（    ） A．B．或C． D．或 1-3．（2024高一·全国·单元测试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1-4．（2024高一·全国·专题练习）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4) (5) (6) (7)； (8)； (9)； (10). 1-5．（2024高三·全国·专题练习）解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 题型2：解含有参数的一元二次不等式 2-1．（2024高三·全国·专题练习）解下列关于的不等式 2-2．（2024高一上·山东菏泽·期末）若，则关于的不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 2-3．（2024高二上·河北邯郸·期中）解不等式. 2-4．（2024高一上·全国·课后作业）解关于x的不等式. 2-5．（2024高一上·全国·课后作业）解下列关于的不等式：(). 2-6．（2024高二上·浙江嘉兴·期末）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2-7．（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （二） 三个“二次”之间的关系及应用 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式． (3)解决三个“二次”之间的关系这类问题的关键是善于从题目条件中捕捉到根的信息，然后利用一元二次不等式与方程根的关系解决.不等式解集的端点值是对应方程的根，往往要用根与系数的关系. 题型3：由不等式的解集求参数 3-1．（2024高一上·全国·课后作业）若不等式的解集为，则函数的图象与x轴的交点为（　　） A．和 B． C． D．和 3-2．（2024高一上·湖南郴州·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3-3．（2024高三·全国·专题练习）已知不等式的解集为，解不等式的解集为 3-4．（2024高一·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3-5．（2024高一下·河南·阶段练习）已知，且，关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （三） 分式不等式的解法 （1）解分式不等式的策略: 对于形如的不等式可等价转化为来解决;对于形如:的不等式可等价转化为来解决. （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 题型4：解分式不等式 4-1．（2024高三·全国·专题练习）不等式的解集为 . 4-2．（2024高一·全国·专题练习）已知全集，集合，，则 ， . 4-3．（2024·天津河西·模拟预测）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4-4．（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （四） 不等式恒成立问题 1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时， 2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时， 题型5：不等式恒成立问题 5-1．（2024高一上·江苏淮安·期末）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 5-2．（2024高三·全国·专题练习）不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5-3．（2024·贵州安顺·模拟预测）若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5-4．（2024高一·全国·单元测试）若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （五） 一元二次方程的实根分布问题 解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向. 题型6：一元二次方程的实根分布问题 6-1．（2024高一·全国·专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为 ． 6-2．（2024高一上·江苏徐州·阶段练习）方程的两根都大于，则实数的取值范围是 ． 6-3．（2024高一上·陕西西安·阶段练习）若一元二次方程的两不等实根都是负数，求实数的取值范围为 . 6-4．（2024高二下·四川资阳·开学考试）已知 (1)求证是关于的方程有解的一个充分条件； (2)当时，求关于的方程有一个正根和一个负根的充要条件． 6-5．（2024高一下·河北保定·阶段练习）若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （六） 解不等式应用题的步骤 题型7：一元二次不等式的实际应用 7-1．（2024高二上·山东枣庄·阶段练习）某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． （1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式； （2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？ 7-2．（2024高二上·山东）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7-3．（2024高一上·浙江温州·阶段练习）某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40，则这辆汽车刹车前的车速至少为（    ）（精确到1） A．76 B．77 C．78 D．80 7-4．（2024高一下·北京昌平·期中）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（    ） A．20≤x≤30 B．20≤x≤45 C．15≤x≤30 D．15≤x≤45 7-5．（2024高一上·江苏连云港·阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间分别有如下关系：，，问：甲、乙两车有无超速现象？ 一、单选题 1．（2024高一上·内蒙古兴安盟·阶段练习）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·江苏盐城·期中）已知不等式的解集为，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2024高一·全国·课后作业）若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二下·山东滨州·阶段练习）若不等式的解集为或，则（　　） A．， B．， C．， D．， 5．（2024高一上·内蒙古包头·期末）若不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 6．（2024高一上·浙江·期中）已知，关于x的不等式的解集为（    ） A．或B． C．或 D． 7．（2024高一上·广东肇庆·期中）若命题“”为真命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（2024高一上·全国·课后作业）已知不等式和不等式的解集相同，则实数的值分别为（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一上·全国·课后作业）若一元二次不等式的解集是，则一元二次不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一·全国·课后作业）设，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．{x|x>a} C．或 D． 11．（2024高三下·湖南·阶段练习）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 12．（2024高二下·辽宁·阶段练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 13．（天津市南开中学滨海生态城学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2024高一下·河北保定·阶段练习）若，使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 15．（2024高一上·广东广州·阶段练习）已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（2024高一上·山东临沂·阶段练习）命题，使得成立.若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（2024高一上·江苏苏州·阶段练习）“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D．或 18．（2024高一上·辽宁辽阳·期中）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 19．（2024高三·全国·专题练习）若不等式的解集是的子集，则a的范围是（　　） A．[－4，3] B．[－4，2] C．[－1，3] D．[－2，2] 20．（2024高一上·四川阿坝·期中）关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 21．（2024高三上·河南·期末）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 22．（2024高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 23．（2024高一上·全国·课后作业）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 24．（2024高一上·河北唐山·期末）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．关于x的不等式的解集为 25．（2024高一上·全国·单元测试）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（    ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 26．（2024高一·全国·单元测试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．关于x的不等式的解集可以是 B．关于x的不等式的解集可以是 C．函数的图象与x轴正半轴可以有两个交点 D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 27．（2024高一下·四川南充·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 28．（2024高一上·江苏南京·期末）设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为0 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个不相等的正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 29．（2024高一上·河南郑州·期末）已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 30．（2024高二下·浙江温州·学业考试）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（    ） A． B． C． D．2 31．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）已知关于的不等式，下列结论正确的是（    ） A．当时，不等式的解集为 B．当时，不等式的解集可以表示为形式 C．若不等式的解集恰为，则或 D．若不等式的解集恰为，则 三、填空题 32．（2024高三上·上海徐汇·阶段练习）已知，若时，恒成立，则实数的取值范围为 ． 33．（2024高一·全国·单元测试）已知，当时，不等式恒成立，则实数m的范围为 ． 34．（2024高三·全国·专题练习）已知对任意，恒成立，则实数a的取值范围是 ． 35．（2024高一下·福建漳州·期末）不等式的解集为，则的取值范围是 . 36．（2024高三·全国·专题练习）若关于x的不等式的解集为，则ab＝ . 37．（2024高一上·河南郑州·阶段练习）已知为实数，命题甲：关于的不等式的解集为；命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数的取值范围为 ． 38．（2024高三·全国·专题练习）对恒成立，则实数的范围为 . 39．（2024高二上·河南新乡·期末）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 40．（2024高一上·河南南阳·阶段练习）已知不等式：. (1)若，求不等式解集； (2)若，求不等式解集. 41．（2024高一上·上海虹口·阶段练习）已知，求解关于的不等式. 42．（2024高三·全国·专题练习）解下列关于的不等式． 43．（2024高一下·贵州黔东南·期末）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量（单位：m3）与天数的关系是，水库原有水量为80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警． (1)求的值； (2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由． 44．（2024高三上·宁夏·阶段练习）解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0（a＞0）． 45．（2024高二·河南濮阳·开学考试）已知关于的函数． (1)当时，求不等式的解集. (2)当时，求不等式的解集. 46．（2024高二上·全国·专题练习）解关于的不等式. 47．（2024高三·全国·专题练习）解下列关于的不等式． 48．（2024高一·全国·专题练习）解关于的不等式 ． 49．（2024高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知． (1)当时，求不等式的解集； (2)解关于的不等式． 50．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数，，. (1)若关于的不等式的解集为或，求实数，的值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式的解集中恰有个整数，求实数的取值范围． 51．（2024高一·全国·单元测试）已知二次函数. (1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式； (2)若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围． 52．（2024高一·全国·课后作业）已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ (3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？ 53．（2024高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数. (1)当时，求解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 54．（2024高一上·上海黄浦·阶段练习）已知关于的不等式的解集为． (1)若，求实数的取值范围； (2)若存在两个不相等的正实数，使得，求实数的取值范围． 55．（2024高一上·浙江宁波·阶段练习）设． (1)当时，若两根一个比小，一个比大，求范围． (2)解关于的不等式． 56．（2024高二下·江苏镇江·阶段练习）已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有． (1)求函数的表达式； (2)设，若函数≥在上恒成立，求实数的最大值． 57．（2024高一下·湖北武汉·阶段练习）已知，解关于的不等式． 58．（2024高三·全国·专题练习）解下列关于的不等式． 59．（2024高一上·江西宜春·阶段练习）若关于x的不等式的解集为． (1)当时，求的值； (2)若，，求的值； (3)在（2）的条件下，求的最小值． 60．（2024高一上·湖北武汉·期中）已知一元二次方程． (1)写出“方程有一个正根和一个负根”的充要条件； (2)写出“方程有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明． 61．（2024高三·全国·专题练习）关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 62．（2024高一·江苏·假期作业）解关于x的不等式 63．（2024高一上·福建福州·阶段练习）已知命题是假命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为A，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 64．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）已知二次函数（为实数） (1)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围； (2)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围； (3)对，时，恒成立，求的最小值． 65．（2024高一上·北京·期中）已知函数. (1)若，解不等式； (2)解关于的不等式. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式7题型分类 一、一元二次不等式 1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集． 二、二次函数图象、方程及不等式的关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 得等的集不式解 y＞0 {x|x＜x1_或x＞x2} {x|x1＜x＜x2} R y＜0 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 三、常用数集及表示符号 1.不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？ 此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． 2.类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？ 不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立． 3.若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？ 结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R. 四、不等式解法 1．分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式 类型 同解不等式 ＞0(＜0) (其中a，b，c，d为常数) 法一：或 法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0) ≥0(≤0) 法一：或 法二： ＞k(其中k为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式 2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 (2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数 y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k （一） 一元二次不等式的解法 1、一元二次不等式的求解可以通过函数图象，方程的解等结合求解.通过开口向上，大于零取两边，小于零取中间；开口向下，大于零取中间，小于零取两边. 2、解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. （2）判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. （3）求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. （4）画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. （5）写解集.根据图象写出不等式的解集. 3、解含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)讨论二次项系数:二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式. (2)判断方程根的个数:讨论判别式△与0的关系. (3)写出解集:确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. 题型1：解不含参数的一元二次不等式 1-1．（2024高一下·内蒙古呼伦贝尔·开学考试）解不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将不等式变形为后可得答案； （2）将不等式变形为后可得答案. 【详解】（1）由得，即， ， ， 即不等式的解集为； （2）由得， 即，不可能成立， 即不等式的解集为. 1-2．（2024高二上·天津静海·阶段练习）不等式的解集为（    ） A．B．或C． D．或 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由， 即，得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 1-3．（2024高一·全国·单元测试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由，得，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 1-4．（2024高一·全国·专题练习）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4) (5) (6) (7)； (8)； (9)； (10). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】（1）-（9）根据一元二次不等式的解法计算可得； （2）写出不等式的等价形式，再根据一元二次不等式的解法计算可得； 【详解】（1），，， 即不等式的解集为； （2），，解得或， 即不等式的解集为； （3），或， 解得或，即不等式的解集为； （4），整理得，即， 解得，即不等式的解集为. （5）由可得，所以或， 即不等式的解集为； （6）由可得，所以， 即不等式的解集为； （7）可化为，解得， 所以不等式的解集为. （8）可化为，即， 解得，所以不等式的解集为. （9）可化为，解得或， 所以不等式的解集为. （10）可化为，因为不等式对应的方程的判别式， 所以不等式的解集为． 1-5．（2024高三·全国·专题练习）解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2). (3) (4) 【分析】运用因式分解和配方法逐一解下列不等式即可. 【详解】（1），即，配方可得，解得 （2），即，解得； （3），即，而，从而不等式无解，即解集为； （4）且同时成立. 由解得， 由，即，解得. 于是 题型2：解含有参数的一元二次不等式 2-1．（2024高三·全国·专题练习）解下列关于的不等式 【答案】答案见解析 【分析】讨论大小关系求一元二次不等式的解集. 【详解】由，可得或，则： 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 2-2．（2024高一上·山东菏泽·期末）若，则关于的不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】首先根据不等式的性质可得，进而将不等式转化为，求解即可得出结果. 【详解】因为，，所以，所以. 原不等式可化为所以，解得. 所以，不等式的解集为. 故选：A. 2-3．（2024高二上·河北邯郸·期中）解不等式. 【答案】答案见解析 【分析】将不等式化为，故对应的方程必有两根，再讨论两根的大小即可求出所对应的不等式的解集. 【详解】解：对于不等式，可化为， 所以方程有两根、， 令，解得， ∴当或时， ，故原不等式的解集为； 当或时，，原不等式的解集为； 当或时， ，原不等式的解集为； 综上可得：当当或时解集为，当或时解集为， 当或时解集为. 2-4．（2024高一上·全国·课后作业）解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论判别式，确定一元二次不等式对应方程解的情况，即可求得答案. 【详解】不等式对应方程的判别式， （1）当，即或时， 由于方程的根是， 所以不等式的解集是或}； （2）当，即时，不等式的解集为且； （3）当，即时，不等式的解集为R， 故或时，不等式的解集是或}； 时，不等式的解集为且； 时，不等式的解集为R. 2-5．（2024高一上·全国·课后作业）解下列关于的不等式：(). 【答案】答案见解析. 【分析】分类讨论求解一元二次不等式作答. 【详解】不等式化为：， 当，原不等式化为，解得， 当，原不等式化为，解得或， 当，原不等式化为， 当时，解得，当时，不等式无解，当时，解得， 所以当，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 2-6．（2024高二上·浙江嘉兴·期末）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分讨论解不等式，根据只有一个整数解建立不等关系求解即可. 【详解】不等式化为，即， 当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意； 当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知， 不等式的解为，由题意，，解得； 当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意． 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 2-7．（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先不等式转化为，再根据，结合一元二次不等式的形式求不等式的解集. 【详解】原不等式可以转化为：， 当时，可知，对应的方程的两根为1，， 所以不等式的解集为：. 故选：A. （二） 三个“二次”之间的关系及应用 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式． (3)解决三个“二次”之间的关系这类问题的关键是善于从题目条件中捕捉到根的信息，然后利用一元二次不等式与方程根的关系解决.不等式解集的端点值是对应方程的根，往往要用根与系数的关系. 题型3：由不等式的解集求参数 3-1．（2024高一上·全国·课后作业）若不等式的解集为，则函数的图象与x轴的交点为（　　） A．和 B． C． D．和 【答案】A 【分析】不等式的解集为，可得方程的两个根为，利用根与系数的关系可得，即可得出结果. 【详解】若不等式的解集为， 则方程的两个根为且， ，解得， 则函数， 令，解得或， 故函数的图象与轴的交点为和. 故选：A. 3-2．（2024高一上·湖南郴州·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据三个二次的关系，再结合韦达定理可求. 【详解】依题意可得，分别是关于的一元二次方程的两根，根据韦达定理可得：. 故选：A. 3-3．（2024高三·全国·专题练习）已知不等式的解集为，解不等式的解集为 【答案】 【分析】根据题意利用根与系数的关系求得，继而解即得答案. 【详解】由不等式的解集为， 可知是的两根，且， 故，则， 故即， 即，解得或， 故不等式的解集为， 故答案为： 3-4．（2024高一·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三个二次关系计算参数的关系，再解一元二次不等式即可. 【详解】由条件可知，的两个实数根是和，且， 则，得，， 所以，即， 解得：， 所以不等式的解集为. 故选：A 3-5．（2024高一下·河南·阶段练习）已知，且，关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次不等式的解集与二次方程的根的关系，利用韦达定理可得关系，代入所求不等式解不等式即可． 【详解】因为不等式，的解集为， 所以且即， 不等式等价于， 即，，解得或， 所以不等式的解集为：， 故选：C． （三） 分式不等式的解法 （1）解分式不等式的策略: 对于形如的不等式可等价转化为来解决;对于形如:的不等式可等价转化为来解决. （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 题型4：解分式不等式 4-1．（2024高三·全国·专题练习）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将移项变形为，转化为一元二次不等式，即可求得答案. 【详解】原不等式可化为， 即， 即，即， 解得， ∴原不等式的解集为， 故答案为： 4-2．（2024高一·全国·专题练习）已知全集，集合，，则 ， . 【答案】 或 或 【分析】先由分式不等式求法求解出集合, 结合绝对值不等式解法求出集合 ,然后结合集合的交集与并集运算即可求得答案. 【详解】由 得 , 整理得 , 解得 或 , 即 或 因为或 或 所以或; 或. 故答案为：或;或. 4-3．（2024·天津河西·模拟预测）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先解出不等式和，根据两个不等式的解集即可得出答案． 【详解】由，得， 解得； 由，得，得 因为当时，一定可以推出， 而当时，不能推出。 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 4-4．（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式不等式化为整式不等式求解即可. 【详解】原不等式可化为，即，解得． 故选：C． （四） 不等式恒成立问题 1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时， 2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时， 题型5：不等式恒成立问题 5-1．（2024高一上·江苏淮安·期末）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 5-2．（2024高三·全国·专题练习）不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 分和两种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围. 【详解】①当时，成立， ②当时，只需，解得， 综上可得，即实数的取值范围为. 故选：B． 5-3．（2024·贵州安顺·模拟预测）若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出命题的否定，该命题为真命题，根据二次不等式恒成立得出，求解即可得出答案. 【详解】命题“，”的否定为：“，”， 该命题为真命题. 所以，应有，所以. 故选：A. 5-4．（2024高一·全国·单元测试）若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原不等式可化为，设.只需求出在时的最小值，即可得出答案. 【详解】原不等式可化为， 设， 则， 当且仅当，且，即时，函数有最小值为2. 因为恒成立，所以. 故选：C. （五） 一元二次方程的实根分布问题 解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向. 题型6：一元二次方程的实根分布问题 6-1．（2024高一·全国·专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为 ． 【答案】. 【分析】求出方程的解，然后由解满足的条件求参数范围． 【详解】方程   方程两根为， 若要满足题意，则，解得， 故答案为：. 6-2．（2024高一上·江苏徐州·阶段练习）方程的两根都大于，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布即可求解. 【详解】解：由题意，方程的两根都大于， 令， 可得，即，解得． 故答案为：. 6-3．（2024高一上·陕西西安·阶段练习）若一元二次方程的两不等实根都是负数，求实数的取值范围为 . 【答案】或 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合韦达定理与判别式求解即可． 【详解】首先，设方程的两根为，则， 所以，，又，解得或． 故答案为：或． 6-4．（2024高二下·四川资阳·开学考试）已知 (1)求证是关于的方程有解的一个充分条件； (2)当时，求关于的方程有一个正根和一个负根的充要条件． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将代入函数，求解即可. （2）由一元二次方程有一正一负根，即列式求解可得a的范围，再检验必要性即可. 【详解】（1）证明：当时，， 则，即：，解得：， 所以是关于x的方程有解的一个充分条件. （2）当时，因为方程有一个正根和一个负根， 所以，解得： 反之，当时，，且， 所以有一个正根和一个负根，满足条件． 所以，当时，关于x的方程有一个正根和一个负根的充要条件为. 6-5．（2024高一下·河北保定·阶段练习）若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有一个正根和一个负根可得判别式大于零以及两根之积小于零，列不等式组即可求解. 【详解】因为一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，设两根为， 则，解得， 故选：A （六） 解不等式应用题的步骤 题型7：一元二次不等式的实际应用 7-1．（2024高二上·山东枣庄·阶段练习）某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． （1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式； （2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？ 【答案】（1），；（2）． 【详解】试题分析：（1）利用年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量列出表达式即可，要注意根据实际意义注明函数的定义域；（2）通过解一元二次不等式得到所求增加比例的范围． 试题解析：（1）由题意得：，， 整理得：， （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须， 即，． 解得，所以投入成本增加的比例应在范围内． 考点：1．函数模型的应用；2．一元二次不等式的解法． 7-2．（2024高二上·山东）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】结合题意易知，， 即，解得， 因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是， 故选：C. 7-3．（2024高一上·浙江温州·阶段练习）某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40，则这辆汽车刹车前的车速至少为（    ）（精确到1） A．76 B．77 C．78 D．80 【答案】B 【分析】设这辆汽车刹车前的车速，利用题设中的的关系式和不等式关系可得的一元二次不等式，求的范围可得． 【详解】设这辆汽车刹车前的车速为， 根据题意，有， 移项整理，得， 解得． 所以这辆汽车刹车前的速度至少为77． 故选：B 7-4．（2024高一下·北京昌平·期中）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（    ） A．20≤x≤30 B．20≤x≤45 C．15≤x≤30 D．15≤x≤45 【答案】B 【分析】 根据已知条件，先求出该厂每天获得的利润的函数解析式，再结合每天获利不少于1300元，列出不等式求解即可． 【详解】 设该厂每天获得的利润为y元， 则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80)． 由题意，知－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得：20≤x≤45， 所以日销量x的取值范围是20≤x≤45． 故选：B． 7-5．（2024高一上·江苏连云港·阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间分别有如下关系：，，问：甲、乙两车有无超速现象？ 【答案】甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速． 【分析】由题意列不等式求解后判断， 【详解】由题意得，对于甲车，， 即，而，解得， 甲车未超过规定限速， 同理对于乙车，， ，而，解得， 乙车超过规定限速． 答：甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速． 一、单选题 1．（2024高一上·内蒙古兴安盟·阶段练习）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况. 【详解】若关于的不等式有解, 则，解得. 故选：C. 2．（2024高一上·江苏盐城·期中）已知不等式的解集为，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由韦达定理即可求解. 【详解】由题可知：3和4是方程的两个实数根， 由韦达定理可知：，解得：， 则. 故选：C 3．（2024高一·全国·课后作业）若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次不等式的特征即可求解. 【详解】由于，所以,所以不等式的解集， 故选：D 4．（2024高二下·山东滨州·阶段练习）若不等式的解集为或，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由不等式的解集得出和是方程的两个根，代入求解即可得出答案． 【详解】因为不等式的解集为或， 所以和时，， 即，， 解得,, 故选：D． 5．（2024高一上·内蒙古包头·期末）若不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由对一切实数都成立，结合函数的性质分成，讨论进行求解. 【详解】对一切实数都成立， ①时，恒成立， ②时，，解得， 综上可得，. 故选：A. 6．（2024高一上·浙江·期中）已知，关于x的不等式的解集为（    ） A．或B． C．或 D． 【答案】A 【解析】分解因式得，由可得，即可得出解集. 【详解】不等式化为， ，，故不等式的解集为或. 故选：A. 7．（2024高一上·广东肇庆·期中）若命题“”为真命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意转化为不等式在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由命题“”为真命题，即不等式在上恒成立， 设， 根据二次函数的性质，可得，所以. 故选：A. 8．（2024高一上·全国·课后作业）已知不等式和不等式的解集相同，则实数的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解绝对值不等式，再利用一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系计算即可. 【详解】，解得， 因为，不等式和不等式的解集相同， 故的两根为-2或，且， 由韦达定理得：，解得：， 故选：B. 9．（2024高一上·全国·课后作业）若一元二次不等式的解集是，则一元二次不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得是的两个根，且利用韦达定理可得到，即可对进行求解 【详解】由一元二次不等式的解集是可得是的两个根，且 所以， 所以可化为，即， 解得或. 故选：C 10．（2024高一·全国·课后作业）设，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．{x|x>a} C．或 D． 【答案】A 【分析】当时，根据开口方向及根的大小关系确定不等式的解集. 【详解】因为，所以等价于， 又因为当时，，所以不等式的解集为：或． 故选：A． 【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，较简单，解答时，注意根的大小关系比较. 11．（2024高三下·湖南·阶段练习）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】结合含参一元二次不等式的解法即可. 【详解】解：方程的两个根为和， 因为，所以， 故不等式的解集为． 故选：B． 12．（2024高二下·辽宁·阶段练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解：不等式的解集为，得到，且，，进而转化不等式求解. 【详解】解：因为关于的不等式的解集为， 所以，且，， 所以，， 所以化为， 解得. 故选：A. 13．（天津市南开中学滨海生态城学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】结合题意易知，,即，解得， 因为，所以， 这批台灯的销隹单价的取值范围是， 故选：A. 14．（2024高一下·河北保定·阶段练习）若，使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可转化为，使成立，求的最小值即可. 【详解】因为，使得不等式成立， 所以，使得不等式成立， 令，， 因为对称轴为，， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 15．（2024高一上·广东广州·阶段练习）已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】参变分离可得在区间内有实根，令，，根据二次函数的性质求出的值域，即可求出参数的取值范围. 【详解】解：因为关于的方程在区间内有实根， 所以在区间内有实根， 令，，所以在上单调递减， 所以，即， 依题意与在内有交点， 所以. 故选：B 16．（2024高一上·山东临沂·阶段练习）命题，使得成立.若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是假命题可得命题的否定为真命题，写出命题的否定，再利用分离参数的方法求解即可． 【详解】因为命题，使得成立， 所以命题的否定为：，成立， 而是假命题，故命题的否定为真命题． 所以在上恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即. 故选：A. 17．（2024高一上·江苏苏州·阶段练习）“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】求出满足题意的充要条件为，然后根据充分条件以及必要条件的定义，即可得出答案. 【详解】因为不等式的解集为， 所以应有， 解得. 选择的必要不充分条件的范围，应该大于包含的范围，显然只有C项满足. 故选：C. 18．（2024高一上·辽宁辽阳·期中）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解集确定为的两根，求得，可得，利用均值不等式可求得答案. 【详解】由题意关于x的不等式的解集为，其中， 可知 ，且为的两根，且， 即，即 ， 所以，当且仅当时取等号， 故选:C. 19．（2024高三·全国·专题练习）若不等式的解集是的子集，则a的范围是（　　） A．[－4，3] B．[－4，2] C．[－1，3] D．[－2，2] 【答案】A 【分析】原不等式可化为，后通过讨论与1的大小解不等式，结合解集是的子集可得答案. 【详解】原不等式可化为. 当a＜1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要即可，即； 当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求； 当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要即可，即. 综上可得：. 故选：A. 20．（2024高一上·四川阿坝·期中）关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先解出不等式，根据不等式的解分类讨论可得． 【详解】不等式化为， 当时，不等式无解， 当时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则， 当时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则， 综上的取值范围是． 故选：. 【点睛】方法点睛：本题考查解一元二次不等式，对于含有参数的一元二次不等式需要分类讨论才能求解．分类标准有三个层次：一是二次项系数的正负，二是相应一元二次方程的判别式的正负，三在方程有解时，讨论解的大小，以得出不等式的解． 21．（2024高三上·河南·期末）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设，，由一次函数以及不等式分析得时，，变形后代入，然后利用基本不等式求解. 【详解】设（），（）， 因为，所以当时，； 当时，； 当时，； 由不等式恒成立，得：或， 即当时，恒成立， 当时，恒成立， 所以当时，，则，即， 则当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 22．（2024高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，分析可得原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算. 【详解】∵，，则， ∴， 又∵，且， 可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， ∵的开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 故实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】结论点睛： 对，恒成立，等价于； 对，恒成立，等价于. 二、多选题 23．（2024高一上·全国·课后作业）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】AB 【分析】确定每件商品的利润、销售量，根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系，解不等式可得答案. 【详解】设销售价定为每件x元，利润为y元， 则， 依题意有， 即， 解得， 所以每件销售价应为12元到16元之间，故每件销售价可能为13元或15元， 故选︰AB． 24．（2024高一上·河北唐山·期末）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．关于x的不等式的解集为 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系，即可由根与系数的关系得，进而结合选项即可求解. 【详解】由不等式的解集为，所以和1是方程的两个根，由根与系数的关系可得 ，解得 ， 故A错误，B正确，，故C正确， 不等式变为，解得，故D错误， 故选：BC 25．（2024高一上·全国·单元测试）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（    ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 【答案】AD 【分析】根据集合子集的个数列方程，求得的关系式，对AB利用二次函数性质可判断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可判断. 【详解】由于集合有且仅有两个子集， 所以，即，由于，所以. ，当时等号成立， 故A正确，B错误. C，不等式的解集为，所以，故C错误. D，不等式的解集为， 即不等式的解集为，且， 则， 则，所以，故D正确. 故选：AD 26．（2024高一·全国·单元测试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．关于x的不等式的解集可以是 B．关于x的不等式的解集可以是 C．函数的图象与x轴正半轴可以有两个交点 D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 【答案】BCD 【分析】根据不等式的解集求出、，再解不等式可判断A；取，，解不等式可判断B；取，可判断C；根据根的分布、充要条件的定义可判断D． 【详解】若不等式的解集是，则且，得， 而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误； 取，，此时不等式的解集为，故B正确； 函数的图象与x轴正半轴可以有两个交点,即可以有2个正根，取，，则由，得或3，故C正确； 若关于x的方程有一个正根和一个负根，则得， 若，则，故关于x的方程有两个不等的实根， 且，即关于x的方程有一个正根和一个负根． 因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确． 故选：BCD． 27．（2024高一下·四川南充·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】ABD 【分析】根据不等式对应方程根与系数的关系得到，，，再代入不等式依次计算得到答案. 【详解】关于的不等式的解集为或， 故，且，整理得到，， 对选项A： ，正确； 对选项B：，即，解得，正确； 对选项C：，错误； 对选项D：，即，即， 解得，正确. 故选：ABD 28．（2024高一上·江苏南京·期末）设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为0 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个不相等的正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BCD 【分析】逐项分析每个选项方程根的情况对应的参数m满足的不等式，解出m的范围，判断正误. 【详解】对于A选项，时无实根，A错误； 对于B选项，当时方程有实根，当时，方程无实根则，解得，一个必要条件是，B正确； 对于C选项，方程有两个不等正根，则，，，，解得； 对于D选项，方程有一个正根和一个负根，则，，解得，D正确； 故选：BCD. 29．（2024高一上·河南郑州·期末）已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】AD 【分析】根据不等式解集为或，可判断a的正负，确定是的两根，从而求出，由此一一判断每个选项，可得答案. 【详解】关于的不等式解集为或, 结合二次函数和一元二次方程以及不等式的关系， 可得，且是的两根，A正确； 则，故， 所以即，即的解集为，B错误； 由于的不等式解集为或, 故时，，即，C错误； 由以上分析可知不等式即， 因为，故或， 故不等式的解集为或，D正确， 故选：AD 30．（2024高二下·浙江温州·学业考试）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（    ） A． B． C． D．2 【答案】CD 【分析】由题意先判断出，写出不等式的解集，由不等式的解集中恰有3个正整数，分析的这3个正整数为,计算求解即可. 【详解】不等式化简为的解集中恰有3个正整数， 当时，不等式化为，则解集中有无数个整数. 当时，不等式的解集中有无数个正整数，故A错误； 所以，，，所以 所以不等式的解集为：， 根据0一定属于此集合， 则由不等式的解集中恰有3个正整数， 则这3个整数中一定为：， 则，解得 故可取和2，故C,D正确，AB错误； 故选：CD. 31．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）已知关于的不等式，下列结论正确的是（    ） A．当时，不等式的解集为 B．当时，不等式的解集可以表示为形式 C．若不等式的解集恰为，则或 D．若不等式的解集恰为，则 【答案】AD 【分析】A. 假设有解，求判别式可得b的范围； B项作图，即可得到； 对于C、D两项，由题目可转化为，二次函数的给定范围与函数值范围相同，则应有，即可解得b的值，然后检验a的值即可. 【详解】A选项，若 有解，即有解， 则有，， 所以，.这与已知不相符，所以不等式无解，解集为； B选项，作出的图象以及y=a，y=b的图象.由图可知，此时不等式的解集应由两部分组成； C，D选项：因为不等式的解集恰为，即可以转化为二次函数在上的取值是. 则必有，即，解得，或. 又因为在R上的最小值为，则应有且. 当时，有. 即，解得，或，与不相符，舍去； 当时，有. 即，解得，a=0或a=4（舍去）. 所以，a=0,b=4. 故选：AD. 三、填空题 32．（2024高三上·上海徐汇·阶段练习）已知，若时，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，根据二次函数最值问题中“轴变区间定”对称轴进行分类讨论，即可求得答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 若时，恒成立，则有： 当，即时，则，解得，不合题意； 当，即时，则，解得； 当，即时，则，解得； 综上所述：的取值范围为． 故答案为：． 33．（2024高一·全国·单元测试）已知，当时，不等式恒成立，则实数m的范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可得对任意的恒成立，根据二次函数的性质求出，的最小值即可求解. 【详解】由题意可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立. 令，， ，，则, 所以,所以实数m的范围为. 故答案为:. 34．（2024高三·全国·专题练习）已知对任意，恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的恒成立问题，结合判别式分析运算. 【详解】因为对任意，恒成立， 则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 35．（2024高一下·福建漳州·期末）不等式的解集为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先根据题意转化为恒成立，讨论的取值，列式求解. 【详解】∵不等式的解集为， ∴恒成立. ①当，即时，不等式化为， 解得：，不是对任意恒成立，舍去； ②当，即时，对任意， 要使， 只需且， 解得：. 综上，实数m的取值范围是. 故答案为： 36．（2024高三·全国·专题练习）若关于x的不等式的解集为，则ab＝ . 【答案】24 【分析】由一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系计算即可. 【详解】由一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系知：，或为方程的两个根，即，∴. 故答案为：24 37．（2024高一上·河南郑州·阶段练习）已知为实数，命题甲：关于的不等式的解集为；命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】通过分类讨论可求得命题甲为真命题时的取值范围；根据一元二次方程根的特征，求得命题乙为真命题时的取值范围，进而得到甲、乙至少有一个为真命题时，实数的取值范围． 【详解】由命题甲：关于的不等式的解集为， 当时，不等式恒成立； 当时，则满足，解得， 综上可得． 由命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根， 则满足，整理得， 所以，解得． 所以甲、乙至少有一个为真命题时，有或， 可得，即实数的取值范围为． 故答案为：． 38．（2024高三·全国·专题练习）对恒成立，则实数的范围为 . 【答案】 【分析】分，两种情况，利用判别式可得答案. 【详解】对恒成立． ① 当时，可得. 若，则有，合乎题意； 若，则有，解得，不合乎题意； ②若，则，解得 综上，实数的范围为. 39．（2024高二上·河南新乡·期末）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对不等式的类型分类讨论，根据判别式及二次项系数的符号列式可求出结果. 【详解】①当，即时， ，解得. ②当，即时， 若，则原不等式为，恒成立． 若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去． 综上所述，当时，原不等式的解集为R. 故答案为：. 四、解答题 40．（2024高一上·河南南阳·阶段练习）已知不等式：. (1)若，求不等式解集； (2)若，求不等式解集. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （2）对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得正确答案. 【详解】（1），， 当时，解得或. 所以不等式的解集为或. （2），， 当时，由（1）得不等式的解集为或. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为或. 41．（2024高一上·上海虹口·阶段练习）已知，求解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】由于可化简为，二次项系数中含有参数且是否为零不确定，先按二次项系数的符号分类讨论，再讨论两根的大小即可求解 【详解】， （1）当时， 即 解得 （2）当时， 解得 （3）当时 ①当时，即 解得 ②当时， 或 ③当时， 或 综上所述： 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 42．（2024高三·全国·专题练习）解下列关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次不等式对应二次函数的开口方向，并讨论符号求解集即可. 【详解】由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为； 综上，解集为； 或解集为. 43．（2024高一下·贵州黔东南·期末）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量（单位：m3）与天数的关系是，水库原有水量为80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警． (1)求的值； (2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)汛期的第9天会有危险，理由见解析 【分析】（1）根据条件可建立方程，解出即可； （2）设第天发生危险，由题意得 ，解出此不等式，然后可得答案. 【详解】（1）由题意得： ， 即 （2）由（1）得 设第天发生危险，由题意得 ，即，得． 所以汛期的第9天会有危险 44．（2024高三上·宁夏·阶段练习）解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0（a＞0）． 【答案】答案见解析. 【分析】由a＞0，把不等式化为，求出不等式对应方程的实数根，讨论两根的大小，写出对应不等式的解集． 【详解】解：由ax2﹣（a+1）x+1＜0，得（ax﹣1）（x﹣1）＜0； ∵a＞0，∴不等式化为， 令， 解得； ∴当0＜a＜1时，即，原不等式的解集为{x|1＜x}； 当a＝1时，即，原不等式的解集为； 当a＞1时，即，原不等式的解集为． 45．（2024高二·河南濮阳·开学考试）已知关于的函数． (1)当时，求不等式的解集. (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法直接求解即可； （2）将所求不等式化为，根据一元二次不等式的解法直接求解即可. 【详解】（1）当时，， 由得：或，的解集为或. （2）由得：， 当时，令，解得：，， 则由得：或， 的解集为. 46．（2024高二上·全国·专题练习）解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】根据判别式分类讨论或、和三种情况，即可求出一元二次不等式的解集. 【详解】由题意知， ①当，即或时， 方程的两根为， 所以解集为； ②若，即时， 当时，原不等式可化为， 即，所以， 当时，原不等式可化为， 即，所以； ③当， 即时，原不等式的解集为； 综上，当或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 47．（2024高三·全国·专题练习）解下列关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】讨论参数a，结合一元二次不等式的解法求解集即可. 【详解】当时，原不等式为，解集为； 当时，原不等式为，解集为； 当时，原不等式为， 若，即时，解集为或； 若，即时，解集为； 若，即时，解集为或； 综上，解集为； 解集为； 解集为或； 解集为； 解集为或. 48．（2024高一·全国·专题练习）解关于的不等式 ． 【答案】分类讨论，答案见解析. 【分析】利用含参一元二次方程不等式的解法求解. 【详解】方程中， ①当即时，不等式的解集是， ②当，即时，不等式的解集是， ③当即时， 由解得：， 时，不等式的解集是或， 综上，时，不等式的解集是， 时，不等式的解集是， 时，不等式的解集是或， 49．（2024高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知． (1)当时，求不等式的解集； (2)解关于的不等式． 【答案】(1)或 (2)见解析 【分析】（1）直接将代入，根据一元二次不等式即可得解集， （2）将与1比较，分类讨论即可求解． 【详解】（1）当时，，，或， 不等式解集为：或； （2）不等式可化为． ①当时，原不等式即为，解得； ②当时，原不等式化为，解得； ③当时，原不等式化为，解得． 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 50．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数，，. (1)若关于的不等式的解集为或，求实数，的值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式的解集中恰有个整数，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数与一元二次方程、不等式的关系，即可求出，的值； （2）将不等式有解（能成立）问题转化为二次函数最值问题解决即可； （3）构造函数，讨论的解集恰有个整数即可. 【详解】（1）∵关于的不等式的解集为或， ∴方程的两根为，， ∴， ∴解得，. （2）令， 若关于的不等式在上有解，则在上有解， ∴只需使在区间上的最小值. 图象是开口向上，对称轴为的抛物线， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ①当，即时，在区间上单调递增， ∴，解得， 此时，； ②当，即时， 在区间上单调递减， ∴，解得， 此时，； ③当，即时， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴，解得或， 此时，； 综上所述，实数的取值范围是. （3）令 若关于的不等式的解集中恰有个整数， 则的解集中恰有个整数， ， ①当，即时，解集为，不合题意； ②当，即时，解集为， 若解集中恰有个整数，则这个整数为，，， ∴，解得， ∴此时； ③当，即时，解集为， 若解集中恰有个整数，则这个整数为，，， ∴，解得， ∴此时； 综上所述，实数的取值范围是. 51．（2024高一·全国·单元测试）已知二次函数. (1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式； (2)若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设二次函数的两个零点分别为，，由求出t，直接解得； （2）由根的分布情况列不等式组，求出实数t的取值范围． 【详解】（1）设二次函数的两个零点分别为，， 由已知得， 而，所以，故， 不等式即，解得或， 故不等式的解集为或. （2）因为方程的两个实根均大于且小于4，所以，即， 解得：，即实数t的取值范围为. 52．（2024高一·全国·课后作业）已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ (3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据方程根的分布，可得不等式，求得答案; （2）根据方程根的分布，可得不等式组，求得答案; （3）根据方程根的分布，可得不等式组，求得答案; 【详解】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线， 故方程的一个根大于1，另一个根小于1， 则，解得，所以a的取值范围是． （2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3， 作满足题意的二次函数的大致图象， 由图知， ， 解得．所以a的取值范围是． （3）方程的两个根都大于0， 则 ，解得，所以a的取值范围是． 53．（2024高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数. (1)当时，求解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 【答案】(1)； (2)6 【分析】（1）解一元二次不等式，即可得答案； （2）根据方程有两个正实数根可得相应不等式组，进而表示出，采用换元法结合基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）当时, 不等式即为，解得或， 故不等式解集为 ； （2）方程有两个正实数根， 即有两个正实数根， 故，解得； 所以， 令，则， 故， 当且仅当即时取得等号， 故的最小值为6. 54．（2024高一上·上海黄浦·阶段练习）已知关于的不等式的解集为． (1)若，求实数的取值范围； (2)若存在两个不相等的正实数，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对二次项系数是否为零分类讨论，当系数为零时，直接写出不等式进行判断，当系数不为零时，结合二次函数图象得到关于k的不等式组，解不等式组得到k的取值范围； （2）根据一元二次不等式的解集得到对应的一元二次方程的根特点，根据根与系数的关系得到关于k的不等式组，解不等式组得到k的取值范围. 【详解】（1）当时，或， 当时，不等式化为，解集不是空集，舍去； 当时，不等式化为，此时解集为空集； 当且时，要使， 则需满足， 解得． 综上可得，实数的取值范围是． （2）要存在两个不相等的正实数，使得， 则且方程的两个相异正根为a，b， 则， 解得，即实数的取值范围是． 55．（2024高一上·浙江宁波·阶段练习）设． (1)当时，若两根一个比小，一个比大，求范围． (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可. （2）依题意可得，分别讨论，，，，，结合二次不等式的解法，可得所求解集． 【详解】（1）解：对于函数，当时，有两根一个比小，一个比大， 所以，即，解得； （2）解：不等式， 即， 当时，原不等式即，解得，所以不等式的解集为； 当时，即，解得，所以不等式的解集为； 若，不等式即， 当时，不等式化为，解得，所以不等式的解集为； 当时，，不等式化为，解得或，所以不等式的解集为或； 当时，，不等式化为，解得或，所以不等式的解集为或． 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或． 56．（2024高二下·江苏镇江·阶段练习）已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有． (1)求函数的表达式； (2)设，若函数≥在上恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，得，从而恒成立，得，即可求解； （2）依题意可得，分和两种情况，当时，分离变量进行求解即可. 【详解】（1）由题意得 ，所以， 因为对于任意，都有，即恒成立， 故，解得，.                          所以； （2）由≥得 当时，不等式恒成立； 当时，，                                令，则，         即， 当且仅当时，即时，实数取得最大值. 57．（2024高一下·湖北武汉·阶段练习）已知，解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论求解含参数的一元二次不等式作答即可. 【详解】当时，不等式为，解得； 当时，不等式化为， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为， 若，不等式为，解得； 若，解得或； ，解得或. 综上所述，当时，原不等式的解集是； 当时，原不等式的解集是； 当时，原不等式的解集是或； 当时，原不等式的解集是或． 58．（2024高三·全国·专题练习）解下列关于的不等式． 【答案】见解析 【分析】一元二次不等式，讨论开口方向即可. 【详解】方程： 且 解得方程两根：； 当时，原不等式的解集为： 当时，原不等式的解集为： 综上所述, 当时，原不等式的解集为： 当时，原不等式的解集为： 59．（2024高一上·江西宜春·阶段练习）若关于x的不等式的解集为． (1)当时，求的值； (2)若，，求的值； (3)在（2）的条件下，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）（2）利用根与系数关系求出，代入目标式求值即可； （3）由（2）结论，应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意等号成立条件. 【详解】（1）由题意，关于x的方程有两个根，， 所以，故． （2）由题意，关于x方程有两个正根， 由韦达定理知，解得， 所以. （3）由（2），，且，， 所以，而、， 所以，当且仅当，且，即，取等号， 此时实数符合条件，故，且当时，取得最小值． 60．（2024高一上·湖北武汉·期中）已知一元二次方程． (1)写出“方程有一个正根和一个负根”的充要条件； (2)写出“方程有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明． 【答案】(1) (2)方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件可以是，证明见解析 【分析】（1）利用判别式及韦达定理即可得到不等式组，解出即可； （2）首先由（1）知其充要条件为，故可以选取作为其必要不充分条件，再证明即可. 【详解】（1）若方程有一个正根和一个负根， 则，即，． 方程有一个正根和一个负根的充要条件是． （2）方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件是， 证明：若方程有一个正根和一个负根， 则由（1）知其充要条件为， 从而，故必要性成立． 若，则方程中，，， 方程有两个同号根，充分性不成立， 故是方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件． 61．（2024高三·全国·专题练习）关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据二次方程根的分布的性质逐一解决每个小问. 【详解】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）若方程的一个根大于，一个根小于，则，解得 （3）若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得 （4）若方程的一个根小于，一个根大于， 则，解得 （5）若方程的两个根都在内，则，解得 62．（2024高一·江苏·假期作业）解关于x的不等式 【答案】答案见解析 【分析】原不等式可化为，分、、三种情况求解即可. 【详解】原不等式可化为. 当，即时，或； 当，即时，； 当，即时，或. 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当 时，解集为或. 63．（2024高一上·福建福州·阶段练习）已知命题是假命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为A，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得到是真命题，从而将问题转化为二次函数在区间内恒成立问题，由此得解； （2）先由必要不充分条件的性质得到集合是集合的真子集，再分类讨论得到解集，从而列不等式求得的取值范围. 【详解】（1）因为命题是假命题， 所以命题是真命题， 所以在上恒成立， 令，则开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以， 所以，即，故. （2）因为是的必要不充分条件， 所以集合是集合的真子集，又， 因为对应的方程的根为或， 当，即时，由得，则， 所以，则，故； 当，即时，由得，显然，即，满足题意； 当，即时，由得，则， 所以，则，故； 综上：，即. 64．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）已知二次函数（为实数） (1)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围； (2)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围； (3)对，时，恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）依题意可得，即对，恒成立，参变分离可得对恒成立，令，则，再利用基本不等式计算可得； （2）依题意可得对恒成立，即对恒成立，结合一次函数的性质得到不等式组，解得即可； （3）依题意可得，即可得到，从而，再利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）时，，即， ，恒成立，即恒成立，恒成立， ，对恒成立，． 令，则， 则， 当且仅当，即，此时时取， 所以实数的取值范围时． （2）时，，即， ，恒成立，即对恒成立， 对恒成立． ，， 所以实数的取值范围是． （3）对，时，恒成立，，则． ，当且仅当且，即时取等号， 所以最小值是． 65．（2024高一上·北京·期中）已知函数. (1)若，解不等式； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）利用二次不等式的解法解之即可； （2）分类讨论，，，与五种情况，利用二次不等式的解法解之即可，注意时不等号的方向. 【详解】（1）当时，， 所以由得，解得或， 故的解集为或. （2）由得， 当时，不等式化为，解得，故不等式的解集为； 令，解得或， 当，即时，不等式解得或，故不等式的解集为或； 当，即时，不等式化为，解得，故不等式的解集为； 当，即时，不等式解得或，故不等式的解集为或； 当，即时，不等式解得，故不等式的解集为； 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$