第二章 导数及其应用章末综合测评-2024-2025学年高二数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第二章　导数及其应用 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.[2023甘肃金昌永昌第一高级中学校考期中]已知函数f(x)=ex-cos x+1(e为自然对数的底数),则f'(0)等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.e 2.已知函数y=f(x)(x∈R),其导函数为y=f'(x),有以下两个命题: ①若y=f'(x)为偶函数,则y=f(x)为奇函数; ②若y=f'(x)为周期函数,则y=f(x)也为周期函数. 那么(　　) A.①是真命题,②是假命题 B.①是假命题,②是真命题 C.①,②都是真命题 D.①,②都是假命题 3.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(　　) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 4.函数f(x)=x3+3x2+3x-a的极值点的个数是(　　) A.2 B.1 C.0 D.由a确定的 5.若函数f(x)=-x3+3x2+9x+a在区间[-2,-1]上的最大值为2,则它在该区间上的最小值为(　　) A.-5 B.7 C.10 D.-19 6.如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,给出下列结论: ①-3是函数y=f(x)的极值点; ②-1是函数y=f(x)的最小值点; ③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零; ④y=f(x)在区间(-3,1)内单调递增. 则正确结论的序号是(　　) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 7.[2023江西高二校联考期中]设曲线f(x)=a+2x在点(1,f(1))处的切线与直线xln 2-y+3=0平行,则实数a=(　　) A.ln 2-2 B.-ln 2 C.-2ln 2 D.-3ln 2 8.已知函数g(x)的图象关于y轴对称,当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,g(2)=0,且g(x)=f(x+1),则(x+1)f(x)>0的解集为(　　) A.(3,+∞) B.(-∞,1)∪(1,+∞) C.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞) 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.下列求导运算错误的是(　　) A.x+'=1+ B.(log2x)'= C.(3x)'=3x D.(x2cos x)'=-2xsin x 10.设点P是曲线y=ex-x+上的任意一点,点P处的切线的倾斜角为α,则角α的取值范围包含区间(　　) A.,π B. C.0, D.0,∪,π 11.对于函数f(x)=,下列说法正确的有(　　) A.f(x)在x=e处取得极大值 B.f(x)有两个不同的零点 C.f(2)<f(π)<f(3) D.若f(x)<k-在(0,+∞)内恒成立,则k>1 12. 已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如表所示,f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) x -1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 A.函数f(x)的极大值点有2个 B.函数f(x)在[0,2]上单调递减 C.若x∈[-1,t],f(x)的最大值是2,则t的最大值为4 D.当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知函数f(x)=e2x,那么f'(x)=　　　　　　.  14.已知曲线y=sin在x=处的切线为m,则过点(2,-3)且与切线m垂直的直线方程为　　　　　.  15.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有三个相异的公共点,则实数a的取值范围是　　　　.  16.已知函数f(x)=ln x-的极小值大于0,则实数m的取值范围为　　　　　　.  四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)[2023四川内江第六中学校考期中]已知函数f(x)=ax2-(a+1)x+ln x,g(x)=x2-2bx+. (1)当0<a<1时,求函数f(x)的单调区间; (2)当a=时,函数f(x)在(0,2]上的最大值为M,若存在x∈[1,2],使得g(x)≥M成立,求实数b的取值范围. 18.(12分)[2023全国新高考卷Ⅰ,19]已知函数f(x)=a(ex+a)-x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明:当a>0时,f(x)>2ln a+. 19.(12分)设函数f(x)=a2ln x-x2+ax(a>0). (1)求f(x)的单调区间; (2)求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立. 20.(12分)甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车每小时的运输成本P(单位:元)关于速度v(单位:千米/时)的函数关系是P=v4-v3+15v. (1)求全程运输成本Q(单位:元)关于速度v的函数关系式. (2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值. 21.(12分)已知函数f(x)=xex+ax2+2x+1在x=-1处取得极值. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若函数y=xex与y=-x2-2x+m的图象只有一个交点,试求实数m的值. 22.(12分)已知函数f(x)=ex+t-x在x=1处的切线是x轴. (1)求f(x)的单调区间; (2)若x≥1,f(x)-m(ln x-x+1)≥0恒成立,求实数m的取值范围. 参考答案 1.B　由已知可得f'(x)=ex+sin x,所以f'(0)=e0+sin 0=1.故选B. 2.D　对①,取f(x)=sin x+1,则f'(x)=cos x为偶函数,故①为假命题;对②,取函数f(x)=x+sin x,则函数不是周期函数,但f'(x)=1+cos x是周期函数,故②为假命题.故选D. 3.D　f'(x)=(x-2)ex,由f'(x)>0,得x>2,所以函数f(x)的单调递增区间是(2,+∞). 4.C　∵f'(x)=3x2+6x+3=3(x2+2x+1)=3(x+1)2≥0,∴函数f(x)在R上单调递增,无极值.故选C. 5.A　∵f'(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3),∴函数f(x)在[-2,-1]上单调递减,∴最大值为f(-2)=2+a=2, ∴a=0,函数f(x)在区间[-2,-1]上的最小值为f(-1)=a-5=-5. 6.D　由导函数y=f'(x)的图象可知,当x<-3时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>-3时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故x=-3是函数y=f(x)的极小值点,也是最小值点,故①④正确,②③错误.故选D. 7.C　由f(x)=a+2x得f'(x)=+2xln 2,故f'(1)=a+2ln 2, 由于点(1,f(1))处的切线与直线xln 2-y+3=0平行,且直线xln 2-y+3=0的斜率为ln 2,所以f'(1)=a+2ln 2=ln 2,解得a=-2ln 2,故选C. 8.A　因为函数g(x)的图象关于y轴对称,所以g(x)为偶函数,则g(-2)=g(2)=0.因为当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,故g(x)单调递减,所以当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,故g(x)单调递增,故当x<-2或x>2时,g(x)>0,当-2<x<2时,g(x)<0.因为g(x)=f(x+1),所以f(x)=g(x-1),故不等式(x+1)f(x)>0等价于(x+1)g(x-1)>0, 所以 解得x>3,所以(x+1)f(x)>0的解集为(3,+∞). 故选A. 9.ACD　x+'=1-,故A错误;(log2x)'=,故B正确;(3x)'=3xln 3,故C错误;(x2cos x)'=2xcos x+x2(-sin x)=2xcos x-x2sin x,故D错误.故选ACD. 10.CD　y=ex-x+的导数为y'=ex-,由ex>0,可得切线的斜率k>-,由tan α>-,可得0≤α<<α<π,故选CD. 11.ACD　函数的导数为f'(x)=(x>0),令f'(x)=0得x=e,当0<x<e时,f'(x)>0,函数单调递增,当x>e时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,则当x=e时,函数取得极大值,极大值为f(e)=,故A正确; 当x→0时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→0, 则f(x)的大致图象如图: 由f(x)=0,得ln x=0,解得x=1,即函数f(x)只有一个零点,故B错误; 因为f(4)==f(2),f(3)>f(π)>f(4), 所以f(2)<f(π)<f(3)成立,故C正确; 若f(x)<k-在(0,+∞)内恒成立, 则k>,设h(x)=(x>0), 则h'(x)=-,当0<x<1时,h'(x)>0,当x>1时,h'(x)<0,即当x=1时,函数h(x)取得极大值同时也是最大值,最大值为h(1)=1,故k>1成立,故D正确. 故选ACD. 12.AB　由f'(x)的图象可知,当-1≤x<0或2<x<4时,f'(x)>0,当0<x<2或4<x≤5时,f'(x)<0,即当x=0时,函数f(x)取得极大值,当x=4时,函数f(x)取得极大值,即函数f(x)有两个极大值点,故A正确; 函数f(x)在[0,2]上单调递减,故B正确; 作出f(x)的大致图象如图:若x∈[-1,t],f(x)的最大值是2,则t满足0≤t≤5,即t的最大值是5,故C错误; 由y=f(x)-a=0得f(x)=a, 若f(2)≤1,当1<a<2时,f(x)=a有四个根, 若1<f(2)<2,当1<a<2时,f(x)=a不一定有四个根,故函数y=f(x)-a有4个零点不一定正确,故D错误. 故选AB. 13.2e2x　∵f(x)=e2x,∴f'(x)=2e2x. 14.x-y-5=0　由函数y=sin,可得y'=cos,则y'cos=-1,即切线m的斜率为k=-1,所以所求直线的斜率为1,其方程为y+3=x-2,即x-y-5=0. 15.(-2,2)　令f'(x)=3x2-3=0,得x=±1,可求得f(x)的极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,f(x)的大致图象如图所示,当-2<a<2时,恰有三个不同公共点. 16.-∞,-　由f(x)=ln x-,得f'(x)=(x>0). 令f'(x)=0,则x=-m, 当x>-m时,f'(x)>0,当0<x<-m时,f'(x)<0, f(x)在(0,-m)内单调递减,在(-m,+∞)内单调递增, 所以当x=-m时,f(x)取得极小值,所以-m>0,m<0. f(x)极小值=f(-m)=ln(-m)+1>0,解得m<-. 综上,m的取值范围为-∞,-. 17.解(1)由题设f'(x)=ax-(a+1)+, 由0<a<1,则>1,当x变化时f(x),f'(x)随x的变化情况如下表: x (0,1) 1 f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ ↘ ↗ 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),,单调递减区间为. (2)由(1)知,当a=时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,2)内单调递减,所以M=f(1)=-, 存在x∈[1,2]使g(x)=x2-2bx+≥-, 所以解得b≤, 所以b的取值范围是. 18.(1)解f'(x)=aex-1,x∈R. ①当a≤0时,f'(x)≤0对任意x∈R恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)内单调递减. ②当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln=-ln a. 随x的变化,f'(x),f(x)的变化如下表: x (-∞,-ln a) -ln a (-ln a,+∞) f'(x) - 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ 所以函数f(x)的单调递增区间是(-ln a,+∞),单调递减区间是(-∞,-ln a). 综上,当a≤0时,f(x)的单调递减区间是(-∞,+∞),无单调递增区间; 当a>0时,f(x)的单调递增区间是(-ln a,+∞),单调递减区间是(-∞,-ln a). (2)证明当a>0时,要证f(x)>2ln a+恒成立,即证f(x)min>2ln a+成立. 当a>0时,由(1)知,f(x)的极小值同时也是最小值,是f(-ln a),下面证明f(-ln a)>2ln a+. f(-ln a)=a(e-ln a+a)-(-ln a)=1+a2+ln a. 令g(a)=f(-ln a)-2ln a-=a2-ln a-, a∈(0,+∞),(关键点:这里构造新函数,研究新函数的单调性、最值) 则g'(a)=2a-,令g'(a)=0,得a=. 随a的变化,g'(a),g(a)的变化如下表: a 0, ,+∞ g'(a) - 0 + g(a) ↘ 极小值 ↗ 所以在a=时,g(a)取最小值. g(a)min=g=-ln=-ln=ln >ln 1=0. 因此f(-ln a)>2ln a+成立. 因此当a>0时,f(x)>2ln a+. 19.解(1)∵f(x)=a2ln x-x2+ax,x>0, ∴f'(x)=-2x+a=-,x>0, 由于a>0,∴f(x)的单调递增区间为(0,a),单调递减区间为(a,+∞). (2)由题意得,f(1)=a-1≥e-1,即a≥e,结合(1)知f(x)在[1,e]上单调递增,要使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立,只要解得a=e. 20.解(1)Q=P·=v4-v3+15v·=v3-v2+15·400=v2+6 000(0<v≤100). (2)Q'=-5v,令Q'=0,则v=0(舍去)或v=80, 当0<v<80时,Q'<0,当80<v≤100时,Q'>0, ∴当v=80千米/时时,全程运输成本取得极小值,即最小值,且Qmin=Q(80)=(元). 21.解(1)f'(x)=ex+xex+2ax+2=ex(x+1)+2ax+2, 由f'(-1)=0得-2a+2=0, 则a=1,f(x)=xex+x2+2x+1, f'(x)=ex(x+1)+2x+2=(x+1)(ex+2), 由f'(x)>0,得x>-1;由f'(x)<0,得x<-1. 故函数f(x)的单调递增区间为(-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1). (2)函数y=xex与y=-x2-2x+m的图象只有一个交点等价于方程xex=-x2-2x+m,即f(x)=m+1只有一个实数解. 由(1)f(x)在(-∞,-1)内单调递减,在(-1,+∞)内单调递增,故f(x)在x=-1处取极小值(最小值)-. 因为方程f(x)=m+1只有一个实数解, 所以m+1=-,解得m=--1. 22.解(1)f'(x)=ex+t-1,f(x)在x=1处的切线斜率k=f'(1)=e1+t-1, ∵f(x)在x=1处的切线是x轴, ∴k=e1+t-1=0,解得t=-1, ∴f(x)=ex-1-x,f'(x)=ex-1-1, 令f'(x)>0,解得x>1,令f'(x)<0,解得x<1, ∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(1,+∞). (2)构造函数h(x)=x-1-ln x(x≥1),则h'(x)=1-≥0, ∴函数h(x)在[1,+∞)内单调递增,则h(x)≥h(1)=0, ∴当x≥1时,x-1≥ln x. 由f(x)-m(ln x-x+1)≥0得ex-1-x-mln x+m(x-1)≥0,即ex-1+m(x-1)≥x+mln x=eln x+mln x, 构造函数g(x)=ex+mx,则g(x-1)≥g(ln x). ∵x≥1,∴x-1≥0,ln x≥0, ∴函数g(x)=ex+mx在[0,+∞)内单调递增, ∴g'(x)=ex+m≥0在[0,+∞)内恒成立, 即m≥-ex在[0,+∞)内恒成立, ∴m≥-1,即实数m的取值范围为[-1,+∞). 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$