第二章 导数及其应用章末综合训练-2024-2025学年高二数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第二章　导数及其应用 一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若f(x)=ln x,则=(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 2.[2023广东佛山荣山中学校考期中]函数y=(ax+1)ex在x=0处的瞬时变化率为-1,则a=(　　) A.1 B.2 C.-1 D.-2 3.奇函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=处有极值,则ac+2b的值为(　　) A.3 B.-3 C.0 D.1 4.[2023吉林长春东北师大附中校考期中]在下列函数中,在(0,+∞)内单调递增的是(　　) A.y=sin x-x B.y=x-ln x C.y=ex-x D.y=x+ 5.曲线f(x)=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(　　) A.1 B.2 C. D.3 6.[2023河北统考模拟预测]已知函数f(x)=若y=f(x)-kx恰有两个零点,则k的取值范围为(　　) A. B. C. D.∪(1,+∞) 7.设函数f(x)=x-ln x(x>0),则f(x)(　　) A.在区间,1,(1,e)内均有零点 B.在区间,1,(1,e)内均无零点 C.在区间,1内无零点,在区间(1,e)内有零点 D.在区间,1内有零点,在区间(1,e)内无零点 8.f(x)是定义在非零实数集上的函数,f'(x)为其导函数,且当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,记a=,b=,c=,则(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a 二、选择题:本题共4小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.如图是导函数y=f'(x)的图象,则下列说法错误的是(　　) A.函数f(x)的一个单调递增区间是(-1,3) B.函数f(x)的单调递减区间是(0,5) C.函数f(x)在x=0处取得极大值 D.函数f(x)在x=5处取得极小值 10.已知函数f(x)=xcos x的导函数为f'(x),则(　　) A.f'(x)为偶函数 B.f'(x)为奇函数 C.f'(0)=1 D.f+f' 11.国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示,2021年全国夏粮总产量达14 281万吨,创历史新高.粮食储藏工作关系着军需民食,也关系着国家安全和社会稳定.某粮食加工企业设计了一种容积为63 000π立方米的粮食储藏容器,已知该容器分为上、下两部分,上部分是底面半径和高都为r(r≥10)米的圆锥,下部分是底面半径为r米、高为h米的圆柱体,如图所示.经测算,圆锥的侧面每平方米的建造费用为a元,圆柱的侧面、底面每平方米的建造费用为a元,设每个容器的制造总费用为y元,则下面说法正确的是(　　) A.10≤r<40 B.h的最大值为 C.当r=21时,y=7 029aπ D.当r=30时,y有最小值,最小值为6 300aπ 12.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质,下列函数中具有T性质的是(　　) A.y=cos x B.y=ln x C.y=ex D.y=x2 三、填空题 13.在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为　　　　　　　.  14.已知奇函数f(x)的导函数为f'(x)=5+cos x,x∈(-1,1),若f(1-t)+f(1-t2)<0,则实数t的取值范围为　　　　　.  15.写出一个同时具有性质①f(x1x2)=f(x1)+f(x2),②当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0的函数f(x)=　　　　　.  16.定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0叫作函数f(x)的“新驻点”. (1)设f(x)=sin x,则f(x)在(0,π)内的“新驻点”为　　　　　.  (2)如果函数g(x)=ln(x+1)与h(x)=x+ex的“新驻点”分别为α,β,那么α和β的大小关系是　.  四、解答题:本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.[2023山东泰安高二统考期中]已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+2在x=2处有极值,其图象经过点(2,-6),且f'(0)=-4. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)在x=-1处的切线方程. 18.[2023北京东城北京二中校考期中]已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R). (1)a=1时,求函数f(x)在x=1处的切线方程; (2)讨论函数f(x)的单调性; (3)证明:不等式ex-2-ax>f(x)恒成立. 19.[2023甘肃金昌统考模拟预测]已知函数f(x)=ln x-(a∈R). (1)若a=-2,求函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程; (2)若x1,x2是函数f(x)的两个极值点,求a的取值范围,并证明:f(x1)+f(x2)=2f(1). 20.为迎接某网购狂欢节,某厂商拟投入适当的广告费,对网上所售产品进行促销.经调查测算,该促销产品在狂欢节的销售量P(单位:万件)与促销费用x(单位:万元)满足P=3-(其中0≤x≤a,a为正常数).已知生产该批产品P万件还需投入成本(10+2P)万元(不含促销费用),产品的销售价格定为4+元/件,假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求. (1)将该产品的利润y(单位:万元)表示为促销费用x(单位:万元)的函数; (2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 21.已知函数f(x)=(m∈R). (1)若m=2,求f(x)的极值; (2)若f(x)在(4,6)内单调递增,求m的取值范围. 22.设函数f(x)=x2-a(ln x+1)(a>0). (1)当a=2时,求函数f(x)的极值; (2)若函数f(x)有2个零点,求实数a的取值范围. 参考答案 1.B　由f(x)=ln x,得f'(x)=,则f'(1)=1, 所以=2=2f'(1)=2.故选B. 2.D　因为y=(ax+1)ex,则y'=(ax+a+1)ex, 因为函数y=(ax+1)ex在x=0处的瞬时变化率为-1,则y'|x=0=a+1=-1,解得a=-2.故选D. 3.B　∵函数f(x)=ax3+bx2+cx为奇函数, ∴b=0,则f'(x)=3ax2+c, 由题意得f'=0,即+c=0, 则ac=-3,所以ac+2b=-3. 4.C　对于A,y=sin x-x,则y'=cos x-1≤0,则y=sin x-x在定义域R上单调递减,故A错误; 对于B,y=x-ln x,则y'=1-,所以当x>1时,y'>0,当0<x<1时,y'<0,即函数在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,故B错误; 对于C,y=ex-x,则y'=ex-1,当x>0时,y'>0,所以函数在(0,+∞)内单调递增,故C正确; 对于D,y=x+,则y'=1-,当x>1时,y'>0,当0<x<1时,y'<0,即函数在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,故D错误.故选C. 5.C　直线2x-y+3=0的斜率为2,f'(x)=, 令=2,解得x=1, 由于f(1)=ln(2-1)=0,故曲线f(x)在点(1,0)处的切线斜率为2,则点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离d=,即曲线f(x)=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是,故选C. 6.D　y=f(x)-kx恰有两个零点,即f(x)-kx=0恰有两个实数根,由于x≠0,所以f(x)-kx=0恰有两个实数根等价于=k恰有两个实数根, 令g(x)=,则g(x)= 当x>0时,g(x)=1-,g'(x)=, 令g'(x)=0,解得x=e. 故当x>e时,g'(x)>0,此时g(x)单调递增,当0<x<e时,g'(x)<0,此时g(x)单调递减, 故当x=e时,g(x)取极小值也是最小值,g(e)=1-,且当x>1时,>0,∴g(x)=1-<1, 当x<0时,g(x)=1+>1,且g(x)单调递增, 在直角坐标系中画出g(x)的大致图象如图, 要使g(x)=k有两个交点,则k∈∪(1,+∞),故选D. 7.C　由题意得f'(x)=(x>0), 令f'(x)>0,得x>3; 令f'(x)<0,得0<x<3; 令f'(x)=0,得x=3, 故知函数f(x)在区间(0,3)内单调递减,在区间(3,+∞)内单调递增,在点x=3处有极小值1-ln 3<0; 又f(1)=>0,f(e)=-1<0,f=+1>0, 所以f(x)在区间,1内无零点,在区间(1,e)内有零点. 8.C　令g(x)=,则g'(x)=, 当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)内单调递减, 又因为log25>log24=2,1<20.2<2,0<0.22=0.04<1, 所以log25>20.2>0.22, 故g(log25)<g(20.2)<g(0.22),故c<a<b. 故选C. 9.BC　由图可知,当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-1,3)时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(3,5)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(5,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 且f'(-1)=0,f'(3)=0,f'(5)=0, 则该函数在x=-1和x=5处取得极小值;在x=3处取得极大值. 故选BC. 10.AC　f'(x)=cos x-xsin x. 对于选项A,B,因为f(x)=xcos x是奇函数,所以f'(x)是偶函数,故A正确,B错误; 对于选项C,f'(0)=cos 0-0sin 0=1,故C正确; 对于选项D,f+f'cos+cossin=0+0-=-,故D错误. 故选AC. 11.BCD　由题意可得πr2×r+πr2h=63 000π,所以h=r, 由h>0,则r>0,解得r<30, 所以10≤r<30,故A选项不正确. 易知h随r的增大而减小,所以当r=10时,h取得最大值,且最大值为,故B选项正确. 圆锥的母线长l=r, 故圆锥的侧面积S1=πrl=πr×r=πr2, 圆柱的侧面积S2=2πrh=2πrr2,圆柱的底面积S3=πr2, 所以总费用y=aS1+a(S2+S3)=a×πr2+ar2+πr2=r2+. 当r=21时,y=×212+=7 029aπ,C选项正确. y'=r-, 当10≤r<30时,y'<0,函数y=r2+单调递减, 当30<r<30时,y'>0,函数y=r2+单调递增, 所以当r=30时,y取得最小值,最小值为×302+=6 300aπ,D选项正确. 故选BCD. 12.AD　由题意函数y=f(x)具有T性质,则存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1. y=cos x的导数为y'=-sin x,存在x1=,x2=-,使得f'(x1)f'(x2)=-1; y=ln x的导数为y'=>0,不存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1; y=ex的导数y'=ex>0,不存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1; y=x2的导数为y'=2x,存在x1=1,x2=-,使得f'(x1)f'(x2)=-1. 综上,具有性质T的函数为AD. 13.(-2,15)　令y'=3x2-10=2,得x=±2, 又点P在第二象限内, ∴x=-2,得点P的坐标为(-2,15). 14.(1,)　因为当x∈(-1,1)时,f'(x)=5+cos x>0, 所以f(x)在(-1,1)内单调递增. 又因为f(x)是奇函数,由f(1-t)+f(1-t2)<0,得f(1-t)<-f(1-t2)=f(t2-1), 所以 解得1<t<, 所以实数t的取值范围为(1,). 15.ln x(答案不唯一)　若函数f(x)=ln x,则f(x1x2)=ln(x1x2)=ln x1+ln x2=f(x1)+f(x2),满足①;f(x)=ln x的定义域为(0,+∞),且f'(x)=>0,满足②,故f(x)=ln x符合题意. 16.(1)　(2)α<β　(1)f'(x)=cos x, 令sin x=cos x,即tan x=1, 因为x∈(0,π),故x=. (2)g'(x)=, 由题意可得,g(α)=g'(α),即=ln(1+α), 设H(x)=-ln(1+x),则易得H(x)在(-1,+∞)内单调递减且H(1)=-ln 2=ln<0, 故α<1,h'(x)=1+ex, 由1+eβ=β+eβ,故β=1,所以α<β. 17.解(1)由题意f'(x)=3ax2+2bx+c, ∵f'(0)=-4,∴c=-4. ∵f(x)在x=2处有极值, ∴f'(2)=12a+4b+c=0,即3a+b=1. ∵f(x)的图象过点(2,-6), ∴8a+4b+2c+2=-6,即2a+b=0. 由 解得 ∴f(x)=x3-2x2-4x+2, 故f'(x)=3x2-4x-4. 令f'(x)=0,解得x=-或x=2. 当x<-时,f'(x)>0,当-<x<2时,f'(x)<0,当x>2时,f'(x)>0, 即f(x)在内单调递增,在内单调递减,在(2,+∞)内单调递增, 故f(x)在x=2处取极小值,符合题意, 故f(x)=x3-2x2-4x+2. (2)由(1)知f'(x)=3x2-4x-4, ∴f'(-1)=3, 又f(-1)=3, ∴函数f(x)在x=-1处的切线方程为y-3=3(x+1), 即3x-y+6=0. 18.(1)解当a=1时,f(x)=ln x-x,根据题意切点坐标为(1,-1), f'(x)=-1,所以函数f(x)在x=1处的切线的斜率为f'(1)=0, 故函数f(x)在x=1处的切线方程为y+1=0. (2)解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a, 当a≤0时,f'(x)>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)内单调递增; 当a>0时,令f'(x)=0,解得x=, 当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减. 综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)内单调递增; 当a>0时,f(x)在内单调递增,在内单调递减. (3)证明要证ex-2-ax>f(x)恒成立,即证ex-2>ln x恒成立,令a=1,f(x)=ln x-x, 由(2)可知,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以f(x)≤f(1)=-1恒成立, 即有当x>0时,x-1≥ln x恒成立,当且仅当x=1时等号成立,亦有ex-1≥ln ex即ex≥x+1恒成立,当且仅当ex=0,即x=1时等号成立. 所以ex-2≥x-2+1=x-1,当且仅当x-2=0,即x=2时等号成立, 又因为x-1≥ln x恒成立,当且仅当x=1时等号成立, 所以ex-2>ln x(等号不同时成立)恒成立,原不等式得证. 19.解(1)当a=-2时,f(x)=ln x+,f'(x)=, 所以f(1)=1,f'(1)=, 所以函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程为y-1=(x-1),即x-2y+1=0. (2)因为f(x)=ln x-, 所以f'(x)=(x>0), 由题意知x1,x2是方程f'(x)=0在(0,+∞)内的两个不同的实数根, 令h(x)=x2+(2+a)x+1, 又因为h(0)=1>0,且函数h(x)图象的对称轴为直线x=-, 所以只需 解得a<-4,即实数a的取值范围为(-∞,-4). 由x1,x2是方程x2+(2+a)x+1=0的两根, 得x1+x2=-2-a,x1x2=1, f(x1)+f(x2)= =ln(x1x2)-a =-a=-a, 又因为f(1)=-, 所以f(x1)+f(x2)=2f(1). 20.解(1)由题意知,y=4+P-x-(10+2P), 将P=3-代入化简, 得y=16--x(0≤x≤a). (2)y'=-1+=-=-. ①当a>1,x∈(0,1)时,y'>0, 所以函数y=16-x-在(0,1)内单调递增; x∈(1,a)时,y'<0,所以函数y=16-x-在(1,a)内单调递减, 故促销费用投入1万元时,厂家的利润最大; ②当a≤1时,因为函数y=16-x-在[0,a]上单调递增, 所以x=a时,函数有最大值,即促销费用投入a万元时,厂家的利润最大. 综上,当a>1时,促销费用投入1万元,厂家的利润最大; 当a≤1时,促销费用投入a万元,厂家的利润最大. 21.解(1)f(x)的定义域为R, 由f(x)=得f'(x)=, 当m=2时,f'(x)=-, 由f'(x)=0,解得x=-1, 当x<-1时,f'(x)>0,当x>-1时,f'(x)<0, 即f(x)在(-∞,-1)内单调递增,在(-1,+∞)内单调递减, 则f(-1)=e, 所以f(x)的极大值为e,无极小值. (2)由f(x)在(4,6)内单调递增可知f'(x)≥0在(4,6)内恒成立, 即≥0在(4,6)内恒成立, 所以m≤1-x, 所以m≤-5,即m的取值范围为(-∞,-5]. 22.解(1)f(x)的定义域是(0,+∞), 当a=2时,f(x)=x2-2(ln x+1),f'(x)=2x-. 令f'(x)=0,解得x=1或x=-1(舍去). 所以f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增, 即f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=-1,无极大值. (2)f(x)的定义域为(0,+∞),a>0. 令f'(x)=2x-=0, 解得x=或x=-(舍去), 所以当x∈时,f'(x)<0; 当x∈时,f'(x)>0, 所以f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是. ①令f=0,解得a=, 当a=时,f(x)=x2-(ln x+1)的最小值为f=0, 即f(x)=x2-(ln x+1)有唯一的零点x=; ②当0<a<时,f(x)=x2-a(ln x+1)的最小值为f=-, 且f=->0, 即f(x)=x2-a(ln x+1)不存在零点; ③当a>时,f(x)的最小值f=-ln+1<0, 又因为,f>0, 所以函数f(x)在内有唯一的零点, 又因为当a>时,a>,f(a)=a2-a(ln a+1)=a(a-ln a-1), 令g(x)=x-ln x-1,则g'(x)=1-=0,解得x=1, 可知g(x)在内单调递减,在(1,+∞)内单调递增, 所以g(x)≥g(1)=0,所以f(a)≥0, 所以函数f(x)在内有唯一的零点, 所以当a>时,f(x)有2个不同的零点. 综上所述,实数a的取值范围是. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$