4.5.3函数模型的应用同步训练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册
4.5.3 函数模型的应用（同步训练）
1.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示．
x | 1 | 2 | 3 | … |
y | 1 | 2 | 5 | … |
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( )
A.y＝log2(x＋1) B.y＝2x－1
C.y＝2x－1 D.y＝(x－1)2＋1
2.某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )
A.y＝a(1＋5%x) B.y＝a＋5%
C.y＝a(1＋5%)x－1 D.y＝a(1＋5%)x
3．sigmoid函数f(t)＝
是描述在资源有限的条件下种群增长规律的一个最佳数学模型．某研究所根据试验数据建立了一种病毒的sigmoid函数模型f(t)＝
，当f(t*)＝0.9K时，病毒增长达到最大，则t*约为(ln 9≈2.2)( )
A.90 B.83
C.74 D.63
4.“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图．那么红豆生长时间与枝数的关系用下列函数模型拟合最好的是( )
A.指数函数：y＝2t B.对数函数：y＝log2t
C.幂函数：y＝t3 D.二次函数：y＝2t2
5.已知某物体的温度θ(单位：℃)随时间t(单位：min)的变化规律是θ＝2t＋1＋21－t(t≥0)，则当
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物体的温度为5 ℃时，经过的时间t＝( )
A.
B.1 C.
D.2
6.如果某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是( )
A.
B.
C.
－1 D.
－1
7.某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是( )
A.600元 B.50%
C.
－1 D.
＋1
8.衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt．已知新丸经过50天后，体积变为
a．若一个新丸体积变为
a，则需经过的天数为( )
A.125 B.100 C.75 D.50
9.(多选)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如图所示，横轴为投资时间，纵轴为回报．根据以上信息，若使回报最多，下列说法正确的是( )
A.投资3天以内(含第3天)，采用方案一 B.投资4天，不采用方案三
C.投资6天，采用方案二 D.投资10天，采用方案二
二、填空题
10.用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的
，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．
11.某种动物的繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动
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物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．
12.某商品价格y(单位：元)因上架时间x(单位：天)的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即y＝k·ax(a＞0且a≠1)，x∈N*．当商品上架第1天的价格为96元，而上架第3天的价格为54元，则该商品上架第4天的价格为________元．
13.已知某个病毒经30 min可繁殖为原来的2倍，且病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：h，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5 h，1个病毒能繁殖________个．
三、解答题
14.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)
，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃，需要多长时间(结果精确到0.1)?
15.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少
，问：至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
16.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3
，单位是 m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
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