4.5.3函数模型的应用（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.5函数的应用（二） 4.5.3函数模型的应用 学 习 目 标 1 2 3 会利用指数、对数等函数建立函数模型，能用函数模型解决简单实际问题，掌握函数建模基本步骤. 经历收集数据、选择模型、求解检验的建模过程，提升数据分析与数学建模素养. 体会函数在现实中的应用价值，感受数学实用性，增强用数学解决实际问题的意识. 新课引入 新课引入 情境1：复利，是指在计算利息时，某一计息周期的利息是由本金加上先前周期所积累利息总额来计算的计息方式.按复利计算利率的一种储蓄，本金为元，每期的利率为，设本利和为，存期为，要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和随着存期变化的函数式.假设存入的本金为1000元，每期的利率为2.25%. （1）五期后的本利和是多少? （2）实际问题中两个变量之间一定是确定的函数关系吗? （3）函数模型中，定义域有什么要求吗？ （4）用函数模型预测的结果和实际结果必须相等吗？ 不一定 函数模型中定义域必须满足实际意义 拟合函数预测的结果近似地符合实际结果即可. 探究一：函数模型的应用 新知探究 问题1：我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画。面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢? 我们学习过哪些函数模型呢？ 典例精讲 例3：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(,1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型.其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的增长率. (1)根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950—1959年期间的具体人口增长模型. 【分析】用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量和年平均增长率 典例精讲 例3：(1)根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950—1959年期间的具体人口增长模型. 解:(1) 由题意知，设1950—1959年期间我国人口的年平均增长率为，根据马尔萨斯人口增长模型，有 ， 由计算工具得 . 因此我国在1950—1959年期间的人口增长模型为 ，. 典例精讲 例3：(1)用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950—1959年期间的具体人口增长模型. (2)利用(1)中的模型计算1951—1958年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站公布的我国在1951—1958间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符. ， (2)分别取1，2，…，8，由可得我国在1951—1958年间的各年末人口总数;查阅国家统计局网站，得到我国1951—1958年各年末的实际人口总数，如表所示. 根据1950—1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数 ()的图象(右图). 由表和图可以看出，所得模型与1950—1959年实际人口数据基本吻合. 典例精讲 例3：(1)用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950—1959年期间的具体人口增长模型. (3)以(1)中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿? ， (3)将代入， 由计算工具得. 所以，如果人口按照(1)中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年(即1990年)，我国的人口就已达到13亿. 小拓展：尽管对马尔萨斯人口理论存在一些争议，但它对人口学和经济学的发展都产生了一定的影响，上网了解，还有哪些人口模型，它们与我们所学的函数有怎样的关系? 探究一：函数模型的应用 新知探究 思考1：事实上，我国1989年的人口数为11.27亿，直到2005年才突破13亿.对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法 ？ 因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾， 所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策．因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况． 在用已知的函数模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件，要判断取得最值时的自变量与实际意义是否相符 应用函数模型解决问题的基本过程 技巧点拨 解答函数实际应用问题的步骤： (1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； (2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； (3)求模——求解数学模型，得出数学模型的解； (4)还原——将数学结论还原为实际问题. 注意：要判断取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 即时训练 辨析1.已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为． (1)用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？ 解：（1）设1650年后年，人口是1650年的2倍，即有， 两边取常用对数，可得，即有； 所以，按照1650年人口的年增长率0.3%，232年后（即1882年）世界人口是1650年的2倍,达到10亿 设1970年后年，人口是1970年的2倍，即有， 两边取常用对数，可得，即有007 即时训练 辨析1.已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为． (1)用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？ (2)实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿．你对同样的模型得出的两个结果有何看法？ 所以，按照1970年人口的年增长率2.1%，34年后（即2004年）世界人口是1970年的2倍，达到72亿 (2)马尔萨斯人口模型是用来刻画自然状态下的人口增长模型，其中的参数r表示人口的年平均增长率.这两段时期都存在人口非自然增长的状况，且计算选择的增长率都不是 这两段时期的平均增长率，所以所得出的两个结果与实际存在差异. 典例精讲 例1：2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2％，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的? 【分析】因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数(，且；，且)建立数学模型． 解：设样本中碳14的初始量为，衰减率为，经过年后，残余量为,根据问题的实际意义，可选择如下模型：，且，其中.由碳14的半衰期为5730年，得. 于是，所以. 由样本中碳14的残余量约为初始量的55.2%可知，，即，解得，由计算工具得. 因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成. 即时训练 题型1 指数型函数模型 1、某火电厂对其使用的燃煤进行精细化碳排放污染物控制，产生的废气需经过严格过滤 后排放.已知过滤过程中废气的剩余污染物数量（单位：）与过滤时间 （单位： 小时）之间的关系式为,其中为废气中原污染物总量， 为常数．若过滤开始 后经过3个小时废气中的污染物被过滤掉了原污染物总量的 ，那么要使废气中剩余污 染物含量不超过原污染物总量的，过滤开始后需要经过 小时，则正整数的最小值为 ____.（参考数据：， ） 【答案】： 分析： 即时训练 题型1 指数型函数模型 2、宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学.2023年诺贝尔物理学奖颁给了“阿秒光脉冲” 光速约为，1阿秒等于.现有一条 的线段，第一次截去总长的一 半，以后每次截去剩余长度的一半，若要使其长度小于光在1阿秒内走的距离，则需要截 （参考数据：, ）( ) A.30次 B.31次 C.32次 D.33次 【答案】： 3、物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过 一定时间 （单位：）后的温度是，则，其中称为环境温度， 为常数.现有一杯用的热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降到 需要 ，那么这杯咖啡要从降到，还需要________ . 16 即时训练 题型2 对数型函数模型 1、声强级（单位：）与声强 （单位：）之间的关系是：，其 中 指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受最大声强为 ， 对应的声强级为，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位： ） 下列选项中正确的是( ) A.闻阈的声强为 B.声强级增加 ，则声强变为原来的2倍 C.此歌唱家唱歌时的声强范围为（单位： ） D.声强变为原来的10倍，则对应声强级增加 【答案】： 即时训练 题型3 分段函数模型 1、某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润 的进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过多出的部分为 万元，则多出的部分 按进行奖励.记奖金为（单位：万元），销售利润为 （单位：万元）.如果 业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是( ) A.15万元 B.25万元 C.30万元 D.20万元 【答案】：D 分析：由题意知，当时， ；当时， ,所以 当时，，故小江的销售利润 ， 所以，解得 ，所以小江的销售利润是20万元. 即时训练 2、某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升 血液中的含药量（单位：）与时间（单位： ）之间近似满足如图所示的曲线. （1）写出服药后每毫升血液中的含药量与时间 之间的函数关系式 ； （2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于 时，对治疗疾病有效，求服 药一次治疗疾病的有效时间. 解：（1）当时，,由点在直线上，得,故; 当 时，,由点在曲线上，得,解得，即 . 故 题型3 分段函数模型 即时训练 2、某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升 血液中的含药量（单位：）与时间（单位： ）之间近似满足如图所示的曲线. （1）写出服药后每毫升血液中的含药量与时间 之间的函数关系式 ； （2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于 时，对治疗疾病有效，求服 药一次治疗疾病的有效时间. 解：（2）由题意知,则 或 解得 . 所以服药一次治疗疾病的有效时间为 . 题型3 分段函数模型 分段函数模型解题通法 技巧点拨 （1）现实生活中有很多问题都是用分段函数模型表示的，如出租车计费、个人所得 税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型. （2）分段函数的实质是自变量在每一段区间上变化所遵循的规律不同，可以先将其 看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变 量的取值范围，特别是端点值. 即时训练 题型3 根据拟合效果选择恰当的函数模型解决实际问题 1、某纪念章从2024年6月1日起开始上市.通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价(单位：元)与上市时间(单位：天)的数据如下： (1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市时间的变化关系并说明理由： ①； ②； ③； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格. 上市时间天 4 10 36 市场价元 90 51 90 解：（1）∵随着时间的增加，的值先减后增，而所给的三个函数中和显然都是单调函数，不满足题意， ∴用函数描述该纪念章的市场价与上市时间的变化关系. 即时训练 题型3 根据拟合效果选择恰当的函数模型解决实际问题 1、某纪念章从2024年6月1日起开始上市.通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价(单位：元)与上市时间(单位：天)的数据如下： (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格. 上市时间天 4 10 36 市场价元 90 51 90 解：（2）把点(4，90)，(10，51)，(36，90)的坐标分别代入中， 得解得∴. ∴当时，有最小值26. 故该纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低的价格为26元. 课堂小结 函数模型的应用 常见的函数模型 应用函数模型解决问题的基本过程 函数模型的应用 已知函数模型 建立函数模型 选择拟合效果好的函数模型 感谢聆听! $