2.2 导数的概念及其几何意义同步练习-2024-2025学年高二数学北师大版（2019）选择性必修第二册

§2　导数的概念及其几何意义 一、必备知识基础练 1.[2023山东聊城一中校考期中]已知函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)=-1,则=(　　) A.-1 B.1 C. D.-2 2.已知函数f(x)=,且f'(m)=-,则m的值等于(　　) A.±2 B.2 C.-2 D.-4 3.已知曲线y=f(x)=-x2-2上一点P1,-,则在点P处的切线的倾斜角为(　　) A.30° B.45° C.135° D.165° 4.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y+1=0,则(　　) A.f'(x0)>0 B.f'(x0)=0 C.f'(x0)<0 D.f'(x0)不存在 5.设曲线y=f(x)=ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x-y+4=0垂直,则a等于(　　) A.2 B.- C. D.-1 6.若点(0,1)在曲线f(x)=x2+ax+b上,且f'(0)=1,则a+b=　　　　　.  7.在曲线y=x2+2的图象上取一点(1,3)及附近一点(1+Δx,3+Δy),则=　　　　　.  8.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则=　　　　.  9.曲线f(x)=x3在点(1,1)处的切线与x轴,直线x=2所围成的三角形的面积为　　　　.  10.已知曲线y=-x2,求该曲线在点P(2,-2)处的切线方程. 11.蜥蜴的体温与阳光的照射有关,已知其关系式为T(t)=+15,其中T(t)为体温(单位:℃),t为太阳落山后的时间(单位:min). (1)在0 min到10 min这段时间内,蜥蜴的体温的平均变化率是多少?它表示什么实际意义? (2)求T'(5),并解释它的实际意义. 12.在曲线y=x2上哪一点处的切线分别满足下列条件: (1)平行于直线y=4x-5; (2)垂直于直线2x-6y+5=0; (3)与x轴成135°的倾斜角. 二、关键能力提升练 13.已知=-2,则y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为(　　) A.-4 B.4 C.2 D.-2 14.若曲线y=f(x)=x+上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是(　　) A.(-∞,-1) B.(-1,1) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 15.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,数列(n∈N+)的前n项和为Sn,则S2 021的值为(　　) A. B. C. D. 16.(多选题)下列各点中,在曲线y=f(x)=x3-2x上,且在该点处的切线倾斜角为的是(　　) A.(0,0) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(1,1) 17.已知直线x+y=b是函数f(x)=ax+的图象在点(1,m)处的切线,则a+b=　　　　,m=　　　　　.  18.若抛物线y=f(x)=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,抛物线在点P的切线恰好过坐标原点,则c的值为　　　　.  19.设P为曲线C:y=f(x)=x2+2x+3上一点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为0,,则点P的横坐标的取值范围为　　　　　　　　.  20.[2023陕西西安高二阶段练习]已知曲线C:f(x)=x3. (1)利用导数的定义求f(x)的导函数f'(x); (2)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程. 三、学科素养创新练 21.(多选题)已知函数y=f(x)(x∈R)图象上任一点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x0-2)(x0+4)(x-x0),那么下列结论正确的有(　　) A.f'(1)=-5 B.在x=2处的切线平行或重合于x轴 C.切线斜率的最小值为1 D.f'(4)=12 参考答案 1.D　根据题意,函数y=f(x)在x=x0处的导数为f'(x0)=-1, 而=2=2f'(x0)=-2.故选D. 2.A　f'(m)==-,则-=-,m2=4, 解得m=±2. 3.C　∵点P1,-在曲线y=f(x)=-x2-2上, ∴=-1-Δx, 令Δx趋于0, 则y=-x2-2在x=1处的导数为f'(1)=-1,即函数y=-x2-2在点P处的切线斜率为-1. 又倾斜角的取值范围是[0°,180°), ∴在点P处的切线的倾斜角为135°. 4.C　由导数的几何意义,可得f'(x0)=-2<0. 5.B　由y=ax2,得Δy=a(2+Δx)2-22a=4aΔx+a(Δx)2,则=4a+aΔx,令Δx趋于0,∴f'(2)=4a. 又y=ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x-y+4=0垂直,∴4a=-,∴a=-. 6.2　∵f'(0)=(a+Δx)=a=1,又f(0)=1,即b=1, ∴a+b=2. 7.2　∵=2+Δx, ∴(2+Δx)=2. 8.2　由题意知a+b=3, 又f'(1)==2a=2, 则a=1,b=2,故=2. 9.　∵f'(1)==3, ∴曲线f(x)=x3在点(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2,则切线与x轴,直线x=2所围成的三角形面积为×2-×4=. 10.解由f'(x)=-x-Δx=-x,所以f'(2)=-2,即该曲线在点P(2,-2)处的切线斜率为-2,所以所求的切线方程为y-(-2)=-2(x-2),即2x+y-2=0,所以曲线y=-x2在点P(2,-2)处的切线方程为2x+y-2=0. 11.解(1)在0 min到10 min这段时间内,蜥蜴的体温的平均变化率为=-1.6(℃/min),它表示在0 min到10 min这段时间内,蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. (2)T'(5)= = ==-1.2(℃/min),它表示太阳落山后5 min时,蜥蜴体温下降的速度为1.2 ℃/min. 12.解(1)y'=(2x+Δx)=2x. 设点P(x0,y0)是曲线上满足条件的切点. 因为切线与直线y=4x-5平行, 所以k=y'=2x0=4,得x0=2, 即点P(2,4)处的切线平行于直线y=4x-5. (2)因为与直线2x-6y+5=0垂直,所以2x0×=-1,得x0=-,即点P-处的切线垂直于直线2x-6y+5=0. (3)因为切线与x轴成135°的倾斜角,所以k=2x0=-1,得x0=-,即点P-处的切线与x轴成135°的倾斜角. 13.D　根据题意,因为=-2, 即f'(1)=-2,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率k=-2.故选D. 14.C　y=x+上任意一点P(x0,y0)处的切线斜率为k=f'(x0)=1-=1-<1,即k<1. 15.A　因为f(x)=x2+bx, 所以f'(1)=(2+Δx+b)=2+b. 因为函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3, 所以f'(1)=2+b=3,解得b=1, 所以f(x)=x2+x=x(x+1),, 所以S2 021=+…+=1-. 故选A. 16.BC　设切点坐标为(x0,y0), 则 = =, 令Δx趋于0,则f'(x0)=3-2=tan=1, 所以x0=±1, 当x0=1时,y0=-1, 当x0=-1时,y0=1.故选BC. 17.5　3　由题意知m=a+2,1+m=b, 因为f'(1)=a-=a-2,所以曲线f(x)在点(1,m)处的切线斜率为a-2,由a-2=-1,得a=1,m=3,b=4,a+b=5. 18.4　 ==-5+Δx. 令Δx趋于0,则函数y=x2-x+c在x=-2处的切线斜率为-5. ∴切线方程为y=-5x. ∴点P的纵坐标为y=-5×(-2)=10, 将P(-2,10)代入y=x2-x+c,得c=4. 19.-1,-　设点P的横坐标为x0, 则 = ==2x0+2+Δx, 令Δx趋于0,则函数y=x2+2x+3在x=x0处的切线斜率为2x0+2, 由题意,得0≤2x0+2≤1, ∴-1≤x0≤-, ∴点P的横坐标的取值范围为-1,-. 20.解(1)f'(x)=[3x2+3x·Δx+(Δx)2]=3x2. (2)将x=1代入曲线C的方程,得f(1)=1, ∴切点的坐标为(1,1). 又切线的斜率k=f'(1)=3×12=3, ∴过点(1,1)的切线的方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0. 21.AB　由题意函数y=f(x)(x∈R)图象上任一点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x0-2)(x0+4)(x-x0), 可得f'(x)=(x-2)(x+4), 对于选项A,f'(1)=-5,A正确; 对于选项B,当x=2时,f'(2)=0,故在x=2处的切线平行或重合于x轴,B正确; 对于选项C,f'(x)=(x-2)(x+4)=x2+2x-8=(x+1)2-9≥-9,故切线斜率的最小值为-9,C错误; 对于选项D,f'(4)=16,D错误.故选AB. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$