2024-2025学年人教版九年级数学上册点拨训练第10讲实际问题与一元二次方程（1）

人教版九年级数学上 点拨*训练 第10讲 实际问题与一元二次方程（1） 1、 学习目标： 1.掌握按照一定速度逐步传播问题； 2.培养建立数学建模及应用一元二次方程解决实际问题的能力。 3.掌握根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理． 4.掌握列方程解应用题的步骤和关键． 二、老师告诉你 三、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1 传播问题 传播问题 传染源第一轮被传染的第二轮被传染的第二轮传染后的总数． 即：传播、传染问题：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数 【新知导学】 例1-1．某地有两人患了流感，经过两轮传染后又有70人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　） A. 5人 B. 6人 C. 7人 D. 8人 例1-2 .某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【对应导练】 1．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（　　） A. 14 B. 11 C. 10 D. 9 2．某种植物主干长出若干数目的分支，每个分支长出相同数目的小分支，若主干、分支、小分支的总数为73，则每个分支长出小分支的数目为_____． 3．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 知识点2 计数问题 单双循环问题：单循环：＝总数； 双循环：＝总数。（表示参与数量） 【新知导学】 例2-1．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（　　） A. 8 B. 10 C. 7 D. 9 例2-2．一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共送了90张，则该组共有（　　） A. 20人 B. 15人 C. 10人 D. 9人 【对应导练】 1．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2．2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，则参赛的队伍有 _____支． 3．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2450张相片，则全班共有 _____名学生． 6．某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？ 知识点3 数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 　　　 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字 只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用 其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位 数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为： 　　　　　 100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 　　如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 　　几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 　　如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 【新知导学】 例3-1．两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（ ） A. B. C. D. 例3-2．一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大40，已知十位上的数字比个位上的数字大2．则这个两位数是（　　） A. 64 B. 75 C. 53或75 D. 64或75 【对应导练】 1．两个相邻自然数的积是132．则这两个数中，较大的数是（　　） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 2．两个相邻偶数的积是168，则这两个相邻偶数中较大的数是 _____． 3．如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框围出的四个数． （1）若圈出的四个数中，最小的数为n,则最大的数为 _____（用含n的代数式表示）； （2）若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 4、 题型训练 1.一元二次方程在一次函数问题中的应用 1．某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种食品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 40 45 55 60 销售量y（千克） 80 70 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少千克？ 2．在全国战“疫”期间，网络销售及快递小哥为我们提供了极大的生活便利．某网店专售一款电动牙刷，其成本为22元/支，销售中发现该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元支）之间存在如图所示的关系． （1）请求出y与x的函数关系式； （2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）山川异域，风月同天，同舟共济，共克时艰．该网店店主决定从每天获得的利润中抽出300元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于350元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？ 3．奏响复工复产“协奏曲”，防疫复产两不误．2020年2月5日，四川省出台《关于应对新型冠状病毒肺炎疫情缓解中小企业生产经营困难的政策措施》，推出减负降成本、破解融资难、财政补贴和税收减免、稳岗支持等13条举措，携手中小企业共渡难关．某企业积极复工复产，生产某种产品成本为9元/件，经过市场调查获悉，日销售量y（件）与销售价格x（元/件）的函数关系如图所示： （1）求出y与x之间的函数表达式； （2）当销售价格为多少元时，该企业日销售额为6000元？ （3）若该企业每销售1件产品可以获得2元财政补贴，则当销售价格x为何值时，该企业可以获最大日利润，最大日利润值为多少？ 2.一元二次方程在规律计数问题中的应用 4．某中学安排全校师生假期进行社会实践活动，将每班分成三个组，每组派1名教师作为指导老师，为了加强同学们之间的合作，学校要求各班每两人之间（包括指导老师）每周至少通一次电话．现在该校七年级一班共有50名学生，那么该班师生之间每周至少共通多少次电话？ 为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通电话次数S间的关系用下列模型表示，如图所示．请你根据这个模型解决上面的问题． 5．【观察思考】 【规律发现】 （）第个图案中“”的个数为______； （）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示） 【规律应用】 （）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多． 6．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形……按此规律排列下去，解答下列问题： （1）第5个图案中黑色三角形的个数有　　个． （2）第n个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理． 5、 牛刀小试 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　） A. x（x+1）=45 B. C. x（x-1）=45 D. x（x+1）=45 2．某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（　　） A. x+（1+x）=36 B. 2（1+x）=36 C. 1+x+x（1+x）=36 D. 1+x+x2=36 3．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 4．某校九年级1班的同学毕业时都将自己的生活照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1540张照片，求全班的学生人数．设全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　） A. x（x+1）=1540 B. C. x（x-1）=1540 D. 2x（x+1）=1540 5．小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x,则可列方程（　　） A. 10（x+3）+x=x2 B. 10（x-3）+x=（x-3）2 C. 10（x-3）+x=x2 D. 10（x+3）+x=（x-3）2 6．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据题意列出方程为（　　） A. 1+x+x2=256 B. （1+x）2=256 C. x（1+x）=256 D. 1+x+2x2=256 7．一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送出贺卡56张，设这个小组有x人，则（　　） A. B. C. x（x-1）=56 D. x（x+1）=56 8．两个连续奇数的积为323，求这两个数．若设较小的奇数为x,则根据题意列出的方程正确的是（　　） A. x（x+1）=323 B. x（x+2）=323 C. x（x-2）=323 D. （2x+1）（2x-1）=323 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是 _____． 10．有两人患了流感，经过两轮传染后共有288人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x人，则可列方程为_____． 11．某学习小组全体同学都为本组其他人员送了一张新年贺卡，若全组共贺卡78张，设这个小组的同学共有x人，可列方程：_____． 12．参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会．列方程得_____． 13．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了 _____人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有 _____人被感染． 三、解答题（共6小题，共48分） 14．（8分）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式 （1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数． （2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm,面积为24cm2，求它的两条直角边的长． 15．（6分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分枝，主干，支干和小分枝的总数是73，每个支干长出多少分枝？ 16．（8分）某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x人． （1）求第一轮后患病的人数；（用含x的代数式表示） （2）在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情况发生，请说明理由． 17．（8分）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）． 18 .（9分）组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． (1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ (2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； (3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 19．（9分）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版九年级数学上 点拨*训练 第10讲 实际问题与一元二次方程（1）（解析版） 1、 学习目标： 1.掌握按照一定速度逐步传播问题； 2.培养建立数学建模及应用一元二次方程解决实际问题的能力。 3.掌握根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理． 4.掌握列方程解应用题的步骤和关键． 二、老师告诉你 三、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1 传播问题 传播问题 传染源第一轮被传染的第二轮被传染的第二轮传染后的总数． 即：传播、传染问题：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数 【新知导学】 例1-1．某地有两人患了流感，经过两轮传染后又有70人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　） A. 5人 B. 6人 C. 7人 D. 8人 【答案】A 【解析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮传染中有2x人被传染，第二轮传染中有x（2+2x）人被传染，根据“某地有两人患了流感，经过两轮传染后又有70人患了流感”，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮传染中有2x人被传染，第二轮传染中有x（2+2x）人被传染， 根据题意得：2x+x（2+2x）=70， 整理得：x2+2x-35=0， 解得：x1=5，x2=-7（不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数为5人． 故选：A． 例1-2 .某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 解：依题意，得：1+x+x2=43， 整理，得：x2+x-42=0， 解得：x1=6，x2=-7（不合题意，舍去）． 故选：C． 【对应导练】 1．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（　　） A. 14 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】B 【解析】患流行性感冒的人传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）=144，解方程即可求解． 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）=144， 即（1+x）2=144， 解方程得x1=11，x2=-13（舍去）， 故选：B． 2．某种植物主干长出若干数目的分支，每个分支长出相同数目的小分支，若主干、分支、小分支的总数为73，则每个分支长出小分支的数目为_____． 【答案】8 【解析】设每个分支长出小分支的数目为x,根据主干、分支、小分支的总数为73，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 解：设每个分支长出小分支的数目为x, 依题意得：1+x+x2=73， 整理得：x2+x-72=0， 解得：x1=8，x2=-9（不合题意，舍去）． 故答案为：8． 3．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【解析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患流感的人数=经过两轮传染后患流感的人数+经过两轮传染后患流感的人数×8，即可求出结论． 解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人， 根据题意得：1+x+x（x+1）=81， 整理，得：x2+2x-80=0， 解得：x1=8，x2=-10（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2）81+81×8=729（人）． 答：经过三轮传染后共有729人会患流感． 知识点2 计数问题 单双循环问题：单循环：＝总数； 双循环：＝总数。（表示参与数量） 【新知导学】 例2-1．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（　　） A. 8 B. 10 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】设共有x支队伍参加比赛，根据“单循环比赛共进行了45场”列一元二次方程，求解即可． 解：设共有x支队伍参加比赛， 根据题意，可得， 解得x=10或x=-9（舍）， ∴共有10支队伍参加比赛． 故选：B． 例2-2．一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共送了90张，则该组共有（　　） A. 20人 B. 15人 C. 10人 D. 9人 【答案】C 【解析】设该组共有x人，则每个人要送其他（x-1）个人贺年卡，由此可列方程． 解：设该组共有x人， 由题意得，x（x-1）=90， 解得：x1=10，x2=-9（舍去）． 即该组共有10人． 故选：C． 【对应导练】 1．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】设应该邀请x个球队参加，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x-1），即可列方程． 解：设应该邀请x个球队参加， 由题意得：x（x-1）=21， 解得：x=7或x=-6（舍去）， 即：应邀请7个球队参赛． 故选：C． 2．2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，则参赛的队伍有 _____支． 【答案】11 【解析】设参加比赛的队伍共有x支，由题意：有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，列出方程，解方程即可． 解：设参加比赛的队伍共有x支， 根据题意得：=55， 解得：x=11或x=-10（不符合题意舍去）， ∴参加比赛的队伍共有11支； 故答案为：11． 3．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2450张相片，则全班共有 _____名学生． 【答案】50 【解析】设全班有x名同学，则每人送出（x-1）张相片，共送出x（x-1）张相片，进而可列出方程，解方程即可求出答案． 解：设全班有x名同学，则每人送出（x-1）张相片， 根据题意得x（x-1）=2450， 即x2-x-2450=0， （x-50）（x+49）=0， 解得x1=50，x2=-49（舍去）． 即全班有50名学生． 故答案是：50． 6．某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？ 【解析】设增加了x行，则增加的列数为x列，用增加后的总人数-原队伍的总人数=51列出方程求解即可． 解：设增加了x行，则增加的列数为x列， 根据题意，得：（6+x）（8+x）-6×8=51， 整理，得：x2+14x-51=0， 解得x1=3，x2=-17（舍）， 答：增加了3行3列． 知识点3 数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 　　　 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字 只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用 其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位 数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为： 　　　　　 100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 　　如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 　　几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 　　如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 【新知导学】 例3-1．两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据连续两个奇数相差2，得到较大的一个奇数为，由此列得方程． 解：设其中较小的一个奇数为x，则较大的一个奇数为， 则， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意表示出较大的一个奇数是解题的关键． 例3-2．一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大40，已知十位上的数字比个位上的数字大2．则这个两位数是（　　） A. 64 B. 75 C. 53或75 D. 64或75 【答案】D 【解析】可设个位数字为x,则十位上的数字是（x+2）．等量关系：十位上的数字与个位上的数字的积+40=这个两位数． 解：设个位数字为x,则十位上的数字是（x+2），根据题意得 x（x+2）+40=10（x+2）+x, 整理，得x2-9x+20=0，即（x-4）（x-5）=0， 解得 x1=4，x2=5（不合题意，舍去）， 当x1=4时，x+2=6，这个两位数是64； 当x1=5时，x+2=7，这个两位数是75． 答：这两位数是64或75． 故选：D． 【对应导练】 1．两个相邻自然数的积是132．则这两个数中，较大的数是（　　） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 2．两个相邻偶数的积是168，则这两个相邻偶数中较大的数是 _____． 【答案】14或-12 【解析】设这两个相邻偶数中较大的数是x,则另外一个偶数为（x-2），利用两个相邻偶数的积是168，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 解：设这两个相邻偶数中较大的数是x,则另外一个偶数为（x-2）， 依题意得：x（x-2）=168， 整理得：x2-2x-168=0， 解得：x1=14，x2=-12． 故答案为：14或-12． 3．如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框围出的四个数． （1）若圈出的四个数中，最小的数为n,则最大的数为 _____（用含n的代数式表示）； （2）若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 【答案】（n+8） 【解析】（1）根据圈出的各数之间的关系，可得出最大的数为（n+8）； （2）设这个最小数为n,则最大的数为（n+8），根据最小数与最大数的乘积为153，可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论． 解：（1）若圈出的四个数中，最小的数为n,则最大的数为（n+8）． 故答案为：（n+8）； （2）设这个最小数为n,则最大的数为（n+8）， 根据题意得：n（n+8）=153， 整理得：n2+8n-153=0， 解得：n1=9，n2=-17（不符合题意，舍去）． 答：这个最小数为9． 4、 题型训练 1.一元二次方程在一次函数问题中的应用 1．某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种食品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 40 45 55 60 销售量y（千克） 80 70 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少千克？ 【答案】（1）y＝﹣2x+160 （2）80 【解析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数表达式； （2）利用销售该商品每天获得的利润＝每千克的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合“销售单价不低于成本价，且不高于60元”，即可确定x的值，再将其代入（﹣2x+160）中即可求出每天的销售量． 【小问1详解】 设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将（40，80），（45，70）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+160． 【小问2详解】 依题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800， 整理得：x2﹣110x+2800＝0， 解得：x1＝40，x2＝70． 又∵商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售， ∴x＝40， ∴﹣2x+160＝﹣2×40+160＝80． 答：每天的销售量应为80千克． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 2．在全国战“疫”期间，网络销售及快递小哥为我们提供了极大的生活便利．某网店专售一款电动牙刷，其成本为22元/支，销售中发现该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元支）之间存在如图所示的关系． （1）请求出y与x的函数关系式； （2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）山川异域，风月同天，同舟共济，共克时艰．该网店店主决定从每天获得的利润中抽出300元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于350元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？ 【解析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）设该款电动牙刷每天的销售利润为w元，根据“总利润=每支的利润×销售量”可得函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得； （3）设捐款后每天剩余利润为 z 元，根据题意得出z=-10x2+600x-8000-200=-10x2+600x-8200，求出z=550时的x的值，再利用二次函数的图象和性质求解可得． 解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b, 将（30，100），（35，50）代入 y=kx+b, 得， 解得， ∴y与x的函数关系式为 y=-10x+400； （2）设该款电动牙刷每天的销售利润为w元， 由题意得 w=（x-22）•y =（x-22）（-10x+400） =-10x2+620x-8800 =-10（x-31）2+1110， ∵-10＜0， ∴当x=31时，w有最大值，w最大值为1110． 答：该款电动牙刷销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000 元； （3）设捐款后每天剩余利润为 z 元， 由题意可得 z=-10x2+620x-8800-300 =-10x2+620x-9100， 令z=350，即-10x2+620x-9100=350， -10（x2-62x+961）=960， x2-62x+961=96， 解得x1=35，x2=27， 当该款电动牙刷的销售单价每支不低于27元，且不高于35元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于350 元． 3．奏响复工复产“协奏曲”，防疫复产两不误．2020年2月5日，四川省出台《关于应对新型冠状病毒肺炎疫情缓解中小企业生产经营困难的政策措施》，推出减负降成本、破解融资难、财政补贴和税收减免、稳岗支持等13条举措，携手中小企业共渡难关．某企业积极复工复产，生产某种产品成本为9元/件，经过市场调查获悉，日销售量y（件）与销售价格x（元/件）的函数关系如图所示： （1）求出y与x之间的函数表达式； （2）当销售价格为多少元时，该企业日销售额为6000元？ （3）若该企业每销售1件产品可以获得2元财政补贴，则当销售价格x为何值时，该企业可以获最大日利润，最大日利润值为多少？ 【解析】（1）设y=kx+b,将点（10，600），（25，0）代入解析式，通过解方程组得到k与b的值； （2）由题意可知，x（-40x+1000）=6000，解出x即可； （3）设该企业每天获得利润为W元，则W=（-40x+1000）（x-9+2）=-40（x-16）2+3240，由此可知当x=16时，W的值最大． 解：（1）设y=kx+b, ∴， 解得， ∴y=-40x+1000； （2）由题意可知，x（-40x+1000）=6000， 解得x=10或x=15， ∴当销售价格为10元或15元时，该企业日销售额为6000元； （3）设该企业每天获得利润为W元，则 W=（-40x+1000）（x-9+2）=-40（x-16）2+3240， ∴当销售价格为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润为3240元． 2.一元二次方程在规律计数问题中的应用 4．某中学安排全校师生假期进行社会实践活动，将每班分成三个组，每组派1名教师作为指导老师，为了加强同学们之间的合作，学校要求各班每两人之间（包括指导老师）每周至少通一次电话．现在该校七年级一班共有50名学生，那么该班师生之间每周至少共通多少次电话？ 为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通电话次数S间的关系用下列模型表示，如图所示．请你根据这个模型解决上面的问题． 【解析】根据模型得到n个同学和老师之间共通话次，代入n=53求解即可． 1378次解：观察图形发现第n个图案中s=， 当n=53时，s==1378次， 所以53个同学和老师至少通话1378次． 5．【观察思考】 【规律发现】 （）第个图案中“”的个数为______； （）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示） 【规律应用】 （）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多． 【答案】（）；（），；（）． 【分析】（）根据前几个图案的规律，即可求解； （）根据题意，结合图形规律，即可求解； （）根据题意，列出方程，解方程即可求解； 本题考查了图形类规律以及解一元二次方程，根据图形找出规律是解题的关键． 【详解】解：（）第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， ∴第个图案中“”的个数是个， 故答案为：； （）第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数是个， ∴第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中“○”的个数是， ∴第个图案中“○”的个数是， 故答案为：，； 由题意可得，， 整理得，， 解得：（舍去）或． 6．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形……按此规律排列下去，解答下列问题： （1）第5个图案中黑色三角形的个数有　　个． （2）第n个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理． 【答案】（1）15；（2）不能，理由见详解． 【分析】（1）第5个图案中黑色三角形的个数有（1+2+3+4+5）个； （2）根据图形的变化规律总结出第n个图形黑色三角的个数为，即可求解． 【详解】解：（1）由图形的变化规律知，第5个图案中黑色三角形的个数有：1+2+3+4+5=15， 故答案是：15； （2）不能，理由如下： 第n个图案中黑三角的个数为1+2+3+4+...+n=， 根据题意，得， 解得：不是整数，不合题意， 所以第n个图案中黑色三角形的个数不能是50个． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律和一元二次方程的应用，归纳出第n个图形黑色三角的个数为是解题的关键． 5、 牛刀小试 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　） A. x（x+1）=45 B. C. x（x-1）=45 D. x（x+1）=45 【答案】B 【解析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x-1）场，再根据题意列出方程为x（x-1）=45． 解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， ∴共比赛场数为x（x-1）， ∴共比赛了45场， ∴x（x-1）=45， 故选：B． 2．某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（　　） A. x+（1+x）=36 B. 2（1+x）=36 C. 1+x+x（1+x）=36 D. 1+x+x2=36 【答案】C 【解析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）=36． 解：由题意得：1+x+x（1+x）=36， 故选：C． 3．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意即可列出方程． 解：由题意得：； 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 4．某校九年级1班的同学毕业时都将自己的生活照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1540张照片，求全班的学生人数．设全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　） A. x（x+1）=1540 B. C. x（x-1）=1540 D. 2x（x+1）=1540 【答案】C 【解析】根据全班的人数，可得出每个同学需送出（x-1）张相片，再利用全班送出相片的张数=全班的人数×（全班人数-1），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 解：∵每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，且全班有x名学生， ∴每个同学需送出（x-1）张相片． 依题意得：x（x-1）=1540． 故选：C． 5．小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x,则可列方程（　　） A. 10（x+3）+x=x2 B. 10（x-3）+x=（x-3）2 C. 10（x-3）+x=x2 D. 10（x+3）+x=（x-3）2 【答案】C 【解析】根据“该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数”列方程即可． 解：根据题意，可得10（x-3）+x=x2， 故选：C． 6．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据题意列出方程为（　　） A. 1+x+x2=256 B. （1+x）2=256 C. x（1+x）=256 D. 1+x+2x2=256 【答案】B 【解析】设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮传染了x（1+x）人，根据经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，即可得出关于x的一元二次方程． 解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮传染了x（1+x）人， 依题意得：1+x+x（1+x）=256，即（1+x）2=256． 故选：B． 7．一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送出贺卡56张，设这个小组有x人，则（　　） A. B. C. x（x-1）=56 D. x（x+1）=56 【答案】C 【解析】若这个小组有x人，则每人需送出（x-1）张，根据全组共送出贺卡56张，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 解：若这个小组有x人，则每人需送出（x-1）张， 依题意得：x（x-1）=56， 故选：C． 8．两个连续奇数的积为323，求这两个数．若设较小的奇数为x,则根据题意列出的方程正确的是（　　） A. x（x+1）=323 B. x（x+2）=323 C. x（x-2）=323 D. （2x+1）（2x-1）=323 【答案】B 【解析】两个连续的奇数相差2，则较大的数为x+2，再根据两数的积为323即可得出答案． 解：依题意得：较大的数为x+2， 则有：x（x+2）=323． 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是 _____． 【答案】x（x-1）=28 【解析】设该中学九年级共有x个班级，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），则每个队参加（x-1）场比赛，则共有  x（x-1）场比赛，可以列出一元二次方程． 解：设九年级共有x个班，每个班都要赛（x-1）场，但两班之间只有一场比赛， 故  x（x-1）=28． 故答案为： x（x-1）=28． 10．有两人患了流感，经过两轮传染后共有288人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x人，则可列方程为_____． 【答案】2+2x+（2+2x） x=288 【解析】先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程． 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 第一轮传染后患流感的人数是：2+2x, 第二轮传染后患流感的人数是：2+2x+x（2+2x）， 而已知经过两轮传染后共有288人患了流感，则可得方程， 2+2x+（2+2x） x=288． 故答案为：2+2x+（2+2x） x=288． 11．某学习小组全体同学都为本组其他人员送了一张新年贺卡，若全组共贺卡78张，设这个小组的同学共有x人，可列方程：_____． 【答案】x（x-1）=78 【解析】设这个小组的同学共有x人，则每人送（x-1）张贺卡，根据送出贺卡的总数=小组人数×每人送出贺卡数，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 解：设这个小组的同学共有x人，则每人送（x-1）张贺卡， 根据题意得：x（x-1）=78． 故答案为：x（x-1）=78． 12．参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会．列方程得_____． 【答案】x（x-1）=45 【解析】此题利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为 x（x-1）解决问题即可． 解：由题意列方程得， x（x-1）=45． 故答案为：x（x-1）=45． 13．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了 _____人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有 _____人被感染． 【答案】(1)8;(2)729; 【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，在第二轮传染中作为传染源的有（1+x）人，则第二轮得病的有x（1+x）人，则两轮后有1+x+x（1+x）人得病．根据题意列出方程求解即可． 解：患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人． 依题意列方程：1+x+x（1+x）=81，即（1+x）2=81， 解方程得：x1=8，x2=-10（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了8个人， 经三轮传播，将有（1+x）3=（1+8）3=729人被感染． 三、解答题（共6小题，共48分） 14．（8分）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式 （1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数． （2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm,面积为24cm2，求它的两条直角边的长． 【解析】（1）个位上的数字是几，表示几个一，十位上的数字是几就表示几个十，百位上的数字是几就表示几个百；由此求解； （2）设一边长为x,然后表示出另一边，然后利用直角三角形的面积的计算方法列出方程即可． 解：（1）设十位数字为x,则个位数字为x+3，百位数字为x+2， 根据题意得：[100（x+2）+10x+（x+3）]-9[（x+3）2+x2+（x+2）2]=20， 化简为9x2-7x-22=0； （2）设其中一条直角边的长为x,则另一条直角边为（14-x）， 根据题意得：x（14-x）=24， 整理得：x2-14x+48=0． 15．（6分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分枝，主干，支干和小分枝的总数是73，每个支干长出多少分枝？ 【解析】设主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，得方程1+x+x2=73，整理求解即可． 解：由题意得1+x+x•x=73， 即x2+x-72=0， ∴（x+9）（x-8）=0， 解得x1=8，x2=-9（舍去） 答：每个支干长出8个小分支． 16．（8分）某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x人． （1）求第一轮后患病的人数；（用含x的代数式表示） （2）在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情况发生，请说明理由． 【解析】（1）设每轮传染中平均每人传染了x人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x人，则第一轮后共有（1+x）人患了流感； （2）第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，因进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，则第二轮后共有x-1+x（x-1）人患了流感，而此时患流感人数为21，根据这个等量关系列出方程若能求得正整数解即可会有21人患病． 解：（1）（1+x）人， （2）设在每轮传染中一人将平均传给x人 根据题意得：x-1+x（x-1）=21 整理得：x2-1=21 解得：， ∵x1，x2都不是正整数， ∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生． 17．（8分）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【解析】设这个最小数为x,则最大数为（x+8），根据最小数与最大数的乘积为65，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 解：设这个最小数为x,则最大数为（x+8）， 依题意得：x（x+8）=65， 整理得：x2+8x-65=0， 解得：x1=5，x2=-13（不合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 18 .（9分）组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． (1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ (2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； (3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 【答案】(1)6； (2) (3)8 【分析】（1）采取单循环的形式，如果有四个队参赛，则需要打：场； （2）直接根据题意列出函数关系式即可； （3）根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】（1）如果有四个队参赛，则需要打： 场； （2）总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式：； （3）设比赛组织者应邀请x个队参赛， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 这次比赛共有8个队参加． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 19．（9分）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)10 (3)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据日历的特点先求出b、c、d，再根据当a越大时，b也越大，求出a的最大值即可求出的最大值； （2）根据方框中最大数与最小数的乘积为180，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，根据方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和为124，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【详解】（1）解：由题意得，； ∵a是正整数， ∴也是正整数， ∴当a越大时，b也越大， 根据日历的特点可知a的最大值为23，此时b的值为24， ∴的最大值为； 故答案为：；；；； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． ∴最小数是10； （3）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵时，在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 学科网（北京）股份有限公司 $$