常见计数问题及方法讲义-2025届高三数学一轮复习

高中数学常见计数问题及方法 1、 教材位置 计数问题出现在高中数学教材《选择性必修第三册》人教A版（2019）第6章计数原理，有三节内容：6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理、6.2排列与组合、6.3二项式定理. 分类加法计数原理: 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法. 2、 两个计数原理内容 1. 分类加法计数原理: 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法. 2. 分步乘法计数原理: 完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有 3、 解决计数问题最基本最重要的方法 计数问题是我们从小就经常遇到的,通过列举一个一个地数是计数的基本方法，包括了初中学习的树状图法与列表法.分类加法计数原理和分步乘法计数原理，是解决计数问题的最基本、最重要的方法,利用两个计算原理还可以得到两类特殊计数问题的计数公式一排列数公式和组合数公式,应用公式就可以方便地解决一些计数问题. 用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点: (1)要完成的“一件事”是什么；(2)需要分类还是需要分步. 分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数. 分步要做到“步骤完整”,即完成了所有步骤,恰好完成任务.分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数. 1. 若分类（每一类方法都可以完成这件事情），则完成这件事情的方法总数 +( 每类方法相加） 2. 若分步（每一步都完成才算完成这件事情） ( 每步方法数相乘） 注意：（1）按元素（位置）的性质进行分类；（2）按事情发生的过程进行分步. 利用两个计数原理解决问题的一般步骤 四、生活化审题，模型化解题 利用两个原理解决计数问题，当不清楚完成的是什么事情和怎么去完成的时候怎么办？再审一次题，且不妨将事情生活化.下面举例说明： 【典例】 本不同的书，任选本分给个学生，每人一本有多少种不同的分法？ 将封信投入个信箱，有多少种不同的投法？ 名运动员争夺项比赛冠军(每项比赛都不设并列冠军)，那么获得冠军的可能有多少种? 名运动员报名参加项比赛，每人只能参加一项，那有多少种报名方法？ 【解析】 （1）问题（1）即3个学生从本不同的书中任选本书，每人1本， 生活化：假如你来负责安排三个学生去拿书，会具体怎么做？可以一个个去拿： 先让学生去拿书，从本书中任选1本有种选法，再让学生去拿书，从余下的本书中任选1本有种选法，最后让学生去拿书，从剩下本书任选1本有种选法.由分步计数原理知：共有种不同的分法. 模型化：问题（1）抽象为数学问题，就是从个不同元素中取出个不同元素的所有不同排列的个数，有=60种不同的分法.也可以看成是选排问题，先选再排，共有=60种不同的分法. (2) 生活化：要把5封信投入三个信箱里，你会如何放呢？ 这件事分五步进行，每一步投一封信，每一封信都有种选择，由分步计数原理，共有种不同的投法. (3) 生活化：现在由你来颁奖，拿着个冠军奖牌给个运动员 完成这件事分步进行，每一步颁一个奖，都有种不同的可能，由分步计数原理，获得冠军共有种可能. (4)生活化：你是教练，带着运动员去报名 完成这件事分步进行，让运动员逐个报名，每一人都有种不同的报名方法，由分步计数原理，共有种方法. 注意不是让比赛项目去挑运动员，否则同一运动员会出现报名多个比赛，即有重复，会出现错误的结论. 【小结】 ① 利用计数原理，先要明确完成的是什么事情和怎么去完成； ② 可通过将事情生活化，想象自己是某个角色去完成题目指定的事情，将有助于你的思考；③ 能用排列组合模型就用排列组合，如（1）就是或；（2）、（3）、（4）是“可重复的”，它允许一个信箱里放多封信，一个运动员夺得多个冠军，一项比赛有多个运动员参加. 五、计数问题的常见模型 1. 无限制条件的排列或组合问题 直接法:. 2. 有限制条件的排列问题 （1） 有特殊元素（或位置）：优先法（位置分析或元素分析）或间接法 例1 用组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？ 分析：元素与位置一样多，属全排列. 解：位置分析法：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4种选择，而其余数位没有要求，只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为种. 元素分析法：元素0不能在首位，先处理0，0不能放首位，共有4种选择，而其余元素没有要求，只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为种. 间接法： 5个元素的全排列有种，其中0排在首位的有种，所以，所以排法总数为种. 例2 由0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成　　　　个无重复数字的四位偶数.  分析：元素比位置多，先分类. 解：按特殊元素0分为两类： ①有0（又分两小类：末位为0与末位非0），有+＝120+120＝240种. ②无0，有＝180种. 故共有240+180＝420种. （2） 相邻问题：捆绑法（整体法） 例3 5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法 解：第一步将甲乙视为一个整体，与其余3个元素排列，则共有种位置，第二步考虑甲乙自身顺序，有种位置，所以排法的总数为种 （3） 不相邻问题：插空法 例4 已知7位同学站成一排，甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ 解法一：采用“插空”法，先排其他5个人，然后将甲乙插入到由这5个人形成的6个空中，故有＝3 600种排法． 解法二：间接法：甲、乙两同学不能相邻的排法共有－·＝3 600种. （4） 定序问题：除法（即缩倍法）或依次插空法 如果在个元素的排列中有个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这个元素排好位置，再将个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空） 例5 已知6个人排队，其中相对位置不变，则不同的排法有多少种 解法一：依次插空法 考虑先将排好，则有4个空可以选择，进入队伍后，有5个空可以选择，以此类推，有6种选择，所以方法的总数为种. 解法二：除法（即缩倍法） 方法总数为4=120种. （5） 多排问题：单排法 例6 7个人排成两排照相，前排3人，后排4人，共有多少种不同的排队方法？ 解：共有种不同的方法. 3. 分组问题 （1） 无序不均匀分组 （2） 有序不均匀分组 （3） 无序均匀分组 （4） 有序均匀分组 例7 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？ （1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本； （2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； （3）平均分成三份，每份2本； （4）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； （5）甲、乙、丙三人中，一人分4本，另两人每人分1本，有多少种不同的分配方法？ 解:（1）无序不均匀分组问题：先选1本有种选法，再从余下的5本中选2本有种选法，最后余下的3本全选有种选法.故有＝60（种）分配方式. （2）有序不均匀分组问题：由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）问的基础上，还应考虑再分配，共有＝360（种）分配方式. （3）无序均匀分组问题：先分三步，则应是种选法，但是这里出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF），则种分法中还有（AB，EF，CD），（CD，AB，EF），（CD，EF，AB），（EF，CD，AB），（EF，AB，CD），共种情况，而这种情况仅是顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有＝15（种）. （4）有序均匀分组问题：在（3）问的基础上再分配给3个人，共有分配方式·＝90（种）. （5）有序部分均匀分组问题：先分堆、再分配，共有·A＝90(种)分配方法． 注：平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列．分堆到位相当于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法数为：.对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的(像“名额”等则是相同元素，不适用)，位置也应是不同的(如不同的“盒子”)；③分堆时要注意是否均匀，如6分成(2，2，2)为均匀分组，分成(1，2，3)为非均匀分组，分成(4，1，1)为部分均匀分组． 注：（1）排列与组合的区别 排列即取元素，又排列元素，组合是只取元素，不排元素. （2）“分法”与“组合”的区别 “组合”是指元素组合形式.“分法”是指进行“组合”的一个过程。如“A、B、C、D”取两个元素的组合为6个，但为3种分法，即AB与CD是2个组合一种分法. 4. 分配问题 （1）有序分配问题 用逐分法，如上面例7（4），可以用逐分法，有种分配方式. （2）全员分配问题 分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时，常用先分组再分配. 例8 8名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种? 解:先分组再分配：把四名学生分成3组有种方法，再把三组学生分配到三所学校有种，故共有=36种方法. 练习：2022年4月22日是第53个世界地球日，某学校开展了主题为“珍爱地球，人与自然和谐共生”的活动.该校5名学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区宣传，则不同的安排方案共有 （　　） A.60种 B.90种 C.150种 D.300种 解：先将5名学生分为三组，分组情况为2，2，1或3，1，1，不同的分组方法有＋＝25（种）.然后将三组分配到三个社区，则不同的安排方案共有25＝150（种），故选C. （3）名额分配问题（即相同元素分配问题）：隔板法 将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子。例如：将6个相同的小球放入到4个不同的盒子里，那么6个小球5个空档，选择3个位置放“挡板”，共有种可能. （5） 有限制条件的分配问题：分类法 例9 从甲、乙等6个运动员中选出4人参加4×100米接力赛．如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方法共有多少种？ 解法一：(从元素考虑)从6个运动员中，选出4人有三类情况： (1)甲、乙都被选出，有C种选法； (2)甲、乙中恰有1人被选出，有CC种选法； (3)甲、乙都未被选出，有C种选法． 再将4人按要求安排位置：甲、乙都参加，跑第二、三、四棒有AA种排法；甲、乙中有一人参加，只跑第二、三、四棒有AA种排法；甲、乙都不参加，有A种排法． 故共有不同参赛方法CAA＋CCAA＋CA＝240(种)． 解法二：(从位置考虑)第一棒从甲、乙以外的4人中选取，再排其他各棒有AA＝240(种)不同的参赛方法． 解法三：(间接法)从总数中减去甲、乙跑第一棒的，有A－AA＝240(种)不同的参赛方法． 6. 选排问题：先取后排（先分组再排列） 排列数是指从个元素中取出个元素，再将这个元素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。 例10 从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种。 解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生，共有种可能，然后将选出的三个人进行排列有种，所以共有种方案. 7.“至多”、“至少”问题：分类或间接法（总-不合）， “含有”问题：先取含有再补足，“不含有”问题：先剔除，再从剩下中选. 例11现从4名男志愿者和3名女志愿者中，选派2人分别去甲、乙两地担任服务工作，若被选派的人中至少有一名男志愿者，则不同的选派方法共有　　　　种.（用数字作答）  解析：从男、女志愿者7人中，选派2人分别去甲、乙两地担任服务工作，共有种结果，要求被选派的人中至少有一名男志愿者，则选的都是女志愿者不合题意，选的都是女志愿者有种结果，∴满足条件的选派方法共有－＝42－6＝36（种）. 答案：36 例12 在10件产品中，有7件合格品，3件次品。从这10件产品中任意抽出3件，至少有一件次品的情况有多少种 解：如果从正面考虑，则“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单.（种）. 例13从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有　　　　种不同的选法（用数字作答）.  解析：法一：只有1名女生时，先选1名女生，有种方法；再选3名男生，有种方法；然后排队长、副队长位置，有种方法.由分步乘法计数原理知，共有＝480（种）选法.有2名女生时，再选2名男生，有种方法；然后排队长、副队长位置，有种方法.由分步乘法计数原理知，共有＝180（种）选法.所以依据分类加法计数原理知，共有480＋180＝660（种）不同的选法. 法二：不考虑限制条件，共有种不同的选法，而没有女生的选法有种，故至少有1名女生的选法有－＝840－180＝660（种）. 8.涂色问题: 涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可. 例14 最多使用四种颜色涂图中四个区域，不同的涂色方案有多少种？ 解：可根据使用颜色的种数进行分类讨论 （1）使用4种颜色，则每个区域涂一种颜色即可： （2）使用3种颜色，则有一对不相邻的区域涂同一种颜色，首先要选择不相邻的区域：用列举法可得：不相邻 所以涂色方案有： （3）使用2种颜色，则无法找到符合条件的情况，所以讨论终止 总计种. 9. 错位排列：排列好的个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这个元素的一个错位排列。例如对于，则是其中一个错位排列。利用枚举法，可得2个元素的错位排列有1种，3个元素的错位排列有2种，4个元素的错位排列有9种，5个元素的错位排列有44种，可作为结论记住. 例15 安排6个班的班主任监考这六个班，则其中恰好有两个班主任监考自己班的安排总数有多少种？ 解：第一步先确定那两个班班主任监考自己班，共有种选法，然后剩下4个班主任均不监考自己班，则为4个元素的错位排列，共9种。所以安排总数为 . 《选择性必修第三册》人教A版（2019）第6章课本练习精选： 1.如图，要让电路从A处到B处接通，可有多少条不同的路径？ 2.用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构成多少个不同的分数？可构成多少个不同的真分数？ 3.（1）在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在内取值的不同点共有多少个？ （2）在平面直角坐标系内，斜率在集合内取值，y轴上的截距在集合内取值的不同直线共有多少条？ 4.（1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队不同报法的种数是还是？ （2）3个班分别从5个景点中选择一处游览，不同选法的种数是还是？ 5.（1）从5件不同的礼物中选出4件送给4位同学，每人一件，有多少种不同的送法？ （2）有5个编了号的抽屉，要放进3本不同的书，不同的放法有多少种？（一个抽屉可放多本书）． 6. 口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球. （1）正好是白球、红球各一个的取法有多少种？ （2）正好是两个白球的取法有多少种？ （3）至少有一个白球的取法有多少种？ （4）两球的颜色相同的取法有多少种？ 7.在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，有多少种可能的安排方法？ 8.在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，有多少种可能的安排方法？ 9. （1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？ （2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？ 10. （1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？ （2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？ 11.（1）5名运动员中有3名参加乒乓球团体比赛，如果前三场单打比赛每名运动员各出场1次，那么前三场单打比赛的顺序有几种？ （2）乒乓球比赛规定，团体比赛采取5场单打3胜制，每支球队由3名运动员参赛，前三场各出场1次，其中第1，2个出场的运动员分别还将参加第4，5场比赛.写出甲、乙、丙三人参加比赛可能的全部顺序. 12. 现有1，3，7，13这4个数. （1）从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和？ （2）从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差？ 13.有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩. （1）共有多少种不同的选法？ （2）如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？ （3）如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法. 14.壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？ 15.（1）从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数. 16.从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛. （1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ （4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 17.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会. （1）如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？ （2）如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？ 18.从含有3件次品的100件产品中，任意抽取5件进行检验. （1）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？ （2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有多少种？ （4）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？ 19.如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？ 20. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？ 《选择性必修第三册》人教A版（2019）第6章课本练习精选详解： 1.如图，要让电路从A处到B处接通，可有多少条不同的路径？ 【答案】8条 【解析】 【分析】分上线路、中线路、下线路讨论，结合分类加法计数原理即可得解. 【详解】如果电路从上线路接通，共有3条路径； 如果电路从中线路接通，共有1条路径； 如果电路从下线路接通，共有条路径； 所以要让电路从A处到B处接通，共有条不同的路径. 2.用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构成多少个不同的分数？可构成多少个不同的真分数？ 【答案】16个不同的分数；真分数有10个. 【解析】 【分析】由分子、分母的选择个数及分步乘法计数原理可得分数的个数；按照分子取值分类，结合分类加法计数原理即可得真分数得个数. 【详解】从1，5，9，13中的任选一个数作分子，4，8，12，16中任选一个数作分母， 可构成个不同的分数； 由真分数的定义， ①若1为分子，分母有4种选择； ②若5为分子，分母有3种选择； ③若9为分子，分母有2种选择； ④若13为分子，分母有1种选择； 所以真分数共有个. 3.（1）在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在内取值的不同点共有多少个？ （2）在平面直角坐标系内，斜率在集合内取值，y轴上的截距在集合内取值的不同直线共有多少条？ 【答案】（1）36；（2）16 【解析】 【分析】（1）利用分步乘法计数原理，根据横，纵分别坐标来取值，最后相乘即可． （2）根据题意，分析直线的斜率、在轴上的截距的选法数目，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：（1）先取横坐标有6种取法；再取纵坐标也有6种取法； 故共有种结果； 即对应的点有36个． （2）根据题意，直线的斜率在集合，3，5，内取值，有4种情况， 在轴上的截距在集合，4，6，内取值，有4种情况， 则直线有条． 4.（1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队不同报法的种数是还是？ （2）3个班分别从5个景点中选择一处游览，不同选法的种数是还是？ 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）让4名同学去选择运动队，结合分步乘法计数原理即可得解； （2）让3个班去选择景点，结合分步乘法计数原理即可得解. 【详解】（1）让4名同学去选择运动队，每人均有3种选择， 所以不同报法的种数为； （2）让3个班去选择景点，每个班有5种选择， 所以不同选法的种数是. 5.（1）从5件不同的礼物中选出4件送给4位同学，每人一件，有多少种不同的送法？ （2）有5个编了号的抽屉，要放进3本不同的书，不同的放法有多少种？（一个抽屉可放多本书）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接根据排列数计算可得； （2）分为①三本书都放入一个抽屉，②三本书放入两个抽屉，③三本书放入三个抽屉，三种情况讨论，根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理计算可得； 【详解】解：（1）从5件不同的礼物中选出4件送给4位同学，每人一件，则共有种方法； （2）有5个编了号的抽屉，要放进3本不同的书，因为一个抽屉可放多本书， ①三本书都放入一个抽屉，则只需要一个抽屉，有（种） ②三本书放入两个抽屉，一个抽屉1本，一个抽屉2本，首先从三本书中选出两本书有种，再两份书放到2个抽屉中有种，按照分步乘法计数原理可得有（种） ③三本书放入三个抽屉，则有（种） 最后按照分类加法计数原理可得一共有（种） 6. 口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球. （1）正好是白球、红球各一个的取法有多少种？ （2）正好是两个白球的取法有多少种？ （3）至少有一个白球的取法有多少种？ （4）两球的颜色相同的取法有多少种？ 【答案】（1）80；（2）28；（3）108；（4）73. 【解析】 【分析】（1）由分步乘法即可得解； （2）利用组合的知识运算即可得解； （3）分为白球、红球各一个和两个全是白球，结合分类加法即可得解； （4）分为两球全是白球和两球全是红球，结合分类加法、组合即可得解. 【详解】（1）取出1个白球，有8种取法；取出1个红球，有10种取法； 所以取出两个球正好是白球、红球各一个的取法有种； （2）取出两个球正好是两个白球的取法有种； （3）至少有一个白球分为白球、红球各一个和两个全是白球，共有种取法； （4）两球的颜色相同分为两球全是白球和两球全是红球， 两球全是红球的选法有种， 所以两球的颜色相同的取法有种. 7.在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，有多少种可能的安排方法？ 【答案】326592种 【解析】 【分析】分析出每天的选法数，结合分步乘法计数原理即可得解. 【详解】第一天，每个人均可选，有7种选法； 从第二天至第七天，选出的人只需与前一天不同即可，均有6种选法； 所以符合题意的安排方法共有种. 8.在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，有多少种可能的安排方法？ 【答案】326592种 【解析】 【分析】分析出每天的选法数，结合分步乘法计数原理即可得解. 【详解】第一天，每个人均可选，有7种选法； 从第二天至第七天，选出的人只需与前一天不同即可，均有6种选法； 所以符合题意的安排方法共有种. 9. （1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？ （2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？ 分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置（给3名同学）的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列． 解：（1）可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙．按分步乘法计数原理，不同的取法种数为 ． （2）可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法．按分步乘法计数原理，不同的选法种数为 ． 10. （1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？ （2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？ 分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置（给3名同学）的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列． 解：（1）可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙．按分步乘法计数原理，不同的取法种数为 ． （2）可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法．按分步乘法计数原理，不同的选法种数为 ． 11.（1）5名运动员中有3名参加乒乓球团体比赛，如果前三场单打比赛每名运动员各出场1次，那么前三场单打比赛的顺序有几种？ （2）乒乓球比赛规定，团体比赛采取5场单打3胜制，每支球队由3名运动员参赛，前三场各出场1次，其中第1，2个出场的运动员分别还将参加第4，5场比赛.写出甲、乙、丙三人参加比赛可能的全部顺序. 【答案】（1）60；（2）一共18种，具体见解析. 【解析】 【分析】（1）可看作是从5名运动员中选3名进行排列； （2）分三种情况，进行3场比赛，进行4场比赛，进行5场比赛. 【详解】（1）可看作是从5名运动员中选3名进行排列，则前三场单打比赛的顺序有种； （2）若进行3场比赛，出场顺序有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲”共6种； 若进行4场比赛，出场顺序有“甲乙丙甲，甲丙乙甲，乙甲丙乙，乙丙甲乙，丙甲乙丙，丙乙甲丙” 共6种； 若进行5场比赛，出场顺序有“甲乙丙甲乙，甲丙乙甲丙，乙甲丙乙甲，乙丙甲乙丙，丙甲乙丙甲，丙乙甲丙乙” 共6种； 则甲、乙、丙三人参加比赛可能的全部顺序有18种. 12. 现有1，3，7，13这4个数. （1）从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和？ （2）从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差？ 【答案】（1）6；（2）10 【解析】 【分析】（1）任取2个相加是组合问题，列举即可得结果； （2）任取2个相减是排列问题，注意重复数字，列举即可求得结果． 【详解】（1）从这4个数中任取2个相加有： ，共有6个不相等的和； （2）从这4个数中任取2个相减有： ，可以得到有10个不相等的差． 13.有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩. （1）共有多少种不同的选法？ （2）如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？ （3）如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法. 【答案】（1）20；（2）12；（3）16 【解析】 【分析】（1）根据6选3组和方式计算即可； （2）先从物理和化学选1门，再从剩下4门中选2门，分步相乘即可； （3）分为物理和化学恰有1门被选和物理和化学都被选两种情况求解. 【详解】（1）从6门成绩中选3门成绩共有种不同的选法； （2）如果物理和化学恰有1门被选，则共有种不同的选法； （3）如果物理和化学至少有1门被选，则共有种不同的选法. 14.壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？ 【答案】种 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理以及组合数的思想求解出可组成的币值的种数. 【详解】因为四张人民币的面值不同，且组成的面值与顺序无关， 所以可分为以下四类面值： 由一张人民币组成：币值种数， 由两张人民币组成：币值种数， 由三张人民币组成：币值种数， 由四张人民币组成：币值种数， 所以可组成种币值. 15.（1）从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数. 【答案】（1）1224；（2）1440. 【解析】 【分析】（1）分别得到从0，2，4，6中任取3个数字和从1，3，5中任取2个数字的种数，然后全排列，再减去首位是零种数即可； （2）由比5000000大，则必须是七位数，且首位是5或6求解； 【详解】（1）从0，2，4，6中任取3个数字有种，从1，3，5中任取2个数字有种， 五个数全排列有种，其中首位是零的有种， 所以一共可组成个没有重复数字的五位数； （2）若比5000000大，则有七位数，且首位是5或6， 所以由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成个没有重复数字，并且比5000000大的正整数. 16.从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛. （1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ （4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 【答案】（1）60；（2）21；（3）91；（4）120 【解析】 【分析】（1）根据要求直接选取即可； （2）在剩下的7人中任选2人即可； （3）包含两种情况，第一种甲和乙都在内，第二种情况，甲乙选1人； （4）从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况. 【详解】（1）如果4人中男生女生各选2人，有种选法； （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的7人中任选2人，有种选法； （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况，第一种甲和乙都在内的选法有种，第二种情况，甲乙选1人，有种选法， 则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法； （4）如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况，故有种选法. 17.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会. （1）如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？ （2）如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？ 【答案】（1）63；（2）31 【解析】 【分析】（1）对于去几人进行分类讨论，最后根据加法计数原理求解即可；（2）对甲和乙两位同学要么都去，要么都不去进行分类讨论，分别计算去法种数，最后相加即可. 【详解】（1）一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会， 去1人时，有种去法；去2人时，有种去法； 去3人时，有种去法；去4人时，有种去法； 去5人时，有种去法；去6人时，有种去法； 根据分类计数原理得：共有种去法； （2）当甲和乙两位同学都去，则至少要去2人， 则有种去法； 18.从含有3件次品的100件产品中，任意抽取5件进行检验. （1）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？ （2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有多少种？ （4）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）易得抽出的产品都是合格品的抽法有种； （2）可得需从3件次品抽2件，从97件合格品中抽3件； （3）可得抽出的产品中至少有2件是次品包括2件次品和3件次品； （4）可得抽出的产品中至多有2件是次品包括没有次品、1件次品和2件次品. 【详解】（1）100件产品中有97件合格品，则抽出的产品都是合格品的抽法有种； （2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有种； （3）抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有种； （4）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有种. 19.如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？ 【答案】 【解析】 【分析】先排I，II，III最后排IV，由此求得不同着色方法数． 【详解】先排I，II，III共有种，IV有种 不同的着色方法数有种． 20. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？ 【答案】54 【解析】 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名， 分2种情况讨论： ①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况， 此时有种名次排列情况； ②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况， 此时有种名次排列情况； 则一共有种不同的名次情况， 故5人的名次排列可能有54种不同情况． 高中数学常见计数问题与方法LSR第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$