第三章圆锥曲线的方程同步练习卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章圆锥曲线的方程同步练习卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．已知圆与圆内含，且圆心不重合，动圆与两圆相切，则圆心的轨迹为（    ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．椭圆 2．已知定点为椭圆上一动点，满足：当取得最小值时点恰为椭圆的右顶点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆C：（）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的两焦点为为其渐近线上一点，满足：，则此双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的左、右两个顶点分别是、，左、右两个焦点分别是、，P是双曲线上异于、的任意一点，给出下列命题：①；②直线、的斜率之积等于定值；③使得为等腰三角形的点P有且仅有8个；④的面积为，其中是真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．若双曲线的渐近线与圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，则双曲线的实轴长为（    ） A． B． C．2 D． 7．设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 8．已知点A是抛物线C：上的动点，O为坐标原点，F为焦点，，且O、A、B三点顺时针排列．得出下列四个结论：①当点B在x轴上时，；②当点B在y轴上时，点A的坐标为；③当点A与点B关于x轴对称时，；④若，则点A与点B关于x轴对称．其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、多选题 9．已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 10．如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 11．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则（    ） A．椭圆的长轴长为 B．线段长度的取值范围是 C．面积的最小值是4 D．的周长为 三、填空题 12．设抛物线的焦点为，准线与轴交于点，到的距离为，过的直线与抛物线依次交于，两点(点在P，两点之间)，则 ；设直线交轴于点，直线交准线于点，则 . 13．已知是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，分别是和的内切圆半径，则的取值范围是 . 14．平面内，已知两点，及动点.给出下列结论： ①满足的点的轨迹为线段； ②若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为； ③若点到定点的距离与它到定直线的距离之比为，则点的轨迹为椭圆. 其中所有正确结论的序号是 . 四、解答题 15．如图在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆，直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆交于两点. (1)当直线倾斜角为时，求直线的方程； (2)求证：的面积为定值. 16．双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于，两点. (1)求弦长； (2)若点是双曲线左支上的点，且，求点到轴的距离. 17．已知椭圆的右焦点的坐标为，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，点关于轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由. 18．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，点为线段的中点. (1)求抛物线的准线方程； (2)若时，求点的横坐标； (3)已知点是抛物线上的一动点，定点，则当点在抛物线上移动时，求的最小值. 19．如图在平面直角坐标系中，分别是双曲线的左右顶点，动点在双曲线的右支上且位于第一象限，直线和分别与轴交于点，当点坐标为时，直线刚好与双曲线的一条渐近线垂直. (1)求双曲线的标准方程； (2)是否存在定点，使得以为直径的圆过点，若存在求出定点坐标，若不存在请说明理由； (3)求四边形的面积的取值范围. ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】运用圆与圆的位置关系的结论，结合椭圆定义可解. 【详解】由题意，记圆半径为．不妨令圆的半径为，圆的半径为，且， 则动圆与圆内切，与圆外切，可得：， 两式相加得：，且，故圆心的轨迹为椭圆． 故选：D． 2．B 【分析】首先利用两点间的距离表示，根据二次函数的性质，即可求解. 【详解】记， ， ， 对称轴为，由于时取到最小值，则. 故选：B 3．C 【分析】分别表示出，然后根据，利用勾股定理建立等式得到，两边同时除以得到关于的一元二次方程求解即可． 【详解】，，， 由题意：， ∴， ∴， ∴ ∴ 故选：C 4．C 【分析】根据题上的条件把用表示出来，在借助余弦定理求出，最后求出，即为其中一条渐近线的斜率，有对称性得到另外一条渐近线的斜率，从而得到正确答案. 【详解】由为双曲线渐近线上一点，， 又，设，则，由， 即，解得 又在中，为斜边中线，因此， 在中，由余弦定理可求得，则为锐角， 则，即其中一条渐近线的斜率， 因此双曲线的渐近线的方程为. 故选:C． 5．B 【分析】根据双曲线的定义即可判断①；设，由此可得到直线、的斜率即可判断②；分类讨论并根据双曲线的对称性即可判断③；根据双曲线定义，余弦定理以及三角形面积公式即可判断④. 【详解】 解析：在中，两边之差大于第三边，即，①错误； 设，则，即， ∵，，则，， ∴，②正确； 不妨设P在第一象限，根据双曲线的定义可知， 若，结合图像易知，则满足条件的点存在且唯一， 若，结合图像易知，则满足条件的点存在且唯一， 根据双曲线的对称性可知使得，为等腰三角形的点P有且仅有8个，③正确； 不妨设P在第一象限，则，， ， ∴． 又=，所以④错误． 故选：B． 6．B 【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合点到直线距离公式求解即得. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 圆的圆心，半径， 依题意，双曲线的半焦距，，则， 所以双曲线的实轴长为. 故选：B 7．A 【分析】先根据焦半径公式求出点的坐标，进而可求出直线的倾斜角，从而可得直线的倾斜角，即可得出直线的方程，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据抛物线的焦点弦公式即可得解. 【详解】， 设， 则，所以，则， 故， 所以， 则直线的倾斜角， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 联立，消得， ， 设， 则， 所以.    故选：A. 8．A 【分析】根据题意，，则为等边三角形，再根据不同条件，以此判断. 【详解】因为，即， 又，所以， 又，所以，所以为等边三角形， 对于①，当点B在x轴上时，又O、A、B三点顺时针排列，所以大致图像如图， 此时OA所在直线方程为，与联立，消去y得， 解得或，所以，故①正确； 对于②，当点B在y轴上时，又O、A、B三点顺时针排列，所以此时A点在x轴下方， 如图， 且OA所在直线方程为，与联立， 消去y得，解得或12， 当时，，即A点坐标为，故②正确； 对于③，当点A与点B关于x轴对称时，又O、A、B三点顺时针排列， 所以此时A点在x轴上方，如图， 且OA所在直线方程为，与联立， 消去y得，解得或12，所以，故③正确； 对于④，当时，得A点横坐标为12， 此时A点可能在x轴上方，也可能在x轴下方． 因为O、A、B三点顺时针排列，所以当A点在x轴上方时，可得点A与点B关于x轴对称； 当A点在x轴下方时，可得此时B点在y轴上，点A与点B不关于x轴对称，如图 故④错误． 故选：A． 9．BD 【分析】由题，利用离心率公式、椭圆的定义和基本不等式即可一一判断． 【详解】椭圆，则 对于A：，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：BD． 10．ABD 【分析】选项A：利用双曲线和椭圆的定义求解即可.选项B：利用余弦定理结合离心率求解即可，选项C：利用余弦定理结合基本不等式求解即可，选项D：利用半角公式结合弦化切求解即可. 【详解】对于A，椭圆，双曲线， 由椭圆､双曲线的定义可知，，解得，故A正确； 对于B，令， 由余弦定理得， 当时，，即，因此，故B正确； 当时，，即，有， 而，则有，解得，故C错误； ， ，解得， 而，因此，故D正确. 故选：ABD. 11．ABD 【分析】结合圆的半径长可求得，结合椭圆焦点坐标可求得，由此可得A错误；根据，结合的范围可知B正确；设，利用切割的方式可求得，取可知C错误；结合椭圆定义可求得D正确. 【详解】对于A，由题知，椭圆中的几何量，得，则，故A错误； 对于B，，由椭圆性质可知，，B正确； 对于C，记， 则， 取，则C错误； 对于D，由椭圆定义知，， 所以的周长D正确． 故选：ABD． 12． /0.5 【分析】设直线方程，联立直线与抛物线，根据韦达定理可得斜率之和，再分别求得点坐标可得线段之比. 【详解】到准线的距离为，， 抛物线方程为，准线， 则，， 由题意可设直线，，， 由，得， ，解得或， 且，， ； 设，则， 则直线， 直线， 则，， 则， 故答案为：，. 【点睛】方法点睛： (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 13． 【分析】设和的内切圆的圆心分别为，首先根据双曲线和切线的性质可证得轴，然后根据三角形相似关系求出的关系，再根据题意求出的取值范围，从而可求出的范围，进而可求出范围. 【详解】由，得，则， 设圆与分别切于点，连接， 由圆的切线的性质可得， 由双曲线的定义可知，即， 设，则，得，所以， 因为轴，所以的横坐标也为，同理可证得的横坐标也为， 所以轴，且三点共线， 由三角形内切圆的性质可知分别为的角平分线， 所以， 所以∽，所以， 因为，所以，得， 因为双曲线的渐近线为，所以其倾斜角分别为和， 因为直线交双曲线右支于两点，所以直线的倾斜角的范围为， 设直线的倾斜角为，则，所以， 所以， 所以， 因为，所以， 令， 由对勾函数的性质可知在上递减，在上递增， 因为，，， 所以， 所以， 即的取值范围是为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的焦点三角形问题，考查焦点三角形内切圆，解题的关键是根据双曲线的性和圆的切线的性质得到焦点三角形的圆心的横坐标与双曲线的顶点横坐标相同，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 14．①②③ 【分析】由判断①；由斜率公式判断②；由距离公式判断③. 【详解】对于①：，则点的轨迹为线段； 对于②： 设，因为， 即，所以点的轨迹方程为； 对于③：设，则， ，整理得， 即点的轨迹为椭圆. 故答案为：①②③ 15．(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）根据直线倾斜角得到直线的斜率，进而设直线方程，根据直线与曲线有一个交点联立方程组解得答案； （2）设直线为，直线与椭圆只有一个公共点联立方程组消元得，直线与椭圆交于两点，连立方程组结合韦达定理得，结合三角形面积公式得答案； 【详解】（1）因为直线倾斜角为，直线为，因为椭圆， 直线与椭圆只有一个公共点，联立方程，得， ，所以直线为或 （2）因为直线与椭圆只有一个公共点，设直线为由，得 , 又因为直线与椭圆交于两点，得 所以，因为直线与轴交于点，所以 所以 . 16．(1) (2) 【分析】（1）求出直线的方程，联立方程组，利用韦达定理结合弦长公式求解即可； （2）设，，由双曲线定义可知，所以，结合，解得，利用余弦定理解得，利用等面积法即可求得点到轴的距离. 【详解】（1）双曲线的左、右焦点分别为，所以， 过右焦点且倾斜角为的直线方程为：， 设，， 联立方程与，可得：， 所以，， 所以. （2）点是双曲线左支上的点，所以 设，， 由双曲线定义可知，所以，由， 所以，所以，可得， 所以由余弦定理得， 所以，设点到轴的距离为，所以， 所以，解得， 所以点到轴的距离为. 17．(1)； (2)存在最大值，最大值为. 【分析】（1）由题意直接得到，，然后计算出即可得到椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为：，联立椭圆的方程，设，，则，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，求出直线的方程，令，求出，即直线与轴交于一个定点，记为，然后计算即可. 【详解】（1）由题意可知：，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4， 所以，即，，所以椭圆的标准方程为：. （2）由题意可知直线的斜率不为，所以设直线的方程为：， 与椭圆的方程联立，得 消去，得， 所以， 设，，则， 由根与系数的关系，得    ， 直线的斜率为：， 所以直线的方程为， 令，得， 即直线与轴交于一个定点，记为， 则，等号成立当且仅当.    【点睛】关键点点睛：第二问的关键在于得出直线与轴交于一个定点，记为，且得到，由此即可顺利得解. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）由抛物线的方程求解即可； （2）设，，过焦点的弦长公式为，求出，即可求出点的横坐标； （3）将转化为点到定点的距离与点到准线的距离之和，要使得的最小，则点在一条直线上且垂直于准线，求解即可. 【详解】（1）抛物线，所以其准线方程为：. （2）设，，则，所以， 又点为线段的中点，所以点的横坐标为：. （3）抛物线焦点为，其准线方程为：， 由抛物线的定义可知点到焦点的距离即为点到准线的距离， 为点到定点的距离与点到准线的距离之和， 要使得的最小， 则点在一条直线上且垂直于准线， 故最小值即为点到准线的距离为. 19．(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】(1)直线刚好与双曲线的一条渐近线垂直，可得到与的关系，又因为当点坐标为在双曲线上，代入可解得； (2)设出点坐标，假设存在定点定点且坐标为，算出直线方程，直线方程，解出点坐标，根据为直径的圆过点，所以，代入化简即可求解； (3) 四边形的面积等于三角形与面积之和，且两个三角形全等，化为求两个三角形面积和，代入化简，根据动点在双曲线得右支上且位于第一象限，即可求得. 【详解】（1）因为当点坐标为时， 直线刚好与双曲线的一条渐近线垂直， ，又因为渐近线斜率为， 所以 又因为在双曲线上，代入解之可得， 所以双曲线为； （2）因为双曲线为，所以，设, 所以，因为点在双曲线的右支上且位于第一象限， 直线和分别与轴交于点， 直线方程为，直线方程为， 令可得点坐标，所以， 假设存在定点，使得以为直径的圆过点，所以， 即， 所以不存在定点满足. （3）， 根据动点在双曲线得右支上且位于第一象限， 所以，则，， 所以 . 所以四边形的面积的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$