精品解析：福建省部分学校（高中）2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题

2023-2024学年第二学期福建省部分学校（高中）期中联考 高中一年级数学试卷 考试时间： 2024年4月26日 完卷时间： 120分钟 满分： 150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，写出复数的标准式，结合虚部的定义，可得答案. 【详解】由题意可知，则其虚部为. 故选：A. 2. 下列结论正确的是（ ） A. 用一个平面去截一个圆台，得到的截面可能是平行四边形 B. 有两个面平行且相似，其余各个面都是梯形的多面体是棱台 C. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 D. 用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 【答案】C 【解析】 【分析】根据截面性质可判断A，根据棱台、棱柱、圆台的定义可判断BCD. 【详解】对于A：用一个平面去截一个圆台，截面一定与圆台侧面相交，当交线是母线时显然 对边不平行，当交线不是母线时，一定不是直线，更不会平行，说明两组对边分别平 行的截面不可能，故A错误； 对于B：根据棱台定义知两个面不仅要平行、相似，各条侧棱所在直线要交于一点，故B错误； 对于C：根据棱柱的定义可知：C正确； 对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故D错误； 故选：C. 3. 如图，矩形中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：由平面向量的加、减、数乘运算，以及平面向量基本定理，可表示， 解法二：以为原点，分别为轴的正方向建系，由，结合坐标运算，求得，可表示． 【详解】解法一：依题意①，②，③， 由②③式解得，， 代入①式得． 解法二：以为原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系， 设，则， 由，有， 有，解得，得． 故选：A． 4. 函数的图象如图所示，其中，，，则下列关于函数的说法中错误的是（ ） A. 在上单调递减 B. C. 最小正周期是 D. 对称轴是直线 【答案】A 【解析】 【分析】由图象和参数的取值范围，可求函数解析式，再确定函数的性质即可判断. 【详解】由图象易知：； ； 由， 又，所以.故BC内容正确； 因为， ，， ，所以函数在不是减函数，故A错； 由，即为函数的对称轴，故D对. 故选：A 5. 在中，分别为角对边），则的形状可能是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角，再结合降幂公式及两角和的正弦公式化简即可得解. 【详解】因为， 所以，即，即， 由正弦定理可得， 所以，得， 在中，所以， 又，所以，即三角形为直角三角形. 故选：B. 6. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ） A. 64m B. 74m C. 52m D. 91m 【答案】B 【解析】 【分析】首先在中求，再在中，求角，并利用正弦定理求，最后中，即可求解. 【详解】因为中，，，， 所以， 因为中，，， 所以， 由题意，，， 则， 在中，由正弦定理得，即， 故， 故. 故选：B 7. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，可根据指数函数、对数函数的单调性以及正切函数的图像，分别判断与“0”， “1”的大小关系，即可得到判断. 【详解】解析：，所以； ，所以； ，所以， 则． 故选：C. 8. 已知向量，，，则当取最小值时，实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由知在直线上，因此要使最小，则有，由直角三角形的射影定理计算出即得． 【详解】由知在直线上，当时，最小， 如图，，又， ∴，，这时，． 故选：C． 【点睛】本题考查平面向量数乘的意义，掌握平面向量数乘的概念是解题关键． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：借助向量模长与数量积的关系计算即可得；对B：借助数量积公式计算即可得；对C：借助向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量的定义计算即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：， 故，即，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 四边形的周长为 C. D. 四边形的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可. 【详解】如图过作， 由等腰梯形可得：是等腰直角三角形， 即,即C错误； 还原平面图下图， 即，即A正确； 过C作，由勾股定理得， 故四边形ABCD的周长为：，即B错误； 四边形ABCD的面积为：，即D正确. 故选：AD. 11. 已知函数的定义域为，且的图象关于点对称，，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 的图象关于直线对称 C. 4为函数的一个周期为 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的对称性，周期性，以及函数的奇偶性，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由的图象关于点对称，所以的图象关于点对称， 所以的图象关于点对称，则是奇函数，且，所以A不正确； 对于B中，因为是奇函数，所以， 所以的图象关于直线对称，所以B不正确； 对于C中，因为，所以， 所以，所以4为函数的一个周期，所以C正确． 对于D中，因为， 所以，所以， 所以，所以D正确． 故选：CD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先由的值求得的值，再将角拆成的形式，运用两角差的余弦公式计算即得. 【详解】由可得，因，则 故 故答案为：. 13. 函数的单调递增区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性规则求解即可. 详解】解：由，得或． 函数的定义域为或． 令，该函数在上为减函数， 而函数为定义域内的减函数， 则函数的单调递增区间是． 故答案为：． 14. 已知，且，为虚数单位，则的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据得出满足的关系，表示出后根据复数的几何意义求解. 【详解】设，由， 则，表示的是圆心为，半径为的圆， 而，表示的是圆上一点到的距离， 如图所示，显然最大距离是与圆心的连线加上半径长， 即最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出相关的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位. （1）求复数z和|z|； （2）若在第四象限，求m的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设，依据题设，建立方程求出，即可求得z，再求其模； （2）先求出，再根据题意建立不等式组求解即可. 【小问1详解】 设，则， 由为实数，得，则， 由为实数，得，则， ∴，则； 【小问2详解】 ， 由在第四象限，得，解得或， 故m的取值范围为． 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求A﹔ （2）若面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助和角的正弦公式求解作答. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式、余弦定理求出即可作答. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理得：， 而， 于是， 又C为三角形内角，有，解得，所以， 【小问2详解】 依题意，， 由余弦定理得，， 即， 所以的周长 17. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在一段平坦的国道上进行测试，国道限速80 km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示： v 0 10 40 60 M 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，． （1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式． （2）根据（1）中所得函数解析式，求解问题：现有一辆同型号电动汽车从A地驶到B地，前一段是200 km的国道，后一段是50 km的高速路，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】（1）选择， （2）当该汽车在国道上的行驶速度为40 km/h，在高速路上的行驶速度为80 km/h时，总耗电量最少，最少为 【解析】 【分析】（1）若选，则当时，该函数无意义，不合题意．若选，显然该函数是减函数，这与矛盾，不合题意．故选择，由表中数据代入解析式联立方程即可求解； （2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及对勾函数的单调性，分别求出国道路段的所耗电量的最小值，高速路段的所耗电量的最小值，求和即可得答案． 【小问1详解】 解：若选，则当时，该函数无意义，不合题意． 若选，显然该函数是减函数，这与矛盾，不合题意． 故选择， 由表中数据，得，解得， 所以当时，． 小问2详解】 解：由题可知该汽车在国道路段所用时间为， 所耗电量， 所以当时，． 该汽车在高速路段所用时间为， 所耗电量， 易知在[80，120]上单调递增，所以． 故当该汽车在国道上的行驶速度为40 km/h，在高速路上的行驶速度为80 km/h时，总耗电量最少，最少为． 18. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. （1）当时，求的单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的周期性和奇偶性，分别求出和，然后利用正弦函数的单调性，得解； （2）先求出函数的解析式，再根据根据正弦函数的图象与性质，可得解； （3）由（2）得的解析式，从而得到解的个数，结合函数图象求解根的对称关系，可求解. 【小问1详解】 由题意，函数 ， 因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得， 又由函数为奇函数，可得， 所以，因为，所以， 所以函数， 令，解得， 可得函数的递减区间为， 再结合，可得函数的减区间为； 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度， 可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数的值域； 【小问3详解】 由（2）得函数的图象， 由方程，即，即， 因为，可得， 设，其中，即， 而， 结合正弦函数的图象， 可得方程在区间有5个解，即， 其中， 即 ， 解得， 所以. 【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式； 第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围； 第三步：求出所求函数的值域（或最值）. 19. 将所有平面向量组成的集合记作，f是从到的映射，记作或，其中，，，，，都是实数．定义映射的模为：在的条件下的最大值，记作．若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值． （1）若，求； （2）若，计算的特征值并求出相应的；（若符合条件的向量有多个，写出其中一个即可） （3）若，要使有唯一的特征值，实数，，，应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值；②，并验证满足这两个条件． 【答案】（1） （2）特征值为，（写出一个符合条件的即可） （3），映射见解析 【解析】 【分析】（1）由定义可得，利用，可得，从而得出结论； （2）由特征值的定义可得：，由此可求的特征值以及相应的； （3）解方程组可得从而可得，，，应满足的条件. 【小问1详解】 当时最大为1，即. 【小问2详解】 由得， 即，∴， 当特征值时，；当特征值时， （写出一个符合条件的即可） 【小问3详解】 ，∴ ∴ 所以 ∴ 所以，要使f有唯一的特征值，则 当，时， 此时，f有唯一的特征值 且由于，所以： 【点睛】关键点点睛：问题的关键是把问题转化成为两个向量相等，那么这两个向量的横坐标、纵坐标分别相等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期福建省部分学校（高中）期中联考 高中一年级数学试卷 考试时间： 2024年4月26日 完卷时间： 120分钟 满分： 150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知复数在复平面内对应点为，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 2. 下列结论正确的是（ ） A. 用一个平面去截一个圆台，得到的截面可能是平行四边形 B. 有两个面平行且相似，其余各个面都是梯形的多面体是棱台 C. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 D. 用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 3. 如图，矩形中，点是线段上靠近三等分点，点是线段的中点，则（ ） A. B. C D. 4. 函数的图象如图所示，其中，，，则下列关于函数的说法中错误的是（ ） A. 在上单调递减 B. C. 最小正周期是 D. 对称轴是直线 5. 在中，分别为角的对边），则的形状可能是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 6. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ） A. 64m B. 74m C. 52m D. 91m 7. 设，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，，，则当取最小值时，实数（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是（ ） A B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量为 10. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 四边形的周长为 C. D. 四边形的面积为 11. 已知函数的定义域为，且的图象关于点对称，，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 的图象关于直线对称 C. 4为函数的一个周期为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_________． 13. 函数的单调递增区间是______． 14. 已知，且，为虚数单位，则的最大值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出相关的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位. （1）求复数z和|z|； （2）若在第四象限，求m的取值范围. 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求A﹔ （2）若的面积为，求的周长. 17. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在一段平坦的国道上进行测试，国道限速80 km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示： v 0 10 40 60 M 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，． （1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式． （2）根据（1）中所得函数解析式，求解问题：现有一辆同型号电动汽车从A地驶到B地，前一段是200 km的国道，后一段是50 km的高速路，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 18. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. （1）当时，求的单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值. 19. 将所有平面向量组成集合记作，f是从到的映射，记作或，其中，，，，，都是实数．定义映射的模为：在的条件下的最大值，记作．若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值． （1）若，求； （2）若，计算的特征值并求出相应的；（若符合条件的向量有多个，写出其中一个即可） （3）若，要使有唯一的特征值，实数，，，应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值；②，并验证满足这两个条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$