精品解析：江苏省扬州市高邮市2022-2023学年九年级上学期开学考试数学试题

2022~2023学年度第一学期学业质量监测试题 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 在“书香文游”知识竞赛中，某校30名学生的成绩统计如下，则该校学生成绩的中位数是（　　） 成绩/分 80 85 90 95 100 人数 7 9 4 9 1 A. 85分 B. 分 C. 88分 D. 90分 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数．根据中位数的定义“把一组数据从大到小（或从小到大）排列后位于正中间的一个数或两个数的平均数是中位数”，即可求解． 【详解】解：根据题意得，一共有30名参赛选手， 把成绩从低到高排列后位于第15 位和第16位的均为85分， ∴参赛选手成绩的中位数是． 故选：A 2. 下列一元二次方程中有一个根是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把分别代入每个方程计算，根据左式和右式的值判断即可求解，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键． 【详解】解：、把方程得，左边右边， ∴不是方程的根，该选项不合题意； 、把方程得，左边右边， ∴不是方程的根，该选项不合题意； 、把方程得，左边右边， ∴不是方程的根，该选项不合题意； 、把方程得，左边右边， ∴是方程的根，该选项不合题意； 故选：． 3. 已知平面直角坐标系中，的半径是10，则点与的位置关系是（　　） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本小题主要考查点和圆的位置关系、勾股定理，首先根据勾股定理求得的长度，然后直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵点的坐标是， ∴由勾股定理可得， 又半径是10， ∴点在上， 故选：B． 4. 已知中，，，则的形状（　　） A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由三角函数值求锐角、三角形的内角和，根据特殊角的三角函数值得、，再利用三角形的内角和即可求解，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：由，得， ，得， ， 故是钝角三角形， 故选：C． 5. 如图，已知A、B、C、D四张三角形卡纸的边长都是，，，若按图中标注的数据沿虚线剪一下，则剪得的小三角形卡纸与原三角形卡纸不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定，根据“两边对应成比例及其相等的两三角形相似”进行逐一判定即可求解，找出对应边是解题的关键． 【详解】解：A.因为，，所以两三角形相似，故不合题意； B.因为，，所以两三角形相似，故不合题意； C.因为，，所以两三角形相似，故不合题意； D.因为或，，所以两三角形不相似，故合题意； 故选：D． 6. 若点、在二次函数的图象上，则方程的一个解x的范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，利用图象求一元二次方程的近似解，由坐标可得，由近似解的判定方法即可求解；理解近似解的求法“图象上两点，，且，当时，则对应方程的一个解为：．”是解题的关键． 【详解】解：点、在二次函数的图象上， 当时， ， 当时， ， ， 方程的一个解x的范围是． 故选：B． 7. 如图，点、、、都在的正方形网格的格点上，、相交于点，则的正切值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理和勾股定理的逆定理，如图，取格点，连接，．利用勾股定理得到,，，进而由勾股定理的逆定理得到，由网格的特点推出，解直角三角形求出即可得到答案． 【详解】解：如图，取格点，连接，． 由网格的特点和勾股定理可知,， ， ∴， ∴是直角三角形，且， 由网格的特点可知， ， ， 故选：C． 8. 在一列数：3，17，……中，若从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2023个数是（　　） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，先根据题意计算出前面9个数字，可以得到规律这一列数从第3个数开始按每6个数字为1个循环，1，7，7，9，3，7依次出现，再计算出即可得到答案． 【详解】解：由题知， ∵， ∴这一列数中的第3个数是1； ∵， ∴这一列数中的第4个数是7； ∵ ， ∴这一列数中的第5个数是7； ∵， ∴这一列数中的第6个数是9； ∵， ∴这一列数中的第7个数是3； ∵， 所以这一列数中的第8个数是7； ∵， ∴这一列数中的第9个数是1； ……， 以此类推，这一列数从第3个数开始按每6个数字为1个循环，1，7，7，9，3，7依次出现 又∵， ∴这一列数中的第2023个数是3． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 已知线段，，则线段a，b的比例中项是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查线段的比例中项定义，根据比例中项的定义，列出方程是解题的关键．根据比例中项的定义可得出，求解即可． 【详解】解：设线段a，b的比例中项是， ∴， 解得：（舍去负值）． 故答案为：6． 10. 从小到大排列的一组数据x，2，3，4的极差是7，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了极差的定义，由定义可得，即可求解；理解“一组数据中最大的数与最小的数的差，叫做极差．”是解题的关键． 【详解】解：∵从小到大排列的一组数据x，2，3，2的极差是7， ， 解得：， 故答案为：． 11. 从1月8日起，我国对新冠病毒感染实施“乙类乙管”，为掌握新冠感染数的变化趋势，世界卫生组织通常以_______统计图来绘制（填“扇形”、“条形”、“折线”中的一个）． 【答案】折线 【解析】 【分析】本题考查统计图的选择，解题的关键根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点进行判断．据此解答即可． 【详解】解：根据统计图的特点，知世界卫生组织通常以折线统计图来绘制． 故答案为：折线． 12. 若二次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是______． 【答案】（或） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，正确得出对称轴是解题关键．注意：，抛物线开口向下，在对称轴右边y随x的增大而减小，直接利用二次函数的性质分析得出答案． 【详解】解： 时，函数值y随x的增大而减小 故答案为：（或） 13. 在一次数学模拟测试中满分为分，算出了李丽所在小组所有成绩的方差是分．若将该小组所有成绩按满分进行换算，则换算后该小组所有成绩的方差是 _____分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平均数和方差的计算公式的灵活运用．可先设出原来数学成绩，则转换后的成绩是原来的成绩都乘以，分别列出二组数据的平均数和方差的算式，对比可得．掌握方差的计算公式是解题的关键． 【详解】解：设成绩分别为：，，，， ∴平均数， 方差， 换算后成绩分别为，，，， ∴平均数， 方差 ， ， ∴换算后该小组所有成绩的方差是分． 故答案为：． 14. 如图，以点为位似中心，把按相似比放大得到，连接．若的面积为6，则的面积为 __． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似变换的性质及三角形的面积公式的解题的关键．根据位似变换的性质及三角形的面积公式求解，即可解题． 【详解】解：按相似比放大得到， 与的面积比为， 的面积为6， 的面积为54， ， 的面积为12， 的面积为：， 故答案为：36． 15. 如图，实线部分是用三个等圆中的4条弧设计的一个花坛俯视图，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，圆的半径为6米，则一个花坛的周长为 ________米．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，先利用圆的半径的关系求出圆心角，再根据弧长公式进行计算即可，根据弧长公式正确计算是解答本题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ， ∵三个圆是三个等圆， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 则左右两个圆的圆心角为， 中间是一个完整圆的周长， ∴（米）， 即花坛的周长为米， 故答案为：． 16. 如图，为便于游客在一块长为米，宽为米的矩形荷花池里近距离观赏荷花，若要使得能观赏（观景廊桥下的荷花都按不能观赏计）的荷花面积不少于平方米，则修建时，观景廊桥宽度最大为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设修建时观景廊桥宽度是米，根据使得能观赏（观景廊桥下的荷花都按不能观赏计）的荷花面积为平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设修建时观景廊桥宽度是米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即若要使得能观赏（观景廊桥下的荷花都按不能观赏计）的荷花面积不少于平方米，修建时观景廊桥宽度最大只能是米， 故答案为：． 17. 如图，的直径和弦相交于点，已知，，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，连接，过点作，根据题意先求出，再由，得，再根据勾股定理求得，，由垂径定理得出的长． 【详解】解：连接，过点作， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为． 18. 若对任意，都有成立，则必须满足的条件是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值与不等式（组），解题的关键是分和两种情况把不等式转化为二次函数求最值问题． 【详解】解：当，即时，， ∴， ∵函数图像的对称轴为轴，且抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴； 当，即时，， ∴， ∵函数图像的对称轴为轴，且抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴； 综上所述，必须满足的条件是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算或解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值及解一元二次方程， （1）直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可； （2）先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法； 熟记各特殊角的三角函数值和熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ， ， ， ∴或， 解得：，． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个负实数根，求m的取值范围． 【答案】（1）见解答 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法，求出方程的两个实数根． （1）根据方程的系数，结合根的判别式，可求出，进而可证出该方程总有两个实数根； （2）利用因式分解法，可求出方程的两根，结合该方程有一个负实数根，即可求出m的取值范围． 【小问1详解】 证明：∵ ， ∴该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 ∵， ∴， 解得：，． ∵该方程有一个负实数根， ∴， ∴． 21. 全校学生进行了一次心理健康知识竞赛，现从男、女生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩，将名学生的成绩分为四组（A：，B：，C：，D：）进行整理，部分信息如下： 女生的竞赛成绩：76，100，87，100，92，94，91，100，94，86． 男生的竞赛成绩在C组中的数据为：83，84，86，88． 性别 平均数 中位数 最高分 众数 男生 83 a 98 76 女生 b 93 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，______； （2）已知全校共有1400名学生，给竞赛成绩的学生发证书，请估计该校应准备多少张证书？ 【答案】（1），， （2）张 【解析】 【分析】本题考查了众数、平均数、中位数、样本估计总体等知识点，解题的关键是掌握相关概念． （1）根据众数、平均数、中位数的定义解决问题即可； （2）利用样本估计总体的思想解决问题． 【小问1详解】 解：中位数， 平均数， 众数， 故答案为：，，； 【小问2详解】 （人） 答：估计该校应准备张证书． 22. 王磊有一套深色的运动衫、运动裤和一套浅色的运动衫、运动裤，分别放在4个密封且不透明的收纳袋中，因为今天有体育课，他准备穿一套运动服去上学 （1）若他随手拿出一只收纳袋打开，则里面恰好是运动裤的概率为 ； （2）若他随手拿出两只收纳袋打开，求里面恰好为颜色相同的运动衫、运动裤的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对于结果数较少的采用列举法，而对于两次抽取问题采用列表或树状图； （1）对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算即可； （2）画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可； 能理解“放回与不放回的区别”是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得 一套深色的运动衫、运动裤和一套浅色的运动衫、运动裤，共有种结果，其中运动裤有种结果， ， 故答案：； 【小问2详解】 解：将深色的运动衫、运动裤分别记为A，B，浅色的运动衫、运动裤分别记为C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中里面恰好为颜色相同的运动衫，BA，DC， ∴里面恰好为颜色相同的运动衫、运动裤的概率： ． 答：里面恰好为颜色相同的运动衫、运动裤的概率． 23. 某快递公司去年11月份与今年1月份投递的快递件数分别为10万件和12.1万件，每个月投递的快递件数逐渐增多． （1）求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率； （2）若每个快递员每月最多可投递万件快递，该公司现有16个快递员，请通过计算说明按此快递件数的增长速度，在不增加快递员的情况下，该公司能否完成今年2月份的投递任务． 【答案】（1）月平均增长率为； （2）在不增加人手的情况下，该公司不能完成2月份的投递任务． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x，根据“11月份快递件数×(1+增长率)月份快递件数”列出关于x的方程，解之可得答案； （2）分别计算出2月份的快递件数和16名快递小哥可投递的总件数，据此可得答案． 【小问1详解】 解：设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x， 可得：， 解得：，（舍）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：2月份的快递件数为（万件）， 而， 在不增加人手的情况下，该公司不能完成2月份的投递任务． 24. 如图，是的直径，点B在上，连接，过圆心O作，连接并延长，交延长线于点A，满足． （1）求证：是的切线； （2）若F是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ，是的中点， ， ∴是等边三角形， ， 的半径为3， ， ，， 阴影部分的面积． 25. 如图1是一辆汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2），，，． （1）若，求点、两点之间的距离；（参考数据：，） （2）若，求、两点之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，三角函数； （1）连接，作交于，由旋转的性质可得，，再由等腰三角形的性质可求，由正弦函数的定义可得，即可求解； （2）连接，由旋转的性质得，，由等边三角形的判定方法得为等边三角形，再由勾股定理得，即可求解； 掌握相关的判定方法及性质，能根据题意构建直角三角形进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图2，连接，作交于， 由题意得：，， ， 在中， ， ， ； 答：点、两点之间的距离约为； 【小问2详解】 解：如图3，连接， 由题意得：，， 为等边三角形， ， 在中， 则 ， ； 答：、两点之间的距离为． 26. 已知二次函数图象顶点为，交x轴于点A、B（点A在点B的左边），交y轴于点N． （1）求m、n的值和A、B两点的坐标； （2）若经过点A、B，且与y轴相切于点C，则的半径为 ， ． 【答案】（1），，， （2）3； 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与圆的综合运用，二次函数的顶点式，矩形的判定及性质，垂径定理，切线性质定理，勾股定理等； （1）由二次函数的顶点式得，再化为一般式，令，即可求解； （2）连接、，过点作轴于点，由、的坐标得点在抛物线的对称轴直线上，设，由切线的性质得的半径为，①当圆心D在x轴上方时，由勾股定理得即可求解；②当圆心D在x轴的下方时，同理可可求解； 掌握二次函数顶点式求法，圆的基本性质，连切点，构建直角三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解：图象顶点为， 可得抛物线的表达式为： ， ，， 当时， ， 解得：，， ，； 【小问2详解】 解：当时，， ， 如图，连接、，过点作轴于点， 点在抛物线的对称轴直线上， 可设， 与y轴相切于点C， ， 的半径为， ①当圆心D在x轴上方时， 则， ， 轴， 四边形为矩形， ， ， ； ②当圆心D在x轴的下方时， 同理可得：， 故答案为：3，． 27. 如图，在正方形中，，点P是CD边上的一点（点P与点C、D不重合），连接，点M、N分别在、边上，． （1）如图1，判断线段、的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当恰好经过正方形的中心O时，求四边形的面积； （3）如图3，当恰好经过线段的中点E时，则点为何值时，四边形的面积最大？ 【答案】（1） ． 理由：过点B作，交于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 又∵，， ， ， ∴； （2）18 （3）3 【解析】 【分析】（1）过点B作，交于H，证明，由全等三角形的得出，则可得出结论； （2）连接，证明，由全等三角形的得出，则可得出答案； （3）作于F，则，且，证明，得出，设，得出由二次函数的性质可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ， ， ∴； 【小问3详解】 作于F， 则，且， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴， 设， 由勾股定理得：， 即， 解得， ∴， ∴ ，其中， ∴当时，， 此时，， 即时，四边形的面积最大． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了二次函数及二次函数的最值，正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，解题的关键是能用所学的性质进行证明和计算以及全等三角形的判定． 28. 如图，在矩形中，平分交于点E，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点O． （1）①求证：点F在矩形的外接圆上； ②求证：； ③求证：． （2）已知，，若点P是边上的任意一点，将绕点F旋转，在旋转过程中，的最大值为 ，的最小值为 ． 【答案】（1） 证明：①连接交于点M，连接，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴， 即点M为矩形外接圆的圆心，的长为半径， ∵， ∴， ∴点F在矩形的外接圆上； ②由①得点F在矩形的外接圆上， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③由②得，，， ∴，，， ∴， ∴， 即， ∴； （2）； 【解析】 【分析】（1）①连接交于点M，连接，根据四边形为矩形，得出，说明点M为矩形外接圆的圆心，的长为半径，根据直角三角形性质得出即可； ②根据圆周角定理得出，证明，，即可证明； ③根据，得出，证明，得出，即可得出，证明结论成立； （2）根据题意得出点P的运动轨迹是以点F为圆心，为半径的圆，从而得出当的长最大时，的长的最大值为，最小值为，根据当点P与点B重合时，的长最大，根据勾股定理和矩形的性质求出和的长即可得出答案． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：根据题意可得：点P的运动轨迹是以点F为圆心，为半径的圆， ∴当的长最大时，的长的最大值为，最小值为， ∴当点P与点B重合时，的长最大， ∵四边形为矩形，，， ∴，，， 由（1）得：， ∴，， 根据勾股定理得：， ∵， ∴由勾股定理得：， 即， ∴，负值舍去， ∴， 过点F作交的延长线于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴，负值舍去， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴长的最大值为， 最小值为：． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质，作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022~2023学年度第一学期学业质量监测试题 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 在“书香文游”知识竞赛中，某校30名学生的成绩统计如下，则该校学生成绩的中位数是（　　） 成绩/分 80 85 90 95 100 人数 7 9 4 9 1 A. 85分 B. 分 C. 88分 D. 90分 2. 下列一元二次方程中有一个根是的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面直角坐标系中，的半径是10，则点与的位置关系是（　　） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 4. 已知中，，，则的形状（　　） A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 无法确定 5. 如图，已知A、B、C、D四张三角形卡纸的边长都是，，，若按图中标注的数据沿虚线剪一下，则剪得的小三角形卡纸与原三角形卡纸不相似的是（　　） A. B. C. D. 6. 若点、在二次函数的图象上，则方程的一个解x的范围是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，点、、、都在的正方形网格的格点上，、相交于点，则的正切值是（ ） A. 2 B. C. D. 8. 在一列数：3，17，……中，若从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2023个数是（　　） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 已知线段，，则线段a，b的比例中项是______． 10. 从小到大排列的一组数据x，2，3，4的极差是7，则_______． 11. 从1月8日起，我国对新冠病毒感染实施“乙类乙管”，为掌握新冠感染数的变化趋势，世界卫生组织通常以_______统计图来绘制（填“扇形”、“条形”、“折线”中的一个）． 12. 若二次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是______． 13. 在一次数学模拟测试中满分为分，算出了李丽所在小组所有成绩的方差是分．若将该小组所有成绩按满分进行换算，则换算后该小组所有成绩的方差是 _____分． 14. 如图，以点为位似中心，把按相似比放大得到，连接．若的面积为6，则的面积为 __． 15. 如图，实线部分是用三个等圆中的4条弧设计的一个花坛俯视图，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，圆的半径为6米，则一个花坛的周长为 ________米．（结果保留） 16. 如图，为便于游客在一块长为米，宽为米的矩形荷花池里近距离观赏荷花，若要使得能观赏（观景廊桥下的荷花都按不能观赏计）的荷花面积不少于平方米，则修建时，观景廊桥宽度最大为_____米． 17. 如图，的直径和弦相交于点，已知，，，则的长为___________． 18. 若对任意，都有成立，则必须满足的条件是 _________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算或解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个负实数根，求m的取值范围． 21. 全校学生进行了一次心理健康知识竞赛，现从男、女生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩，将名学生的成绩分为四组（A：，B：，C：，D：）进行整理，部分信息如下： 女生的竞赛成绩：76，100，87，100，92，94，91，100，94，86． 男生的竞赛成绩在C组中的数据为：83，84，86，88． 性别 平均数 中位数 最高分 众数 男生 83 a 98 76 女生 b 93 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，______； （2）已知全校共有1400名学生，给竞赛成绩的学生发证书，请估计该校应准备多少张证书？ 22. 王磊有一套深色的运动衫、运动裤和一套浅色的运动衫、运动裤，分别放在4个密封且不透明的收纳袋中，因为今天有体育课，他准备穿一套运动服去上学 （1）若他随手拿出一只收纳袋打开，则里面恰好是运动裤的概率为 ； （2）若他随手拿出两只收纳袋打开，求里面恰好为颜色相同的运动衫、运动裤的概率． 23. 某快递公司去年11月份与今年1月份投递的快递件数分别为10万件和12.1万件，每个月投递的快递件数逐渐增多． （1）求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率； （2）若每个快递员每月最多可投递万件快递，该公司现有16个快递员，请通过计算说明按此快递件数的增长速度，在不增加快递员的情况下，该公司能否完成今年2月份的投递任务． 24. 如图，是的直径，点B在上，连接，过圆心O作，连接并延长，交延长线于点A，满足． （1）求证：是的切线； （2）若F是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积． 25. 如图1是一辆汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2），，，． （1）若，求点、两点之间的距离；（参考数据：，） （2）若，求、两点之间的距离． 26. 已知二次函数图象顶点为，交x轴于点A、B（点A在点B的左边），交y轴于点N． （1）求m、n的值和A、B两点的坐标； （2）若经过点A、B，且与y轴相切于点C，则的半径为 ， ． 27. 如图，在正方形中，，点P是CD边上的一点（点P与点C、D不重合），连接，点M、N分别在、边上，． （1）如图1，判断线段、的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当恰好经过正方形的中心O时，求四边形的面积； （3）如图3，当恰好经过线段的中点E时，则点为何值时，四边形的面积最大？ 28. 如图，在矩形中，平分交于点E，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点O． （1）①求证：点F在矩形的外接圆上； ②求证：； ③求证：． （2）已知，，若点P是边上的任意一点，将绕点F旋转，在旋转过程中，的最大值为 ，的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $