专题04 有理数的加减法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题04 有理数的加减法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 有理数加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法在生活中的应用 题型四 有理数的减法运算 题型五 有理数减法的实际应用 题型六 有理数加减的混合运算 题型七 有理数加减中的简便运算 题型八 有理数加减法中的规律问题 题型九 有理数加减法与数轴的综合 题型十 有理数加减法与相反数、绝对值的应综合 题型十一 利用有理数加减法解决幻方问题 题型十二 有理数加减法中的新定义问题 知识点1：有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 知识点2：运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 知识点3：有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 知识点4：有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【经典例题一 有理数加法运算】 【例1】计算的结果是（    ） A．9 B． C．5 D． 1．已知，，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 2．如果x＜0，y＞0，且︱x︱＞︱y︱，那么x＋y= 0（填“＞”或“＜”） 3．一般地，异号两数相加有下面的法则： 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 另外，有理数相加还有以下法则： 互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，仍得这个数． 你能举例说明吗？ 【经典例题二 有理数加法中的符号问题】 【例2】数轴上A，B两点（不与原点O重合）分别表示有理数、，的中点为P，若，则关于原点O的位置，下列说法正确的个数（    ） ①当时，点O与点P重合；    ②当时，点O在线段上； ③当点O在点P的左侧时，；    ④当点O在线段上时，； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 1．a，b，c三个数的位置如图所示，下列结论错误的是（    ）    A．b＋a＞0 B．b＋c＜0 C．a＋b＜0 D．a＋c＞0 2．希希、望望、贝贝三个人在火车上斗地主，地主赢一局积2分，输一局积负2分，农民赢一局积1分，输一局积负1分．10局之后希希、望望、贝贝三人得分的总和为 ．（提示：地主赢则两个农民都输；农民赢则两个农民都赢，地主输．） 3．已知，若，请说明、需要满足的条件． 【经典例题三 有理数加法在生活中的应用】 【例3】盒子里有8个黄球，5个红球，至少摸（    ）次一定会摸到红球． A．8 B．5 C．9 D．6 1．手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（     ）   微信红包一来自王某某   某平台商户   扫二维码付给某店 A．收入14元 B．支出3元 C．支出18元 D．支出10元 2．已知数轴上有A，B两点，A，B之间的距离为2．点A在原点的左侧且与原点O的距离为3，那么点B对应的数之和是 ． 3．现有10袋小麦，以每袋90千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下（单位：千克）：，，，，，，，，，． (1)这10袋小麦中，重量在90千克以下的有 袋． (2)这10袋小麦的总重量是多少千克？ 【经典例题四 有理数的减法运算】 【例4】如图，将数轴上与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为，，，，，则下列结论中，正确的有（   ）个 ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，在数，，，b中，最大的是（    ）    A． B． C． D．b 2．某《科技名人辞典》记载：斯特拉博，古希腊地理学家、历史学家．如果公元前记为“”，斯特拉博活了 岁． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【经典例题五 有理数减法的实际应用】 【例5】如图是南昌市1月份连续4天的天气预报数，其中日温差最大的一天是（    ） A．1月5日 B．1月6日 C．1月7日 D．1月8日 1．M、N两地的高度差记为M﹣N，例如：M地比N地低2米，记为M﹣N＝﹣2（米）．现要测量A、B两地的高度差，借助了已经设立的D、E、F、G、H共五个观测地，测量出两地的高度差，测量结果如下表：（单位：米） 两地的高度差 D﹣A E﹣D F﹣E G﹣F H﹣G B﹣H 测量结果 3.3 ﹣4.2 ﹣0.5 2.7 3.9 ﹣5.6 则A﹣B的值为（　　） A．0.4 B．﹣0.4 C．6.8 D．﹣6.8 2．对于一个四位正整数，我们可以将其表示为：（表示千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d的四位数，其中，，且a，b，c，d均为整数）．如果一个四位数各位数字均不为0，且满足，则称这个数为“前仆后继”数，判断5934 （“是”或“不是”）“前仆后继”数；若M是“前仆后继”数，且满足与的和为5的倍数，则满足条件的M的最小值为 ． 3．2023年月5日是元宵节，某大型晚会会场的彩灯共有个，编号依次为，，，…，，彩灯的拉线开关是这样设计的：接上电源是红色，拉第一下开关后，彩灯由红色变成黄色；拉第二下开关后，彩灯由黄色变成蓝色；拉第三下开关后，彩灯由蓝色变成红色，如此循环．现将编号为的倍数的灯线拉一下，然后将编号为的倍数的灯线拉一下，最后将编号为的倍数的灯线拉一下．求最后蓝色灯的个数． 【经典例题六 有理数加减的混合运算】 【例6】对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于1，2，3进行“非负差值运算”，． ①对，3，5，9进行“非负差值运算”的结果是； ②x，、5的“非负差值运算”的最小值是； ③a，b，c的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 1．如图，方格中的任一行、任一列以及对角线上的数字之和相等，那么等于（    ）    A．4 B．5 C．8 D．12 2．已知，则的值为 ． 3．计算下列各式： (1) (2) (3) (4) 【经典例题七 有理数加减中的简便运算】 【例7】计算的值为（   ） A． B． C． D． 1．电子虫落在数轴上的某点K0，第一步从K0向左跳1个单位到K1，第二步由K1向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3向右跳4个单位到K4…，按以上规律跳了100步时，电子虫落在数轴上的点K100所表示的数恰是19.94，则K0表示的数是（  ） A．﹣19.94 B．30.06 C．19.94 D．﹣30.06 2．爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ．    3．计算 (1) (2) 【经典例题八 有理数加减法中的规律问题】 【例8】一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，…，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（  ） A． B．48 C． D．49 1．观察下列各式：-=-1+，-=-+-=- +，-=- +，按照上面的规律，计算式子- - - - … - 的值为（    ） A．- B． C．2020 D．2021 2．在有些情况下，不需要计算结果也能把绝对值符号去掉，例如：；；；．根据上述规律，计算： ． 3．已知，两地相距30米，小猪佩奇从地出发前往地，第一次它后退1米，第二次它前进2米，第三次再后退3米，第四次又向前进4米，按此规律行进，如果地在数轴上表示的数为． (1)求出B地在数轴上表示的数； (2)小猪佩奇从A地出发经过第七次行进后到达点P，第八次行进后到达点Q，点P点Q到A地的距离相等吗？说明理由？ (3)若B地在原点的左侧，那么经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点B之间的距离是多少？ 【经典例题九 有理数加减法与数轴的综合】 【例9】已知数轴上，两点对应的数分别为，，若在数轴上找一点，使得点，之间的距离为5；再在数轴找一点，使得点，之间的距离为1，则，两点间的距离可能为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 1．点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧，若将点移动5个单位长度到点，此时点表示的数是（    ） A．8 B．2 C． D．或2 2．已知数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，点在原点位置，点表示的数为，已知下表中的含义均为前一个点所表示的数与后一个点所表示的数的差，比如为． 10 2 若点与点的距离为，则的值为 ．    3．【阅读与实践】 材料1：点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，我们把数轴上A，B两点之间的距离表示为． 材料2：数轴上的两点A，B对应的数分别为a，b，我们把点A与表示数b的相反数的点之间的距离称为A，B两点之间的“反距离”，记作． 阅读材料1，2，回答下列问题： (1)数轴上表示和5的两点之间的距离是______；数轴上表示15和6的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示a和的两点之间的距离表示为______； (3)数轴上表示数9和的两点之间的反距离是______，数轴上表示和6的两点之间的反距离是______； (4)数轴上表示数a和两点之间的反距离表示为______； (5)如果一个点在数轴上对应的数为m，它与最小的正整数所表示的点之间的反距离为2024，则m的值为______． 【经典例题十 有理数加减法与相反数、绝对值的应综合】 【例10】下列说法中： ①两个有理数的差一定小于被减数；②绝对值等于它的相反数的数是负数； ③若且，则，同为负数；④，则； ⑤一个有理数不是正数就是负数；⑥最大的负整数是.正确的有（    ） A．①③⑤⑥ B．①③⑥ C．③⑥ D．②③ 1．我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 2．如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数312，，312是“三决数”，把一个三决数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之差的2倍记为．则的值为 ． 3．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求　　； (2)找出所有符合条件的整数，使得； (3)对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 【经典例题十一 利用有理数加减法解决幻方问题】 【例11】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，1，2，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用一次），则的值为（    ）    A．1或 B．4或 C．或4 D．或1 1．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 2．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如表所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则表中△处的值为 ． △ c 0 a d b 3．阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如果把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等．    【发现】（1）在图2中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均为______． 【尝试】（2）将，0，1，2，3，4，5，6这9个数中除，2，5外的6个数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方（即每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等）． 【应用】（3）把绝对值小于5的整数分别填入图4的各个方格中（每个数只能用一次），使得每行、每列以及对角线上的数字之和都相等．    【经典例题十二 有理数加减法中的新定义问题】 【例12】定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“”号表示数的加法，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．探究规律，完成相关题目，王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：；；；；；．请你按照王老师定义的运算法则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则 ． 3．数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 1．如果，那么下列式子成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．在正整数中，前50个偶数的和减去前50个奇数的和所得的结果是（    ） A．50 B． C．100 D． 3．定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“”号表示数的加法，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图1，点A，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点对应刻度，点对应刻度.则数轴上点所对应的数为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 5．2023年9月23日至10月8日杭州亚运会期间，河南某体育用品商店推出一系列打折让利活动，某星期的盈亏情况如表（盈余为正，亏损为负，单位：元）所示：表中星期五的数据被墨水覆盖了，则被墨水覆盖的数据是（    ）． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 1381    38 188 458 A． B． C． D． 6．绝对值小于的所有整数的和为 ． 7．对有理数规定一种新运算“*”：，则 8．已知数轴上两点对应的数分别为，y，且y是的最小值，点P为数轴上一点，且原点O是的中点，点C是的三等分点，则点C在数轴上表示的数是 ． 9．小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是7，8，9，10中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上写的数字是 ． 10．已知数轴上A点表示的数是，B点表示的数是6，将数轴上线段剪下来，并把这条线段沿着某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 11． 12．计算： (1) (2) (3) (4) 13．有一家四口人要走过一座窄桥，窄桥一次最多只可容许两个人一起过桥，由于天色很暗，同时他们又只有一只手电筒，行人过桥时必须持有手电筒，以防止跌落水中，因此就得有人把手电筒带来带去，来回桥两端，四个人的步行速度各不相同，已知每人过桥所需要使用的时间分别为：哥哥1分钟；爸爸2分钟；妈妈5分钟；爷爷10分钟．若两人同行则以较慢者的速度为准，请问一家四口人全部过桥的总用时至少是几分钟？ 请写出你设计的方案： 第一步：______与______过桥，______回来； 第二步：______与______过桥，______回来； 第三步：______与______过桥，共耗时______分钟． 14．为了提高学生的身体素质，学校鼓励学生开展每日一分钟跳绳打卡活动．小李记录了11月1日至5日每日一分钟跳绳个数如下表（正号表示比上一天多，负号表示比上一天少）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 个数变化（单位：个） 若10月31日小李一分钟跳绳170个，问： (1)小李在11月1日、2日各跳绳多少个？ (2)小李在这5天的跳绳练习中，一分钟最多跳绳多少个？ (3)小李在这5天的跳绳练习中，累计跳绳多少个？ 15．阅读下面材料： 小明在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的个数：，，，，，称为数列：，，，，其中为整数且． 定义． 例如，若数列：，，，，，则． 根据以上材料，回答下列问题： (1)已知数列：，，，求； (2)已知数列：，，，，其中，，，，为个互不相等的整数，且，，，直接写出满足条件的数列； (3)已知数列：，，，，中个数均为非负数，且，直接写出的最大值和最小值，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 有理数的加减法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 有理数加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法在生活中的应用 题型四 有理数的减法运算 题型五 有理数减法的实际应用 题型六 有理数加减的混合运算 题型七 有理数加减中的简便运算 题型八 有理数加减法中的规律问题 题型九 有理数加减法与数轴的综合 题型十 有理数加减法与相反数、绝对值的应综合 题型十一 利用有理数加减法解决幻方问题 题型十二 有理数加减法中的新定义问题 知识点1：有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 知识点2：运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 知识点3：有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 知识点4：有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【经典例题一 有理数加法运算】 【例1】计算的结果是（    ） A．9 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，利用有理数的加法法则计算即可，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 1．已知，，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据题意分析出与的值，再代入求值，此题考查了有理数的加减法，能够分析出与的值是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， ∴或， 则或． 故选：． 2．如果x＜0，y＞0，且︱x︱＞︱y︱，那么x＋y= 0（填“＞”或“＜”） 【答案】＜ 【分析】由已知得x为负数，y为正数，且负数的绝对值较大，根据有理数的加法法则判断x+y的符号． 【详解】∵x＜0、y＞0，且|x|＞|y|， ∴x+y＜0． 故答案为＜． 【点睛】本题考查了有理数的加法法则．能够根据已知条件正确地判断出x、y的符号是解答此题的关键． 3．一般地，异号两数相加有下面的法则： 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 另外，有理数相加还有以下法则： 互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，仍得这个数． 你能举例说明吗？ 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的加法，根据题意，结合有理数的加法法则，举例说明即可得出答案． 【详解】解：能举例说明： 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值：；； 互为相反数的两个数相加得零：； 一个数同零相加，仍得这个数：． 【经典例题二 有理数加法中的符号问题】 【例2】数轴上A，B两点（不与原点O重合）分别表示有理数、，的中点为P，若，则关于原点O的位置，下列说法正确的个数（    ） ①当时，点O与点P重合；    ②当时，点O在线段上； ③当点O在点P的左侧时，；    ④当点O在线段上时，； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上两点中点计算公式，有理数加法中的符号问题，绝对值的几何意义，根据中点可得表示的数是，再根据及，的大小，判断，，，三点所表示的数的正负，从而将进行判断． 【详解】解：∵的中点为， ∴表示的数是，， 当时，则，两点表示的数互为相反数，此时，即：此时点表示的数是0， ∴点O与点P重合，故①正确； 当时， ∴ ∴表示的数是负数， ∴点O在点P右侧，即点O不在线段上，故②错误； 当点O在点P的左侧时，则， ∴，故③正确； 当点O在线段上时，则， ∴，故④错误， ∴正确的有2个， 故选：C． 1．a，b，c三个数的位置如图所示，下列结论错误的是（    ）    A．b＋a＞0 B．b＋c＜0 C．a＋b＜0 D．a＋c＞0 【答案】A 【分析】根据数轴上点的位置判断出a，b，c的大小，利用有理数的加法法则逐一判断即可． 【详解】根据数轴上点的位置得：-4＜b＜-3＜-1＜a＜0＜1＜c，即|a|＜|c|＜|b|， ∴b+a＜0，故A选项错误，符合题意， b+c＜0，故B选项正确，不符合题意， a+b＜0，故C选项正确，不符合题意， a+c＞0，故D选项正确，不符合题意， 故选：A． 【点睛】此题考查了有理数的加法及数轴，正确判断a，b，c的大小，熟练掌握运算有理数加减法法则是解本题的关键． 2．希希、望望、贝贝三个人在火车上斗地主，地主赢一局积2分，输一局积负2分，农民赢一局积1分，输一局积负1分．10局之后希希、望望、贝贝三人得分的总和为 ．（提示：地主赢则两个农民都输；农民赢则两个农民都赢，地主输．） 【答案】/分 【分析】本题考查数的运算，计算出每一局的积分和，从而求得10局积分总和． 【详解】解：由题意， 每一局地主赢则两个农民都输，此时三人得分总和为分； 每一局农民赢则两个农民都赢，地主输，此时三人得分总和为分； ∴10局之后希希、望望、贝贝三人得分的总和为0分， 故答案为：0． 3．已知，若，请说明、需要满足的条件． 【答案】见解析 【分析】分为三种情况讨论：①当时，②当，时，③当时，根据有理数的加法法则得出答案即可． 【详解】解：分为三种情况： ①当时，、在取值范围内任意取值，都有； ②当，时，则有； ③当时，无论、取何值，都无法得到． 【点睛】本题考查了对有理数加法法则的应用，主要考查分类讨论的数学思想． 【经典例题三 有理数加法在生活中的应用】 【例3】盒子里有8个黄球，5个红球，至少摸（    ）次一定会摸到红球． A．8 B．5 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了抽屉原理，考虑最坏的情况：摸出8次，都是摸出的黄球，则再摸出一个一定是红球，据此即可解答． 【详解】解：∵盒子里有8个黄球，5个红球， ∴至少摸次一定会摸到红球， 故选：C． 1．手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（     ）   微信红包一来自王某某   某平台商户   扫二维码付给某店 A．收入14元 B．支出3元 C．支出18元 D．支出10元 【答案】B 【分析】根据题意，将当日微信账单的各项收支相加并计算结果，再根据“正数表示收入，负数表示支出”即可获得答案． 【详解】解：元， 即王老师当天微信收支的最终结果是支出3元． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正负数的实际应用以及有理数加法运算，读懂题意，熟练掌握正负数的实际应用和有理数加法运算法则是解题关键． 2．已知数轴上有A，B两点，A，B之间的距离为2．点A在原点的左侧且与原点O的距离为3，那么点B对应的数之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，解决问题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式，绝对值的化简．设点B对应的数为，根据题意得点A的坐标，根据数轴上A，B两点之间的距离为2，得到，解得x，即可求得点B对应的数之和． 【详解】设点B对应的数为， ∵点A在原点的左侧且与原点O的距离为3， ∴点A表示的数为 ∵数轴上A，B两点之间的距离为2， ∴， ∴， ∴，或， 则点B对应的数之和是． 故答案为：． 3．现有10袋小麦，以每袋90千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下（单位：千克）：，，，，，，，，，． (1)这10袋小麦中，重量在90千克以下的有 袋． (2)这10袋小麦的总重量是多少千克？ 【答案】(1)3 (2)925 【分析】本题考查正数和负数的实际应用，涉及有理数加减和乘法运算，解答本题的关键是明确正负数在题目中的实际意义． （1）利用正数，负数计算，负数是低于标准重量的，计算即可． （2）利用数据计算出10袋小麦的总重量为，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，负数有，，三个， 故重量在90千克以下的有3袋， 故答案为：3． （2）解：（千克）， 答：这10袋小麦的总重量是925千克． 【经典例题四 有理数的减法运算】 【例4】如图，将数轴上与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为，，，，，则下列结论中，正确的有（   ）个 ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先计算与6两点间的线段的长度为，再求出六等分后每个等分的线段长为，从而求出，，，，表示的数，然后判断即可． 【详解】与6两点间的线段的长度为， 六等分后每个等分的线段长为， ，，，，表示的数为：，，， ①，故不正确； ②，故不正确； ③，故正确； ④，故正确；⑤，故正确； 综上，有3个正确结论， 故选C． 【点睛】本题考查数轴，两点间的距离，求出每个点表示的数是解题的关键． 1．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，在数，，，b中，最大的是（    ）    A． B． C． D．b 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，利用数轴上的点表示的数：原点左边的数小于零，原点右边的数大于零，得出a、b的大小，再根据有理数的运算，可得答案． 【详解】解∶由数轴得，， ∴，，， ∴． 故选：C． 2．某《科技名人辞典》记载：斯特拉博，古希腊地理学家、历史学家．如果公元前记为“”，斯特拉博活了 岁． 【答案】81 【分析】本题考查有理数减法的应用，根据有理数的减法运算即可，注意没有公元0年，计算应减去1． 【详解】（岁）， ∴斯特拉博活了81岁． 故答案为：81． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据有理数的减法运算法则计算即可求解； （）根据有理数的减法运算法则计算即可求解； （）根据有理数的减法运算法则计算即可求解； 本题考查了有理数的加减运算，掌握有理数的减法运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【经典例题五 有理数减法的实际应用】 【例5】如图是南昌市1月份连续4天的天气预报数，其中日温差最大的一天是（    ） A．1月5日 B．1月6日 C．1月7日 D．1月8日 【答案】C 【分析】分别计算每天的温差，通过比较计算结果即可得出结论． 【详解】解：周三的温差是：， 周四的温差是：， 周五的温差是：， 周六的温差是：， ， 日温差最大的一天是周五月7日）， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数减法的应用，熟练掌握和运用有理数减法的实际应用是解决本题的关键． 1．M、N两地的高度差记为M﹣N，例如：M地比N地低2米，记为M﹣N＝﹣2（米）．现要测量A、B两地的高度差，借助了已经设立的D、E、F、G、H共五个观测地，测量出两地的高度差，测量结果如下表：（单位：米） 两地的高度差 D﹣A E﹣D F﹣E G﹣F H﹣G B﹣H 测量结果 3.3 ﹣4.2 ﹣0.5 2.7 3.9 ﹣5.6 则A﹣B的值为（　　） A．0.4 B．﹣0.4 C．6.8 D．﹣6.8 【答案】A 【分析】观察表格，若将表格中的所有数加起来，即是B﹣A的值，从而可得A﹣B的值． 【详解】解：B﹣A＝（D﹣A）+（E﹣D）+（F﹣E）+（G﹣F）+（B﹣G） ＝3.3﹣4.2﹣0.5+2.7+3.9﹣5.6 ＝-0.4（米）， ∴A﹣B的值为0.4， 故选：A． 【点睛】此题考查有理数的减法，此题是一道应用题，同学们要读懂题意，才能得出正确的答案．所以一定要细心． 2．对于一个四位正整数，我们可以将其表示为：（表示千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d的四位数，其中，，且a，b，c，d均为整数）．如果一个四位数各位数字均不为0，且满足，则称这个数为“前仆后继”数，判断5934 （“是”或“不是”）“前仆后继”数；若M是“前仆后继”数，且满足与的和为5的倍数，则满足条件的M的最小值为 ． 【答案】 是 1428 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据新定义进行计算，即可作答．先设M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，根据M的最小值，则，再结合“前仆后继”数的定义以及与的和为5的倍数，进行分析，列式作答即可； 【详解】解：∵一个四位数各位数字均不为0，且满足，则称这个数为“前仆后继”数， 则 ∴判断5934是“前仆后继”数； 设M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d， ∵千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d的四位数，一个四位数各位数字均不为0，条件的M取最小值， ∴ ∵ ∴当，则 即， ∴ ∵，， ∴与相矛盾 ∴当，则 即， ∴ ∵ ∴ 此时一个四位数 ∵与的和为5的倍数， ∴5的倍数， ∴或 当时，则 ∵ ∴ 解得 ∴M为； 当时，则 ∵ ∴ 此时不存在 综上：M为； 故答案为：是，． 3．2023年月5日是元宵节，某大型晚会会场的彩灯共有个，编号依次为，，，…，，彩灯的拉线开关是这样设计的：接上电源是红色，拉第一下开关后，彩灯由红色变成黄色；拉第二下开关后，彩灯由黄色变成蓝色；拉第三下开关后，彩灯由蓝色变成红色，如此循环．现将编号为的倍数的灯线拉一下，然后将编号为的倍数的灯线拉一下，最后将编号为的倍数的灯线拉一下．求最后蓝色灯的个数． 【答案】蓝色灯的个数是个． 【分析】本题考查有理数运算，将问题转化为整除是解题关键． 拉编号为的倍数的灯时，实际上拉的是所有的编号中含有因子，也就是能被整除的灯，分别可得个数，去掉重复的部分即可． 【详解】解：最后显示蓝色灯的灯线总共被拉了下， 编号是的倍数的彩色灯有（个）， 编号是的倍数的彩色灯有（个）， 编号是的倍数的彩色灯有（个）， 其中编号是的倍数的彩色灯被统计了次， 有（个）， 蓝色灯的个数是（个）． 【经典例题六 有理数加减的混合运算】 【例6】对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于1，2，3进行“非负差值运算”，． ①对，3，5，9进行“非负差值运算”的结果是； ②x，、5的“非负差值运算”的最小值是； ③a，b，c的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减运算．理解题意，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键． 根据题意分别求出“非负差值运算”，然后进行判断作答即可． 【详解】解：对，3，5，9进行“非负差值运算”的结果是，①正确，故符合要求； 当时，； 当时，； 当时，； ∴x，、5的“非负差值运算”的最小值是，②错误，故不符合要求； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴a，b，c的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，③正确，故符合要求； 故选：B． 1．如图，方格中的任一行、任一列以及对角线上的数字之和相等，那么等于（    ）    A．4 B．5 C．8 D．12 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减法，由第一行可得每一行的和为24，继而可求出方格中心位置的空格里面的数及下面的数，即能得出的值．求出下面的空格里面的数是关键． 【详解】解：由题意，得每一行（列或对角线）的和为， ∴方格中心位置的空格里面的数为， 则下面的空格里面的数为， ∴的值为：， 故选：D． 2．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算．利用加法运算律计算求解是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知， ， 故答案为：． 3．计算下列各式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【经典例题七 有理数加减中的简便运算】 【例7】计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从第二项开始，利用加法的结合律每相邻两项结合相加，结果依次为－1和1循环，而其和为0，且共有1010个0，最后可求得和的值． 【详解】 =1 故选：A 【点睛】本题考查了有理数的加减运算及加法的结合律，关键是运用加法的结合律，抓住相邻两项的和为1或－1的特点，从而问题得以解决． 1．电子虫落在数轴上的某点K0，第一步从K0向左跳1个单位到K1，第二步由K1向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3向右跳4个单位到K4…，按以上规律跳了100步时，电子虫落在数轴上的点K100所表示的数恰是19.94，则K0表示的数是（  ） A．﹣19.94 B．30.06 C．19.94 D．﹣30.06 【答案】D 【分析】由题意可知将数轴上的点向左平移，表示的数减少，向右平移，表示的数增加，然后列式计算即可． 【详解】解；由题意得： ﹣1+2﹣3+4﹣5+…﹣99+100＝（﹣1+2）+（﹣3+4）+…（﹣99+100）＝50 ∴k0+50＝19.94，∴k0＝﹣30.06． 故答案为D． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题以及有理数加减混合运算的简便运算，弄清题意、正确运用有理数加减运算的简便运算是解答本题的关键． 2．爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ．    【答案】3或6 【分析】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是． 由于八个数的和是4，所以需满足内外两个圈的4个数字之和都是，横、竖的4个数字之和也是．列等式可得结论． 【详解】解：设小圈上的数为，大圈上的数为，， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴内外两个圈的4个数字之和都是，横、竖的4个数字之和也是， 则，得， ，得， ， ∵当时，，则， 当时，，则， ∴的值为3或6． 故答案为：3或6． 3．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算． （1）首先将分数转化为小数形式，然后观察数据运用运算律简便运算； （2）先去掉括号，然后观察数据运用运算律简便运算． 【详解】（1） ； （2） ． 【经典例题八 有理数加减法中的规律问题】 【例8】一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，…，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（  ） A． B．48 C． D．49 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴及图形变化类，熟练掌握数轴上点的移动规律是解题的关键； 数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律列式计算即可． 【详解】 ； 故选：B． 1．观察下列各式：-=-1+，-=-+-=- +，-=- +，按照上面的规律，计算式子- - - - … - 的值为（    ） A．- B． C．2020 D．2021 【答案】A 【分析】先将所求式子转为加法运算，再根据规律将各项拆解开，然后计算有理数的加减法即可得． 【详解】解：原式， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，根据已知规律将各项进行拆分是解题关键． 2．在有些情况下，不需要计算结果也能把绝对值符号去掉，例如：；；；．根据上述规律，计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了绝对值的化简，有理数的加减运算，根据绝对值的性质：正数绝对值等于它本身，负数绝对值等于它的相反数，进行计算即可，解题关键是熟练掌握绝对值的性质． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．已知，两地相距30米，小猪佩奇从地出发前往地，第一次它后退1米，第二次它前进2米，第三次再后退3米，第四次又向前进4米，按此规律行进，如果地在数轴上表示的数为． (1)求出B地在数轴上表示的数； (2)小猪佩奇从A地出发经过第七次行进后到达点P，第八次行进后到达点Q，点P点Q到A地的距离相等吗？说明理由？ (3)若B地在原点的左侧，那么经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点B之间的距离是多少？ 【答案】(1)B地在数轴上表示的数是14或； (2)点P、点Q到A地的距离相等； (3)经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点B之间的距离是80米 【分析】本题考查了数轴，有理数加减混合运算的应用． （1）在数轴上表示的点移动30个单位后，所得的点表示为或； （2）数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可； （3）根据经过100次行进，可得在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式即可求解． 【详解】（1）解：，． 答：地在数轴上表示的数是14或； （2）解：第七次行进后：， 第八次行进后：， 因为点、与点的距离都是4米， 所以点、点到地的距离相等； （3）解：当为100时，它在数轴上表示的数为： ， （米． 答：经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点之间的距离是80米． 【经典例题九 有理数加减法与数轴的综合】 【例9】已知数轴上，两点对应的数分别为，，若在数轴上找一点，使得点，之间的距离为5；再在数轴找一点，使得点，之间的距离为1，则，两点间的距离可能为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题综合考查了数轴上两点间的距离，数轴上两点之间的距离等于对应两数差的绝对值等知识点，重点掌握求数轴上两点之间的距离的方法，易错点就是求点对应的数时不重不漏．由数轴上两点的距离等于两点对应数差的绝对值求出距离为1、3、7、9，符合题意的为答案． 【详解】解：点，之间的距离为5，点对应的数为， 点对应的数为2或， 又点对应的数，点，之间的距离为1， 点对应的数为或， 或9或3或1， 故选：C 1．点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧，若将点移动5个单位长度到点，此时点表示的数是（    ） A．8 B．2 C． D．或2 【答案】D 【分析】先求出点表示的数是，再分两种情况：①点向左移动5个单位长度到点；②点向右移动5个单位长度到点，利用数轴的性质列出运算式子，计算有理数的加法与减法即可得． 【详解】解：点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧， ∴点表示的数是， ①当点向左移动5个单位长度到点时， 则此时点表示的数是； ②当点向右移动5个单位长度到点时， 则此时点表示的数是， 综上，此时点表示的数是或2， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴、有理数的加法与减法，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 2．已知数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，点在原点位置，点表示的数为，已知下表中的含义均为前一个点所表示的数与后一个点所表示的数的差，比如为． 10 2 若点与点的距离为，则的值为 ．    【答案】或 【分析】根据题意得到点表示的数为表示的数是，再分情况讨论：①当点在点左侧时，②当点在点右侧时进行计算即可． 【详解】解：由题意得点表示的数为表示的数是, （1）当点在点左侧时，点表示的数为，点表示的数为，所以， （2）当点在点右侧时，点表示的数为，点表示的数为，所以． 故答案为：3.5或6.5． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，数形结合、分类讨论，是解题的关键． 3．【阅读与实践】 材料1：点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，我们把数轴上A，B两点之间的距离表示为． 材料2：数轴上的两点A，B对应的数分别为a，b，我们把点A与表示数b的相反数的点之间的距离称为A，B两点之间的“反距离”，记作． 阅读材料1，2，回答下列问题： (1)数轴上表示和5的两点之间的距离是______；数轴上表示15和6的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示a和的两点之间的距离表示为______； (3)数轴上表示数9和的两点之间的反距离是______，数轴上表示和6的两点之间的反距离是______； (4)数轴上表示数a和两点之间的反距离表示为______； (5)如果一个点在数轴上对应的数为m，它与最小的正整数所表示的点之间的反距离为2024，则m的值为______． 【答案】(1)15，9 (2) (3)5、4 (4) (5)或2023 【分析】本题考查的是数轴，相反数，两点间的距离，解题的关键是熟练掌握两点间的距离； （1）用数轴上两点间的距离计算即可； （2）用数轴上两点间的距离计算即可； （3）先求相反数，然后用数轴上两点间的距离计算即可； （4）先求相反数，然后用数轴上两点间的距离计算即可； （5）求出最小的正整数1，求出与1距离2022的点，然后求相反数即可． 【详解】（1）解：（1）； 故答案为：15，9； （2）解：； 故答案为：； （3）解：， 数轴上表示数9和的两点之间的反距离是， 6的相反数是， 数轴上表示和6的两点之问的反距离是； 故答案为：5、4； （4）解：， 数a和两点之间的反距离是， 故答案为：； （5）解：最小的正整数是1， 则与1距离是2024的点表示的数为：或， 2025的相反数是，的相反数是2023， 或2023． 故答案为：或2023； 【经典例题十 有理数加减法与相反数、绝对值的应综合】 【例10】下列说法中： ①两个有理数的差一定小于被减数；②绝对值等于它的相反数的数是负数； ③若且，则，同为负数；④，则； ⑤一个有理数不是正数就是负数；⑥最大的负整数是.正确的有（    ） A．①③⑤⑥ B．①③⑥ C．③⑥ D．②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，绝对值的性质，有理数的运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据有理数的分类，绝对值的性质，有理数的运算，逐项判断即可求解． 【详解】解：①两个有理数的差不一定小于被减数，故原说法错误； ②绝对值等于它的相反数的数是负数和，故原说法错误； ③若且，则，同为负数，故原说法正确； ④，则或，故原说法错误； ⑤有理数包括正有理数，和负有理数，故原说法错误； ⑥最大的负整数是，故原说法正确； 故选：C． 1．我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．先根据绝对值的意义可得当取最小值时，，从而可得整数的值，再计算有理数的加法即可得． 【详解】解：指的是在数轴上，表示数的点到表示数和的点的距离之和， 由数轴可知，当取最小值时，， 则所有满足条件的整数的和为， 故选：C． 2．如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数312，，312是“三决数”，把一个三决数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之差的2倍记为．则的值为 ． 【答案】66 【分析】本题考查了新定义和有理数的运算．根据题意求出和，然后相加即可． 【详解】解：由题意得：， ， ∴； 故答案为：66． 3．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求　　； (2)找出所有符合条件的整数，使得； (3)对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 【答案】(1)7 (2)符合条件的整数为，，，，，0，1，2 (3)有，值为3 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，熟练的利用几何意义解决问题是关键； （1）直接利用绝对值的定义计算即可； （2）由可以理解为数轴上表示的点到点与点2的距离之和为7，再解答即可； （3）由可以理解为数轴上表示的点到点3与点6的距离之和，可得距离之和为最小时的范围，从而可得答案； 【详解】（1）解：； （2）解：可以理解为数轴上表示的点到点与点2的距离之和为7， 符合条件的整数为，，，，，0，1，2； （3）解：有最小值，最小值为3，理由如下： 可以理解为数轴上表示的点到点3与点6的距离之和， 当时，有最小值，最小值为． 【经典例题十一 利用有理数加减法解决幻方问题】 【例11】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，1，2，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用一次），则的值为（    ）    A．1或 B．4或 C．或4 D．或1 【答案】D 【分析】将各数相加的和除以2，得出横线上，竖线上，外圈，内圈上的数之和，即可求出b，则竖线上的四个数字为：3，，1，，横线上的四个数字为：，0，，2，再求出，即可求出或2，即可求解． 【详解】解：， ， ∴， 则竖线上的四个数字为：3，，1，， ∴横线上的四个数字为：，0，，2， ∵， ∴， ∴或2， 当时：， 当时：， 故选：D．    【点睛】此题考查了有理数加法和一元一次方程的应用，熟练掌握有理数加法法则，能够根据所给条件推出a，b的可能取值是解题的关键． 1．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加减法以及出三元一次方程的音乐，根据题意出三元一次方程以及整体思想是解题关键． 如图：根据题中给出的三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可列出三元一次方程，然后变形即可解答． 【详解】解：∵三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴如图可得： 即． 故选D． 2．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如表所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则表中△处的值为 ． △ c 0 a d b 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，解题关键是根据题意，列出算式，求出a，b．根据各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等可得：，然后求出a，b，代入，求出△即可． 【详解】解：∵各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等， ∴， ∴，， ， ， 故答案为：． 3．阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如果把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等．    【发现】（1）在图2中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均为______． 【尝试】（2）将，0，1，2，3，4，5，6这9个数中除，2，5外的6个数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方（即每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等）． 【应用】（3）把绝对值小于5的整数分别填入图4的各个方格中（每个数只能用一次），使得每行、每列以及对角线上的数字之和都相等．    【答案】（1）15；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）求出第一行三个数的和即可； （2）先求出对角线三个数的和，再根据每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等，进行填写； （3）先求出绝对值小于5的整数，再根据题意，填写即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：15． （2）如图所示：（答案不唯一）    （3）绝对值小于5的整数分别为， 如图所示：（答案不唯一）    【点睛】本题考查有理数加法运算．理解幻方的定义，是解题的关键． 【经典例题十二 有理数加减法中的新定义问题】 【例12】定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“”号表示数的加法，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，先根据题意将所求式子变形为，则，再根据可进一步将原式变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选A． 1．探究规律，完成相关题目，王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：；；；；；．请你按照王老师定义的运算法则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了实数的新定义问题，解题的关键是得出新定义的运算法则．根据题意可以得“※”的运算法则为：两数进行“※”运算时，同号得负，异号得正，并把绝对值相加，和任何数进行运算都等于这个数的相反数，任何数与进行运算都等于这个数的相反数，由此求解即可． 【详解】解： 故选：D． 2．已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意可得，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，理解题意，正确列出算式是解此题的关键． 3．数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是加法运算的新定义，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据题干运算中的实例总结运算法则即可； （2）利用新定义先计算括号内的运算，再进一步的计算即可； （3）分三种情况归纳交换律，再举例说明即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 归纳（星加）运算的运算法则：两数进行（星加）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行（星加）运算，或任何数和0进行（星加）运算，都等于这个数的绝对值； （2）； （3）当同号时，，， ∴， 当异号时，， ∴， 当有1个为0，或两个都为0也满足， ∴新运算“”具有交换律； 如，． 1．如果，那么下列式子成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加法法则和绝对值的意义，根据有理数加法法则和绝对值的意义逐项排除即可，熟练掌握有理数加法法则和绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：、，，则，不成立，不符合题意； 、，，则，成立，符合题意； 、，，则，不成立，不符合题意； 、，，则不成立，不符合题意； 故选：． 2．在正整数中，前50个偶数的和减去前50个奇数的和所得的结果是（    ） A．50 B． C．100 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，解题关键是根据题意列出算式，准确进行计算． 【详解】解：根据题意列式： ， 故选：A． 3．定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“”号表示数的加法，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，先根据题意将所求式子变形为，则，再根据可进一步将原式变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选A． 4．如图1，点A，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点对应刻度，点对应刻度.则数轴上点所对应的数为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，结合图1和图2求出1个单位长度，再求出求出之间在数轴上的距离，即可求解；利用数形结合思想解决问题是本题的关键． 【详解】解：由图1可得，由图2可得， ∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为， ∵， ∴（单位长度）， ∴在数轴上点B所对应的数； 故选：C． 5．2023年9月23日至10月8日杭州亚运会期间，河南某体育用品商店推出一系列打折让利活动，某星期的盈亏情况如表（盈余为正，亏损为负，单位：元）所示：表中星期五的数据被墨水覆盖了，则被墨水覆盖的数据是（    ）． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 1381    38 188 458 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加减及正负数的意义，利用加减法法则计算星期五的盈亏钱数即可解答． 【详解】解：． 故选D． 6．绝对值小于的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法以及绝对值、相反数，根据绝对值的意义可得到绝对值小于的所有整数，再结合相反数的性质相加即可求解，理解绝对值的意义和掌握相反数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵绝对值小于的所有整数为，，，，， ∴和为， 故答案为：． 7．对有理数规定一种新运算“*”：，则 【答案】12 【分析】根据新定义把新运算转化为常规运算进行解答便可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，读懂新定义运算是解题的关键． 8．已知数轴上两点对应的数分别为，y，且y是的最小值，点P为数轴上一点，且原点O是的中点，点C是的三等分点，则点C在数轴上表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何意义，有理数的加减计算，先根据绝对值的几何意义求出的最小值为2，即，进而求出点P表示的数为，再分当点C是靠近点A的三等分点时，当点C是靠近点B的三等分点时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵表示的是数轴上表示x的数到表示和表示的数的距离之和， ∴当时有最小值，最小值为， ∴， ∵原点O是的中点， ∴点P表示的数为， ∴， ∵点C是的三等分点， ∴当点C是靠近点A的三等分点时，点C表示的数为， 当点C是靠近点B的三等分点时，点C表示的数为， 综上所述，点C表示的数为或， 故答案为：或． 9．小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是7，8，9，10中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上写的数字是 ． 【答案】3，4，4，6或3，4，5，5 【分析】此题主要考查了应用类问题，利用分类讨论得出是解题关键．首先假设这四个数字分别为：A，B，C，D且，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：四个数只能是3，4，4，6或3，4，5，5， 理由：设这四个数字分别为：A，B，C，D且， 故，， （1）当时，得， ∵， ∴，不合题意舍去，所以， （2）当时，得， （I）当时，，不合题意舍去， （II）当时，∵， ∴，不合题意舍去， （2）当时，得， （I）当时，， （II）当时，∵， ∴， 故综上所述：这四个数只能是：3，4，4，6或3，4，5，5． 故答案为：3，4，4，6或3，4，5，5． 10．已知数轴上A点表示的数是，B点表示的数是6，将数轴上线段剪下来，并把这条线段沿着某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据题意得，由条件分类讨论即可. 【详解】解：由题意得： 设得到的三条线段的长度分别为：， 则：， 解得： 时，如图所示： ∴ 折痕处对应的点所表示的数是：； 时，如图所示： ∴ 折痕处对应的点所表示的数是：； 时，如图所示： ∴ 折痕处对应的点所表示的数是：； 故答案为：或或 11． 【答案】11110 【分析】本题考查了有理数加法运算，把拆成4个，分别和后面的分数凑整即可． 【详解】解： ． 12．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查有理数的加减法运算，掌握运算法则是解题关键． （1）同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）减去一个数，等于加上这个数的相反数； （4）减去一个数，等于加上这个数的相反数． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ＝ ＝； （4）解： ． 13．有一家四口人要走过一座窄桥，窄桥一次最多只可容许两个人一起过桥，由于天色很暗，同时他们又只有一只手电筒，行人过桥时必须持有手电筒，以防止跌落水中，因此就得有人把手电筒带来带去，来回桥两端，四个人的步行速度各不相同，已知每人过桥所需要使用的时间分别为：哥哥1分钟；爸爸2分钟；妈妈5分钟；爷爷10分钟．若两人同行则以较慢者的速度为准，请问一家四口人全部过桥的总用时至少是几分钟？ 请写出你设计的方案： 第一步：______与______过桥，______回来； 第二步：______与______过桥，______回来； 第三步：______与______过桥，共耗时______分钟． 【答案】哥哥，爸爸，哥哥，妈妈，爷爷，爸爸，哥哥，爸爸，17 【分析】结合实际发现用时最少的两个人先过桥，这样他们往返送灯会节约时间是解决本题的关键，根据要求一家四口人全部过桥的总用时至少是几分钟，可以首先让用时最少的两个人先过桥，这样他们往返送灯会节约时间，进而分别分析即可解答问题． 【详解】解：让哥哥、爸爸搭配，妈妈、爷搭配比较节省时间．他们只有一个手电筒，每次又只能过两个人，所以每次过桥后，还得有一个人返回送手电筒． 为了节省时间，肯定是尽可能让速度快的人承担往返送手电筒的任务． 那么就应该让哥哥、爸爸先过桥，用时2分钟，再由哥哥返回送手电筒，需要1分钟， 然后妈妈、爷爷一起过桥，用时10分钟，接下来爸爸返回送手电筒，用时2分钟，再和哥哥一起过桥，又用时2分钟∶ 所以花费的总时间为∶ (分钟)． 设计的方案∶ 第一步∶哥哥与爸爸过桥，哥哥回来； 第二步∶妈妈与爷爷过桥，爸爸回来； 第三步∶哥哥与爸爸过桥，共耗时17分钟． 故答案为：哥哥，爸爸，哥哥，妈妈，爷爷，爸爸，哥哥，爸爸，17． 14．为了提高学生的身体素质，学校鼓励学生开展每日一分钟跳绳打卡活动．小李记录了11月1日至5日每日一分钟跳绳个数如下表（正号表示比上一天多，负号表示比上一天少）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 个数变化（单位：个） 若10月31日小李一分钟跳绳170个，问： (1)小李在11月1日、2日各跳绳多少个？ (2)小李在这5天的跳绳练习中，一分钟最多跳绳多少个？ (3)小李在这5天的跳绳练习中，累计跳绳多少个？ 【答案】(1)小李在11月1日跳绳162个，在11月2日跳绳159个 (2)一分钟最多跳绳173个 (3)累计跳绳827个 【分析】本题考查了正数和负数应用，以及有理数的混合运算的应用，解题关键是正确列出算式． （1）根据题意列式计算即可得解； （2）分别求出11月1日至5日每日跳绳量即可得解； （3）把5天的跳绳量相加即可得解． 【详解】（1）个， 个， 答：小李在11月1日跳绳162个，在11月2日跳绳159个； （2）个， 个， 个， 答：一分钟最多跳绳173个； （3）个， 答：累计跳绳827个． 15．阅读下面材料： 小明在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的个数：，，，，，称为数列：，，，，其中为整数且． 定义． 例如，若数列：，，，，，则． 根据以上材料，回答下列问题： (1)已知数列：，，，求； (2)已知数列：，，，，其中，，，，为个互不相等的整数，且，，，直接写出满足条件的数列； (3)已知数列：，，，，中个数均为非负数，且，直接写出的最大值和最小值，并说明理由． 【答案】(1) (2)数列为：，，，；，，，；，，，； (3)的最大值为，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，有理数，准确理解题意，熟练掌握新定义是解题的关键． （1）根据定义，代入数据即可求出结论； （2）由题意可得，，在到之间，再根据为个互不相等的整数，求解即可； （3）由数列：，，，，中个数均为非负数，结合绝对值即可得出，即可得解． 【详解】（1）解：数列：，，， ； （2）数列：，，，中，，，， ，可看成条线段的长度和，如图所示： ， ，在到之间， ，，，，为个互不相等的整数， 数列为：，，，；，，，；，，，； （3）数列：，，，，中个数均为非负数， ，，，，， ， 即， 的最大值为，最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$