2024-2025学年人教版数学八年级上册期末复习(3)　轴对称 讲义

人教版数学八年级上册期末复习(三)　轴对称 （综合复习训练） 考点一：轴对称及轴对称图形 【例1】剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是( ) 变式训练 1．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－4，1)，B(－3，3)，C(－1，2). (1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，则C1________； (2)画出点C关于x轴的对称点C2，则C2__________，连接C1C2，CC2，C1C，并直接写出△CC1C2的面积是______． 考点二 线段垂直平分线的性质 【例2】如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，点D是BE的中点． (1)若∠C＝35°，求∠BAE的度数； (2)若CD＝4 cm，CF＝3 cm， 求△ABC的周长． 变式训练 2．在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，Q．若∠BAC＝80°，则∠PAQ的度数为________． 考点三 等腰三角形的性质与判定 【例3】在△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，AB⊥BC，AD⊥DE. (1)写出与∠EDF相等的角：_________________，并证明； (2)求证：F是EC的中点． 变式训练 3．在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于F. (1)若∠BAC＝120°，则∠BAD的度数为________； (2)求证：△ADF是等腰三角形． 考点四 等边三角形的性质与判定 【例4】如图，△ABC中，∠A＜60°，AB＝AC，D是△ABC外一点，∠ACD＝∠ABD＝60°，用等式表示线段BD，CD，AC的数量关系，并证明． 【思路点拨】延长BD至E，使BE＝AB，连接AE，CE，可得△ABE是等边三角形，即可求得AC＝AE，可得∠ACE＝∠AEC，即可求得∠DCE＝∠DEC，可得DE＝CD，即可解题． 变式训练 4．如图，E为等边△ABC的边AC上一点，且∠1＝∠2，CD＝BE，试判定△ADE的形状，并说明理由． 考点五 含30°角的直角三角形的性质 【例5】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，MN是AD的垂直平分线，交AD于点M，交AB于点N，已知DC＝2，求AN的长． 【思路点拨】过D作DE⊥AB于点E，连接DN，依据角平分线的性质可得CD＝DE；根据线段垂直平分线的性质可得AN＝DN；再根据30°角的直角三角形的性质即可得到DN的长，进而得出结论． 变式训练 5．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC边的垂直平分线DE与BC边交于点D，垂足为E，若DE＝1，则BC的长为_________． 复习小测 1．下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是( ) 2．若点A(a，－1)与点B(2，b)关于y轴对称，则a－b的值是( ) A．－1 B．－3 C．1 D．2 3．如图，在△ABC中，AB＝AC.过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD.若∠BAD＝140°，则∠ACD的度数为( ) A．50° B．60° C．70° D．80° 4．如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高， ∠BDE＝∠CDF＝60°，图中与BD相等的线段有( ) A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 5．如图，在格点中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中的一条腰，这样的点C一共有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．已知：如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO＋∠DCO＝30°； ②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形； ④AB＝AO＋AP.其中正确的是( ) A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 7．一辆汽车的牌照在路面旁水面的倒影为，则实际号码是_____________． 8．已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是______________． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是__________． 10．等腰三角形的底角为15°，腰长是2 cm，则腰上的高为________ cm. 11．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE.若∠BAC＝108°，∠D＝36°，则图中共有________个等腰三角形． 12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30，BC＝4 cm，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2 cm/s，VQ＝1 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s. (1)当t＝________时，△PBQ为等边三角形； (2)当t＝________时，△PBQ为直角三角形． 13．(9分)如图，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明． 14．(11分)如图，在△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E. (1)若∠B＝40°，则∠CDE的度数为________； (2)若DE＝4，∠B＝30°，求出BC的长度． 15．(12分)已知：在△ABC中，AB＝AC，点D，点E在边BC上，BD＝CE，连接AD，AE. (1)如图1，求证：AD＝AE； (2)如图2，当∠DAE＝∠C＝45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°，请直接写出图2中的四个等腰三角形． 16．(14分)如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，点A(0，1)，B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC. (1)当点B运动到(0，4)时，AC＝________； (2)∠CAP的度数为________； (3)延长CA交x轴于点E.当点B运动时，AE的长度是否发生变化？若不变，求出AE的值；若变化，说明变化的规律． 答案 考点一 例1 D 变式训练 1.(1，2) （2）(－1，－2) （3）4 考点二 例2 解：(1)∵EF垂直平分AC，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C＝35°，∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝70°.∵点D是BE的中点，AD⊥BC，∴AD垂直平分BE，∴AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB＝70°，∴∠BAE＝180°－∠ABE－∠AEB＝40°； (2)∵EF垂直平分AC，AD垂直平分BE， ∴AC＝2CF＝2×3＝6 cm，CE＝AE＝AB，DB＝DE， ∴AC＋CB＋AB＝AC＋CD＋DB＋AB＝AC＋CD＋(DE＋CE)＝AC＋2CD＝14(cm)，即△ABC的周长是14 cm. 变式训练 2.20° 考点三 例3 （1）∠DBC和∠FED （2）解：(1)证明：∵AB⊥BC，AD⊥DE，∴∠ABC＝∠EDC＝90°. ∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴90°－∠ABD＝90°－∠ADB，∴∠DBC＝∠EDF.在Rt△ABC和Rt△ADE中，∴Rt△ABC≌Rt△ADE(HL)，∴∠BAC＝∠DAE. ∵AB＝AD，AC＝AE，∴∠ABD＝∠ACE. ∵∠ABD＋∠DBC＝∠ACE＋∠FED＝90°，∴∠DBC＝∠FED； (2)证明：∵∠FED＝∠FDE，∴FE＝FD，同理可证FC＝FD，∴FE＝FC，∴F是EC的中点． 变式训练 3.（1）60° (2)∵AE是∠BAD的角平分线， ∴∠DAE＝∠EAB.∵DF∥AB， ∴∠F＝∠BAE，∴∠DAF＝∠F，∴AD＝DF， ∴△ADF是等腰三角形． 考点四 例4 解：AC＝BD＋CD，理由如下：延长BD至E，使BE＝AB，连接AE，CE.∵∠ABD＝60°， ∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB，∠AEB＝60°. ∵AB＝AC，∴AC＝AE，∴∠ACE＝∠AEC. ∵∠ACD＝60°，∴∠ACE－∠ACD＝∠AEC－∠AEB， 即∠DCE＝∠DEC，∴DE＝CD，∴BE＝BD＋DE＝BD＋CD， ∴AC＝BE＝BD＋CD. 变式训练 4.解：△ADE是等边三角形．理由如下： ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAE＝60°， 在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴AD＝AE，∠CAD＝∠BAE＝60°，∴△ADE是等边三角形． 考点五 例5 解：如图所示，过D作DE⊥AB于点E，连接DN. ∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝2.∵∠BAC＝30°，AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝15°.∵MN是AD的垂直平分线， ∴NA＝ND，∴∠ADN＝∠NAD＝15°， ∴∠DNE＝30°，∴DN＝2DE＝4，∴AN＝4. 变式训练 5.6 复习小测 1.C 2.A 3.C 4.C 5.C 6.A 7.M12569 8.40°或100° 9.40° 10.1 11.5 12.（1） （2）2或 13.解：OE垂直平分AB， 证明：易证△BAC≌△ABD(SAS)， ∴∠OBA＝∠OAB，∴OA＝OB. 又∵AE＝BE，∴OE垂直平分AB. 14.（1）25° （2）解：(2)∵∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠ACB＝90°－30°＝60°. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝30°. ∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD＝30°，∠ADE＝∠B＝30°， ∴∠CDE＝∠ACD，∴CE＝DE＝4. 在Rt△ADE中，AE＝DE＝2，∴AC＝AE＋CE＝2＋4＝6. 在Rt△ABC中，BC＝2AC＝12. 15.解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD＝AE； (2)∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.∵BF∥AC， ∴∠FBD＝∠C＝45°.∵∠ABC＝∠C＝∠DAE＝45°，∠BDF＝∠ADE，∴∠F＝∠BDF，∠BEA＝∠BAE，∠CDA＝∠CAD，∴满足条件的等腰三角形有：△ABE，△ACD，△DAE，△DBF. 16.（1）4 （2）60° (3)当B点运动时，AE的长度不发生变化，理由是： ∵∠EAO＝∠BAC＝60°， ∠AOE＝90°，∴∠AEO＝30°， ∴AE＝2AO＝2，即当B点运动时， AE的长度不发生变化． 学科网（北京）股份有限公司 $$