1.3 弧度制课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第一章　三角函数 3　弧度制 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.理解弧度的意义,掌握1弧度的角的定义. 2.能进行角度和弧度的换算,熟记特殊角的弧度数. 3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积公式,会解决某些简单的实际问题. 4.通过学习,理解角度制与弧度制都是度量角的方法,二者是辩证统一的. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　弧度与弧度制 1.在单位圆中,把长度等于　　　　　的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号　　　　　表示,读作　　　　　.   注意成立的前提条件 2.在单位圆中,每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数.这种以弧度作为单位来度量角的方法,称作　　　　　　.  rad 弧度 弧度制 1 名师点睛 1.1弧度的角与1度的角所指含义不同,大小更不同. 2.无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角,角的大小都与“半径”大小无关. 3.用“度”作为单位度量角时,“度”或“°”不能省略,而用“弧度”作为单位度量角时,“弧度”或“rad”通常省略不写. 4.当圆心角一定时,它所对的弧长与半径的比值是一个确定的值,与所在圆的半径大小无关. 5.一般地,弧度与实数一一对应,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)大圆中1弧度的角比小圆中1弧度的角大. (　　) (2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等. (　　) (3)“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. (　　) × × √ 2.在同一个表达式中,能不能同时出现角度制和弧度制? 提示 角度制和弧度制是两种不同的角的度量方法,两者有着本质的不同,因此在同一个表达式中两种度量方法不能混用. 知识点二　弧度与角度的换算 2.弧度数公式:　　　　　,即圆心角的弧度数的绝对值等于该圆心角所对的弧长与半径之比.  3.弧长公式:　　　　,即弧长等于所对圆心角的弧度数的绝对值与半径之积.采用角度制时的相应公式为 4.扇形的面积公式: l=|α|r 名师点睛 一些特殊角的度数与弧度数的对应表 过关自诊 1.[人教B版教材例题]把 化成角度数. 2.[人教A版教材例题]把67°30'化成弧度. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　弧度制的概念 【例1】 下列说法错误的是(　　) A.弧度与实数一一对应 C.根据弧度的定义,180°等于π弧度 D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与所在圆的半径的大小有关 D 解析 无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误. 规律方法　弧度制与角度制的异同 1.用角度制和弧度制度量零角时,单位不同,但数值相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角时,单位不同,数值也不同. 2.以弧度为单位表示角的大小时,“弧度”或“rad”通常省略不写,但以度为单位表示角的大小时,“度”或“°”不能省略. 变式训练1下列说法正确的是(　　) A.1弧度是1度的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度为半径的弧 C.1弧度是1度的弧与1度的角之和 D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的一种度量单位 D 解析 弧度是度量角的大小的一种单位,1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小.故选D. 探究点二　弧度与角度的换算 【例2】 (1)把112°30'化成弧度; (2)把 rad化成度; (3)将-1 485°化成弧度. 规律方法　弧度制与角度制换算的关键与方法 (1)关键:抓住互化公式π rad=180°. (3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度. 变式训练2下列各角中,与240°角终边相同的角为(　　) C 探究点三　用弧度制表示角及其范围 【例3】 如图所示,用弧度制表示顶点在原点、始边与x轴的非负半轴重合、终边落在阴影部分内的角的集合. 规律方法　用弧度制表示象限角、轴线角、终边相同的角的方法 (1)用弧度制表示象限角的集合如下: (2)用弧度制表示轴线角的集合如下: 终边落在x轴上的角为{α|α=kπ,k∈Z}; (3)用弧度制表示终边相同的角的集合为{β|β=α+2kπ,k∈Z}. 变式训练3终边在坐标轴上的角的集合是　　　　　　,终边在直线y=-x上的角的集合是　　　　　 　　.  探究点四　与扇形弧长、面积有关的问题 【例4】 (1)已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2,求该扇形的面积; 解 设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,由圆心角为2,依据弧长公式可得l=2r,从而扇形的周长为l+2r=4r=8,解得r=2,则l=4. (2)已知扇形的周长为10 cm,面积等于4 cm2,求其圆心角的弧度数. 规律方法　弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量,即面积S,弧长l,圆心角α,半径r,已知其中的三个量一定能求得第四个量(通过方程求得),已知其中的两个量能求得剩余的两个量(通过方程组求得). (2)在研究有关扇形的相关量的最值时,往往转化为二次函数的最值问题. (3)注意扇形圆心角的弧度数的取值范围是(0,2π),实际问题中注意根据这一范围进行取舍. 变式训练4已知扇形的周长是30 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少? 解 设扇形的圆心角为α(0<α<2π),半径为r cm,面积为S cm2,弧长为l cm,则l+2r=30,故l=30-2r, 本节要点归纳 1.知识清单: (1)弧度与弧度制的概念; (2)弧度与角度的相互转化; (3)扇形的弧长与面积的计算. 2.方法归纳:消元法、配方法. 3.常见误区:对1弧度的定义的理解;弧度与角度混用. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 级 必备知识基础练 1.在半径为5 cm的扇形中,圆心角为2,则扇形的面积为(　　) A.25 cm2 B.10 cm2 C.15 cm2 D.5 cm2 A 解析 扇形面积为S= ×2×52=25(cm2).故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.角α=-2,则α所在的象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.已知扇形AOB的周长为10,面积为6,则该扇形的圆心角为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.在半径为3 cm的圆中, 的圆心角所对的弧长为(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.如果一个圆的半径变为原来的一半,弧长变为原来的 倍,则该弧所对的圆心角是原来的　　　　倍.  3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 级 关键能力提升练 6.若集合P={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z},Q={α|-4≤α≤4},则P∩Q=(　　) A.⌀ B.{α|-4≤α≤-π,或0≤α≤π} C.{α|-4≤α≤4} D.{α|0≤α≤π} B 解析 当k=-1,0时,集合P和Q的公共元素满足-4≤α≤-π,或0≤α≤π,当k取其他值时,集合P和Q无公共元素,故P∩Q={α|-4≤α≤-π,或0≤α≤π}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.(多选)若角α的终边在直线y=-x上,则角α的集合为(　　) AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.一个半径为2的扇形,如果它的周长等于所在圆的半圆的弧长,那么扇形的圆心角是　　　　弧度,扇形的面积是　　　　.  π-2　 2(π-2) 解析 设扇形的弧长为l,圆心角为α, 故由题得2α+2×2=2π,所以α=π-2, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 级 学科素养创新练 10.已知扇形的圆心角为α,半径为r. (1)若扇形的周长是定值C(C>0),求扇形的最大面积及此时α的值; (2)若扇形的面积是定值S(S>0),求扇形的最小周长及此时α的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |α|=　 1.1°=rad=rad≈0.017 45 rad;1 rad=≈57°18'. l=·2πr.  S=lr=|α|·r2. 在角度制下S=πr2 解 设=n°,则,因此n=180×=288,即=288°. 解 因为67°30'=()°,所以67°30'= rad=π rad. B.1 度的角是周角的,1弧度的角是周角的 解 (1)因为1°= rad,所以112°30'=112.5°=112.5× rad= rad. (2)因为1 rad=,所以 rad==120°. (3)因为1°= rad,所以-1 485°=-1 485× rad=- rad. (2)方法:度数×=度数. A. B.- C.- D. 解析 因为240°=240× rad= rad,且-+2π=,所以与240°角终边相同的角是-. 解 (1)如题图①所示,以OB为终边的角为330°,与-30°角的终边相同,化成弧度为-,而75°=75× rad= rad,于是,所求集合S=. (2)如图②所示,以OB为终边的角为225°,与-135°角的终边相同,化成弧度为-,而135°=135× rad= rad,于是,所求集合S=≤θ≤2kπ+. 第一象限角为; 第二象限角为; 第三象限角为; 第四象限角为. 终边落在y轴上的角为｛α+kπ,k∈Z｝. 解析 终边在x轴上角的集合是{α|α=kπ,k∈Z},终边在y轴上角的集合是, 故终边在坐标轴上角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}∪; 终边在直线y=-x上角的集合是αα=+kπ,k∈Z. 解 设圆心角弧度数为α(0<α<2π),弧长为l cm,半径为r cm,则有解得 当时,α==8>2π,不符合题意,舍去; 当时,α=.综上,圆心角的弧度数为. 从而S=lr=(30-2r)r=-r2+15r=-(r-)2+<r<15),所以,当r= cm时,α=2,扇形面积最大,最大面积为 cm2. 解析 角α=-2,-2∈,所以α在第三象限,故选C. A.3 B.或3 C. D.或3 解析 设扇形AOB的半径为r,弧长为l,由题意可得解得则该扇形的圆心角为或3.故选B. A. cm B. cm C. cm D. cm 解析 由题意可得圆心角α=,半径r=3 cm,弧长l=αr=×3=(cm).故选A. 解析 设圆的半径为r,弧长为l,则该弧所对的圆心角为.将半径变为原来的一半,弧长变为原来的倍,则该弧所对的圆心角变为=3·,即该弧所对的圆心角变为原来的3倍. A.αα=2kπ-,k∈Z B.αα=2kπ+,k∈Z C.αα=kπ-,k∈Z D.αα=kπ-,k∈Z 8.如图,一把折扇完全打开后,扇面的两条弧的弧长分别是10π和,且AD=10,则图中阴影部分的面积是(　　) A. B.100π C. D. 解析 设OA=R,OD=r,圆心角是θ,则rθ=,(r+10)θ=10π,R-r=10,解得R=15,r=5,θ=,所以阴影部分的面积为,故选A. 扇形的面积S=l·r=·(2π-4)·2=2(π-2). 解(1)由题意可得2r+αr=C,则αr=C-2r, 得扇形面积S=αr2=(C-2r)r=-r2+Cr=-, 故当r=时,S取得最大值,此时α==2. (2)由题意可得S=αr2,则αr=, 得扇形周长C=2r+αr=2r+≥4, 当且仅当2r=,即r=时取等号, 此时C取得最小值4,α==2. $$